对圆的面积最大内接三角形的探究

对圆的面积最大内接三角形的探究

作者：冯仕虎

来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2007年第12期

导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归纳为函数的最值问题，从而可用导数来解决．本文通过实用性强且与生活密切相关的一个问题，学生围绕这个问题，自主学习、合作探究，体会直观和严谨的关系，初步尝试数学探究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神．有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力．有助于发展学生的创新意识和实践能力．

1创设情境，激发探究

教师首先提出问题情境，以此激发学生探究兴趣．

问题用一块圆形纸板，剪做一个三角形模型，如何剪裁才能使这个三角形的面积最大？

数学探究课题的选择是完成探究学习的关键．课题的选择要有助于学生对数学的理解，有助于学生体验数学研究的过程，有助于学生形成发现、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性．课题应具有一定的开放性，课题的预备知识最好不超出学生现有的知识范围．

2引导发现，动手实践

通过教师创设问题情境，激发学生思考，教师引导学生在小组内动手实践、自主探究与合作交流，让他们在观察、实践、猜测与交流等数学活动中，建立数学模型，逐步形成自己对数学知识的理解和有效学习策略．

师：这个三角形是不是圆的内接三角形？

生：一定是圆的内接三角形．

师：很好！但理由是什么？

生：如果不是圆的内接三角形，那么至少有一个顶点不在圆周上（如图1，不妨设就是A 点），延长边BA必交圆周于A′点，这样就得到一个面积更大的三角形ΔA′BC．

师：理由很充分，这样我们只需考虑

圆的内接三角形即可，现在大家猜猜看这

个三角形的形状如何？

生：等腰三角形．

生：直角三角形．

生：等边三角形．

师：好，一个个来，先看它为什么是直角三角形？

图1图2生：由三角形的面积公式S=12ab sin C，可知当∠C=π2时，三角形的面积最大．

生：反对！虽然这时sin C最大，但ab未必最大．

师：很好！局部最大不等于整体最大．

生：我认为应该是等腰三角形，大家来看我画的图（如图２），如果AB≠AC，作BC的垂直平分线交圆周于A′点，那么ΔA′BC的面积比ΔABC的面积大．

师：有道理，但还需要证明．

生：只需要证明高A′D′大于高AD就可以了，因为底都是BC．

师：看上去确实有A′D′＞AD，不过要有依据才可以．

生：A′D′=A′O+OD′=AO+OD′＞AD（点到直线垂线段最短）．

师：很好！有人认为它是等边三角形，那又是为什么呢？

生：把上面的AB边作为底，同理应该有AC=BC，所以，此三角形必须是等边三角形！

师：太好了！那就是说圆的内接等边三角形的面积最大了，有没有疑问？

学生在数学探究中，应养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也应学会与他人交流合作，建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神．

3合作探究，自主建构

学生对前面已经得到的结果进行思考、讨论．

师：提示：上述的过程说明了什么？

生：非等边三角形的面积不是最大的．

师：好，那么圆的内接等边三角形的面积一定最大吗？会不会没有面积最大的三角形呢？

生：应该要证明：圆的内接等边三角形是所有圆的内接三角形中面积最大的．

师：很好！那又如何证明呢？

学生分组讨论，合作探究．根据各组探究的情况，主要有下列三种处理方法（可以用板书展示或实物投影展示）．

生：老师，根据圆的内接等边三角形是所有圆的内接三角形中面积最大的．可以猜测：圆的内接正方形是所有圆的内接四边形中面积最大的；圆的内接正五边形是所有圆的内接五边形中面积最大的；圆的内接正六边形是所有圆的内接六边形中面积最大的；．．．．．．

师：很好，今天的作业就是证明：圆的内接正方形是所有圆的内接四边形中面积最大的．

通过教学实践，深深体会到教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者．教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料；组织和鼓励学生组成课题组合作地解决问题；一方面应该鼓励学生独立思考，帮助学生建立克服困难的毅力和勇气，另一方面应该指导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助；在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究．在鼓励学生创新的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力．

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