昆明市2018届高三摸底调研测试(理数答案)

综上，不等式的解集为[3, 2] ．…………………………………………………5 分
（2） f (x) x a x 2 (x a) (x 2) a 2 ，
a
a
a
（当且仅当 (x a)(x 2) 0 ，即 2 x a(a 0) 或 a x 2 (a 0) ，取“ ”，此
理科数学参考答案及评分标准·第 4 页（共 4 页）
t t
cos , sin ,
(
t
为参数）．
曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2y ．……………………………………………5 分
（2）将直线 l 的参数表达式代入曲线 C 得： t2 (4cos)t 3 0 ，
由 (4cos)2 4 3 0 cos2 3 ， 4
2 x 1,
2x 1, x 2,
①当 x 1时，由 2x 1 5 得 x 2 ，故1 x 2 ；
②当 2 x 1时，由 3 5 得 x R ，故 2 x 1；
③当 x 2 时，由 2x 1 5 得 x 3 ，故 3 x 2 ，
（2）取 AD 的中点为 O ，连接 PO ，
因为 PA PD ，所以 PO AD ，则 PO 平面 ABCD ，
以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz ，如图，
E
由 AD 2 得 PA PD 2 ， OP 1 ，
B
设 CD a ，则 P(0,0,1) ， D(0,1,0) ，
a
a
a
步对考生不作要求）
所以， g(a) a 2 ， a
因为 a 2 = a + 2 2 a 2 =2 2 ，
a
a
a
当且仅当 a = 2 ，即 a 2 时，取“ ”， a
所以， gmin (a) g( 2) 2 2 ．………………………………………………10 分
利用分层抽样抽取 6 份，则位于区间1000,1200 的有 4 份，位于区间1200,1400 的有 2 份，
设事件 A 表示“获赠小礼品的 3 位买家中，至少 1 位买家购物金额位于区间1200,1400 ”，
则
P A
1
C43 C63

4 5
.
…………………………………………………………6 分
（2） a (0, 2) ， x0 R ，使 f (x0 ) 0 ，
即 ex ln(2x a) b 0 ，即 b ex ln(2x a) . ………………………………………5 分
而对 x 0 ， 0 a 2 ， ex ln（2x） ex ln(2x a) ，
只需 x0 R ，使 b ex ln x ln 2 成立.
……………………………7 分
令 g(x) ex ln x ln 2 ，所以 g(x) ex 1 ， x
而 g(x) 在 (0, ) 上单调递增， g(1) e 2 0 ， g(1) e1 0 ， 2
………………………………………5 分
（2）设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， l : x my 2 ，
x my 2，
由

x
2
5

y2
得 (m2 1，
5) y2
4my
1
0
，
则
y1

y2

4m m2
5
，
y1 y2


1 m2
5
，………………………………………7
19．解（1）由 DE 平面 PAC ，得 DE PA， 又平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD=AD ， CD AD ，
所以 CD 平面 PAD ，所以 CD PA ，
又因 CD DE=D ，
所以 PA 平面 PCD ．
…………………………5 分
由等面积法可得， DE CD PD 3 ．………………………………………12 分 PC 3
20．解（1）设
M
(x,
y)
，由
a x
x y 1 0 5a y 5a
0
消去 a 得曲线 C 的方程为 x2 y2 1 ． 5
（ y 1 ，即点 (0, 1) 不在曲线 C 上，此对考生不作要求）
C(a,1,0) ， B(2a, 1,0) ，
x
z P
A O
则 BC (a, 2,0) ， PC (a,1, 1) ，……………7 分
C
D
设 m (x, y, z) 为平面 PBC 的一个法向量，
y
由
m m

BC PC

0, 0,
得
ax 2y 0, ax y z 0,
分
△ABD 的面积 S 2 y2 y1 2 ( y2 y1)2 4y2 y1 ，
2
16m2
4
4 5 m2 1 ，……………………………………9 分
(m2 5)2 m2 5
m2 5
设t
m2
1
,
t
[1, ) ，则
S

4 t2
5t 4

4 t
t1 t2 4cos t1 t2 ，
由题意知， (t1 t2 )2 t1 t2 (t1 t2 )2 5t1 t2 ，得 (4cos)2 5 3 ，
解得 cos2 15 ，满足 cos2 3 ， 所以 sin2 1 ， tan2 1 ，
所以 AB 84 2 21 ．………………………………………………………6 分 （2）在 △ACD 中，因为 ACB 150，ADC 45 ，所以 CAD 105 ，
由正弦定理得 CD AC ，所以 CD 3 3 ，………………10 分 sin CAD sin ADC
则存在唯一的 m (1 ,1) ，使 g(m) 0 ，即 em 1 0 .
2
m
所以 g(x) 在 (0, m) 上单调递减，在 (m, ) 上单调递增，
所以
g ( x)min

g(m)

em
ln m
ln 2

1 m
ln em
ln 2

m
1 m
ln 2 .
取
m

(2,
a, 3a)
，
由（1）知 n DC (a,0,0) 为平面 PAD 的一个法向量，………10 分
由 cosm, n m n
2a
2 ，解得 a 10 ，即 CD 10 ，
| m || n | a 10a2 4 2
5
5
所以在 Rt△PCD 中， PC 2 15 ， 5
所以 b m 1 ln 2 . m
而 m (1 ,1) ，则1 2 ln 2 m 1 ln 2 5 ln 2 2 ，
2
m
2
所以 b 的最小整数值为 2 .
………………………………………12 分
22．解：（1）直线
l
的参数方程为
x 2

y
1

（2）由直方图知，各组的频率依次为 0.1， 0.2 ， 0.25 ， 0.3 ， 0.1， 0.05 ，
方案一：商家最高优惠的平均值为：
(300 0.1 500 0.2 700 0.25 900 0.3 1100 0.11300 0.05) 0.2 150 （元）；
SABC

1 62 2
3 sin ACB 3
3 ，所以 sin ACB 1 ， 2
ACB 30 或150 ，
又 ADC 45 ，所以 ACB 150 ， ………………………………………4 分
由余弦定理得 AB2 12 36 2 2 3 6cos150 84 ，
方案二：商家最高优惠的平均值为：
40 0.1 80 0.2 150 0.25 190 0.3 300 0.1 340 0.05 161.5 （元）， 由于150 161.5 ，所以方案二的优惠力度更大. ………………………………12 分
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5 4

5，
t
当 t 2 ，即 m 3 时， △ABD 面积取得最大值 5 .……………………12 分
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21．解：（1） f (x) 的定义域为 ( a , ) ， 2
因为点 0, f (0) 在切线 x y 1 0 上，
16
4
16
15
所以 k tan 15 ．…………………………………………………………10 分 15
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23. 解（1）当 a 1时， f (x) x 1 x 2 ，
2x 1, x 1,
故 f (x) 3 ,
所以
SACD

1 2
AC
CD sin ACD

1 2
(3
3) 2 3 1 3 ( 3 1) ．…12 分 22
18．解：（1）在这 100 份订单中，购物金额位于区间 1000,1200 的有 10 份，
位于区间 1200,1400 的有 5 份，则购物金额位于区间1000,1400 的订单共有 15 份，