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2012年全国高考文科数学试题及解析-大纲卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（文科）一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}|A x x =是平行四边形，{}|B x x =是矩形，{}|C x x =是正方形，{}|D x x =是菱形，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念，集合的包含关系的运用。

【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形，矩形是特殊的平行四边形，可知集合C 是最小的，集合A 是最大的，故选答案B 。

2．函数1)y x =≥-的反函数为A ．21(0)y x x =-≥ B ．21(1)y x x =-≥ C ．21(0)y x x =+≥ D ．21(1)y x x =+≥ 答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解x ，再互换,x y 得到结论，同时也考查了函数值域的求法。

【解析】由2211y x y x y =⇒+=⇒=-，而1x ≥-，故0y ≥互换,x y 得到21(0)y x x =-≥，故选答案A 3．若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则ϕ= A ．2πB ．23πC ．32πD ．53π答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。

【解析】由[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知，y 轴是函数()f x 图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈，而[]0,2ϕπ∈，故0k =时，32πϕ=，故选答案C 。

4．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．2425答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。

陈文灯.高数讲义(打印版)

第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质） 7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 20-==>-x x ax （连续性的概念）三、补充习题（作业）1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim220=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2t e ty y tx x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=13.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

2012考研《数学》大纲解析及备考指导汇总(精)

2012考研《数学》大纲解析及备考指导汇总考试科目:微积分 . 线性代数 . 概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150分,考试时间为 180分钟 .二、答题方式答题方式为闭卷、笔试 .三、试卷内容结构微积分约 56%线性代数约 22%概率论与数理统计 22%四、试卷题型结构试卷题型结构为:单项选择题选题 8小题,每题 4分,共 32分填空题 6小题,每题 4分,共 24分解答题 (包括证明题 9小题,共 94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性 . 单调性 . 周期性和奇偶性复合函数 . 反函数 . 分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系 .2. 了解函数的有界性 . 单调性 . 周期性和奇偶性 .3. 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念 .4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念 .5. 了解数列极限和函数极限 (包括左极限与右极限的概念 .6. 了解极限的性质与极限存在的两个准则, 掌握极限的四则运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限的方法 .7. 理解无穷小的概念和基本性质 . 掌握无穷小量的比较方法 . 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 .8. 理解函数连续性的概念 (含左连续与右连续 ,会判别函数间断点的类型 .9. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性, 理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理 . 介值定理 ,并会应用这些性质 .二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数 . 反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L´Hospital法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性 . 拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系, 了解导数的几何意义与经济意义 (含边际与弹性的概念 ,会求平面曲线的切线方程和法线方程 .2. 掌握基本初等函数的导数公式 . 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数 .3. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数 .4. 了解微分的概念, 导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性, 会求函数的微分 .5. 理解罗尔 (Rolle定理 . 拉格朗日 ( Lagrange中值定理 . 了解泰勒定理 . 柯西(Cauchy中值定理,掌握这四个定理的简单应用 .6. 会用洛必达法则求极限 .7. 掌握函数单调性的判别方法, 了解函数极值的概念, 掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用 .8. 会用导数判断函数图形的凹凸性 (注:在区间内,设函数具有二阶导数 . 当时,的图形是凹的 ; 当时,的图形是凸的 ,会求函数图形的拐点和渐近线 .9. 会描述简单函数的图形 .三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨 (Newton- Leibniz公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常 (广义积分定积分的应用考试要求1. 理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握不定积分的换元积分法和分部积分法 .2. 了解定积分的概念和基本性质, 了解定积分中值定理, 理解积分上限的函数并会求它的导数, 掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法 .3. 会利用定积分计算平面图形的面积 . 旋转体的体积和函数的平均值,会利用定积分求解简单的经济应用问题 .4. 了解反常积分的概念,会计算反常积分 .四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值 . 最大值和最小值二重积分的概念 . 基本性质和计算 **区域上简单的反常二重积分考试要求1. 了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义 .2. 了解二元函数的极限与连续的概念, 了解有界闭区域上二元连续函数的性质 .3. 了解多元函数偏导数与全微分的概念 , 会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分 , 会求多元隐函数的偏导数 .4. 了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件, 会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值, 会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决简单的应用问题 .5. 了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法 (直角坐标 . 极坐标 . 了解 **区域上较简单的反常二重积分并会计算 .五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级杰的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径 . 收敛区间 (指开区间和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1. 了解级数的收敛与发散 . 收敛级数的和的概念 .2. 了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件, 掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件,掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法 .3. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系, 了解交错级数的莱布尼茨判别法 .4. 会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 .5. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质 (和函数的连续性、逐项求导和逐项积分 ,会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数 .6. 了解 ... 及的麦克劳林 (Maclaurin展开式 .六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 .2. 掌握变量可分离的微分方程 . 齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 .3. 会解二阶常系数齐次线性微分方程 .4. 了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式 . 指数函数 . 正弦函数 . 余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 .5. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 .6. 了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 .7. 会用微分方程求解简单的经济应用问题 .线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行 (列展开定理考试要求1. 了解行列式的概念,掌握行列式的性质 .2. 会应用行列式的性质和行列式按行 (列展开定理计算行列式 .二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1. 理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质 .2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律, 了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质 .3. 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件, 理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵 .4. 了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法 .5. 了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的运算法则 .三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1. 了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算法则 .2. 理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念, 掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法 .3. 理解向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩 .4. 理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行 (列向量组的秩之间的关系 .5. 了解内积的概念 . 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特 (Schmidt方法 .四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆 (Cramer法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组 (导出组的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1. 会用克莱姆法则解线性方程组 .2. 掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法 .3. 理解齐次线性方程组的基础解系的概念, 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法 .4. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 .5. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法 .五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1. 理解矩阵的特征值、特征向量的概念, 掌握矩阵特征值的性质, 掌握求矩阵特征值和特征向量的方法 .2. 理解矩阵相似的概念, 掌握相似矩阵的性质, 了解矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 .3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 .六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1. 了解二次型的概念, 会用矩阵形式表示二次型, 了解合同变换与合同矩阵的概念 .2. 了解二次型的秩的概念, 了解二次型的标准形、规范形等概念, 了解惯性定理,会用正交变换和配方法化二次型为标准形 .3. 理解正定二次型 . 正定矩阵的概念,并掌握其判别法 .概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1. 了解样本空间 (基本事件空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系及运算 .2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes公式等 .3. 理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算 ; 理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法 .二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1. 理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率 .2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念, 掌握 0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松 (Poisson分布及其应用 .3. 掌握泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布 .4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念, 掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用,其中参数为的指数分布的概率密度为5. 会求随机变量函数的分布 .三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1. 理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质 .2. 理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布 .3. 理解随机变量的独立性和不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件,理解随机变量的不相关性与独立性的关系 .4. 掌握二维均匀分布和二维正态分布,理解其中参数的概率意义 .5. 会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布, 会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布 .四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望 (均值、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫 (Chebyshev不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1. 理解随机变量数字特征 (数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征 .2. 会求随机变量函数的数学期望 .3. 了解切比雪夫不等式 .五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利 (Bernoulli大数定律辛钦 (Khinchine大数定律棣莫弗 -拉普拉斯 (De Moivre-Laplace定理列维 -林德伯格 (Levy-Lindberg定理考试要求1. 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 (独立同分布随机变量序列的大数定律 .2. 了解棣莫弗 -拉普拉斯中心极限定理 (二项分布以正态分布为极限分布、列维 -林德伯格中心极限定理 (独立同分布随机变量序列的中心极限定理 ,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 .六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1. 了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念, 其中样本方差定义为2. 了解产生变量、变量和变量的典型模式 ; 了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数,会查相应的数值表 .3. 掌握正态总体的样本均值 . 样本方差 . 样本矩的抽样分布 .4. 了解经验分布函数的概念和性质 .七、参数估计考试内容点估计的概念考试要求估计量与估计值矩估计法最大似然估计法 1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念. 2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩和最大似然估计法 2012 考研数学大纲(数三的延伸阅读——GCT 考试各科技巧小贴士 GCT 有四部分组成：英语、数学、语文、逻辑。

2012年高考数学(文科)试卷全国大纲卷(含答案)最完美最高清word版

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题 1．（2012年全国大纲卷，文科）已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A B B ．C B C ．D C D ．A D2．（2012年全国大纲卷，文科）函数1y x =+(x ≥－1)的反函数为( )A ．y ＝x 2－1(x ≥0)B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1)3．（2012年全国大纲卷，文科）若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π34．（2012年全国大纲卷，文科）已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α＝( )A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24255．（2012年全国大纲卷，文科）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( ) A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184xy+= D ．221124xy+=6．（2012年全国大纲卷，文科）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7．（2012年全国大纲卷，文科） 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．（2012年全国大纲卷，文科）已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A ．2B ．3C ．2D ．19．（2012年全国大纲卷，文科）△ABC 中，AB 边的高为CD ．若C B ＝a ，C A ＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD＝( )A ．1133-a bB ．2233-a bC ．3355-a bD ．4455-a b10．（2012年全国大纲卷，文科）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．35C ．34D ．4511．（2012年全国大纲卷，文科）已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x12．（2012年全国大纲卷，文科）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷第Ⅱ卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（2012年全国大纲卷，文科）(x ＋12x)8的展开式中x 2的系数为__________．14．（2012年全国大纲卷，文科）若x ，y 满足约束条件10,30,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z ＝3x －y 的最小值为__________．15．（2012年全国大纲卷，文科）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝__________.16．（2012年全国大纲卷，文科）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（2012年全国大纲卷，文科）△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A ．18．（2012年全国大纲卷，文科）已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和23n n n S a +=.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．19．（2012年全国大纲卷，文科）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD ，22AC ，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．（2012年全国大纲卷，文科）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．（2012年全国大纲卷，文科）已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a 的值．22．（2012年全国大纲卷，文科）已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集， ∴C B ． 2． A ∵1y x =+，∴y 2＝x ＋1，∴x ＝y 2－1，x ，y 互换可得：y ＝x 2－1.又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0，故选A 项．3．C ∵()sin 3x f x ϕ+=是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，3π2ϕ=.故选C 项．4．A ∵3sin 5α=，且α为第二象限角，∴24cos 1sin 5αα=-=－－.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=-⎪⎝⎭.故选A 项． 5． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2. 又∵准线x ＝－4，∴24ac-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184xy+=，故选C 项．6．B 当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以212a =，213122S =+=.显然只有B 项符合．7． C 由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A ，剩余5人进行全排列：55A ，故总的情况有：14A ·55A ＝480种．故选C 项．8． D 连结AC 交BD 于点O ，连结OE ， ∵AB =2，∴22AC =.又122CC =，则AC =CC 1.作CH ⊥AC 1于点H ，交OE 于点M . 由OE 为△ACC 1的中位线知， CM ⊥OE ，M 为C H 的中点．由BD ⊥AC ，EC ⊥BD 知，BD ⊥面EOC ， ∴CM ⊥BD ．∴CM ⊥面BDE .∴HM 为直线AC 1到平面BDE 的距离．又△AC C 1为等腰直角三角形，∴CH =2.∴HM =1. 9． D ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b . 又∵|a |＝1，|b |＝2，∴||5A B =.∴1225||55C D ⨯==. ∴222545||2()55AD =-=.∴4544445()55555AD AB AB ===-=- a b a b.10． C 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴2m －m ＝22.∴=22m . 又22224c a b =+=， ∴由余弦定理可得 cos ∠F 1PF 2＝2221212||||432||||4P F P F cP F P F +-=.11． D ∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞51log 52=，12111e2e 4z -==>=，且12e－＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x .12． B 如图，由题意：tan ∠BEF =12，∴2112K X =，∴X 2为HD 中点，2312X DX D =，∴313X D =， 4312X C X C =，∴413X C =， 5412X H X H =，∴512X H =，5612X A X A=，∴613X A =，∴X 6与E 重合，故选B 项．13．答案：7 解析：∵(x ＋12x)8展开式的通项为T r ＋1＝8C rx 8－r (12x)r ＝C r 82－r x 8－2r ，令8－2r ＝2，解得r ＝3.∴x 2的系数为38C 2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1.15．答案：5π6解析：y ＝sin x －3cos x ＝13π2(sin cos )2sin()223x x x -=-．当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =.16．答案：35解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角，在△AEA 1中，2222212222322cos 5222a a a a aAEA a a a a ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17．解：由A ，B ，C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由2b 2＝3ac 及正弦定理得2sin 2B ＝3sin A sinC ，故1sin sin 2A C ＝.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝12-，cos A cos C ＝0，cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．解：(1)由2243S a ＝得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由3353S a ＝得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝12133n n n n a a -++-，整理得111n n n a a n -+=-.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…a n －1＝2n n -a n －2，a n ＝11n n +-a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得(1)2n n n a +=.综上，{a n }的通项公式(1)2n n n a +=.19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又PA ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD ．设AC ∩BD =F ，连结EF .因为22AC =，PA =2，PE =2EC ，故23PC =，233E C =，2FC =，从而6PC FC =，6AC EC=，因为PCACFC EC=，∠FCE =∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠P AC =90°，由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ． (2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC ．又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，2222P D P A A D =+=.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d PDα==.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz.设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E (423，0，23)，B (2，－b,0)．于是PC ＝(22，0，－2)，BE ＝(23，b ，23)，D E ＝(23，－b ，23)，从而0PC BE ⋅= ，0PC DE ⋅= ，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP＝(0,0,2)，AB＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即2220p r -=且22033p bq r ++=，令p ＝1，则2r =，2q b=-，n ＝(1，2b-，2)．因为面PAB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故2b =，于是n ＝(1，－1，2)，DP＝(2-，2-，2)，1cos ,2||||D P D P D P ⋅==n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2) P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2)＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2. 21．解：(1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1.①当a ≥1时，f ′(x )≥0，且仅当a ＝1，x ＝－1时，f ′(x )＝0，所以f (x )是R 上的增函数； ②当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝－1－1a -，x 2＝－1＋1a -.当x ∈(－∞，－1－1a -)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈(－1－1a -，－1＋1a -)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数；当x ∈(－1＋1a -，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． (2)由题设知，x 1，x 2为方程f ′(x )＝0的两个根，故有a ＜1，x 12＝－2x 1－a ，x 22＝－2x 2－a .因此f (x 1)＝13x 13＋x 12＋ax 1＝13x 1(－2x 1－a )＋x 12＋ax 1＝13x 12＋23ax 1 ＝13(－2x 1－a )＋23ax 1＝23(a －1)x 1－3a . 同理，f (x 2)＝23(a －1)x 2－3a.因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －3a.设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得02(1)ax a =-，22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)aa aaf x a a a a a a =++=-+----．由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0，解得a ＝0或23a =或34a =.22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)，故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1.圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-. 由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |＝2215(10)(1)22-+-=，即52r =.(2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为52，即22212(1)11522[2(1)](1)t t t +⨯--+=++-，化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，1210t =+，2210t =-.抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，②y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③②－③得1222t tx +==.将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．所以D 到l 的距离22|22(1)1|6552(1)d ⨯--+==+-.。

2012年高考文科数学大纲卷-答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）文科数学（必修+选修Ⅰ）答案解析第Ⅰ卷CF=，选D。

等积法得1，即4444()5555AD AB a b a b==-=-，选D。

平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可。

【提示】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。

【考点】三角形相似知识的运用第Ⅱ卷【考点】简单线性规划。

5π5255⨯⨯【考点】等角定理、异面直线所成的角的概念。

【考点】数列与三角函数的综合。

18.【答案】（1）解：由224=3S a 得1223()4a a a +=，解得2133a a ==；由335=3S a 得12333()5a a a a ++=，解得3123()62a a a =+=（2）解：由题设知11a =19.【答案】（1）证法一：因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，所以PC BD ⊥设=ACBD F ，连接EF 。

因为AC 2PA =，2PE EC =，故PC EC FC =PC AC ==，证法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -设00)C ,，0)D b ,，0)B b ,P ，E ，,0)B b -于是2222(22,0,2),,=,33PA BE b DE b ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，, 从而0PC BE =，0PC DE =，故PC BE PC DE ⊥，⊥ 又BEDE E =，所以PC ⊥平面BDEPABP 平面PBC PAB 内两条相交直线AB ，所以底面所以PD 与平面PBC 所成角为30︒解法二：(00,2)AP =，，(2,0)AB b =-，设(,,m x y =的法向量，则0=0m AP m AB =，，则(,2,0)m b =设(,,)n p q r =的法向量，则00n PC n BE ==，， =0，且，21,n b ⎛⎫=- ，故0m n =，即于是(1,1,n =-，=(2,DP -1,2n DP n DP n DP<>==,60n DP <>=︒所成角和,n DP <>互余，故PD 与平面PBC 所成角为30︒（2）解：五次发球，甲领先时的比分有：3:14:0，这两种情况开始第5次发球时比分为3:1的概率为：22112222220.60.40.60.60.40.40.17280.07680.2496C C C C ⨯⨯+⨯⨯=+=开始第5次发球时比分为4:0的概率为：2222220.60.40.0576C C ⨯=所以开始第5次发球时，甲得分领先的概率为0.24960.05760.3072+=【提示】首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论。

陈文登考研数学辅导书(附带详细答案,word版本

函数极限连续一. 填空题1．设 , 则a = ________.解. 可得 = , 所以 a = 2. 2. =________.解.< <所以 < <, (n ), (n )所以 =3. 已知函数, 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1. 4. =_______.解.=5. =______.解.6. 已知( 0 ), 则A = ______, k = _______.解.所以 k－1=1990, k = 1991;二. 单项选择题1. 设f(x)和 (x)在(－ , + )内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) 0, (x)有间断点, 则(a) [f(x)]必有间断点 (b) [ (x)]2必有间断点 (c) f [ (x)]必有间断点 (d) 必有间断点解. (a) 反例, f(x) = 1, 则 [f(x)]=1(b) 反例, [ (x)]2 = 1(c) 反例, f(x) = 1, 则f [ (x)]=1(d) 反设 g(x) = 在(－ , + )内连续, 则 (x) = g(x)f(x) 在(－ , + )内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案.3. 极限的值是(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解.=, 所以(b)为答案.4. 设, 则a的值为(a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对解. 8 = ==, , 所以(c)为答案.5. 设, 则 , 的数值为(a) = 1, = (b) = 5, = (c) = 5, = (d) 均不对解. (c)为答案.6. 设, 则当x 0时(a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小解. =, 所以(b)为答案.7. 设, 则a的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.8. 设, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 ==, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.1. 求下列极限(1)解.(2)解. 令=(3)解.===.2. 求下列极限(1)解. 当x 1时, , . 按照等价无穷小代换(2)解. 方法1：========方法2：=======3. 求下列极限(1)解.(2)解.(3) , 其中a > 0, b > 0解.=4. 求下列函数的间断点并判别类型(1)解. ,所以x = 0为第一类间断点.(2)解.显然, 所以x = 1为第一类间断点;, 所以x = －1为第一类间断点.(3)解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;不存在. 所以x = 1为第二类间断点;不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点;, (k = 1, 2, …) 所以x =为第二类无穷间断点.5. 设, 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求 , .解. x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求存在. 所以. 所以0 ==所以 = 1.=上式极限存在, 必须.6. 设, b 0, 求a, b的值.解. 上式极限存在, 必须a =(否则极限一定为无穷). 所以=. 所以.7. 讨论函数在x = 0处的连续性.解. 当时不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当时, 所以时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < x n < b, c i (i = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个 , 使.证明: 令M =, m =. 不妨假定所以 m M所以存在 ( a < x1 x n < b), 使得9. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) = .证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) = .10. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 f(x) 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个 , 使f( ) = .证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则.因此. 于是, 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个 , 使f( ) = .11. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) = g( ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) = .12. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x5－3x－2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0所以在(1, 2)内至少有一个 , 满足F( ) = 0.13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.解. . 所以. f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为, 所以, 所以=由, 将f(x)泰勒展开, 得, 所以, 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)倒数与微分一. 填空题(理工类)1. , 则= _______.解. , 假设, 则, 所以2. 设, 则______.解. ,3. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______. 解. , 所以4. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______.解. 由f(－x) =－f(x)得, 所以所以5. 设f(x)可导, 则_______.解.=+=6. 设, 则k = ________.解. , 所以所以7. 已知, 则_______.解. , 所以. 令x2 = 2, 所以8. 设f为可导函数, , 则_______.解.9. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导. 所以切线斜率. 法线斜率为, 法线方程为, 即 x－2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以=, 于是======所以, 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以========所以存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d)解. , 假设=, 所以=, 按数学归纳法=对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入=, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.4. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. .所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + x时, 记 y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d)解. 由微分定义 y = dy + o( x), 所以. (b)是答案.6. 设在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以, 所以b = 0., , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由存在可推出(a)中的极限值为, (b)中的极限值为 , (d)中的极限值为, 而(c)中的极限为:;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定存在, 举反例如下:, 排除(d). 所以(b)是答案.由(b)推出存在证明如下:==所以存在.8. 设函数f(x)在(－ , + )上可导, 则(a) 当时, 必有(b) 当时, 必有(c) 当时, 必有(d) 当时, 必有解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为, 所以对于充分大的x, 单增. 如果, 则证明结束, 否则单增有上界, 则存在(k为有限数). 任取x, 在区间[x, x + 1]上用拉格朗日定理(x < < x + 1)令x + , 于是0 = + , 矛盾. 所以.9. 设函数f(x)在x = a处可导, 则函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是(a) f(a) = 0且. (b) f(a) = 0且.(c) f(a) > 0且. (d) f(a) < 0且.解. (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排除(a); (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0,, |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明不存在.不妨假设. . 所以存在 , 当x (a－ , a + )时. 所以当x > a时, f(x) > 0. 于是. 当x < a时f(x)< 0. 于是. 所以不存在.三. 计算题(理工类)1.解.2. 已知f(u)可导,解.=3. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.解., 所以4. 已知, 求.解. ,5. 设, 求解. ,6. 设函数f(x)二阶可导, , 且, 求, .解. , 所以=3.所以7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以所以.所以. 在t = 1的曲率为四. 已知, 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求.解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以,所以, 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以=(2) 方法1:=== (0 < < x)=所以方法2:====五. 已知当x 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且存在, 所以, 所以, 所以六. 已知.解., k = 0, 1, 2, …, k = 0, 1, 2, …七. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式=所以一元函数积分学一. 求下列不定积分:1.解.2.解.3.解. 方法一: 令,=方法二:==二. 求下列不定积分:1.解.=2.解. 令x = tan t,=3.解. 令=4. (a > 0)解. 令= 5.解. 令====6.解. 令=三. 求下列不定积分:1.解.2.解. 令,=四. 求下列不定积分:1.解.==2.解.五. 求下列不定积分:1.解.2.解.=3.解.4.解.六. 求下列不定积分:1.解.=====2.解.=3.解.七. 设, 求. 解.考虑连续性, 所以c =－1+ c1, c1 = 1 + c八. 设, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令, , 所以=九. 设当x 0时, 连续, 求.解.==+－=+c.十. 设, 求f(x).解.令, 所以所以十一. 求下列不定积分:1.解. 令=2.解. 令=3.解. +=－= 4. (a > 0)解.======十二. 求下列不定积分:1.解.=2.解.===一．若f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数 (x), 均有, 则f(x) 0.证明: 假设f( ) 0, a < < b, 不妨假设f( ) > 0. 因为f(x)在[a，b]上连续, 所以存在 > 0, 使得在[ － , + ]上f(x) > 0. 令m = . 按以下方法定义[a，b]上 (x): 在[ － ,+ ]上 (x) =, 其它地方 (x) = 0. 所以.和矛盾. 所以f(x) 0.二. 设为任意实数, 证明: =.证明: 先证: =令 t =, 所以=于是=所以=.所以同理.三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y都有|f(x)－f(y)| < M|x－y|, 证明证明: ,四. 设, n为大于1的正整数, 证明: .证明: 令t =, 则因为> 0, (0 < t < 1). 所以于是立即得到五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < < < 1的任何 , , 有证明: 令(x ), ., (这是因为t , x , 且f(x)单减).所以, 立即得到六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且< 0, 证明:证明: x, t [a, b],令, 所以二边积分=. 七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给 (0, 1), 有证明: 方法一: 令(或令), 所以F(x)单增;又因为F(0) = 0, 所以F(1) F(0) = 0. 即, 即方法二: 由积分中值定理, 存在 [0, ], 使;由积分中值定理, 存在 [ , 1], 使因为.所以八. 设f(x)在[a, b]上具有二阶连续导数, 且, 证明: 在(a, b)内存在一点 ,使证明: 对于函数，用泰勒公式展开：t, x [a, b]=(1)(1)中令x = a, t = b, 得到(2)(1)中令x = b, t = a, 得到(3)(3)－(2)得到于是=注: 因为需要证明的等式中包含, 其中二阶导数相应于(b－a)的三次幂, 所以将泰勒展开; 若导数的阶数和幂指数相同, 一般直接将f(x)泰勒展开.九. 设f连续, 证明:证明:=所以 2即十. 设f(x)在[a, b]上连续, 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证:, (a < x < b)证明: , 所以,即;即所以即, (a < x < b)十一. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数, 且, 试证:证明: 因为（0，1）上f(x) 0, 可设 f(x) > 0因为f(0) = f(1) = 0x0 (0,1)使 f(x0) =(f(x))所以>（1）在（0，x0）上用拉格朗日定理在（x0, 1）上用拉格朗日定理所以（因为）所以由（1）得十二．设f(x)在[a, b]上连续, 且f(x) > 0,则证明: 将lnx在x0用台劳公式展开（1）令 x = f（t）代入（1）将上式两边取，最后一项为0，得十三. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证:证明:十四. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且= 0, = a > 0. 证明: [0, 2], 使|f( )| a.解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以 [0, 2], 取使|f( )| = max |f(x)| (0 x 2)使|f( )| |f(x)|. 所以一. 计算下列广义积分:(1) (2) (3)(4) (5) (6)解.(1)(2)(3)因为, 所以积分收敛.所以=2(4)(5)(6)微分中值定理与泰勒公式一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0,所以存在 (0, 1), 使F( ) = 0. 假设存在 1, 2 (0, 1), 不妨假设 2 < 1, 满足f( 1) = 1,f( 2) = 2. 于是 1－ 2= f( 1)－f( 2) = . ( 2< < 1). 所以, 矛盾.二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个 , 使.证明: , 其中 1满足.由罗尔定理, 存在 , 满足0 < < 1, 且.三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个 , 使.证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在 1, 1 < 1 < 2, 满足. 所以.所以存在 , 满足1 < < 1, 且.四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个 ,使.证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理, (0, x)所以, 即五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个 (a, b), 使证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在[a, b]上使用拉格朗日定理六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个 (a, b), 使证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个 (a, b), 使七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个 (0, 1), 使证明: (, 二边积分可得, 所以)令. 由f(0) = f(1) = 0知存在 (0, 1), . 所以F( ) = F(1) = 0, 所以存在 ( , 1), . 立即可得八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个 , 使证明: 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个 , 满足九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个 (x1, x2)或(x2, x1), 使证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个 , 满足立即可得.十. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) 0, 试证: 至少存在一个 (a, b), 使证明: 令, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个 (a, b), 使,于是.十一. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个 (a, b), 使证明: x, t [a, b], 有取t =, 分别取x = b, x = a, 得到二式相加, 得所以存在 (a, b), 使得十二. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在、 (a, b), 使得证明: 对于在[a, b]上使用拉格朗日定理, 在(a, b)内存在 , 使得所以在(a, b)内存在 , 使得即是常微分方程一. 求解下列微分方程：1. 解. .令.(将y看成自变量), 所以, ,, , .2.解. 令., 所以, . 由所以c = 0. , 得到, , 即.二. 求解下列微分方程：1.解. 令. 得到, 为一阶线性方程解得. 即.2.解. 原方程可化为.即, 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量).解得: .3.解. 令, 则. 原方程化为, 为贝奴利方程..令, 则. 方程化为, 为一阶线性方程.解得. 即, .三. 求解下列微分方程：1.解. .于是. 所以方程解为.2.解.设函数满足= .所以,所以. 于是所以原方程的解为3.解. 由原方程可得得到.于是原方程解为.四. 求解下列微分方程:1.解.令, 得到为一阶线性方程. 解得.即2.解. 该方程为贝奴利方程..令,. 解得于是五. 设在实轴上连续, 存在, 且具有性质, 试求出.解. , , , .i) . 对于任何x有所以.所以.ii)上式令, 得到解得.六. 求解下列方程:1.解. 可得. 这是以y为自变量的一阶线性方程.解得., . 所以得解.2.解. 令. 可得, , ., , .解为.七. 求解下列方程:1.解. 令.所以,所以, ,于是解为.2.解. 令, ,令于是得到, 为u对于x的一阶线性方程解得, , 得c = 0., , ,所以3.解. 令得到令, 得到为关于y的一阶线性方程. 且解得所以, .于是,, ,, 得到, 得解八. 求解下列微分方程:1.解. 特征方程于是得解2.解. 特征方程,, ,得通解为由得到, , ,得特解九. 求解下列微分方程:1.解. 特征方程,齐次方程通解非齐次方程特解:考察==所以所以通解为2.解. 特征方程,齐次方程特解非齐次方程通解=(计算方法同上题, 取的虚部)所以由可得得解3.解. 特征方程,i)ii)所以一元微积分的应用一. 选择题1. 设f(x)在(－ , + )内可导, 且对任意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(x1) > f(x2), 则(a) 对任意x, (b) 对任意x,(c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加解. (a) 反例:, 有; (b) 显然错误. 因为, 函数单减;(c) 反例:,单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 具体证明如下:令F(x) = －f(－x), x1 > x2, －x1 < －x2. 所以F(x1) =－f(－x1) > －f(－x2) = F(x2).2. 设f(x)在[－ , + ]上连续, 当a为何值时, 的值为极小值.(a) (b)(c) (d)解.为a的二次式.。

【专家解析】2012年高考数学(文)真题精校精析(大纲全国卷)(纯word书稿)

2012·大纲全国卷(文科数学)1．[2012·全国卷] 已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D1．B [解析] 本小题主要考查特殊四边形的定义．解题的突破口为正确理解四种特殊四边形的定义及区别．因为正方形是邻边相等的矩形，故选B.2．[2012·全国卷] 函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1)2．A [解析] 本小题主要考查求反函数的方法．解题的突破口为原函数与反函数定义域与值域的关系和反解x 的表达式．由y ＝x ＋1得y 2＝x ＋1，即x ＝y 2－1，交换x 和y 得y ＝x 2－1，又原函数的值域为y ≥0，所以反函数的定义域为x ≥0，故选A.3．[2012·全国卷] 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π33．C [解析] 本小题主要考查三角函数的性质．解题的突破口为正余弦函数的振幅式在对称轴处取得最值．∵f (x )＝sinx ＋φ3为偶函数，有x ＝0时f (x )取得最值，即φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈)，由于φ∈[0,2π]，所以k ＝0时，φ＝3π2符合，故选C.4．[2012·全国卷] 已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225D.24254．A [解析] 由α为第二象限角及sin α＝35得cos α＝－45，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425，故选A.5．[2012·全国卷] 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 28＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 212＋y 24＝15．C [解析] 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质．解题的突破口为焦距准线与abc 的关系．∵焦距为4，一条准线为x ＝－4，∴c ＝2，a 2c ＝4，∴a 2＝8，b 2＝4，故选C.6．[2012·全国卷] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －16．B [解析] 本小题主要考查数列前n 项和S n 与通项a n 的关系，解题的突破口是用a n 表示S n .由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B.7．[2012·全国卷] 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种7．C [解析] 本小题主要考查有限制条件下的排列问题，解题的突破口为优限法，即优先考虑受限元素和受限位置，合理分步完成．第一步，先将甲选手排好有C 14＝4种不同方法，第二步排其余5名选手，没有限制，有A 55＝120种不同的方法，两步完成，故共有4×120＝480种不同的方法，故选C.8．[2012·全国卷] 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．18．D [解析] 本小题主要考查正四棱柱的性质以及直线到平面的距离的概念．解题的突破口为直线到平面的距离的转化．由已知可得AC 1＝4，取AC 与BD 的中点O ，连OE ，显然有AC 1∥OE 且平面ACC 1A 1⊥平面BED ，∴AC 1与平面BED 的距离即为AC 1与OE 的距离，又∵AB ＝2，CC 1＝22，∴AC ＝22，CC 1＝AC ，∴平面AA 1C 1为正方形，∴AC 1与平面BED 的距离为14CA 1＝1，故选D.9．[2012·全国卷] △ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝，CA →＝，＝0，||＝1，||＝2，则AD→＝( )A.13－13B.23－23C.35－35D.45－459．D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用和作为基底去表示向量AD→. 易知⊥，|AB |＝5，用等面积法求得|CD |＝255，∵AD ＝AC 2－CD 2＝455，AB ＝5，∴AD →＝45AB →＝45(－)，故选D.10．[2012·全国卷] 已知F 1F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35 C.34 D.4510．C [解析] 本小题主要考查双曲线的定义及余弦定理的应用，解题的突破口为运用双曲线的定义求出PF 1和PF 2的长，再用余弦定理即可求．由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422·(42)·(22)＝34，故选C.11．[2012·全国卷] 已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x11．D [解析] 本小题主要考查对数与指数的大小比较，解题的突破口为寻找中间量作比较．x ＝lnπ>lne ＝1,0<log 52<log 42＝log 4412＝12，1＝e 0>e －12＝1e >14＝12，∴y <z <x ，故选D.12．[2012·全国卷] 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．312．B [解析] 本小题主要考查反射原理及三角形相似知识的应用，解题的突破口为确定反射后点P 的位置．结合点EF 的位置进行作图推理，利用反射过程中平行直线及相似三角形作图可得点P 回到E 点时与正方形的边碰撞次数为6次，故选B.13．[2012·全国卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中x 2的系数为________．13．7 [解析] 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口是写出并化简通项公式．T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝2－r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝2⇒r ＝3，∴x 2的系数为2－3C 38＝7，故填7.14．[2012·全国卷] 若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．14．－1 [解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口为正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域图略，可知可行域表示的为三角形，当过点(3,0)时，目标函数值最大，当过点(0,1)时，目标函数值最小，为－1，故填－1.15．[2012·全国卷] 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________. 15.5π6[解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．函数可化为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，由x ∈[0,2π)得x －π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，5π3，∴x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数有最大值2，故填5π6.16．[2012·全国卷] 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 分别为BB 1CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．16.35 [解析] 本小题主要考查正方体中异面直线所成的角的求解，解题的突破口是化异面为共面，即平移直线或找平行线．连结DF ，显然有DF ∥AE ，所以∠DFD 1为所求异面直线所成角或其补角．设正方体棱长为1，则DF ＝ FD 1＝52，由余弦定理可求得∠DFD 1的余弦值为35，故填3517．[2012·全国卷] △ABC 中，内角ABC 成等差数列，其对边abc 满足2b 2＝3ac ，求A .17．解：由ABC 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ，故sin A sin C ＝12.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝－12，cos A cos C ＝0，cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．[2012·全国卷] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．18．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1， a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.19．[2012·全国卷] 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．图1－119．解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝233，FC＝2，从而PCFC＝6，ACEC＝ 6.因为PCFC＝ACEC，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直，故BC ⊥平面PAB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝PA 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，AD 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.方法二：(1)以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b >0，则P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎪⎫423，0，23，B (2，－b,0)．于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ，23，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE . 又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)．设＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，则·AP →＝0，·AB →＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则＝(b ，2，0)．设＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则 ·PC →＝0，·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2b，2.因为面PAB ⊥面PBC ，故·＝0，即b －2b ＝0，故b ＝2，于是＝(1，－1，2)，DP→＝(－2，－2，2)，cos 〈，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，〈，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成的角和〈，DP →〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．[2012·全国卷] 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16， P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36.C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2)＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2)＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．[2012·全国卷] 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，若过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的直线l 与x 轴的交点在曲线y ＝f (x )上，求a 的值．21．解：(1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1.①当a ≥1时， f ′(x )≥0，且仅当a ＝1，x ＝－1时，f ′(x )＝0，所以f (x )是上的增函数；②当a <1时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a .当x ∈(－∞，－1－1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(－1－1－a ，－1＋1－a )时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(－1＋1－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．(2)由题设知，x 1，x 2为方程f ′(x )＝0的两个根，故有a <1，x 21＝－2x 1－a ，x 22＝－2x 2－a .因此f (x 1)＝13x 31＋x 21＋ax 1 ＝13x 1(－2x 1－a )＋x 21＋ax 1 ＝13x 21＋23ax 1＝13(－2x 1－a )＋23ax 1 ＝23(a －1)x 1－a 3. 同理，f (x 2)＝23(a －1)x 2－a 3. 因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －a 3. 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得x 0＝a 2(a －1)， f (x 0)＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2(a －1)3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2(a －1)2＋a 22(a －1)＝a 224(a －1)3(12a 2－17a ＋6)．由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0，解得a ＝0或a ＝23或a ＝34.22．[2012·全国卷] 已知抛物线C ：y ＝(x ＋1)2与圆M ：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝r 2(r >0)有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l .(1)求r ；(2)设mn 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，mn 的交点为D ，求D 到l 的距离．22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)．故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1.圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，MA 的斜率k ′＝(x 0＋1)2－12x 0－1. 由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)· (x 0＋1)2－12x 0－1＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)，r ＝|MA |＝(1－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝52，即r ＝52. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为52，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(t ＋1)×1－12－t 2＋1[2(t ＋1)]2＋(－1)2＝52，化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，t 1＝2＋10，t 2＝2－10. 抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 21＋1，②y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③②－③得x ＝t 1＋t 22＝2. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．所以D 到l 的距离d ＝|2×2－(－1)＋1|22＋(－1)2＝655.。

2012年高考数学试题解析分项版之专题14 复数、推理与证明--教师版文

2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题14 复数、推理与证明--教师版一、选择题:1. （2012年高考新课标全国卷文科2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i2.（2012年高考山东卷文科1）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 3.（2012年高考辽宁卷文科3）复数11i=+ (A)1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i +4.(2012年高考广东卷文科1)设i 为虚数单位，则复数34ii+= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D 【解析】因为34i i +=(34)()1i i +⋅-=43i -,故选D. 【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题. 5.(2012年高考天津卷文科1)i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I（C ）1+I （D ）-1-i 【答案】C 【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C.6．(2012年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

i ii i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．7.（2012年高考安徽卷文科1）复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（）（A ）1i -- （B ）1i - （C ）13i -+ （D ）12i -8. (2012年高考湖南卷文科2)复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i9. (2012年高考浙江卷文科2) 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-(3)(1)2412(1)(1)2i i ii i i +++===+-+.【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17 计数原理、二项式定理)

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2012安徽理)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（） ()A 3- ()B 2- ()C 2 （D ）3 【解析】选D第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=2.(2012安徽理)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 （D ）2或4 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人3. (2012北京理)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。

【答案】B4．(2012广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任选一个，其中个位数为0的概率是（） A ．94 B ．31 C ．92 D ．91解析：（D ）．两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，而其中个位数为0的有5个，是10,30,50,70,90。

所以，所求事件的概率为91455=5．(2012湖北理)设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =A ．0B ．1C ．11D ．12 考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6.(2012辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（） (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。

2012考研数学详细复习计划(00001)

2012考研数学详细复习计划D首轮复习中需要注意的问题：1.注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握结合考研辅导书和大纲，先吃透基本概念、基本方法和基本定理，只有对基本概念深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。

分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理理解不准确，基本解题方法没有掌握。

因此，首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫，如果不打牢这个基础，其他一切都是空中楼阁。

2.加强练习，充分利用历年真题，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。

试题千变万化，但其知识结构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。

通过大量的训练可以切实提高数学的解题做习题巩固。

对于数学基础较差的同学建议每天再加一个小时的复习时间用来做习题并总结。

以上所提供的学习计划仅供参考.。

对于每天的学习时间，你可以根据自己的习惯自行调整，但是要求保持每两周和我们计划内容相同。

第一阶段夯实基础，全面复习（3月-8月）主要目标：吃透考研大纲的要求，做到准确定位，事无巨细地对大纲涉及到的知识点进行地毯式的复习，夯实基础，训练数学思维，掌握一些基本题型的解题思路和技巧，为下一个阶段的题型突破做好准备。

从历年试卷的内容分布上可以看出，凡是考试大纲中提及的内容，都有可能考到，甚至某些不太重要的内容也可以以大题的形式在试题中出现。

由此可见，任何的投机取巧到头来只会坑害自己，明智的做法应当是参照考试大纲，全面复习，不留遗漏。

因此我们复习的主要思路就是以考纲为纲，先把数学课本从头到尾认真地学习一遍，主要先不针对重点和难点，而是一视同仁地对照课本和辅导资料对知识点进行事无巨细的复习。

对一些重要的概念，公式要进行理解基础上的记忆，顺便做一些比较简单的习题，这些课后习题和辅导资料习题对于总结一些相关的解题技巧很有帮助，同时也有助于知识点的回忆和巩固。

2012年高考试题分项解析数学(文科)专题01 集合(教师版).pdf

第19课在山的那边教学目标： 1、了解朗读诗歌的基本要求，做到读音准确，停顿恰当，能初步读出语气。

2、整体把握诗歌的主要内容和感情。

3、品味诗歌富有表现力的语言，提高文学鉴赏能力。

4、体会重点词语的深层含义，领会全诗所阐述的人生哲理。

5、联系自己的生活体验，感悟人生。

6、树立理想，并培养为实现理想而不懈奋斗的精神。

教学重点：在朗读训练中品味、揣摩语言。

教学难点：理解“山”和“海”的深刻含义，领会全诗所阐述的人生哲理。

一、导入同学们，你们已经从小学进入了中学，这个时候就是你们人生道路上的一个新的起点。

在这个起点上，相信你们都有着新的憧憬和希望。

作为现代化都市中的孩子，你们追求的是一种什么东西呢？谁来说说你们的理想？就是你们以后希望从事哪一项工作？为什么？ …… 看来同学们都有理想、有目标啊！追求美好的人生，是我们每个人在成长过程中共同的目标。

说实话，其实我在你们这个年纪的时候，还真没好好想过以后准备干什么。

因为我们要走的路基本上都很清晰，那就是读完小学就考初中，读完初中考高中，读完高中考大学。

我也没想过要是考不上要怎么办，幸好该考上的都考上了。

但在我读初中的时候，我看过一篇报道，是一个记者问一个牧童：你为什么放牛？牧童说，攒钱。

记者再问：攒钱干嘛？牧童说，娶老婆。

那，娶老婆干嘛？牧童说，生娃！生娃干什么？牧童想了想，说：生娃，放牛！我那时候就感觉这牧童很可悲，我说不上自己以后要干嘛，真要问我有什么理想的话，那就是不要像那个牧童一样！幸好，我发现真像那个牧童这么想的人只是少数，大多数的人还是有理想有追求的。

我们今天要讲的这篇课文，说的就是一个边远山区的孩子的理想和追求。

大家翻开课本第2页，今天我们一起来学习一首诗歌——《在山的那边》（板书题目、作者）。

这首诗呢，是作者根据自己成长的历程写成的，我们一起来看看，在山的那一边是什么；一起来探讨，来自边远山区的作者，他是如何追求理想的；想想我们能从这当中得到什么启发。

2012届全品高考复习方案新课标北师大版数学(文科)第7讲二次函数解读

第7讲│ 要点探究
[解答] (1)由 x∈(－3,2)时 f(x)>0，x∈(－∞，－ 3)∪(2，＋∞)时， f(x)<0 知，－3,2 是方程 ax2＋(b－8)x －a－ab＝0 的两根，且 a<0，－3＋2＝－b－8， a 故－a－ab －3× 2＝ a ， ∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
得 a＝－3，b＝5.
第7讲│ 要点探究
(2)由 a<0 知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0 的解集为 R，只需 Δ≤0， 25 即 25＋12c≤0，∴c≤－， 12 25 ∴当 c≤－时，ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R. 12
第7讲│ 要点探究
4．根与系数的关系二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac ＞0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两根，则根与系数的 x1＋x2＝－b， a ．关系是____________ c x1· x2＝ a Δ | x － x | 1 2＝弦长|M1M2| ＝______ . |a|
第7讲│ 规律总结
3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定”和 “轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解． 4．对于一元二次方程实根的分布问题，需要结合二次函数的图象，从三方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点函数值的正负；(3)对称轴与区间端点的关系，这就要求注重数形结合在解题中的应用．

陈文灯《数学复习指南》(理工类)详细解答WORD版(第一、二章)2

习题二一．填空题1．__[解答] 原式=则__2．[解答]则3．设，则__[解答]4．设函数由方程确定，则__[解答] 直接对求导可得化简可得且，则__5．已知[解答] 由可知为奇函数，由函数图像直接可得出.可导，则__6．设[解答] 原式+7．设，则__[解答] 原式所以8．已知，则__[解答] 原式即令，则9．设为可导函数，，则__[解答] 原式10．设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为__[解答] 两边求导将代入可得故所求的方程为二．选择题1．设可导，，则是在处可导的充分必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件既非充分又非必要条件[解答]若在处可导，即，所以应该选.2．设是连续函数，且，则[解答] ，所以应该选.3．已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是[解答] ，由数学归纳法可得，所以应该选.4．设函数对任意均满足，且，其中为非零常数，则在处不可导在处可导，且在处可导，且在处可导，且[解答] ，故应选.5．设，则使存在的最高阶导数为[解答] 将改写为，则此时此时此时，两者不相等所以的最高阶为2，应该选.6．设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于[解答] 由微分的几何意义可知，当时，是的高阶无穷小，所以，故应该选.7．设在处可导，则为任意常数为任意常数[解答] 由在连续可得由在可导得则，所以应该选.8．设，则在处可导的充要条件为存在存在存在存在[解答] 当时，～，则等价于，所以应该选.9．设函数在上可导，则当时，必有当时，必有当时，必有当时，必有[解答] 若设时，均错误，若设时，错误，故选.10．设函数在处可导，则函数在处不可导的充分条件是且且且且[解答] 令，由导数定义可得若，由的连续性及保号性可得，此时若，同理可得.故若不存在，则若，且，设，由于所以当时，，时，则故不存在，所以应该选.三．计算题1．，求.[解答]2．已知可导，，求.[解答]3．已知，求.[解答] 等式两边对求导可得化简可得4．设的函数是由方程确定的，求.[解答] 等式两边对求导可得化简得5．已知，求.[解答]6．设，求.[解答] 等式两边对求导可得可得又所以7．设函数二阶可导，，且，求.[解答]8．设曲线由方程组确定，求该曲线在处的曲率.[解答]，则四．已知，其中有二阶连续的导数，且⑴确定的值，使在点连续；⑵求.[解答] ⑴即当时，在处连续. ⑵当时，有当时，由导数的定义有五．已知当时，有定义且二阶可导，问为何值时是二阶可导.[解答] 在处连续则即在处一阶可导，则有此时，在处二阶可导，则有六．已知，求.[解答]又在处的麦克劳林级数展开式为通过比较可得，当时，当时，七．设，求.[解答] ,,,通过递推公式可得当时，八．证明满足方程证明：化简可得得证.。

2012年陈登复习指南习题详解——高等数学

2012版陈文登复习指南习题详解高等数学习题一1．填空题⑴设，则常数__[解答]由题意可得即⑵__[解答]且又由夹逼原则可得原式⑶已知极限，则[解答]当时，由可得原式同理可得故原式⑷已知则__[解答] 原式⑸已知函数则__[解答] 又所以⑹__[解答] 原式⑺设函数有连续的导函数，，,若在处连续，则常数＿[解答]⑻设当时，=为的阶无穷小，则[解答]由此可得，⑼__[解答] 原式⑽已知，则＿，＿[解答] =若极限存在则得故2．选择题⑴设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则必有间断点必有间断点必有间断点必有间断点[解答]若连续，则也连续，与题设矛盾，所以应该选.⑵设函数则是偶函数无界函数周期函数单调函数，所以，又为无界函数，当任意给定一正数，[解答]因为都存在时，使得，于是，故为无界函数，所以应该选.⑶当时，函数的极限是等于为等于不存在但不为[解答]所以应该选.⑷若函数在处连续，则的值是[解答] ，则，所以应该选.⑸极限的值是不存在[解答] 原式，所以应该选.⑹设则值是均不对[解答] 原式解得所以应该选.⑺设则的值为，，，均不对[解答] 原式，由可得，所以应该选.⑻设则当时，是的等价无穷小与是同阶但非等价无穷小是比较低阶的无穷小是比较高阶无穷小[解答] 原式，所以应该选.⑼设则的值是[解答] 若原式极限存在，当时，由可得，所以应该选.⑽设其中则必有[解答] 原式可得，所以应该选. 3．计算题⑴求下列极限①[解答] 原式②[解答] 原式③[解答] 原式④[解答] 原式又所以原极限⑵求下列极限①[解答] 原式②[解答] 原式1③[解答] 原式⑶求下列极限①[解答] 原式()②[解答] 原式③[解答] 原式④[解答] 原式且＞＞又，故由夹逼原则知原式⑤[解答] 当时，原式当时，原式当时，原式⑥其中[解答] 原式()4．设试讨论在处的连续性和可导性.[解答] ⑴由于是在处连续.⑵分别求在处的左、右导数所以在处连续且可导. 5．求下列函数的间断点并判别类型.①[解答] 为函数的间断点又所以为函数第一类跳跃间断点.②[解答] 当时，当时，当时，即，所以为函数第一类间断点.③[解答] 当时，所以为第一类跳跃间断点.当时，不存在，所以为第二类间断点.当时，所以为第一类可去间断点.当时，所以为第二类无穷间断点.6．试确定常数的值，使极限存在，并求该极限值.[解答] 原式存在由可得，即则原式同理由可得，即所以原式7．设，且是的可去间断点，求的值.[解答] 存在，由可得.原式存在，同理由可得.8．设求的值.[解答] 原式()由可得原式，即9．讨论函数在处的连续性.[解答] 当时，所以若时，在连续.若时，在为第一类跳跃间断点.当时，是的第二类间断点.10．设在的某邻域内二阶可导，且求及[解答]由可得所以第二章一、填空题7．设，则__[解答] 原式所以8．已知，则__[解答] 原式即令，则9．设为可导函数，，则__[解答] 原式10．设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为__[解答] 两边求导将代入可得故所求的方程为二．选择题1．设可导，，则是在处可导的充分必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件既非充分又非必要条件[解答]若在处可导，即，所以应该选.2．设是连续函数，且，则[解答] ，所以应该选.3．已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是[解答] ，由数学归纳法可得，所以应该选.4．设函数对任意均满足，且，其中为非零常数，则在处不可导在处可导，且在处可导，且在处可导，且[解答] ，故应选.二、选择7．设在处可导，则为任意常数为任意常数[解答] 由在连续可得由在可导得则，所以应该选.8．设，则在处可导的充要条件为存在存在存在存在[解答] 当时，～，则等价于，所以应该选.9．设函数在上可导，则当时，必有当时，必有当时，必有当时，必有[解答] 若设时，均错误，若设时，错误，故选.10．设函数在处可导，则函数在处不可导的充分条件是且且且且[解答] 令，由导数定义可得若，由的连续性及保号性可得，此时若，同理可得.故若不存在，则若，且，设，由于所以当时，，时，则故不存在，所以应该选.三．计算题1．，求.[解答]2．已知可导，，求.[解答]3．已知，求.[解答] 等式两边对求导可得化简可得4．设的函数是由方程确定的，求. [解答] 等式两边对求导可得化简得5．已知，求.[解答]6．设，求.[解答] 等式两边对求导可得可得又所以7．设函数二阶可导，，且，求.[解答]8．设曲线由方程组确定，求该曲线在处的曲率.[解答] ，则四．已知，其中有二阶连续的导数，且⑴确定的值，使在点连续；⑵求.[解答] ⑴即当时，在处连续.⑵当时，有当时，由导数的定义有五．已知当时，有定义且二阶可导，问为何值时是二阶可导.[解答] 在处连续则即在处一阶可导，则有此时，在处二阶可导，则有六．已知，求.[解答]又在处的麦克劳林级数展开式为通过比较可得，当时，当时，七．设，求.[解答] ,,,通过递推公式可得当时，八．证明满足方程证明：化简可得得证.第三章1．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答] 原式⑶[解答] 原式⑷[解答] 原式⑸[解答] 设原式2．求下列不定积分.⑴[解答] 设原式⑵[解答] 设，原式⑶[解答] 设原式⑷[解答] 原式⑸[解答] 设原式⑹[解答] 设，则原式⑺[解答] 设，原式3．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答] 设，则原式4．求下列不定积分.⑴[解答] 设，原式⑵[解答] 设，原式5．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答]所以⑶[解答] 原式⑷[解答] 原式移项得⑸[解答] 原式6．求下列不定积分.⑴[解答] 原式再求设，则原式==所以原式⑵[解答] 设原式⑶[解答] 设原式7．设，求[解答] 当时当时因为在处连续，可得，所以8．设，(为不同时为零的常数)，求.[解答] 设，，则又所以即9．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答] 原式⑶[解答] 原式⑷[解答] 原式10．设当时，连续，求[解答] 原式11．设，求.[解答] 设，则所以12．求下列不定积分.⑴[解答] 设原式⑵[解答] 设原式⑶[解答] 设原式⑷[解答] 设原式13．下列不定积分.⑴[解答] 设原式⑵[解答] 设原式⑶[解答] 设，则原式⑷[解答] 设，原式14．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答] 原式⑶[解答] 原式15．求下列不定积分.⑴[解答] 设原式⑵[解答] 设原式⑶[解答] 设原式习题四（1）1．若在上连续，证明：对于任意选定的连续函数，均有则在上，证明：假设在上存在使得，令，由于在上连在上，使得.续，故存在又令则结论与题设矛盾，故假设不成立.2．设为任意实数，证明：证明：设，则所以即，得证.3．已知在连续，对任意都有证明：证明：在连续,则，又所以1．设为大于的正整数，证明：.证明：=即若，则于是这与推论矛盾，所以若，则于是这与推论矛盾，所以综上所述，有.1．设在上连续，且单调减少，，证明：对于满足的任何，，有证明：由积分中值定律有又，且单调递减，故当时，所以即2．设在上二阶可导，且证明：证明：由泰勒公式有又，则两边积分可得7．设在上连续，且单调不增，证明：任给，有证明：，所以又，，单调不增，当时，所以8．设在上具有连续的二阶导数，且，证明：在内存在一点，使证明：由泰勒公式有，其中具有二阶导数，设最大值为，最小值为，即则即，由介值定理可得，至少存在一点，使得即，得证.9．设连续，证明：证明：设，则10．设在上连续，在内存在且可积，，证明：证明: 由，可得，其中。

13、陈文灯复习指南典型例题与习题详细精解(315页文字版)

化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。
二能力拓展
例 1 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，"M N" 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有
(A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数。 (B)F(x)是奇函数 f(x)是偶函数。 (C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数。 (D)F(x) 是单调函数 f(x) 是单调函数。
④对数函数 y logax ( a 0 且 a 1 ) x (0, )
⑤三角函数如 y sin x, x R ； y cos x, x R ；
y tan x , x (k , k ), k Z ； cot x, x (k , (k 1) ), k Z 等
2
2
⑥反三角函数 y arcsin x, x [1,1] ； y arccos x, x [1,1] ； y arctan x , x R ；
[A]
解法一：任一原函数可表示为 F (x)
x
0
f (t)dt
C
，且 F(x)
f (x).当
F(x)
为偶函数时，
有 F(x) F(x) ，于是 F (x) (1) F (x) ，即 f (x) f (x) ，也即
f (x) f (x) ，
可见
f(x)为奇函数；反过来，若
f(x)为奇函数，则
解：(1)不相同，因为 lg x2 的定义域是 (, 0) (0, ) ，而 2lg x 的定义域是 (0, ) 。
(2)不相同，因为两者对应法则不同，当 x 0 时， g(x) x 。
(3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。 (4)不相同，因为两者定义域不同。 2 求函数的定义域

2012年专升本高数(一)

2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应的题号的信息点上．．．．．．．．．．．．．。

1、sin lim2x x x→∞= A. 12 B. 1 C.2 D.不存在 2、设函数31,0() 0nx x f x a x ⎧-≠=⎨=⎩，在0x =处连续，则a = A. 1 B. 0 C. -1 D.-23、设2y x =，则y ''=A. 2xB. xC.12x D.2x 4、设3ln y x =，则dy =A. 3dx xB. 3x e dxC. 13dx xD.13x e dx 5、设2cos y x =-，则(0)y '=A. 1B. 0C.-1D.-26、3xdx =⎰A. 26x C +B.23x C +C. 22x C +D.232x C + 7、40x e dx =⎰A. 21e +B. 2eC. 21e -D.22e -8、设2z x y =，则z x∂=∂ A. xy B. 2xy C. 2x D.22xy x +9、微分方程6y ''=有特解y =A. 6xB. 3xC. 2xD.x10、下列点中，为幂级数212n n n x ∞=∑收敛点的是 A. 2x =- B.1x = C.2x = D.3x =二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。

将答案填写在答题卡上相应题号后．．．．．．．．．。

11、21lim 1x x x →∞-=+ 。

12、设sin(2)y x =+，则y '= 。

13、设3x y e -=，则dy = 。

14、5cos xdx =⎰ 。

15、211dx x=⎰ 。

16、曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线斜率为。