运筹学第二章-线性规划
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
运筹学第二章线性规划
第二章线性规划教学目的和要求：目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。
要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了解图解法。
重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。
难点：线性规划基本定理，单纯形法。
教学方法：讲授法，习题法。
学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38.线性规划是运筹学的一个重要分支。
1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。
1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。
此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。
第一节线性规划问题一、问题的提出在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。
例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。
A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。
问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800，X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)；以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦6504X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700X j ≧0 (j=1,2,3)例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念
03 线性规划的求解方法
单纯形法
1
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法， 其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
2
单纯形法的基本步骤包括：建立初始单纯形表格、 确定主元、进行基变换、更新单纯形表格和判断 是否达到最优解。
3
单纯形法在处理大规模线性规划问题时，由于其 迭代次数与问题规模呈指数关系，因此计算量较 大。
06 线性规划的案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划应用场景，通过合理安排生产计划，企业可以优化资源利用，降低成本并提 高利润。
详细描述
生产计划问题通常涉及确定不同产品组合、生产数量、生产批次等，以满足市场需求、资源限制和利润目标。线 性规划模型可以帮助企业找到最优的生产计划，使得总成本最低或总利润最大。
最优性条件由单纯形法推导得出，是判断线性规划问题是否达到最优解的 重要依据。
解的稳定性
解的稳定性是指最优解在参数变化时保持相对稳定的能力。
在实际应用中，由于数据的不确定性或误差，参数可能会发生变化。因此，解的稳 定性对于线性规划问题的实际应用非常重要。
解的稳定性取决于目标函数和约束条件的性质，以及求解算法的鲁棒性。在某些情 况下，可以通过敏感性分析来评估解对参数变化的敏感性。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
目标函数是需要最大或最小化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是问题中给定的限制条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
(运筹学第二章)线性规划的对偶理论
第二章线性规划的对偶理论1．对偶问题的提出2．原问题与对偶问题3．对偶问题的基本性质4．影子价格5对偶单纯形法5．对偶单纯形法6．灵敏度分析7．参数线性规划1§1．对偶问题的提出原问题设某企业有m种资源用于生产n种不同产品，各种（i=1m）又生产单位第j种资源的拥有量分别为b i （i=1，…，m），又生产单位第j种产品（j=1，…，n）消费第i种资源a ij 单位，产值为c j 元。
用x 代表第j种产品的生产数量，为使该企业产值最大，可将上述问题建立线性规划模型j 将上述问题建立线性规划模型：max z =c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n ≤b 1a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n ≤b 2………………2a m 1x 1+a m 2x 2+…+a m n x n ≤b m x 1，x 2，…，x n ≥0§1．对偶问题的提出现在从另一角度提出问题：假定有另一企业欲将上述企业拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使前一拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使前企业愿意放弃生产活动，出让资源。
设用y i 代表收买该企业一单位i种资源时付给的代价，则总收买价为：ωb ω = b1y 1＋…＋b m y m 前一企业生产一单位第j种产品时，消耗各种资源的数量分别为a 1j ，a 2j ，…，a mj ，如果出让这些资源，价值应不低于单位j种产品的价值c j 元，因此：a 1 j y 1+ a 2 j y 2 + …+ a m j y m ≥ c j 3j j j j （j =1，…，n）§1．对偶问题的提出对后一企业来说，希望用最小代价把前一企业所有资源收过来此有有资源收买过来，因此有：min ω=b1y 1＋b 2y 2＋…＋b m y m a11y 1+a 21y 2+…+a m 1y m ≥c 1a 12y 1+a 22y 2+…+a m 2y m ≥c 2………………a 1n y 1+a 2n y 2+…+a mn y m ≥c ny 1，y 2，…，y m ≥04§1对偶问题的提出§1．对偶问题的提出max z = c 1x 1+ c 2x 2+ … + c n x na x +a x ++a xb a 1 1x 1+ a 1 2x 2 + … + a 1 n x n ≤b 1a 2 1x 1+ a 2 2x 2 + … + a 2 n x n ≤b 2………………a m 1x 1+ a m 2x 2 + … + a m n x n ≤b mmin ω = b 1y 1＋b 2y 2＋…＋b m y mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥0a 1 1y 1+ a 21 y 2 + … + a m 1y m ≥c 1a 1 2y 1+ a 22y 2 + … + a m 2y m ≥c 2………………a 1n y + a 2n y 2+ … + a y ≥c 51 n 12 n 2 mn m ny 1，y 2，… ，y m ≥0§2．原问题与对偶问题后一个线性规划问题是前一个问题从不同角度作的阐述如前者称为线性规划问的话的阐述。
运筹学基础及应用第2章-线性规划的对偶问题(胡运权版)教程文件
2 x 1 2 x 2 12
s
.t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
反过来问：若厂长决定不生 产甲和乙型产品，决定出租 机器用于接受外加工，只收 加工费，那么４种机器的机 时如何定价才是最佳决策？
1.对偶问题的提出
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
对偶问题的基本性质minmax的某个约束条件的右端项常数bi第i种资源的拥有量增加一个单位时所引起目标函数最优值z的改变量称为第i种资源的影子价格其值等于d问题中对偶变量y影子价格的经济意义1影子价格是一种边际价格在其它条件不变的情况下单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化
运筹学基础及应用
Operations Research
1 . min Z 2 x 1 2 x 2 4 x 3
2x1 3x 2 5x 3 2
3
x
1
x 2 7x 3 3
x1 4x 2 6x 3 5
x 1 , x 2 , x 3 0
2 . min Z 3 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4
x1 2x 2 3x 3 4x 4 3
4
0
0
4
16
12
2
3
minω
max z
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划（ LP ） 必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都 有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为“P”，另一个 称为“对偶问题”，记为“D”。
2.原问题与对偶问题
2. 原问题与对偶问题的对应关系
运筹学—线性规划第2章
1 1
1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本 可行解，B1为基可行基。
•当 由0连续变动到1时，点z由y沿此直线连续的变动到x，且 因z-y平行x-y，则有：z y (x y) 于是有：
z x (1 ) y
•这说明当 0 1 时，x (1 ) y表示以x.y为端点的直线段
上的所有点，因而它代表以 x.y为端点的直线段。 一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则有如下定义：
• 定义14：设R是Rn中的一个点集，（即R Rn），对于任意 两点x R, y R 以及满足0 1 的实数 ,恒有
x (1 )y R
则称R为凸集。
• 根据以上定义12及13可以看到，凸集的几何意义是：连接凸 集中任意两点的直线段仍在此集合内。
其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1, x2 表示则为图上点（3，1）。由图可见这不是可行域的 顶点。而我们将证明基本可行解是可行域的顶点。而 在例4中p1,p3线性无关，所以B=(p1,p3)是一个基矩阵， 对应的基本解为（4，0，0，0）T。用坐标x1, x2表示则 为平面上的点（4，0），是上图可行域的顶点。
运筹学线性规划
其次线性规划模型必须满足如下两个要求： ① 目标函数必须是决策变量的线性函数； ② 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式。
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量
建立约束条件 建立目标函数
整理课件
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
max(或min)z CX
n
s.t. j1
Pj x j
(或 ，或)b
X 0
其中
x1
a1j b1
Xx2,Cc1 c2 cn,Pj a2j,bb2
xn
amj bm
整理课件
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max(或min)z CX
AX (或，或)b s.t.X 0
其中 X, C, b 同上，而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
养分
饲料
A
B
C
M
0.5
0.2
0.3
D
价格
0
300
N
0.1
0.3
0.4
0.2
200
每头日需 10
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2
Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10
0.2x1 +0.3x2 ≥5
s.t.
0.3x1 +0.4x2 ≥8
0.2x2 ≥7
x1 , x2≥0 整理课件
x1 2 x2 5
s.t.
2
4
x1 x1
x2 4 3x2 9
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量
建立约束条件 建立目标函数
整理课件
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
max(或min)z CX
n
s.t. j1
Pj x j
(或 ，或)b
X 0
其中
x1
a1j b1
Xx2,Cc1 c2 cn,Pj a2j,bb2
xn
amj bm
整理课件
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max(或min)z CX
AX (或，或)b s.t.X 0
其中 X, C, b 同上，而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
养分
饲料
A
B
C
M
0.5
0.2
0.3
D
价格
0
300
N
0.1
0.3
0.4
0.2
200
每头日需 10
5
8
7
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2
Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10
0.2x1 +0.3x2 ≥5
s.t.
0.3x1 +0.4x2 ≥8
0.2x2 ≥7
x1 , x2≥0 整理课件
x1 2 x2 5
s.t.
2
4
x1 x1
x2 4 3x2 9
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
运筹学第2章线性规划的对偶问题
第2章 线性规划的对偶理论 与灵敏度分析
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规 划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规 划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题 （Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有 优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在 生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示 出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使 线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问 题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规 划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规 划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题 （Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有 优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在 生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示 出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使 线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问 题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
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) B
X 0
其中： C (c1 c2 cn )
B型 驳船 —
4 4 4
货运成本 （千元／队）
36 36 72 27
货运量 （千吨）
25 20 40 20
船只种类 拖轮 A型驳船 B型驳船
船只数
30 34 52
航线号
1 2
合同货运量
200 400
问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？
2019/8/22
7
线性规划问题的数学模型
3.约束条件：
2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
2019/8/22
5
2019/8/22
线性规划问题的数学模型
例1.4 某厂生产三种药物， 解：
这些药物可以从四种不同的 原料中提取。下表给出了单 位原料可提取的药物量
1.决策变量：设四种原料的使用
9
2019/8/22
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值（max 或 min）来表示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示；
(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
＝200
40x3+20x4 ＝400 xj ≥ 0 （ j = 1,2,3,4）
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2019/8/22
线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
10
2019/8/22
线性规划问题的数学模型
4. 建模步骤 (1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般 情况下，题目问什么就设什么为决策变量； (2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束； (3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。
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2019/8/22
x1 0 xn 0
n
简写为： max(min) Z c j x j j1
n
aij x j ( ) bi (i 1 2m)
j1
xj 0
(j 1 2n)
12
线性规划问题的数学模型
向量形式： max (min)z CX
pj xj
(
解：
1.决策变量：设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
项目
Ⅰ Ⅱ 每天可用能力
2.目标函数：设总利润为z，则有：
设备 A（h） 0
5
15
设备 B（h） 6
2
24
调试工序（h） 1
1
5
利润（元） 2
1
问：应如何安排生产计划，才
max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
量分别为：x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数：设总成本为z
min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
要求：生产A种药物至少160 单位；B种药物恰好200单位， C种药物不超过180单位，且 使原料总成本最小。
线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
2
2019/8/22
线性规划问题的数学模型
2x1
+4 x3 +2 x4 ＝200
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
6
线性规划问题的数学模型
例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号
船队 类型
1 1
2
3 2
4
拖轮
1 1 2 1
编队形式 A型 驳船 2 — 2 —
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮 所围成的容积最大？
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0 x a 6
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2019/8/22
线性规划问题的数学模型
例1.2 某厂生产两种产品， 下表给出了单位产品所需资 源及单位产品利润
能使总利润最大？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1， x2≥0
4
线性规划问题的数学模型
例1.3 已知资料如下表所示， 问如何安排生产才能使利润 最大？
设备
产品
AB C
Ⅰ
214
利润
D （元）
02
Ⅱ
220 4 3
有 效 台 时 12 8 16 12
解：
1.决策变量：设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则 有： max z = 2 x1 + 3x2
CHAPTER2 线性规划及单纯2形019/8/2法2
(LINEAR PROGRAMMING)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
1
2019/8/22
线性规划问题的数学模型
1. 规划问题
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
解： 设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4），
z 为总货运成本 则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
2019/8/22
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30
2x1
+ 2x3
≤ 34
4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52
25x1+20x2
线性规划问题的数学模型
5. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件：
am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm