对圆的面积最大内接三角形的探究
圆内接多边形的面积最大值__解释说明
圆内接多边形的面积最大值解释说明1. 引言1.1 概述圆内接多边形是指一个正多边形的顶点都位于同一圆上，并且这个圆与多边形的边完全“接触”。
研究圆内接多边形的面积最大值对于数学和几何学领域具有重要意义。
本文旨在探讨圆内接多边形面积的计算方法以及影响其面积最大值的因素。
1.2 文章结构本文共分为五个部分，各部分主要内容如下：1) 引言部分概述了本文的研究背景和目标；2) 圆内接多边形的面积计算方法介绍了相关特征、性质以及推导面积公式的方法；3) 影响圆内接多边形面积最大值的因素分析包括边数、圆心角和边长等因素对面积的影响；4) 确定圆内接多边形最大面积方法与实现过程阐述了确定目标函数与约束条件、选择合适的最优化算法，并介绍了求解过程；5) 结论总结本文所研究的内容，提出未来研究的发展方向。
1.3 目的本文旨在研究圆内接多边形的面积最大值，并探讨影响其面积最大值的因素。
通过深入分析和计算具体案例，提出求解圆内接多边形最大面积问题的方法与实现过程，为相关领域的研究提供理论和方法支持。
此外，本文还将总结研究结果并指明未来研究方向，以促进该领域的进一步发展。
2. 圆内接多边形的面积计算方法2.1 圆内接多边形的特征与性质圆内接多边形是指所有顶点都位于同一个圆上的多边形。
这些多边形有一些特征与性质，值得我们研究和探索。
首先，对于任意一个圆内接多边形，它的每条边都与该圆的切线相切。
这是因为切线与半径垂直，并且过切点作该切线垂线必定会经过圆心。
其次，圆内接多边形的各个顶点处皆可构成一个等腰三角形。
由于半径垂直于圆的切线，并且等腰三角形两腰相等，则每条边所对应的两个半径均相等。
2.2 圆内接多边形的面积公式推导方法我们希望能够找到一种准确计算圆内接多边形面积值的公式，以便进一步研究和分析。
假设我们有一个正n边形（n大于等于3）在一个半径为r的圆内，我们可以从中心点引出n条半径。
将该正n边分成n个扇区，每个扇区的面积可以表示为圆心角θ与半径r的乘积的一半。
圆的内接三角形面积求法
圆的内接三角形面积求法示例文章篇一：嘿，同学们！今天咱们要来一起探索一个超级有趣的数学问题——圆的内接三角形面积求法！你们想想啊，一个圆里面画个三角形，这得多神奇呀！那怎么才能求出这个三角形的面积呢？咱们先来说说最简单的情况，如果这个内接三角形是个等边三角形，那可就好办啦！假设圆的半径是r ，那圆心到三角形顶点的距离不也是r 吗？这就好像是从圆心给三角形的顶点发了三根一样长的绳子牵着它们。
然后咱们通过一些巧妙的计算就能得出三角形的边长。
哎呀，你们说这像不像在搭积木，我们找到了关键的积木块，就能拼出想要的形状，算出面积啦？要是这个三角形不是等边的呢？那咱们就得开动脑筋啦！咱们可以把这个三角形分成几个小部分，就像把一个大蛋糕切成几块一样。
比如说，从圆心向三角形的三条边分别做垂线，这样不就把三角形分成了三块嘛！这时候，咱们分别求出这三块的面积，再把它们加起来，不就得到整个三角形的面积啦？这是不是有点像拼图游戏，把零碎的小块拼成一个完整的图案？我跟你们说哦，我之前做这种题的时候，可费了不少劲儿呢！一开始总是算不对，急得我抓耳挠腮的。
可是后来我不断尝试，不断思考，终于找到了解题的窍门。
你们看，数学是不是很有趣，很有挑战性？虽然有时候会让我们感到头疼，但当我们算出答案的那一刻，那种成就感简直无与伦比！所以呀，同学们，别害怕数学难题，咱们一起努力，一定能把它们统统拿下！我的观点就是：只要咱们认真思考，多尝试，就没有解不出的圆的内接三角形面积的求法！示例文章篇二：哎呀，同学们，你们知道圆的内接三角形面积怎么求吗？这可真是个有趣又有点难搞的问题呢！有一次上数学课，老师就给我们出了这么一道题。
我当时就傻眼啦，这啥呀？完全摸不着头脑。
老师在黑板上画了一个大大的圆，然后在里面画了一个三角形，说：“同学们，开动你们的小脑袋瓜，想想怎么求出这个三角形的面积。
”我瞅瞅旁边的同桌小明，他也是一脸迷茫，皱着眉头嘟囔着：“这可咋整啊？”我心里想：“这就像走在一个黑漆漆的胡同里，找不到出口一样让人着急！”这时候，学习委员小红举起了手，她说：“老师，能不能先把三角形的三条边长度求出来呀？”老师笑着说：“可以呀，但是求出来之后呢？”小红眨眨眼睛，想了想说：“如果知道三条边的长度，就可以用海伦公式来算面积啦！”老师点了点头，说：“不错不错，那要是不知道三条边的长度呢？”这可把大家难住了。
定圆内接三角形面积的最大值
定圆内接三角形面积的最大值1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个很有意思的话题——定圆内接三角形的面积问题。
听上去可能有点复杂，但别担心，我会把它讲得轻松易懂。
首先，想象一下一个圆，圆里面有个三角形，三角形的三个顶点都碰到了圆的边，这种三角形就叫做内接三角形。
想知道这个三角形的面积最大能有多大吗？那么，快跟我一起深入探讨一下吧！2. 三角形的面积公式2.1 面积的基本概念三角形的面积计算公式我们都知道，基本上是“底乘高再除以二”。
但在这个内接三角形的情况下，我们的底和高可不是那么简单哦！因为它们都是随着圆的半径变化而变化的。
想想看，一个三角形在圆里面转来转去，它的面积也会跟着变化，真是有趣呢！2.2 角度与面积的关系这里还有个小秘密，三角形的角度也会影响面积。
想象一下，如果三角形的角度变得特别尖，那它的面积就会变得小得可怜。
而如果角度变得宽松一些，三角形的面积就会变大。
因此，在这个圆里，我们需要找到一种方式，调整这些角度，使得面积达到最大化。
听起来是不是很像游戏里的升级呢？3. 内接三角形的特殊性质3.1 正三角形的魅力现在，让我们谈谈正三角形吧！它可是内接三角形的明星。
试想一下，把三个点均匀地分布在圆周上，形成的三角形就会是正三角形。
而正三角形的面积，恰好就是最大面积。
这就像是买东西，选打折的商品，最划算！通过数学推导，我们能发现，正三角形的面积可以用半径来表示，简直太神奇了。
3.2 最佳配置的妙招接下来，我们再来看看如何把这个理论变成现实。
假设你有个圆，半径为r，那么内接正三角形的面积就是 (frac{3sqrt{3{4 r^2)。
听起来有点复杂？其实就是一个公式，把半径带入就能算出面积。
这就像做菜，先准备好食材，然后按照步骤来，最终就能尝到美味的成果！4. 生活中的应用4.1 设计与艺术那么，这个定圆内接三角形的知识在生活中有什么用呢？很多设计师在做图案的时候，会用到这种几何形状。
比如说，家里的地毯、窗帘，甚至建筑的外观设计，都可能运用到这个原理。
三角形面积与外接圆半径和内接圆的关系
三角形面积与外接圆半径和内接圆的关系1. 引言1.1 概述三角形是几何学中最基本的图形之一，其面积是衡量三角形大小的重要指标。
与此同时，三角形还可以与外接圆和内接圆建立联系。
外接圆指的是可以完全包围三角形的圆，而内接圆则是能够与三角形的所有边相切的圆。
本篇文章旨在探讨三角形面积与外接圆半径和内接圆半径之间的关系。
我们将通过综合运用数学推导和几何性质，来深入研究这种关系，并给出相应的证明过程。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、三角形的面积与外接圆和内接圆的关系、证明三角形面积与外接圆半径和内接圆半径之间的关系、结论及拓展讨论以及结束语。
在引言中，我们将简要介绍文章的背景和目标，并对后续内容进行概述。
在第二部分中，我们将详细探讨外接圆和内接圆的定义和性质，并推导出三角形面积公式。
第三部分将展示如何证明三角形面积与外接圆半径和内接圆半径之间的关系，包括基于面积公式的推导证明以及应用几何性质进行证明的思路。
在第四部分中，我们将总结三角形面积与外接圆半径和内接圆半径之间的关系，并进一步讨论与这一主题相关的其他几何问题。
最后，在结束语中，我们将总结本文研究的意义和应用价值，并展望未来可能的研究方向。
1.3 目的本篇文章旨在深入研究三角形面积与外接圆半径和内接圆半径之间的关系，并给出相应的证明过程。
通过具体的推导和论证，我们希望能够揭示这种关系背后的数学原理，从而加深对三角形和圆相关概念的理解。
此外，本文也旨在探索这种关系在实际应用中的价值，为几何学领域提供新的启示与思考。
2. 三角形的面积与外接圆和内接圆的关系2.1 外接圆和内接圆的定义和性质外接圆是一个能够通过三角形三个顶点的圆，内切于三角形每条边中点的圆为内接圆。
在三角形中，外接圆半径被定义为从任意顶点到外接圆心的距离，而内接圆半径被定义为从内切点到三角形某个顶点的距离。
2.2 面积公式的推导过程我们知道，对于任意三角形ABC，可以使用海伦公式来计算其面积。
圆的内接三角形的面积-定义说明解析
圆的内接三角形的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：圆的内接三角形是指一个三角形的三个顶点都位于同一个圆的圆周上，而且三角形的三条边都与圆的圆周相切。
在数学中，这种特殊的三角形具有一些独特的性质和特点。
本文将探讨圆的内接三角形的面积计算方法，并深入研究其特性与规律。
这些知识对于几何学和计算数学具有重要的意义，并在实际生活中的各个领域得到广泛的应用。
在接下来的章节中，我们将首先介绍圆的内接三角形的定义，包括它的构成要素和几何特性。
然后，我们将详细讨论计算内接三角形的面积的方法，包括直接计算和间接计算两种常见的方法。
最后，我们将总结内接三角形的特性，并探讨其在实际问题中的应用和进一步研究的展望。
通过深入研究圆的内接三角形的面积计算方法和特性，我们将更好地理解这一几何形状的本质和规律，并能够应用于实际问题的解决中。
我希望本文能够为读者提供有益的知识和启发，并促进对圆的内接三角形领域的深入探索和研究。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述圆的内接三角形的面积问题：1. 引言：介绍圆的内接三角形及其面积的问题背景和重要性。
2. 正文：详细讨论圆的内接三角形的定义、特性和计算面积的方法。
2.1 圆的内接三角形的定义：解释什么是圆的内接三角形，以及如何确定一个内接三角形。
2.2 内接三角形的特性：系统介绍内接三角形的特点，包括边长关系、角度关系等。
2.3 计算内接三角形的面积的方法：提供几种计算内接三角形的面积的方法，如海伦公式、利用三角函数等。
3. 结论：对前文中讨论的内接三角形的特性进行总结，并探讨结论和应用。
3.1 总结内接三角形的特性：回顾内接三角形的特性，强调其中的关键点。
3.2 结论和应用：总结内接三角形的面积问题，并讨论该问题在实际生活中的应用和意义。
3.3 对进一步研究的展望：展望关于内接三角形及其面积的研究方向，指出可能的拓展和深入研究的问题。
通过以上结构，本文将系统地介绍圆的内接三角形的面积问题，并为读者提供全面的信息和计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
圆和内接正三角形的面积关系
圆和内接正三角形的面积关系以圆和内接正三角形的面积关系为标题，我们来探讨一下这个有趣而又有用的数学问题。
在几何学中，圆是一个非常基础的图形，它具有许多有趣的性质和特点。
内接正三角形也是一个特殊的三角形，它有着独特的性质。
那么，圆和内接正三角形之间是否存在某种面积关系呢？我们来介绍一下圆的面积计算公式。
圆的面积可以通过半径来计算，公式为πr^2，其中r表示圆的半径。
这个公式是由古希腊数学家阿基米德提出的，他通过逐步逼近的方法得到了这个结论。
这个公式的推导过程比较复杂，我们在这里不做详细解释。
接下来，我们来看一下内接正三角形的面积。
内接正三角形是指一个正三角形，其三个顶点恰好在一个圆上，且圆的圆心就是三角形的重心。
正三角形的面积计算公式是√3/4 * a^2，其中a表示三角形的边长。
这个公式的推导也比较复杂，我们在这里不做详细阐述。
现在，我们来探讨一下圆和内接正三角形的面积关系。
我们可以发现，内接正三角形的边长和圆的半径之间存在一定的关系。
具体来说，内接正三角形的边长等于圆的直径。
这是因为在一个圆内，通过圆心的直径恰好可以构成一个内接正三角形，而且这个内接正三角形的边长就等于圆的直径。
根据这个关系，我们可以得出内接正三角形的面积和圆的面积之间的关系。
内接正三角形的面积是√3/4 * a^2，而圆的面积是πr^2。
根据内接正三角形的边长等于圆的直径的关系，我们可以得到a=2r。
将这个结果代入内接正三角形的面积公式中，我们可以得到内接正三角形的面积为√3/4 * (2r)^2 = √3 * r^2。
我们得到了圆和内接正三角形的面积关系：内接正三角形的面积是圆的面积的√3倍。
也就是说，一个内接正三角形的面积是其外接圆的面积的√3倍。
这个面积关系对于解决一些几何问题非常有用。
例如，如果我们已知一个内接正三角形的面积，我们可以通过这个面积关系来计算其外接圆的面积。
同样地，如果我们已知一个圆的面积，我们也可以通过这个面积关系来计算内接正三角形的面积。
解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】
专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一） 余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 （3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数， 故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】 （I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤． 由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解． 热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+， 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【答案】(1)π6；(2)425． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-． 所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解． 热点三 求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等， 所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠， 所以tan 3B =. 又因为0πB <<， 所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ， 所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ， 所以sin sin ∠=∠DBC ABD ， 即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =， 所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ， 又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=， 由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+， 又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥， 当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值． 【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为6． 故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=， 当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号， 故选：B ． 二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值 【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =， 又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭， 所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+， 所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+， 因此C ，D 错误 故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确， 故选：AD ． 三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________． 【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+． 所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=， 当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23． 因为()0,A π∈， 所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号， 故sin A 的最大值为53． 此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角， 所以6cos 6B =． 故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=， 由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+， 设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<， 所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27． 四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==， 则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=， 即34355b c bc +=， 即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论； （2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+， 故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=， 当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立， 所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围． 【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--， 即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得． （1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=， 整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<， 所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立， 所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=； 方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin b B c C ==， 所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=， 又因为23B C π+=， 所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值， 【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=， 所以14OC =， 因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===， 所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等， 所以14OP OQ OM OC ====， 因为P ，Q 关于OM 对称， 所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=， 当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874， 所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值． 【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠． 即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =， 所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-， 在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-． 在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值． 【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， 若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=， 即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值 法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-， 由重要不等式得162ac ac ac ≥-=， 当且仅当a c =时取等， 所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==， 利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
圆与三角形面积的关系
圆与三角形面积的关系示例文章篇一：《圆与三角形面积的关系》嘿，同学们！你们有没有想过圆和三角形这两个看起来完全不同的形状，它们的面积之间到底有着怎样神秘的关系呢？这可太有趣啦！先来说说圆吧。
圆就像一个超级完美的大胖子，浑身上下都是圆圆的，没有一点儿棱角。
那怎么算它的面积呢？老师告诉我们要用π乘以半径的平方。
哎呀，这π可真是个神奇的数字，约等于3.14 呢。
想象一下，一个大大的圆，它的面积就取决于它的半径长短，半径越大，面积就越大，这不是很神奇吗？再看看三角形，它就像一个调皮的小精灵，有三条边，还有三个尖尖的角。
算三角形面积的时候，要用底乘以高再除以2 。
这是为啥呢？我就常常想，为啥要除以2 呢？后来我发现，原来是因为两个一模一样的三角形可以拼成一个平行四边形，而平行四边形的面积是底乘以高，所以三角形就得除以2 啦！那圆和三角形的面积到底有啥关系呢？这可难倒我啦！有一次，我和同桌小明一起讨论这个问题。
我问小明：“你说圆和三角形的面积能有啥联系呀？”小明挠挠头说：“我也不太清楚，不过我觉得它们好像没啥直接关系。
”我可不这么认为，我说：“怎么会没有呢？咱们再好好想想。
”我们想来想去，突然我灵机一动，说：“你看，如果把一个圆平均分成很多很多小扇形，然后把这些小扇形像拼拼图一样拼起来，是不是有点像一个三角形？”小明眼睛一亮，说：“对呀对呀，好像是有点像！”我们兴奋极了，继续研究。
后来发现，虽然不能直接说圆的面积和三角形的面积有简单的等式关系，但是通过一些巧妙的想象和变换，能找到一些有趣的联系。
同学们，你们说数学是不是特别神奇？圆和三角形这两个看似不相关的形状，居然也能让我们琢磨出这么多有意思的东西。
我觉得呀，数学就像一个巨大的宝藏，只要我们用心去挖掘，总能发现惊喜！圆和三角形面积的关系虽然复杂，但是只要我们不放弃探索，一定能搞明白更多的数学奥秘！示例文章篇二：《圆与三角形面积的关系》嘿，同学们！你们有没有想过圆和三角形这两个看似毫不相干的图形，它们的面积之间会有啥神秘的关系呢？有一天上数学课，老师在黑板上画了一个大大的圆，又画了一个三角形。
同圆的内接正三角形与内接正方形的面积-概述说明以及解释
同圆的内接正三角形与内接正方形的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行展开：概述部分是整篇文章的开场白，主要是对文章的主题进行简要介绍，并引起读者的兴趣。
首先，可以简要介绍同圆的内接正三角形和内接正方形的概念及其性质。
同圆的内接正三角形指的是一个三角形的三个顶点都位于同一个圆的圆周上，并且三个顶点所对应的圆心角都为60的特殊三角形。
内接正方形指的是一个正方形的四个顶点都位于同一个圆的圆周上的特殊方形。
这两种几何形体具有独特的性质，对于解决某些几何问题有着重要的作用。
其次，可以提及本文的目的和意义。
研究同圆的内接正三角形和内接正方形的面积，旨在探究它们之间的数学关系和几何特性。
通过分析和比较它们的面积计算方法，可以深入理解几何形体的性质和几何学的基本原理。
这对于提升数学思维、加深对几何学的理解以及应用数学知识解决实际问题具有重要意义。
最后，可以简要介绍文章的结构和内容安排。
本文将分为引言、正文和结论三部分。
其中，引言部分介绍了同圆的内接正三角形和内接正方形的概念、目的和意义。
正文部分将详细探讨同圆的内接正三角形和内接正方形的定义、性质、构造方法以及面积计算等内容。
结论部分将对文章进行总结，并提出一些讨论和思考的问题。
通过以上的概述，读者可以对本文的主题和内容有一个初步的了解，为接下来的阅读打下基础。
接下来，我们将进入正文部分，详细介绍同圆的内接正三角形和内接正方形的相关知识点。
文章结构（Article Structure）本文将从引言、正文和结论三个部分来探讨同圆的内接正三角形与内接正方形的面积。
以下是各部分的详细内容：1. 引言（Introduction）1.1 概述：在这一部分，我们将介绍同圆的内接正三角形和内接正方形，并强调它们在几何学中的重要性。
1.2 文章结构：这一小节将详细说明本文的结构和各个部分的内容，以帮助读者更好地理解文章的整体框架。
1.3 目的：在这一段，我们将明确本文的目标和研究问题，即探讨同圆的内接正三角形和内接正方形的面积计算方法。
圆与三角形
OCAB初三数学 温故班 第一期 第五天圆与三角形一、知识回顾1、确定圆的条件有哪些？ （1）.圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？ （角平线上的点到这个角的两边的距离相等。
）3、左图中△ABC 与⊙O 有什么关系？（△ABC 是⊙O 的内接三角形；⊙O 是△ABC 的外接圆；圆心O 点叫△ABC 的外心）二、内接三角形的引入李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。
应该怎样画出裁剪图？探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？ （2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？ （3）如何确定这个圆的圆心？三、三角形内切圆与外接圆的类比图形⊙O 的名称△ABC 的名称⊙O 叫做△ABC 的内切圆△ABC 叫做⊙O 的外切三角形⊙O 叫做△ABC 的外接圆△ABC 叫做⊙O 的内接三角形圆心O 的名称 圆心O 确定 “心”的性质圆心 O 叫做△ABC 的内心 作两角的角平分线 内心O 到三边的距离相等 圆心 O 叫做△ABC 外心作两边的中垂线外心O 到三个顶点的距离相等OAB CED FOABC四、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系：如图，⊙I 切△ABC 三边于点 D 、E 、F ， 则AD=AF=)(21BC AC AB -+BD=BE=)(21AC BC AB -+ CE=CF=)(21AB BC AC -+特别地，当∠C=Rt ∠时，如图，四边形CEID 是正方形 内切圆的半径)(21AB CB CA CD r -+==五、例题1、 在A B C 中，3, 2.AB AC BC ===求 （1）A B C 的面积A B C S 及A C 边上的高B E ； （2）A B C 的内切圆的半径r ； （3）A B C 的外接圆的半径R .2、如图，已知正三角形ABC 的边长为2a ．（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；（2）根据计算结果，要求圆环的面积，•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积； （3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？ （4）已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．DFEIABCDFEIABC六、习题1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40° B．55° C．65° D．70°图1 图2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（） A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5° B．112° C．125° D．55°4．下列命题正确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.56．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，CE=23，求AC的长．7．如图，⊙I 切△ABC 的边分别为D ，E ，F ，∠B=70°，∠C=60°，M 是 DEF 上的动点（与D ，E 不重合），∠DMF 的大小一定吗？若一定，求出∠DMF 的大小；若不一定，请说明理由．8．如图，△ABC 中，∠A=m °．（1）如图（1），当O 是△ABC 的内心时，求∠BOC 的度数； （2）如图（2），当O 是△ABC 的外心时，求∠BOC 的度数；（3）如图（3），当O 是高线BD 与CE 的交点时，求∠BOC 的度数．9．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（ ） A ．（22）n R B ．（12）n R C ．（12）n －1R D ．（22）n －1R10．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC=4，•DC=1，则⊙O 的半径等于（ ） A ．45B ．54C ．34D ．5611．如图，已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；（2）根据计算结果，要求圆环的面积，•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．12．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，CE=4．（1）求△ABC的三边长；（2）如果P为 D F上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．13．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．∵S△ABC =S△OAB+S△OBC+S△OCA又∵S△OAB =12AB·r，S△OBC=12BC·r，S△OCA=12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．14．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt △ABC的内心I与外心O之间的距离．15．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．参考答案1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．（1）略 （2）AC=4 7．∠DMF 的大小一定，•∠DMF=65° 8．（1）90°+12m ° （2）2m ° （3）180°－m °9．A 10．A11．（1）πa 2（2）弦AB 或BC 或AC （3）圆环的面积均为π·（2边长）2 （4）πa 212．（1）AB=9，BC=11，AC=6 （2）14 13．（•1）2 （2）r=1222(3)nS S r a b c da a a =++++++14．5（提示：连ID ，IE ，IF ，IB ，证四边形CEID 为正方形，求出ID=CE=2，证BF=BE=4，OF=1，再在Rt △IFO 中求IO ）15．（1）AB+CD=AD+BC ，证明略 （2）4m。
「高中数学」证明：圆的内接三角形中,正三角形的面积最大.doc
「高中数学」证明：圆的内接三角形中，正
三角形的面积最大
圆的最大内接三角形的求解，除了用到正弦定理的变形以及圆的几何性质，还用到了均值不等式的变形、凸函数的概念等。
圆的内接三角形
首先将三角形ABC的面积表示出来：
这里用到了正弦定理的变形。
如下图，做辅助线。
做如图辅助线
在三角形OBP中，可得：
同理可得：
三角形ABC的面积可化简为
这一步用到了均值不等式的变形。
又因为正弦函数为定义域R上的凸函数，可得：
所以
当且仅当A=B=C时不等式取等号。
即
如此，可以证明，圆的内接三角形中，正三角形的面积最大。
如需要进一步求出该三角形的边长或者高，也是很简单的啦。
看似很简单的一道证明题，实际上却用到了高中数学的诸多知识点；在实际的解题中，如果是选择或者填空题，我们就可以直接运用这个结论啦！。
圆内接等边三角形的面积公式
圆内接等边三角形的面积公式在我们的数学世界里，圆内接等边三角形可是一个有趣的存在。
今天咱们就来好好聊聊圆内接等边三角形的面积公式。
先来说说啥是圆内接等边三角形。
简单来讲，就是一个等边三角形，它的三个顶点都恰好落在一个圆上。
那这时候，咱们怎么去算它的面积呢？这就得用到一个神奇的公式啦：$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$ ，这里的 $S$ 表示三角形的面积，$r$ 是圆的半径。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这公式咋来的呀？” 我笑了笑，决定带着他们一起来推导推导。
咱们先画一个圆，然后在圆里画出一个内接等边三角形。
接下来，咱们连接圆心和三角形的三个顶点。
这样就把这个等边三角形分成了三个相等的等腰三角形。
这时候咱们来看看其中一个等腰三角形。
等腰三角形的顶角是$120^{\circ}$ ，底角就是 $30^{\circ}$ 。
咱们设圆的半径是 $r$ ，那等腰三角形的腰长也是 $r$ 。
从圆心向等腰三角形的底边作垂线，这条垂线就是底边的中线。
根据三角函数，咱们可以算出底边的一半是 $r\times \sin 30^{\circ} = \frac{r}{2}$ ，所以底边的长度就是 $r$ 。
那这个等腰三角形的面积就是：$\frac{1}{2} \times r \times r \times\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$ 。
因为整个圆内接等边三角形是由三个这样的等腰三角形组成的，所以它的面积就是 $3 \times\frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$ 。
看着学生们恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。
学会了这个公式，咱们来做几道题试试。
比如说，已知圆的半径是5 厘米，那圆内接等边三角形的面积是多少呢？咱们直接把半径代入公式，$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ 平方厘米。
三角形内接于半径为1的圆 最大面积
文章标题：探讨三角形内接于半径为1的圆的最大面积1. 概述三角形与圆是几何中常见的基本图形，它们之间的关系一直备受关注。
而其中，三角形内接于半径为1的圆的最大面积是一个富有挑战性和深刻意义的问题。
在本文中，我们将从简到繁，由浅入深地来探讨这一问题，希望能给你带来一些新的思考和启发。
2. 基本概念在开始深入探讨三角形内接于半径为1的圆的最大面积之前，我们先来回顾一下一些基本概念。
三角形的面积公式为S=1/2*a*b*sinC，其中a、b为两边的长度，C为它们夹角的余弦，而圆的面积公式为S=π*r^2，其中r为圆的半径。
3. 分析与求解接下来，我们来具体分析如何求解三角形内接于半径为1的圆的最大面积。
我们可以利用数学知识，通过函数求导的方法，来找到最大面积的条件和具体解。
在这一过程中，我们需要运用到数学分析、微积分知识，不断地推导和变形，直至找到全面的解答。
4. 结果讨论经过前面的分析和求解，我们得到了三角形内接于半径为1的圆的最大面积的具体表达式和条件。
我们也从中深刻理解到了数学问题的多样性和复杂性。
这个问题不仅仅是一个简单的几何题目，更是对我们数学思维和逻辑推理能力的一次挑战和锻炼。
5. 个人观点在学习和探讨这一问题的过程中，我对三角形与圆这两个基本图形的关系有了更加深刻的理解。
我认为，数学不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和逻辑推理的表现。
通过解决这样的数学问题，我们能够培养自己的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
6. 总结三角形内接于半径为1的圆的最大面积是一个富有挑战性的数学问题，它需要我们不断地思考和探索。
通过本文的讨论，我们希望能够激发你对数学的兴趣和对问题的深入思考，使你在学习数学的过程中收获更多的乐趣和成长。
结尾语：当今社会，数学的应用已经无处不在，求职、创业等方面都离不开数学的应用。
希望大家能够在学习数学的过程中真正理解数学的魅力，发现数学在实际生活中的美妙与实用。
探讨三角形内接于半径为1的圆的最大面积是一项充满挑战性和深刻意义的数学问题。
圆的内接三角形面积最大值证明
圆的内接三角形面积最大值证明在数学的世界里，有些问题看似简单，但背后的推理却足够精彩，比如我们今天要探讨的这个话题——圆的内接三角形面积的极限问题。
听起来很高大上，其实就是在讨论如果你把一个三角形尽量塞进一个圆里，能有多大。
咱们就来探个究竟吧！大家都知道圆是个狡猾的家伙，它无论怎么塞，总有一种本事把这个三角形给最大化。
想象一下，你要在一张A4纸上画个尽量大的圆，再画个尽量大的三角形，然后硬塞进去，这是个不可能完成的任务，但是数学不同，它能告诉我们究竟有多大。
假设你有个圆，然后随便找一个三角形，硬往里塞。
第一次，你可能塞个正三角形，每个角60度，但总觉得没那味道。
于是你换个方案，塞个矩形进去，哎呀，太方了，太正了，圆说不行，得圆润一点。
接着你又换个长方形，不是矩形，是长方形，试试看。
这时候圆不满意了，说这个形状不行，有点儿像猪圈。
这就是数学和形状的斗争，哎呀，一塞就乱了。
然后，你突然来了个灵感，塞个正方形进去，感觉好像差不多了，四个角都刚刚好，圆也挺喜欢的。
不过你得想办法把这个正方形往圆里面塞得更多，让圆更满意。
这时候就得考虑一下，怎么样才能把这个正方形扭到极致，塞到圆里的时候，圆说“嗯，这样还差不多，不错，不错”。
你可能会问，为啥要这么费劲塞进去？其实这背后还有个很深的数学问题，就是我们要找出这个三角形面积的极限值，也就是说，圆说“我看你们塞的这个形状不错，我接受了”，但是再往里面塞，圆说“哎呀不行啊，这个太大了，不合适”。
数学家们为了解决这个问题，就想了一大堆的办法，比如用“导数”的这一手法，啊，不要怕，这就是数学家们经常用的一招，“导数”就像是个神奇的放大镜，能让你看到形状变化的细节。
他们把这个三角形面积的极限值计算了出来，说“嗯，最大就是这个值了，再往大了就不行”。
所以啊，圆的内接三角形面积最大值，不是说随便塞进去一个三角形，就能满足的，它有它的规律，有它的极限。
数学告诉我们，这个极限就是圆和三角形的一种“最和谐”的状态，就像是你和你的小伙伴打游戏，一起玩得正好，不多不少，刚刚好。
三角形内接圆的面积
三角形内接圆的面积三角形是数学中最基本的几何图形之一，而内接圆则是与三角形密切相关的一个概念。
内接圆是一个圆，可以完全被三角形的三条边所切。
本文将探讨三角形内接圆的面积，并从深度和广度两个方面进行全面评估，旨在帮助读者更好地理解三角形和内接圆的关系。
深度探讨内接圆面积的第一步是理解内接圆的构造和性质。
在任意三角形中，存在唯一一个能被三条边所切的圆，这个圆被称为内接圆。
内接圆的半径被称为三角形的内接圆半径，通常用字母r表示。
内接圆的半径与三角形的另外三条边的关系可以通过另外一个与内接圆相关的概念来描述，即三角形的内切角（或称为内角平分线）。
内切角是指与三角形的三个顶点相接触，并且与三条边的交点分别为内接圆上的点。
由于内切角是内角平分线，所以它们相等。
根据这些性质，可以得出内接圆半径与三角形边长之间的关系公式。
广度探讨中，我们将从不同的角度来思考三角形内接圆的面积。
我们可以考虑利用三角形的面积公式来求解内接圆的面积。
三角形的面积可以通过海伦公式或其他方法进行计算，当我们知道三角形的三边长度时，就可以求出其面积。
我们可以研究内接圆和三角形的其他几何量之间的关系，如周长、高、边长等。
通过计算和推导，可以发现内接圆的面积与三角形的其他几何量之间存在着特殊的关系。
在对三角形内接圆面积的探索中，我们不能忽视对这一概念的个人观点和理解。
内接圆作为一个几何概念，可以被视为对三角形形状的一种度量和刻画。
通过研究三角形内接圆的面积，我们可以更加深入地理解三角形的形态特征，并探索与之相关的数学原理和性质。
三角形内接圆的面积也可以作为一种度量三角形形状复杂度的指标，从而在实际应用中有特定的价值。
三角形内接圆的面积是一个有价值的数学概念和几何问题。
通过深入探讨和广泛评估，我们可以更好地理解内接圆的构造和性质。
探索三角形内接圆的面积帮助我们更好地理解三角形形状的特征，并且可以与其他几何量相结合，形成更为丰富的数学理论和实际应用。
圆内接等边三角形面积与圆半径的关系
圆内接等边三角形面积与圆半径的关系嘿，咱来聊聊圆内接等边三角形和圆半径那点事儿。
你看啊，这圆就像一个超级大的披萨饼，圆半径呢，就像是从披萨中心到边缘的那把切刀的长度。
而圆内接等边三角形啊，就像是在这个大披萨里面精心摆放的一块超级规整的三角披萨块。
那这圆内接等边三角形的面积和圆半径到底有啥关系呢？咱先想象一下，如果这个圆半径很小很小，就像蚂蚁的小细腿那么短，那这个圆内接等边三角形肯定也小得可怜，就像小蚂蚁能轻易搬走的一小片碎屑。
实际上呢，圆内接等边三角形的面积和圆半径的平方是成正比的关系。
假如把圆半径看成是一个大力士的肌肉力量，那圆内接等边三角形的面积就是这个大力士能举起的重量。
半径越大，就像大力士的肌肉越发达，三角形的面积这个“重量”也就越大。
再打个比方，圆半径是一个魔法棒的长度，那圆内接等边三角形的面积就是这个魔法棒施展魔法后的效果范围。
魔法棒（半径）越长，魔法效果范围（三角形面积）就越大。
这圆内接等边三角形就像住在圆这个大房子里的小客人，圆半径就是这个大房子的规模大小的一个衡量标准。
房子越大（半径越大），小客人（三角形）占的空间（面积）也就越大。
你可以把圆半径想象成是火箭的燃料量，燃料越多（半径越大），火箭能推动的有效载荷就越大。
在这里，有效载荷就好比是圆内接等边三角形的面积。
就像一个放大镜，圆半径是放大镜的放大倍数，那圆内接等边三角形的面积就像是被放大后的小昆虫的大小。
倍数越高（半径越大），昆虫看起来（三角形面积）就越大。
如果圆半径是音乐播放器的音量大小，那圆内接等边三角形的面积就是音乐播放出来的震撼效果。
音量越大（半径越大），震撼效果（三角形面积）就越强。
把圆半径当作是画笔的长度，那圆内接等边三角形的面积就是用这支笔画出的精美图案的大小。
画笔越长（半径越大），画出的图案（三角形面积）就越大。
这圆内接等边三角形面积和圆半径就像是一对亲密无间的伙伴，圆半径不断变化的时候，三角形面积也会跟着一起“翩翩起舞”，按照半径平方的节奏变大或者变小呢。
半径为r的圆内接正三角形的面积
半径为r的圆内接正三角形的面积
圆内接正三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且三条边相等的三角形。
假设这个圆的半径为r，我们来求圆内接正三角形的面积。
首先，连接圆心和三角形的三个顶点，可以得到三条相等的半径。
由于圆心是正三角形的重心，所以三角形的高与半径相等，即高也为r。
接下来，我们可以将正三角形分成三个等边的小三角形，每个小三角形的底边长为r，高为r/2。
因此，每个小三角形的面积为： S = 1/2 * r * (r/2) = r^2/4
三个小三角形的面积加起来就是整个正三角形的面积：
S_total = 3 * S = 3 * r^2/4 = (3/4) * r^2
因此，圆内接正三角形的面积为(3/4) * r^2。
- 1 -。
圆内接等边三角形面积比
圆内接等边三角形面积比
哎呀呀，一看到“圆内接等边三角形面积比”这个题目，我简直一个头两个大！这可真是个让人挠头的问题呢！
先来说说圆吧，圆就像一个超级大的甜甜圈，圆溜溜的，没有一点棱角。
那等边三角形呢，就像是一个超级稳固的小房子，三条边一样长，三个角也都一样大。
那圆内接等边三角形是啥样呢？就是在这个圆里面，刚刚好能画出一个等边三角形，三角形的三个顶点都在圆上。
这时候问题就来了，它们的面积比怎么算呀？
假设这个圆的半径是r ，那圆的面积就是πr² 。
那这个等边三角形呢？我们可以把它分成三个一样的小三角形来算。
从圆心向三角形的三个顶点连线，这样就把等边三角形分成了三个一样的小三角形。
每个小三角形的顶角是120 度，底就是圆的半径r 。
那每个小三角形的面积就是1/2 × r × r × sin120° 。
sin120° 是多少呢？是√3/2 呀，所以每个小三角形的面积就
是1/2 × r × r × √3/2 ，三个小三角形加起来就是等边三角形的面积，算出来就是
√3/4 × r² 。
那圆的面积和等边三角形的面积比不就是πr² : √3/4 × r² 嘛！化简一下就是4π : √3 。
哎呀，算这个可真不容易！不过弄明白了是不是也挺有成就感的？我觉得数学有时候就像一个神秘的大迷宫，虽然走进去的时候晕头转向，但是一旦找到了出口，那种快乐简直没法形容！所以呀，可别被这些难题吓倒，多想想多算算，总会找到答案的！我的观点就是，虽然这题难，但只要肯钻研，就能搞明白！。
内接三角形特点
内接三角形特点内接三角形是指一个三角形的内切圆与三角形的三条边相切于三个点，这三个点连线所形成的三角形称为内接三角形。
内接三角形具有以下特点：1. 内接三角形的三条边与外接圆的直径相对应。
内接三角形的三个顶点与外接圆的圆心连线，形成的三条线段与外接圆相交于圆的直径上的三个点。
这是因为，内接三角形的三边相切于内切圆，而内切圆的圆心与三角形的三边相交于三个切点，所以圆心与切点之间的直线即为三角形的边所对应的直径。
2. 内接三角形的内心与外接圆的圆心和重心共线。
内接三角形的内心是内切圆的圆心，外接圆的圆心是三角形外接圆的圆心，重心是三角形的三条中线的交点。
根据欧拉定理，内心、外心和重心三点共线，所以内接三角形的内心、外接圆的圆心和重心三点共线。
3. 内接三角形的面积与外接圆的半径有关。
根据内接三角形的面积公式S=pr，其中S为三角形的面积，p为三角形的半周长，r为内切圆的半径。
由于内接三角形的半周长p等于外接圆的直径d（即2r）,所以内接三角形的面积可以表示为S=2r^2，即内接三角形的面积与外接圆的半径的平方成正比。
4. 内接三角形的角度与外接圆的弧度有关。
内接三角形的三个内角分别对应于外接圆的三个弧度。
根据圆心角与其对应的弧度相等的性质，内接三角形的三个内角的度数等于外接圆上对应的弧度的度数。
5. 内接三角形的面积最大。
在给定三角形的情况下，内接三角形的面积是所有能与三角形相切的三角形中面积最大的。
这是因为，三角形与内切圆的切点构成的三角形是以给定三角形的三边为底的，而在相同底长的情况下，三角形的面积与其高成正比，所以与内切圆相切的三角形的面积最大。
标题中心扩展下描述，即对内接三角形的特点进行更深入的探讨和解释。
下面从几个方面继续描述内接三角形的特点。
1. 内接三角形的顶点与三边的垂心共线。
垂心是三角形的三条高线的交点，而内接三角形的顶点与内心的连线也是三角形的高线之一。
根据垂心的性质，内接三角形的顶点与三边的垂心共线，垂心将三角形的三边分成相等的两部分。
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对圆的面积最大内接三角形的探究
作者：冯仕虎
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2007年第12期
导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归纳为函数的最值问题，从而可用导数来解决．本文通过实用性强且与生活密切相关的一个问题，学生围绕这个问题，自主学习、合作探究，体会直观和严谨的关系，初步尝试数学探究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神．有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力．有助于发展学生的创新意识和实践能力．
1创设情境，激发探究
教师首先提出问题情境，以此激发学生探究兴趣．
问题用一块圆形纸板，剪做一个三角形模型，如何剪裁才能使这个三角形的面积最大？
数学探究课题的选择是完成探究学习的关键．课题的选择要有助于学生对数学的理解，有助于学生体验数学研究的过程，有助于学生形成发现、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性．课题应具有一定的开放性，课题的预备知识最好不超出学生现有的知识范围．
2引导发现，动手实践
通过教师创设问题情境，激发学生思考，教师引导学生在小组内动手实践、自主探究与合作交流，让他们在观察、实践、猜测与交流等数学活动中，建立数学模型，逐步形成自己对数学知识的理解和有效学习策略．
师：这个三角形是不是圆的内接三角形？
生：一定是圆的内接三角形．
师：很好！但理由是什么？
生：如果不是圆的内接三角形，那么至少有一个顶点不在圆周上（如图1，不妨设就是A 点），延长边BA必交圆周于A′点，这样就得到一个面积更大的三角形ΔA′BC．
师：理由很充分，这样我们只需考虑
圆的内接三角形即可，现在大家猜猜看这
个三角形的形状如何？
生：等腰三角形．
生：直角三角形．
生：等边三角形．
师：好，一个个来，先看它为什么是直角三角形？
图1图2生：由三角形的面积公式S=12ab sin C，可知当∠C=π2时，三角形的面积最大．
生：反对！虽然这时sin C最大，但ab未必最大．
师：很好！局部最大不等于整体最大．
生：我认为应该是等腰三角形，大家来看我画的图（如图２），如果AB≠AC，作BC的垂直平分线交圆周于A′点，那么ΔA′BC的面积比ΔABC的面积大．
师：有道理，但还需要证明．
生：只需要证明高A′D′大于高AD就可以了，因为底都是BC．
师：看上去确实有A′D′＞AD，不过要有依据才可以．
生：A′D′=A′O+OD′=AO+OD′＞AD（点到直线垂线段最短）．
师：很好！有人认为它是等边三角形，那又是为什么呢？
生：把上面的AB边作为底，同理应该有AC=BC，所以，此三角形必须是等边三角形！
师：太好了！那就是说圆的内接等边三角形的面积最大了，有没有疑问？
学生在数学探究中，应养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也应学会与他人交流合作，建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神．
3合作探究，自主建构
学生对前面已经得到的结果进行思考、讨论．
师：提示：上述的过程说明了什么？
生：非等边三角形的面积不是最大的．
师：好，那么圆的内接等边三角形的面积一定最大吗？会不会没有面积最大的三角形呢？
生：应该要证明：圆的内接等边三角形是所有圆的内接三角形中面积最大的．
师：很好！那又如何证明呢？
学生分组讨论，合作探究．根据各组探究的情况，主要有下列三种处理方法（可以用板书展示或实物投影展示）．
生：老师，根据圆的内接等边三角形是所有圆的内接三角形中面积最大的．可以猜测：圆的内接正方形是所有圆的内接四边形中面积最大的；圆的内接正五边形是所有圆的内接五边形中面积最大的；圆的内接正六边形是所有圆的内接六边形中面积最大的；．．．．．．
师：很好，今天的作业就是证明：圆的内接正方形是所有圆的内接四边形中面积最大的．
通过教学实践，深深体会到教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者．教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料；组织和鼓励学生组成课题组合作地解决问题；一方面应该鼓励学生独立思考，帮助学生建立克服困难的毅力和勇气，另一方面应该指导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助；在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究．在鼓励学生创新的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力．
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