初等数学研究期末试题及答案A
2020年韶关学院《初等数学研究》期末考试题
《初等数学研究》结课考试试卷（A 卷）共五大题2019－2020学年第二学期
数学与统计学院《初等数学研究》结课考试试卷（A 卷）年级＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿班级＿学号＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿注：1、共120分钟，总分100分。
2、适用于17级数学与应用数学专业
题号
一二三四五总分签名得分
一
得分阅卷教师一、填空题：（每空2分，共18分）1.根据式和函数的分类办法，用无理、有理分、有理整、超越之一填空.cos 22+x -3是式，
112+-x x -5是式，6.sin2x+cosx 的最小正周期是
.二得分阅卷教师
二、判断题（正确的记√，错误的记×。
每小题2分,共18分）
1.（）(x-y)7(y-z)7(z-x)7是对称式.
2.（
）x 2y+y 2z+z 2x 不是轮换式.3.（）小数集与有理数集是有区别的.
装
订
线。
初等数学研究期末复习题：选择题与填空题1
初等数学研究期末复习题：选择题与填空题一．选择题1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )．A CB DA ．2B ．4C ． 6D ． 82．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．设A =22211148()34441004⨯++⋅⋅⋅+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．255．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b<<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．1826的结果是( )．A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数7．设4r ≥，111a r r =-+，b =c =，则下列各式一定成立的是( )．A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345x x x x x ++++的未位数字是( )．A ．1B ．3C ．5D ．79．已知1m =1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )．A ．5-B ．5C ．9-D ．910．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )．A ．h <1B ．h =1C ．1<h <2D ．h >211．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP =QO ，则QC QA 的值为( )． A ．231- B ．23 C ．32+ D ．32+12．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．313．方程333652x x x y y -+=-+的整数解(,)x y 的个数是( )．A ．0B ．1C ．3D ．无穷多14．已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°15．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若AB =6，BC =5，EF =3，则线段BE 的长为( )．A ．185B ．4C ．215D ．24516．已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y -+- 2007-的值为( )．A ．2008-B ．2008C ．1-D ．117．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．318．若,a b 是两个正数，且1110a b b a--++=，则( )． A ．103a b <+≤ B ．113a b <+≤ C ．413a b <+≤ D ．423a b <+≤ 19．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为( )．A ．－13B ．－9C ．6D ． 020．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝( )．A ．72B ．10C ．105D ．73二．填空题21．在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-（m >0）与x 轴交于A ，B 两点．若A ，BD CB A Q O PQ P C O A B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OBOA -=，则m 的值等于 ． 22．已知D ，E 分别是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BD =4，DC =1，AE =5，EC =2．连结AD 和BE ，它们相交于点P ．过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q ，R ，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 ．23．已知4021,,,x x x 都是正整数，且124058x x x ++⋅⋅⋅+=，若2221240x x x ++⋅⋅⋅+的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于 ．24．若实数x 、y 满足3333=13+43+6x y ＋，3333=15+45+6x y ＋，则x ＋y ＝__________． 25．已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为_________ ．26．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b =2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．27．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数2(3)3y x a x =+-+的图像与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ．28．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三 角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．29．若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．30．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且 1m n +≤．设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=_______.31．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，MAN ∠135=°，则四边形AMCN 的面积为 ．32．已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为AB =2，BC =CD =10，AD =6，过B 、D 两点作圆，与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BE BF -的值为 ．。
《初等代数研究》试卷(A)和试卷(B)
铜仁学院2008级数学本科班 《初等代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、已知实数y x ,满足1≤+≤22y x 4，则22y xy x u ++=的最大值是2、方程22)6(117236-=-+-x x x 的解是3、函数的值域是x x y -+=14、设=+=++141421,01xx x x 则5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,0116、方程 012sin 22=+-xx x π的所有实数根是7,的值域是则是实数已知2222,3,,y xy x z y xy x y x +-==++8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =9，若恒成立，则是正数，且y x a y x y x a +≤+,,的最小值为a10,若且R p ∈p x x p x p +>++<2222log 21log log ,2）不等式（恒成立，则实数x 的取值范围是二、解答题（每题10分，共70分 ）班级________________ 姓 名1，设,,+∈N b a 证明：2在a b 与ba b a ++2之间。
2，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg8lg 268)(lg 42解方程组3，已知.2,,=++∈+c b a R c b a 且（1） 求证：;964)2(≤-a a （2） 求S=的最大值。
333222c b a c b a ---++4考虑以下数列｛n a ｝,*∈N n(1) n a =1ln)3(;12)2(;12+=+=++n n a n a n n n n . 其中满足性质“对任意的正整数都成立122,++≤+n nn a a a n ”的数列有_____（写出所有满足条件的序号）；若数列｛n a ｝满足上述性质，且,11=a ,5820=a 求10a 的最小值5已知()()().111,,,,2≤≤≤-+=++=x f x b ax x g c bx ax x f c b a 时，当是实数，函数（1），证明：当1≤c（2），证明：当.2)(11≤≤≤-x g x 时，（3），当).(2)(11,0x f x g x a ，求的最大值为时，≤≤-> 、6，已知函数[]且同时满足，的定义域为,10)(x f ①，对任意[];2)(1,0≥∈x f x 总有 ②，;3)1(=f③，若2)()()(1.0,021212121-+=+≤+≥≥x f x f x x f x x x x ，则有且 （1），求的值；)0(f （2），试求的最大值；)(x f（3），设数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，满足,11=a n S +∈--=N n a n ),3(21。
《初等数学研究》期末试卷
数学与应用数学专业《 初等数学研究 》一、证明题（本题共3小题，每小题8分，共24分）1. 任何无限集A 必有一子集B 与自然数集N 一一对应。
2、证明：c ab c b c a ab +=++3、在100个连续自然数1,2,3……..99，100中任取51个数，证明在这51个数中，一定有两个数，其中一个是另一个的倍数。
二、计算题(本题共5小题，4、5每小题8分，6、7、8每小题10分，共46分)4、今天是周日，问20035天后是星期几？5、求221365n H H H n n n =++--的特解。
6、在楼房内两层楼梯中间设置一照明灯L，要求在两层的楼梯口各设置一开关x与y同时控制此灯。
具体地说，当上楼时拉开关x使灯L亮，上楼后再拉开关y使灯L灭。
此后又有人上（下）楼，再拉开关x（或y），灯L又亮，此人通过楼梯后，再拉开关y（或x），灯L又灭。
试问开关x与y应如何连接才能实现上述要求。
7、数学系在某次运动会上参加团体操，参加者4人一排，余下一人；5人一排，余下2人；7人一排，余下3人，则该系有多少人参加了团体操。
8、求线性非齐次差分方程组的通解，并求其在初值条件0010,9x y==下的特解。
11224,229.n n nn n nx x yy x y++++=⎧⎨+-=⎩三、解答题(本题共2小题，每小题15分，共30分)9、简述RMI 原则的基本思想，并利用该思想分析解决：在复数集内解方程0653856234=++-+x x x x10、（兔子-狐狸生态模型）如果没有狐狸，假设兔子每年增长10%，但是狐狸的出现使兔子减少，假设兔子减少的数量和狐狸数量成正比，比例系数为0.15。
另一方面，在没有兔子的情况下，假定狐狸数量每年减15%，但是兔子的出现使狐狸数量增长，假设狐狸增加的数量和兔子数量成正比，比例系数为0.1。
假设现有兔子数10个，狐狸数8个，问若干年后兔子与狐狸的数量如何？。
初等数学研究_习题集(含答案)
《初等数学研究》课程习题集一、单选题 1. 已知αβ、是方程22(2)(35)0x k x kk --+++=的两实数根，则221αβ++的最大值是（ ）..20.19.21.18A B C D2. 设()lg (101)2xxxb f x a x x a b -=+++4是偶函数，g ()=是奇函数，则的值为（ ）11..1.1..22A B C D --3. 设432()f x xa xb xc xd =++++，其中a b c d 、、、为常数，如果(1)1,f =[]1(2)2,(3)3,(4)(0)4f f f f ==+=则（ ）.5.3.7.11A B C D4. 若不等式2lo g 0m x x -<在区间（0，2）内恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1116m ≤< B.1016m <≤ C.104m <<D.116m ≥5. 已知()()(,),(7)7f x y f x y x y R f +=∈=且， 则(49)f 等于（ ）A.7B. 14C.49D. 16. 设33,(5)2003(5)1,(4)2003(4)1,x y xx y y -+-=--+-=为实数，满足则().x y +=A.1B. 9C. -1D. -97. 实数x y 、满足关系式[][]21yx x =+--和[]1y x =+，则x y +的值一定是（ ）1012.1516.910.A B C D .与之间与之间与之间一个整数8. 对每一个自然数n, 抛物线22()(21)1,n yn n x n x x A =+-++与轴交于n B 两点，||n n A B 以表示该两点的距离，则1122||||A B A B ++ 20022002||A B +等于（ ）2001200220032004.....2002200320042003A B C D9. 已知多项式2(),4(1)1,1(2)5,(3)f x a x c f f f =--≤≤--≤≤则满足（）3825.4(3)15.1(3)20.(3)33f B f C f D f ≤≤-≤≤-≤≤-≤≤A .7(3)2610. 若2222,260,2x y x x yx yx -+=++实数满足则的最大值为( ）A.15B. 14C. 17D. 1611.设2250,320,a x x b x x +=-+=是一元二次方程的较大的一根是的较小的一根那么a b +的值是（ ）A.-4B. -3C. 1D. 312. 2320x x -+=方程的最小一个根的负倒数是（）A.1B. 12C. 2D. 413. 在,A B C G ∠022直角中，A =90为重心，且G A =2, 则G B +G C =( )A ． 25 B. 10 C. 20 D. 1514. 圆锥的侧面展开图的圆心角等于0120，该圆锥的侧面积与表面积之比值为（ ）A.23B.45C.12D.3415. ∠∠0A B -A C 在A B C 中,C =90,A 的平分线A D 交B C 于D ,则C D等于（ ）.tan .sin .co s .co t .A AB AC AD A16. 在A B C 中，A B A C =，,,D B C B E A C E ⊥为中点且于交A D P 于，已知3B P =， 1P E =，则P A =（ ）A B C D ....17.已知梯形A中，//,,A B CA B C DA DBC BD A B C B D D C S S∠⊥=梯形平分且则，3A B C D .：1. 2.5：1.2：1. 1.5：118. 已知A D是直角三角形A B C斜边上的高，43A B A C ==，,:()A B CA C DS S=则，5A B C D .：3.25：9.4：3.16：919. 已知直角三角形的周长为2+斜边上的中线为1,则这个三角形的面积为（ ）14A B C D 1..1..220. 若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则他们的边长之比为（ ）11113A B C D ....二、填空题1 21. 集合2{1,2,31},{1,3},{3}A mm B AB =--=-=，实数m 的值是 _______22. 若函数2()1f x x a x =-+能取得负值，则实数a 的取值范围为23. 设x y z 、、为实数,1()2x y z =++，则23x y z=24. 函数sin ()yA x b =ω+ϕ+在同一周期内有最高点（,312π），最底点（7,512π-），则它的解析式为25. 若函数[]2(2)1,()2x f xf -+∞的定义域为，则的定义域为26. 在等差数列{}n a 中，已知前20项的和n S =170，则691116a a a a +++ =27. 已知：1ta n 11ta n +α=-α，则sin 2α的值=28. 设11(0),()f x f x x x ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭则29. 2,120nn S n =数列的前项和那么这个数列的前项中所有奇数项的和是30. 2006!的末尾的“0”的个数是 31. 已知：12()()3f x f x x x+-=+，则()___________f x =32. 不等式20a x a b x b ++>的解集是{23}M x =<<，则_____,______a b ==33. 以三角形的三条中线长为边作三角形，则它的面积与原三角形面积之比为34. P 是正方形ABCD 内一点，PA=2, PB=1, PD=3, 则A P B ∠的度数为 35. 1E F GA EB F A BC A E B F G S=，是的中线，与交于，若，则A B CS=36. 在A B C 中，5B C M I A B C =，与分别是的重心与内心，若//M I B C则A B A C +的值为37. 在A B C 中，90C ∠=，I IE A B E ⊥为内心，于，若2B C =，A C =3， 则A E E B ⋅=38. 设直角三角形的斜边为C, 其内切圆的半径为r, 则内切圆的面积与三角形面积之比是39. 若等腰梯形的两条对角线互相垂直, 高为8cm ，则上、下底之和为40. 凸n 边形的n 个内角与某一个外角的和为1350°，则n 等于三、计算题41. 121212{}1,2,,n n n n n n n a a a a a a a a a ++++===++已知数列中，且121,n n a a ++≠求20031.n n a =∑42. 求函数332s in 3s inc o s 3c o s s in 2c o s 2x x x xy x x+=+的最小值。
《初等数论》期末考试A卷（闭卷）
五、
六、显然 m 是公倍数 假设不是最小 则设最小公倍数是 p 且 m=kp k>1 设 p/a1=q1 p/a2=q2
…… pn/an=qn 则 m/a1=kq1 m/a2=kq2 ……
mn/an=kqn 这样则 m/a1,m/a2,……,m/an 不是互素，因为有大于 1 的公倍数 k 和已知条件矛盾 所以假设错误 所以 m 是最小公倍数
一、填空
《初等数论》期末考试 A 卷（闭卷）
1、8
2、完全
3、0,1,2,3,4,5,6
4、28
5、
6、28 7、33 个 8、x=2mn
y=m^2-n^2 z=m^2+n^2 二、
三、 (1) a=3k(k∈Z)时， a^2+a=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a+1)=3k(3k+1). 3|(a^2+a), ∴a^2+a≡0(mod3). (2) a=3k+1(k∈Z)时,
a^2+a+1=3(3k^2+3k+1). 3|(a^2+a+1), ∴a^2+a+1≡0(mod3). (3) a=3k+2(k∈Z)时,
初等数论期末试题及答案
初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。
解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。
解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。
我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。
对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。
所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。
而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。
20111 初等数论 期末试卷 参考答案 A(数学091)
莆 期末考试参考答案及评分标准 2011 —— 2012 学年第 一 学期 （A ）卷课程名称： 初等数论 适用年级/专业 数学091 试卷类别：开卷（ ）闭卷（√） 学历层次： 本科 考试用时： 120 分钟 一、填空题（每空2分，共20分） 1、 ① 9072 2、 ① 4 3、 ① 无 4、 ① -2，-1，0，1，2 5、 ① -1 6、 ① 星期三 7、 ① 若p 是素数，则(mod )p a a p ≡。
8、 ① (28,45,53) (注：答案不惟一！) 9、 ① 6 ② 2,5,6,7,8,11 二、计算题（每小题10分，共50分） 1、(10分)解：因为(6,14,32)2=，而2|80，所以原不定方程有整数解。
将原方程化简得371640x y z ++=。
设37x y t +=，显然，2,x t y t =-=是方程37x y t +=的一个解。
因此，其通解为27()3x t uu y t u=-+⎧⎨=-⎩为任意整数。
‥‥‥‥(5分) 把37x y t +=代入原三元一次不定方程得：1640t z +=，这个二元一次不定方程的通解为816()2t vv z v =+⎧⎨=-⎩为任意整数， 把=8+16t v 分别代入,x y ，可得原不定方程的通解为163278163(,)2x v u y v u u v z v =--+⎧⎪=+-⎨⎪=-⎩为任意整数 (注：答案形式上不唯一！) ‥‥‥‥(5分)2、(10分)解：由(2,243)1=及①式可得：28580(mod143)x y +-≡ ③由②，③得：171420(mod143)y -≡，解此一次同余式得42(mod143)y ≡，‥‥‥‥(5分)再由①式442290(mod143)x +⨯-≡，即4(mod143)x ≡。
所以此联立同余式的解是4(mod143)42(mod143)x y ≡⎧⎨≡⎩。
‥‥‥‥(5分)3、(10分)解：注意到原式与下面的同余式组等价：()0(mod5)()0(mod 7)f x f x ≡⎧⎨≡⎩容易验证()0(mod5)f x ≡有两个解：1,4(mod5)x ≡；()0(mod7)f x ≡有三个解：35,6(mod7)x ≡，。
初等数学研究期末考试题目答案
习题一5证明：当n=1时，的倍数。
是9181n 154n=-+ 假设当n=k 时的倍数。
是91k 154k-+则当n=k+1时的倍数。
是）（）（918k 451k 154411k 154k 1k +--+=-+++则对∀N n ∈，1n 154n -+是9的倍数. 6证明：当1n =时，141-=3-，n21n21-+=3-；则当1n =时成立。
假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k 21k21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241）（+-） =k 21k 21-+（21k 241）（+-）=）（）（1k 211k 21k 21k 23+-++=++- 当1k n +=时成立。
7解：（1）01x 3x 132=---==+，则，αββα （2）3311=-=---ββαα，131313A n2n n 2n nn 2n 2n 2n ββααβαβα+--+-=-=∴+++++131311n 11n nn ）（）（-+-+---+-=βββαααβα133131n 1n nn ++-+-=βαβα；n 1n A A 3+=+（3）当n=1时，1013A 333=-=βα的倍数。
是10 假设当n=k 时13A 3k3k 3k βα-=的倍数。
是10则当n=k+1时131313A 33k 33k 3k 33k 33k 31k 31k 31k 3）（）（）（）（）（βαβαβαββααβα-+-=⋅-⋅=-=+++k 333k3k 1013βαβα+-=则对∀N n ∈，n 3A 是10的倍数. 21 解：Z=72i 31）（++=+=++1)6isin 6(cos 17ππ)67isin 67(cos ππ+=i 21231--则|Z|=22263241)23-(12-=-=+；则.23arctan 2）（+-=πθ 22 解： |z|=1，，则令ααisin cos z +=∴1z z 2+-=)i sin -sin (2cos cos cos 22ααααα+-则u=222)21(cos 41cos 4cos 4|1z z |-=+-=+-ααα当3u ,1cos max =-=时α；当.0u ,21cos min ==时α 25解：由图像知20)-(-10)-3(-|OD |22=+=；则.312||||||max =+=+=AD OD Z .112||||||min =-=-=BD OD Z,24060180)(arg .30,21sin max =+=∴=∴=Z αα.180)(arg min =Z 习题二1解：设这个多项式为)1()(10-+=x a a x f )4)(2)(1(2)(1(32---+--+x x x a x x a ）.然后将已知点依次代入：;10,10)1(00-=∴=-=a a f ;9,1)2(110=∴+=-=a a a f ;14,63101)4(2210=∴++==a a a a f ;2,21812124218)5(33210=∴=+++==a a a a a f因此，)1(910)(-+-=x x f )4)(2)(1(22)(1(14---+--+x x x x x ）7523--=x x 即.32)3(=f2解：d x c x b x a x x f +-+-+-+-=-)2()2()2()2()2(234令2=x 得165=d ;令0=x 得;8624,165248169=+-+-+-=c b a c b a 即 令1=x 得.119=+-c b a 令3=x 得.269=++c b a 则165,180,75,14====d c b a即165)2(180)2(75)2(14)2()2(234+-+-+-+-=-x x x x x f =.5432234+-+-x x x x7解:(1)法一:原式为对称式,但显然原式没有一个因式,又由于原式为四次式,则设有一个二次对称式的因式=+++444)(y x y x ])([22nxy y x m ++])([22lxy y x k ++则;1;2====l k n m 444)(y x y x +++=222)(2xy y x ++ 法二:22222222444]2)[(2)()(xy y x y x y x y x y x +++-+=+++ =2222222222)(22)(4)(2xy y x y x y x xy y x ++=++++ (2) 2222222)1(122)()1(++++=++++x x x x x x x x2222)1()1()1(21++=++++=x x x x x x(3) 原式为对称式,当)(z y x +-=时原式为零,故z y x ++为原式的一个因式,又由于原式为三次式,则还有另一个二次对称式的因式.设=++++xyz y x x z z y ))()(((z y x ++))()([222yz xz xy n z y x m +++++]令120,1,1=+===n m z y x 得,令;131,1,1-=-=-=-=n m z y x 得 则).)((),,(.1,0yz xz xy z y x z y x f n m ++++=∴==(4)原式为轮换式,当y x =时原式为零,故))()((x z z y y x ---为原式的一个因式,又由于原式为四次式,则还有另一个一次对称式的因式.设=++++xyz y x x z z y ))()((k ))()((x z z y y x ---(z y x ++)令.2,1260,2,1-=∴-====k k z y x 得则=++++xyz y x x z z y ))()((-2))()((x z z y y x ---(z y x ++) 8解:（1）))((15x x 6x x 22234l nx x k mx x ++++=+-+- =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=++-=+15161kl nk m l l m n k n m ；设;5,3==l k 则.2,1-==n m则).52)(3(15x x 6x x 22234+-++=+-+-x x x x（2）=++++21x 29x 20x 7x 234))((22l nx x k mx x ++++ =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+2129207kl nk m l l m n k n m ；设;7,3==l k 则.5,2==n m则=++++21x 29x 20x 7x 234).75)(32(22++++x x x x9解：（1））5()3()152)(3(45x 21x x 2223+-=-+-=+--x x x x x （2）)6792)(1(6x 13x 2x 72x 23234-++-=+--+x x x x=)2)(12)(3)(1(+-+-x x x x（3）原式为轮换式,当y x -=时原式为零,故))()((x z z y y x +++为原式的一个因式,.设=-+++++xyz 4y)z(x z)y(x z)x(y 222))()((x z z y y x k +++ 令.10,1,1====k z y x 得则=-+++++xyz 4y)z(x z)y(x z)x(y 222))()((x z z y y x +++ （4）)2)(12]()6)(4[(4x -24)14x 24)(x 11x (x 222+++++=++++x x x x x=-24x 242)(12()2)(12)(6)(4(x x x x x x x x -+++++++）=)2410()2)(12)(6)(4(2+++++++x x x x x x x =)2415)(6)(4(2++++x x x x10解：（1）]6016)[(60164(x 3x -12)10)(x 6)(x 5)(x (x 4222x x x x +++++=++++）=-23x 222236016(4)60164(x x x x x x -+++++）=]6016(2][3)6016[2(x 22x x x x x -+++++） =）120312)(12035(2x 22++++x x x )426535(+-=x )8)(152)(426535(++--x x x （2）7x 44x 27x 2x 234+---))((22l nx x k mx x ++++= =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=++-=+744272kl nk m l l m n k n m ；设;1,7==l k 则.7,5-==n m则7x 44x 27x 2x 234+---)17)(75(22+-++=x x x x)2537)2537)(75(2--+-++=x x x x （ 16解;（1）5432534)2()2()2()2(2-x A 2)-(x 6x 2x x 2-+-+-+-+=-+-x Ex D x C x B 设 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.22,54,42,15,2=====E D C B A则.)2(22)2(54)2(42)2(152-x 22)-(x 6x 2x x 25432534-+-+-+-+=-+-x x x x（2）2222221)x (13-x A 1)x -3)(x -(x 16x 4x 5+-+++-++=++-x EDx x x c Bx 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.3,2,2,1,1-=-=-=-==E D C B A则.1)x (32123-x 11)x -3)(x -(x 16x 4x 5222222+---++---+=++-x x x x x 22 解:;471,71,3xx 222121=+=+∴=+-xx x x 则.18)11(x x (21212323=+-+=+--x x xx 即.52347218x3x x 2x 2223-23=++=++++-28. (1) =72cos7cos0cos ππ++)73-cos(73cos πππ++)7-cos()72-cos(ππππ++=1 (2) =）（ 1tg 1+）（ 2tg 1+）（ 3tg 1+)]145(tg 1[ -+ =）（1tg 1+）（2tg 1+）（3tg 1+)1tan 11tan 11(+-+ =2）（ 2tg 1+）（ 3tg 1+)43tan 1( +=222 (3) =++2)240cos 1(++2)280cos 1( ++2)2120cos 1( 2)2160cos 1( + =+++++++280cos 1)160cos 120cos 80cos 40(cos 24[412160cos 1 ++++2240cos 1 ]2320cos 1+=++++++280cos )160cos 120cos 80cos 40(cos 26[412160cos ++2240cos ]2320cos=]40cos 2120cos 80cos )20cos 2180cos 40(cos 412[81+--+--++=]25)20cos 80cos 40(cos 512[81--++=1619)20cos 20cos 2120cos 2(8516523=-+- 。
三套大学初等数论期末考试试卷
期末考试卷(A)一、填空题（每空3分，共45分）1. 若a ︱b ，b ＜a ，则b= ；a ︱b ，b ︱a ，则a= 。
2. (36，108，204)= ；[30，45，84]= 。
3. 300 000的质因数标准分解为 ，它的所有正约数的个数是 ，所有正约数的和是 。
4. 。
5. 四位数b a 27能同时被2，3，5整除，则a= ；b= 。
6. 用m ϕ（)表示数0,1,2,1m -中与数m 互质的数的个数，则ϕ（20)= ，ϕ（120)= 。
7. 循环小数0.01001001000100010001……的循环节的长度h= 。
8. 已知费马（Fermat ）数为2F 21nn =+，n N ∈，则前四个费马质数是 。
9. 设今天是星期一，则102天后是星期 。
二、从0、3、5、7四个数中任意选三个，排成能同时被2、3、5 整除的三位数，求这样的三位数，且确定有多少个这样的三位数。
（7分）三、（16分）1、求4063的个位数。
2、 求1001006！约分后的分母。
四．解方程（16分）。
＝0 ；2. 525x ＋231y=42。
五．证明题、（16分） 1. 求证：77733337|(333777) 。
2．设p为质数，a为整数，且a2≡b2(mod p)，证明：a≡b(mod p)或a≡-b(mod p)。
中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考讧数学专业初等数论试题2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．如果b，d，e，b，则( )．A．a＝b B．a＝-bC．a≥b D．a＝±b2．如果2|n, 15|n，则30( )n．A. 整除B．不整除c. 等于D．不一定3．大于10且小于30的素数有( )．A．4个B．5个C 6个D．7个4．模5的最小非负完全剩余系是( )．A．一2，一1，O，1，2 B．一5，一4，一3，一2，一1C．1，2，3，4，5 D．0，1，2，3，45．如果( )，则不定方程ax+by＝c 有解．A．(a，b)|c B．c|(a，b)C．a|c D．(a，b)|a6．整数637693能被( )整除．A．3 B．5C．7 D．9二、填空题(每题4分，共24分)1．x=[x]+ ·2．同余式111x≡75(mod321)有解，而且解的个数．3．在176与545之间有是17的倍数．4．如果ab>o，则[a,b](a,b)= ·5. a,b的最小公倍数是它们公倍数的·S．如果(a，b)＝1，那么(ab，a+b)= ．三、计算题(共32分)1．求(336，221，391)＝?2．求解不定方程4x+12y=8．3．解同余式12x+4≡0(mod 7)．4．解同余式x2≡2(mod 23)四、证明题(第1小题10分，第2小题10分，共20分)1．如果(a,b)＝1，则(a十b，a-b)＝l或2．2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．试卷代号：1077中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．B 2．D 3．B4．A 5．D 6．A二、填空题(每题4分，共24分)1．{x}2．33．124．ab5．因数6．1三、计算题(每题8分，共32分)1．求(336，221，391)＝?解：(336，221，391)＝(336，(22l，391))…………………………—…………………(4分)＝(336，17)＝l ，．，．．，，，．，．．．．．，．．．·(4分)2．求解不定方程4x+12y＝8．解：因为(4，12)＝4 | 8，所以有解……………………………………………………(2分)化简x+3y＝2，则有x＝-1,y＝l ……………………………………………(4分)通解为x＝-1十3t,y＝1一t ……………………………………………………(2分)3．解同余式12x十4≡O(mod7)．解：因为(12，7)＝1|4，所以有解，而且解的个数为1 …………………………(2分)变形12x一7y＝一4………………………………………………………………(2分)简单计算x≡2(mod7)．…………………………………………………………(4分)4．解同余式x2≡2(mod23)解：因为，所以有解，而且解的个数为2……………………(4分)解分别为x≡5，18(mod23)………………………………………………………(4分)四、证明题(第14、题lo分，第2小题lo分，共20分)1．如果(a，b)＝1，则(a+b，a-b)＝1或2．证明设(a十b，a一b)=d，则d|(a十b)，d|(a一b)…………………………………(3分)所以d|(a十b)十(a一b)，d|2a．同理d|2b…………………………………………(4分)再(a，b)＝1，所以d|2．即d＝1或2……………………………………—………(3分)2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．(10分)证明设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2)…………………………………………(2分)所以2n(2n十2)＝4n(n十1) …………………………………………………………<3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数………………………………………………(2分)即4n(n+1)是8的倍数．…………………………………………—……………(3分)初等数论一、判断题1、任意给出5个整数必有三个数之和能被整数3整除。
初等数学研究期末复习：解答题doc
初等数学研究期末复习题：解答题代数部分1．已知函数f (n )的定义域和值域都是N ，且(1)f (2)=2；(2)对m 、n ∈N ，有f (mn )=f (m )f (n )；(3)m >n ⇒f (m ) >f (n )．求证：对任意n ∈N ，有f (n )= n ．2．用跳跃归纳法证明：任一正方形可剖分成个数多于5个的正方形．3．对任意自然数n ，设sincosnnnρθθ=+，若1sin cos ρθθ=+是有理数，试证n ρ是有理数．4．证明：当n >2时，n 与n !之间至少存在一个质数．5．设a 、b ∈Z ，证明：在a ，b ，a +b ，a －b 中必有一个是3的倍数．6．已知,k n N∈，n a 表示12kkkn++⋅⋅⋅+的个位数字，求证：120.n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是有理数．7．证明：实数集是不可数集． 8．设α是无理数，求证：3(1)α+与3(1)α-不能同为有理数．9．设(1)n N n ∈>，求证：111s in 2n n k k nnπ--==∏．10．已知cos cos cos sin sin sin 0αβγαβγ++=++=，求证：co s 2co s 2co s 2sin 2sin 2sin 20αβγαβγ++=++=．11．圆内接六边形ABCDEF 的三条边AB ，CD ，EF ，都等于该圆的半径，求证：另三边BC ，DE ，F A 的中点P ，Q ，R 构成一个正三角形．12．设1z i +≤，求z和arg z 的最大值与最小值．13．已知,,a b c R∈且0a b c ++=，求证：555222333523abcabcab c ++++++=．14．分解因式：5555()x y z xyz++---．15．已知(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 都是多项式，且432()1F x xx xx =++++，5525()()()()()P x x Q x x R x F x S x ++=⋅，求证：1x-是(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 的一个公因式．16．确定正整数k 值，使432()22f x xx k xk x =--+-能分解成整系数因式．17．已知a b c b cc aa b++=---，求证：222()()()a bc b c c a a b ++=---．18．已知1xyz=，2xy z ++=，22216xyz++=，求111222x y zy z xz x y+++++的值．1920．已知1224lo g 18,lo g54ab ==，求证：5()1a b a b +-=．21．实数,x y 满足2220xy x +-=，求22xy-的值域．22．求下列函数的值域：(1)yx =-(2)y=23．求函数22331221x x yxx ++=++的值域．24．证明sin cos y x x=+的最小正周期是2π．25．证明2sin yx=不是周期函数．26．证明：函数sin y x=是超越函数．27．已知()(y f x x =∈R )的图像关于点0(,)a y 和直线()xb a b =≠都对称，求证：()f x 是周期函数．28．求函数229(,)()f m n m n n =-+⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．29．解方程：222916(3)xxx +=-．30．解方程：2660x x ---=．31(x a +=∈R )．32．解方程：3233110x x x --+=．33．解方程：3120x x --=．34．解方程：432420x x xx +---=．35．解方程：7654322513135210xxx x x x x +----++=．36．解方程组3355x yy x ==⎧⎨⎩．37．解方程组123x x y y y y z z z zx x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．. 38．解方程组222333333x y z x y z x y z ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．39．已知：22221,1(,,,,,2)a b kab c dkcd a b c d k R k +-=+-=∈<，求证：2a c b d -≤．40．已知01(1,2,,)i x i n ≤≤=⋅⋅⋅，121nSx x x =+++⋅⋅⋅+，求证：121212(1)(1)(1)1nn nx x x x x x S x S x S x ++⋅⋅⋅++--⋅⋅⋅-≤---．41．已知0(1,2,,)i x i n >=⋅⋅⋅，求证：12121212()nnx x x x x x nnn x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅．42．设,,0x y z ≥且1x y z ++=，求证：7227y z zx x y x y z ++-≤．43．解关于x 的不等式组：22(1)020x a x a x -++>-<⎧⎨⎩．441<+．45．解关于x 的不等式：2x a x ++<．46．已知数列{}n a 的前n 项和(1033)2n n n S -=，(1)求通项n a ；(2)求n S 的最大值．47．求和231234122222nn nnn S -+=+++⋅⋅⋅++．48．已知数列{}n a 中，设10a =，121n n n a a nn++=+，求通项公式n a ．49．已知数列{}n a 中，11a =，21a =，12n n n a a a --=+(3)n ≥，求通项公式na ．50．已知数列{}n a 中，11a =,27a =，且124461nn n a a a n --=-++，求通项公式n a ．几何部分1．已知：在⊿ABC 中，BE 平分∠ABC 而交AC 边于E ，CF 平分∠ACB 而交AB 边于F ，且BE =CF ．求证：AB =AC ．2．设E 是正方形ABCD 内一点，且∠ECD =∠EDC =15°．求证：⊿EAB 是正三角形． 3．AD 是⊙ABC 的直径，过点D 作圆的切线，交CB 的延长线于P ，连PO 并延长交AB 、AC 于M 、N ．求证：OM =ON ．4．设AB 是⊙O 的弦，M 是AB 的中点，过M 任作两弦CD 、EF ，记P 、Q 依次为AB 与CF 、ED 的交点．求证：PM =MQ ．5．在锐角⊿ABC 中，过各顶点作其外接圆的切线，A 、C 处的两切线分别交B 处的切线于M 、N ，BD ⊥AC 于D ．求证：BD 平分∠MDN ．6．已知：AD 是⊿ABC 的高，P 是AD 上任一点，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于E 、F ．求证：DA 平分∠EDF ．7．在⊿ABC 中，AB =AC ，D 是BC 上的一点，E 是AD 上的一点，且∠BED =2∠CED =∠A ．求证：BD =2CD ．8．在⊿ABC 中，若D 、E 在BC 上，且∠BAD =∠CAE ．求证：22B E A B E CB D CD CA ⋅=．9．已知：正⊿ABC 的边长为1，等腰DBC 的顶角∠BDC =120°，以D 为顶点任作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连MN ．求证：⊿AMN 的周长等于2．10．已知：R 、r 分别是⊿ABC 的外接圆和内切圆的半径，I 是内心，AI 的延长线交外接圆于D ．求证：2AI ID Rr ⋅=．11．菱形ABCD 的内切圆切各边于E 、F 、G 、H ，在弧EF 与弧GH 上分别作此圆的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ．求证：MQ //NP ．12．在⊿ABC 中，已知AB =AC ，AD 、BE 是高，且交于H ，E F ⊥BC 于F ，M 是AH 的中点，延长AD 到G ，使DG =EF ．求证：BM ⊥BG ．13．已知：⊿ABC 内接于⊙O ，L 、M 和N 分别为弧BC 、弧CA 和弧AB 的中点，连结NM 、LM 分别交AB 、BC 于D 、E ，I 是⊿ABC 的内心．求证：D 、I 、E 三点共线．14．由圆内接四边形各边中点向对边引垂线，证明这四垂线共点．15．证明：三角形三边的中点，三高之足，垂心与各顶点所连线段的中点，这九点共圆．16．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条内角平分线长分别为a b c t t t 、、，求证：()2a b c t t t a b c ++≤++．17．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ．求证：222222()()()abca b b c c a ++≥+-+-+-．18．在四边形ABCD 中，⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3︰4︰1，点M 、N 分别在线段AC 、CD 上，且B 、M 、N 三点共线，AM ︰AC =CN ︰CD ．求证：M 、N 分别是AC 、CD 的中点． 19．已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于其内一点，且OA =OC ，OD =3OB ，在AC 、CD 上各取一点M 、N ，使AM ︰AC =CN ︰CD =︰3．求证：B 、M 、N 三点共线．20．P 为⊿ABC 的BC 边上任一点，作PE //AB 交AC 于E ，PF //AC 交AB 于F ，设1A B CS =．求证：B P F C P E A F P E S S S 、、至少有一个不小于49．21．已知凸五边形ABCDE 中，每一顶点与其相邻的两顶点所成的三角形的面积都是1．求A B C D E S ．22．⊿PQR 与⊿P ′Q ′R ′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 是它们的公共部分，若记AB =a 1，BC =b 1，CD = a 2，DE = b 2，EF = a 3，F A = b 3．求证：222222123123a a ab b b ++=++．23．设I 是⊿ABC 的内心，AI 、BI 、CI 分别交对边于A ′、B ′、C ′，记12Aα=∠，12Bβ=∠，12Cγ=∠．求证：(1)1(1ta n ta n )2A I A A βγ=+'，1(1ta n ta n )2B I B B γα=+'，1(1ta n ta n )2C I C C αβ=+'；(2)18427A IB IC I A A B B C C ⋅⋅<≤'''⋅⋅．24．证明：任意四边形的面积不大于对边乘积之和的一半．25．设一直角∠MON ，试在OM 、ON 边上及角内各求一点A 、B 、C ，使得BC +CA =l (定长)，且四边形ACBO 的面积最大．26．已知点A 为平面上两半径不等的⊙O 1 和⊙O 2的一个交点，外公切线P 1P 2的切点P 1、P 2，另一条外公切线Q 1Q 2的切点Q 1、Q 2，M 1、M 2分别为P 1Q 1、P 2Q 2的中点．求证： ∠O 1A O 2=∠M 1A M 2．27．在等腰⊿ABC 中，顶角∠ACB =80°，过A 、B 引两直线在⊿ABC 内交于一点O ，若∠OAB =10°，∠ABO =20°．求证：∠ACO =60°．28．设E 、F 分别是⊿ABC 的AB 、AC 上的点，BE =CF ．求证：EF <BC ．29．设P 是平行四边形ABCD 内一点，使∠P AB =∠PCB ．求证：∠PBA =∠PDA ． 30．在⊿ABC 中，点D 是AB 的中点，E 、F 分别在边AC 、BC 上，证明：⊿DEF 的面积不大于⊿ADE 与⊿BDF 的面积之和．31．四边形ABCD 内接于圆，另一直径在AB 上的半圆与其他三边都相切．求证： A D B C A B +=．32．设P 是正⊿ABC 内任一点，且P A a =，P B b =，P C c =，试用a 、b 、c 表示⊿ABC 的面积．33．求证：三角形的外心、垂心、重心共线．34．三个全等的圆有一个公共点O ，且都在一个已知三角形内，每一个圆都与三角形的两边相切．求证：这个三角形的内心、外心与点O 共线．35．已知四边形ABCD 的任一组对角之和为θ．求证：222()()()2c o s A C B D A B C D A D B C A B B C C D A D θ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅．。
初等数学研究期末试题及答案A
初等数学研究期末试题及答案A延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸课程名称: 初等数学研究任课教师姓名: 左晓虹卷面总分: 100 分考试时长: 100 分钟考试类别:闭卷 ? 开卷 ? 其他 ? 注:答题内容请写在答题纸上，否则无效(一、单选题(4*10=40分),,,,,,1(设，是向量，命题“若，则”的逆否命题是 ( ) ||||ab,abab,,,,,,,,,,，则 (B)若，则 (A)若||||ab,||||ab,ab,,ab,,,,,,,,,,(C)若，则 (D)若，则 ||||ab,||||ab,ab,,ab,,x,,22(设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ( )2222(A) (B) (C) (D) yx,,4yx,4yx,,8yx,8fx()fxfx()(),,fxfx(2)()，,yfx,()3(设函数(R)满足，，则函数的图像x, 是 ( )xx,64((R)展开式中的常数项是 ( ) (42),x,,20,15(A) (B) (C)15 (D)205(某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( )2,(A) ,83,(B) 8,382,,(C)2,(D) 3[0,)，,6(函数在内 ( ) fxxx()cos,,(A)没有零点 (B)有且仅有一个零点第 1 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸 (C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点227(设集合， MyyxxxR,,,,{||cossin|,}1MN:}，为虚数单位，R，则为( ) ix,Nxx,,,{|||2i1](0(A)(0，1) (B)，1][01)[0(C)， (D)，xxx1238(右图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的x,6x,9p,8.5p12独立评分，为该题的最终得分，当，，x3时，等于( )(A)11 (B)10 (C)8 (D)7l9(设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点y(,),(,)xyxy(,)xyxn112233通过最小二乘法得到的线性回归方程(如右图)，以下结论中正确的是 ( )l(A)和的相关系数为直线的斜率 yx(B)和的相关系数在0到1之间 yxl(C)当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 nl(D)直线过点 (,)xy10(甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )1151(A) (B) (C) (D) 363696二、解答题(10*5=50分，选做5道题目即可), ，,ACD90AEBC,1(如右图，?B=?D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE的长度(第 2 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸1,,fx()(0,)，,f(1)0,gxfxfx()()(),，2( 设函数定义在上，，导函数，( fx(),xgx()(1)求的单调区间;1gx()(2)讨论与的大小关系; g()x3(植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米(开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值( 4(叙述并证明余弦定理(((1)作出相应图像，叙述“三垂线定理”及其逆定理的内容; 5(2)请至少列出与三角形相关的5个性质命题(6(就感兴趣的某节课，请设计出你认为最好的开课语及结束语( 三、证明题(10分)ABACD,,如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，EDE,ABCABC,BCAA11111ABAC,平面，求证:( BCC1一、选择题(4*10=40分)1(C 2( B 3( B 4( C 5( A6( B 7( C 8( C 9( D 10( D二、解答题(10*5=50分，选做5道题目即可),，,ACD90AEBC,1.如图，?B=?D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE(AEBC,解:因为，,，,ACD90，所以?AEB=又因为?B=?D，所以?AEB??ACD，……5分ACAD所以, ,AEABABAC,，64所以， AE,,,2AD122222BEABAE,,,,,6242在Rt?AEB中，(………………………5分第 3 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸1,,fx()(0,)，,f(1)0,gxfxfx()()(),，2. 设函数定义在上，，导函数，( fx(),xgx()(1)求的单调区间;1gx()(2)讨论与的大小关系; g()x1,fxxc()ln,，f(1)0,ln10，,cc,0解:(1)?，?(为常数)，又?，所以，即，cfx(),x1fxx()ln,?;， gxx()ln,，xx,1x,1,,gx()0,x,1?，令，即，解得，…………2分 ,0gx(),22xx,gx()0,gx()(0,1)gx()x,(0,1)当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间;,x,，,(1,)gx()0,gx()(1,)，,gx()当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间;…………3分111(2)，设， gxx()ln,,，hxgxgxx()()()2ln,,,,，xxx2(1)x,,则， hx(),,2x1h(1)0,x,1当时，，即， gxg()(),x,,x,，,(0,1)(1,):hx()0,h(1)0,当时，，，(0,)，,hx()因此函数在内单调递减，1hxh()(1),01,,x当时，=0，?; gxg()(),x1hxh()(1),x,1当时，=0，?( ………………5分 gxg()(),x3.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米(开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值为(解:(方法一)设树苗放在第个树坑旁边(如图)， i1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是siiiiiii,,，，,，，，,，，，,，，，,，(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10？？iiii(1)(20)(120)，,，， ,，，,,，,，10[(20)]iiii22第 4 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸2，…………………………8分 ,,，10(21210)iii,10所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米. 11s……………………2分(方法二)根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。
《初等数学》A卷
2011~ 2012学年第二学期《初等数学》 期末考试A 卷判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”1、空间三点确定一个平面 （ ）2、平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）3、两条相交直线确定一个平面 （ ）4、一条直线和一个点确定一个平面 （ ）5、两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）6、两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ）7、相等的角在直观图中仍然相等 （ ）8、 平行于同一直线的两条直线平行 （ ）9、垂直于同一直线的两条直线平行 （ ） 10、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 （ ） 二、选择题（每题2分，共20分）11、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、α⊂AB B 、α⊄ABC 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对12、充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成的图形是（ ）A B C D13、下列命题正确的是（ ）A 、经过三点确定一个平面B 、经过一条直线和一个点确定一个平面C 、四边形确定一个平面D 、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面14、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、415、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A 、棱台B 、棱锥C 、棱柱D 、都不对16、若直线l 的方程为y=-3x+5,则直线l 的斜率为（ ） A 3 B -3 C 5 D 35- 17.下列说法正确的是（ ）A 所有的直线都有倾斜角B 并不是所有的直线都有倾斜角C 所有的直线都有斜率D 直线的斜率都可以用αtan =k 表示18、一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是 ………（ B ）A 、（0º，90º）B 、[0º，90º]C 、[0º，180º]D 、[0º，180º]19、已知直线方程：1l ：2x-4y+7=0, 2l :x-2y+5=0,则1l 与2l 的关系（ ）A 平行B 重合C 相交D 以上答案都不对20、已知直线的斜率为3，则直线的倾斜角为（ ）A 、30o α=B 、45o α=C 、120o α=D 、60oα= 三、填空题（每题2分，共10分）21、已知c b a ,,是三条直线，且//a b ，a 与c 的夹角为θ，那么b 与c 的夹角为_________22、如果两条直线的斜率为1k 和2k ，那么着两条直线垂直的充要条件是＿＿＿＿＿23.已知直线的点斜式方程是21y x -=-，那么直线的斜率是_________24.已知直线的点斜式方程是21)y x +=+，那么直线的倾斜角是________25.经过点12(2,1),(0,3)P P -的一般式方程是__________________四、作图题（铅笔直尺作图．．．．．．）（8分） 26、用斜二测画法画边长是2cm 的正方体的直观图五、计算题（共34分）27、已知直线经过点)2,8(A ,斜率是21-，写出直线方程，并把它化成一般式。
初等数学研究试题A
海豚教育初等数学研究题（A ）数学王子 Gauss(1777-1855) 说： “数学是科学的王后，算术是数学的王后。
她经常放下架子为天文学和其余科学效力，可是在全部状况下第一位的是她应尽的责任。
”1. 计算x 1x ÷1x 1x=__________________.1xxxx2. 在△ ABC 中， AB=3， AC=4，高 AD=2.4，设能完整覆盖△ ABC 的圆的半径为 R ，则 R 的最小值是 ____________.3. 已知，实数 m 満足 2007 m m 2008 m , 则 m － 2007 2=______.4. 方程 x =mx+2有一负根而无正根，则实数m 的取值范围是 ________________.5. 方程 x 2－ (m+2)x+m 2+1=0 有实根 α 、 β ，则 α 2+β 2 的最大值是 ___________.6. 某校为方便学生正午在校就餐，与某快餐企业联系为学生供给价钱不等的6 种盒饭( 每人只限一份 ) ，右图是某一天销售状况统计图，条形框上的百分数是销售的该种盒饭占总销售量 的百分数。
若该天销售了 1500 份盒饭，加工各样盒饭的成本以下表所示。
每日快餐企业可盈余_________元。
单位3456 72(元 )成本2.4 33.84.2 4.51.8(元 )7. P 为△ ABC 内一点， AP 、BP 、CP 与对边订交，把△ABC 分红六个小三角形， 此中四个小三角形的面积 A已在图上注明，则△ ABC 的面积等于 __________。
8. 如图，大部分圆的弦 AB 与小半圆相切，且 AB ∥ CD ，F84 70EAB=4 。
则暗影部分的面积是 __________________ 。
P35xy 2x y 140CB9. 方 程 组xz 3x z 0的解是Dyz 3 y 2z3AB_________________.10. 如图， 有一条双向公路地道， 其横断面由抛物CO 1 OD线和矩形 ABCD 的三边 DA 、AB 、BC 围成，地道最大高度为米，如有一辆高为 4 米、宽为 2 米的集装箱的汽车要通过地道，为了使箱顶不遇到地道顶部，又不违犯交通规则 (汽车应靠道路右边行驶，不可以超出道路中线 )，汽车的右边一定走开地道右壁 ___________。
初等几何研究期末试题及答案
初等几何研究期末试题及答案第一题：已知四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，∠ABC = 90°，角ADC的度数为60°。
求四边形ABCD的面积。
解析：由题意可知，四边形ABCD为一个平行四边形，且∠ABC = 90°，∠ADC = 60°。
首先，我们可以使用正弦定理求得∠BAC的度数。
根据正弦定理可以得到：sin∠BAC/AB = sin∠ABC/ACsin∠BAC/6 = sin90°/ACsin∠BAC/6 = 1/ACAC = 6/sin∠BAC接下来，我们可以使用余弦定理求得AC的长度。
根据余弦定理可以得到：AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos∠ABCAC² = 6² + 8² - 2·6·8·cos90°AC² = 100AC = √100AC = 10再次，我们可以使用正弦定理求得AD的长度。
根据正弦定理可以得到：sin∠ADC/AC = sin∠CAD/ADsin60°/10 = sin∠CAD/AD√3/10 = sin∠CAD/ADAD = 10sin∠CAD/√3最后，我们可以计算四边形ABCD的面积。
四边形ABCD可以分成两个三角形，即△ABC和△ACD。
面积公式为：四边形ABCD的面积 = △ABC的面积 + △ACD的面积= (1/2)·AB·AC + (1/2)·AC·AD= (1/2)·6·10 + (1/2)·10·10sin∠CAD/√3= 30 + 50sin∠CAD/√3综上所述，四边形ABCD的面积为30 + 50sin∠CAD/√3。
第二题：已知直角三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5cm，AC = 12cm。
初等数学研究(一)
《初等数学研究》课程期末考试复习题（一）一、选择题，1.“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ）A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件. 2.函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 ( )A.y=1x e +-1(x>0)B. y=1x e -+1(x>0)C.y=1x e +-1(x ∈R)D.y=1x e -+1 (x ∈R)3.log 510＋log 50.25＝ （ ）A.0B.1C. 2D.44.设25a b m ==，且112a b+=，则m = （ ）5.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=A.14B.21C.28D.356.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ）A ．62 B. 92 C. 122 D. 1527若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABCA.一定是锐角三角形.B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 8为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 A.向左平移4π个长度单位 B.向右平移4π个长度单位 C.向左平移2π个长度单位 D.向右平移2π个长度单位9．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，若22a b -=，sin C B =，则A=A.030B.060C.0120D.015010.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,，若∠C=120°c =,则A.b a >B.b a <C.b a =D.b a 与的大小关系不能确定二、填空题1．已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= 。
Z(08)理科 初等数论学期末A答案
《初等数论》试卷答案及评分标准 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷一、 填空题（本大题共有3题，每题3分，9分。
） 1、a ≡b(mod m)的充要条件是 m|(a-b).2、算数基本定理的内容是：每个大于1的正整数a 均可分解成有限个素数之积, 并且若不计素因数的次序, 其分解是唯一的.3、()()22100110111-=()211110二、 判断题（本大题共3题，每小题2分，共6分。
） 1、若 a 是b 的真因数, 则 1＜|a|＜|b|.（ √） 2、 a 不能被p 整除当且仅当: (p,a)=1（× ）3、设a 和b1,b2,…,bn 都是正整数, n ≣2. 若(a,b1)=(a,b2)=…=(a,bn)=1, 则(a,b1b2…bn)=1.（√） ）三、 选择题（本大题共3题，每小题3分，共9分）1、 1、 整数 a=bq+r 0<r<b其中q 和r 都是正整数, 则以下四个结论正确的是（ ①②③④） ①a 和b 的任一公因数也是b 和r 的公因数； ②b 和r 的任一公因数也是a 和b 的公因数； ③(a,b)=(b,r);④若(a,b)=d, 则 (a|d, b|d)=1. 3、、a ≡b(mod m)的充要条件是 AA m|(a-b)B (a,b) =1C (a,m)=1 D(b,m)=1 5、正确命题是（ ABCD ）A 、设m ＞2, 且(a,m)=1,则:)(mod 11)(m a m ≡-ϕB 若p 是素数, 则: )(mod 11m a p ≡-C 、素数有无穷多个D 、若a 和b 是正整数, 且(a,b)=1, 则(a,bc)=(a,c) 四：计算题(本大题共3题，每小题6分，共18分) 1、 对任意正整数n ，求：（12n+7，14n+8）解：∵14n+8＝12n+7＋2n+112n+7=6(2n+1)+1（3分）∴（12n+7，14n+8）＝（2n+1，12n+7）＝（1,2n+1） ＝1（3分）2、计算：m 取何值时，下列各式成立：（1） 32≡11 （modm ） （2） 480≡26 （modm ） 解：（1）∵32-11≡0 （modm ），而32-11=21=3×7，∴m ＝3，或7，或21（2）∵480-26≡0（modm ），而480-26=454=2×227，∴m ＝2，或227或454 3、求：（1）（36,108,204） （2）〔36,108,51〕 解：（1）（36,108,204）＝4×（9,27,51）＝4×3×（3,9,17）＝12×（（3,9），17）＝12×（3×（1,3），17）＝12×（3,17）＝12 （2）〔36,108,51〕＝12×〔3,9,17〕＝12〔〔3,9〕，17〕＝12×〔9,17〕＝12×3×3×17＝612五、 策略题(本大题共3题，每小题6分，共18分)1、判断下列一次同余方程是否有解。
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课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分）1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ）4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）（A ）283π-（B ）83π- （C ）82π-（D ）23π6．函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 （ ）（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||2N x x i=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则MN 为（ ）（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1]8．右图中，1x ，2x ，3x为某次考试三个评阅人对同一道题的 独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时， 3x 等于（ ）（A ）11 （B ）10 （C ）8 （D ）79．设1122(,),(,)x y x y ，…，33(,)x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如右图），以下结论中正确的是 （ ）（A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （B ）x 和y 的相关系数在0到1之间（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 （D ）直线l 过点(,)x y10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）（A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16二、解答题（10*5=50分，选做5道题目即可） 1．如右图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠=， 且AB=6，AC=4，AD=12，求BE 的长度．2． 设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()g x 与1()g x的大小关系；3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值． 4．叙述并证明余弦定理． 5．（1）作出相应图像，叙述“三垂线定理”及其逆定理的内容； （2）请至少列出与三角形相关的5个性质命题．6．就感兴趣的某节课，请设计出你认为最好的开课语及结束语． 三、证明题（10分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ，求证：AB AC =．一、选择题（4*10=40分）1．C 2． B 3． B 4． C 5． A 6． B 7． C 8． C 9． D 10． D二、解答题（10*5=50分，选做5道题目即可）1.如图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE ． 解：因为AE BC ⊥，所以∠AEB=90ACD ∠=，又因为∠B=∠D ，所以△AEB ∽△ACD ，……5分所以AC ADAE AB=, 所以64212AB AC AE AD ⋅⨯===， 在Rt △AEB 中，22226242BE AB AE =-=-=．………………………5分2. 设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()g x 与1()g x的大小关系；解：（1）∵1()f x x'=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =， ∴()ln f x x =；1()ln g x x x=+，∴21()x g x x -'=，令()0g x '=，即210x x-=，解得1x =，…………2分当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，故区间在(0,1)是函数()g x 的减区间；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 是增函数，故区间在(1,)+∞是函数()g x 的增区间；…………3分（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x=-=-+， 则22(1)()x h x x -'=-，当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，(1)0h '=，因此函数()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)h x h >=0，∴1()()g x g x>；当1x >时，()(1)h x h <=0，∴1()()g x g x<． ………………5分3.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值为．解：（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯++-⨯(1)(20)(120)10[(20)]22i i i i i i i i +-++=⨯⨯--⨯-+210(21210)i i =-+，…………………………8分所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.……………………2分（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。
树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002+⨯+++⨯=⨯⨯=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯9(19)10(110)1021029001100200022⨯+⨯+=⨯⨯+⨯⨯=+=，所以路程总和最小为2000米.…………………………………………………………10分4. 叙述并证明余弦定理．解： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。
或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.……………………5分证明：（证法一） 如图，2c BC = ()()AC AB AC AB =-•-222AC AC AB AB =-•+222cos AC AC AB A AB =-•+222cos b bc A c =-+即 2222cos a b c bc A =+- 同理可证 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-…………………………5分（证法二）已知ABC ∆中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-，即 2222cos a b c bc A =+- 同理可证 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-……………………………………5分5. （1）“三垂线定理”复述正确…………3分“三垂线逆定理”复述正确…………2分 （2）5个命题每题1分。
6. 开课语5分：其中正确性……3分；艺术性……2分。
结束语5分：其中正确性……3分；艺术性……2分。
三、证明题（10分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ，证明：AB AC = 证明：方法1：连结BE ，111ABC A B C -为直三棱柱，190,B BC ∴∠=︒E 为1B C 的中点，BE EC ∴=。
…………5分又DE ⊥平面1BCC ，BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ， AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）。
…………5分方法2：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，………………5分进而证AF ∥DE ，AF BC ⊥，得AB AC =也可。
……………………5分方法3：利用空间向量的方法。
具体解法略。