混沌学的历史和现状_邓宗琦
混沌发展历程研究现状及目的意义
混沌发展历程研究现状及目的意义1混沌的发展史 (1)2混沌同步发展史及研究现状 (2)2.1 混沌同步在超宽带无线通信中的应用 (3)2.2 混沌同步在数字水印中的应用 (3)3混沌保密通信研究现状与发展趋势 (4)4研究目的和意义 (5)1混沌的发展史混沌的发现从现代科学意义上讲可追溯到19世纪末20世纪初庞加莱在研究限制三体问题时遇到了混沌问题，发现三体引力互相作用能产生惊人的复杂性，他是世界上第一个了解混沌存在的人。
典型的Duffing动力学方程和VDP动力学方程奠定了混沌动力学基础。
1954年到1963年间，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)和他的学生阿诺多(Amold)以及瑞士数学家莫西(Moser)提出了著名的KAM定理。
1963年，洛伦兹(Lorenz)给出了三个变量的洛仑兹方程。
这都为混沌运动奠定了基础。
1964年，法国天文学家M.Henon等人从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，得到了一个二维不可积哈密顿系统中的确定性随机行为，发现了Henon映射。
混沌一词的应用是从美国数学家约克(J.A.Y okr)和李天岩(T.Y.Li)题为“周期3意味着混沌”的文章中引用得来的。
1976年，美国生态学家梅(May)在文章《具有极复杂的动力学的简单数学模型》中，研究了一维平方映射，指出逻辑(Logistic)非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。
后来，美国物理学家费根鲍姆(Feigenbaum)与1978年发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，并引入了重整化群的思想，从而使混沌在现代科学中有了坚实的理论基础。
1984年，美国物理学家肖(Shaw)和他的同事用水龙头进行混沌实验，并有实验数据重建了奇怪吸引子。
从20世纪80年代开始，混沌的理论受到广泛和深入的研究，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及混沌的性质及特点。
1983年，由蔡少棠(L.O.Chua)发明的蔡氏电路由于结构简单，实现容易，并且表现出丰富的混沌行为。
混沌理论与管理思想的发展课件
领导力是一种影响力 ，可以通过影响他人 的思想和行为来实现 目标。
领导力是一种素质， 是领导者必备的核心 能力。
混沌理是一种研究复 杂系统行为的科学，其 核心是动态、非线性、
不可预测性。
领导力作为一种复杂的 社会现象，需要应对不 断变化的环境和情况， 因此与混沌理论有很好
01
混沌理论在组织行为学中的应用，可以帮助我们更好地理解和 预测组织中的行为和结果。
02
混沌理论可以解释组织中的一些复杂现象，例如组织的变革、
组织的演化等。
混沌理论还可以帮助我们更好地理解组织中的非线性关系和非
03
因果关系，以及这些关系对组织行为的影响。
05
混沌理论与领导力
领导力的基本概念
领导力是一种能力， 可以影响和激励他人 ，以实现共同的目标 。
混沌理论与管理 思想的发展课件
目录
• 混沌理论概述 • 混沌理论对管理思想的影响 • 混沌理论在管理思想中的发展 • 混沌理论与组织行为学 • 混沌理论与领导力 • 混沌理论与决策制定
01
混沌理论概述
混沌理论的基本概念
混沌理论是一种研究非线性动态系统行为的理论，揭示了自然和社会现象中的复杂 性和不确定性。
04
混沌理论与组织行为学
组织行为学的基本概念
1
组织行为学是一门研究组织内部成员行为的学科 ，其目的是通过理解和预测组织成员的行为，以 提高组织的绩效和效率。
2
组织行为学的研究范围包括个体行为、群体行为 、领导行为、组织行为等。
3
组织行为学强调人的因素在组织中的作用，以及 组织对人的行为的影响和塑造。
决策类型
根据不同的分类方法，决 策可以分为确定性决策、 不确定性决策、风险性决 策等。
1[1].1混沌简介
![1[1].1混沌简介](https://img.taocdn.com/s3/m/bb371628bcd126fff7050bc7.png)
第一章 混沌学简介§1.1引言与混沌定义一. 混沌学（chaology ）的历史与现状1. 中国科学院院士郝柏林：“混沌，这个在中外文化渊源悠久的词儿，正在成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字，它正在促使整个现代知识体系成为新科学”.(1993，分岔、混沌、奇怪吸引子，物理进展，1983（3） 329—416)2. 詹姆斯·格架克（混沌—开创新科学）：“越来越多的人认识到，这是相对论和量子力学问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击，这也许是20世纪后半叶数理科学所做的最有深远意义的贡献”（1990年，张淑誉译）.3．近年来，人们发现在自然界和社会生活中混沌现象无所不有，无所不在，因而，对混沌的研究已经深入到自然科学和社会科学的各个领域：物理、化学、生物、天文、气象、地质探测、经济管理、数学、通信、电子电工、人文社科等各个方向.因此，在科学界越来越多的学者认为，20世纪人类对科学的三大贡献为：①相对论；②量子力学；③混沌学.二. 混沌学的诞生与混沌定义的演变混沌学的诞生或者说混沌学的正式形成一般人公认为1975年12月李天岩(Li T. Y . )和约克(Yorke J. A.)发表于Amer. Math. Monthly （美国数学月刊）的论文:Period Three Implies Chaos(周期三意味着混沌)——正是这篇论文，chaos 作为一个科学代名词被里程式的确定下来.·Li-Yorke 定义（1975） 设I 是一个区间，连续映射成为是混沌的（混沌映射），如果周期集I I f →:N f P =)(且存在不可数集)(0f Per I S −⊂，合于(ⅰ) 0)()(sup lim >−∞→y f x f n n n (0,S y x ∈∀，y x ≠)； (ⅱ) 0)()(inf lim =−∞→y f x f nn n ；第一章 混沌学简介 2 (ⅲ) 0)()(sup lim >−∞→p f x f n n n ，(0s x ∈∀，)(f Per p ∈∀). 其中：称为是混沌集，是的所有周期点构成的集合.0S )(f Per I I f →:关于周期点的定义：设I I f →:（1）定义，其中为恒等映射；))(()()(11x f f x f f x f n n n −−==D 0f （2）设I x ∈0，如果N n ∈∃使得，则称为的周期点，特别地，当时，即00)(x x f n =0x f 1=n 00)(x x f =，则称为的不动点；如果0x f N n ∈∃，使得，但(00)(x x f n =00)(x x f k ≠1,,2,1−=n K ")，则称为的-周期点，并称为点关于的周期，通常用表示的周期点的全体，即0x f n n 0x f )(f Per (){,()}n Per f x I n N f x x =∈∃∈=Li-Yorke 在1975年的Amer. Math. Monthly 上证明了如下定理:定理（Li-Yorke ） 设I 是一个区间，是连续映射，若存在使得,,合于I I f →:I a ∈)(a f b =)(2a f c =)(3a f d =cb a d <<≤(或)，则d a b ≥>>c T1）N k ∈∀，在I 中存在一个-周期点 (即，k I x ∈∃0使得，而当时, ).00)(x x f k =k i <≤100)(x x f i ≠T2）存在一个不可数集)(0f Per I S −⊂满足下列条件：ⅰ)0,S q p ∈∀，q p ≠，有0)()(sup lim >−∞→q f p f n n n ，并且 0)()(inf lim =−∞→q f p f n n n ；ⅱ)，0S p ∈∀)(f Per q ∈∀，有0)()(sup lim >−∞→q f p f nn n .在上面定理中，当a d =时，即，，，则上定理的结论T1)与T2)都成立，这就是30多年来，科学界广泛注视的著名定理：“周期三意味着混沌”.)(a f b =)(2a f c =)(3a f a =长期以来，人们始终都在努力用数学的方法描述存在于自然界、社会生活、科学实验里确定系统中的内在随机现象和复杂性问题（无序性，乱七八糟），因此，对Li-Yorke 的定义，人们并不满意，因为Li-Yorke 定义的最大缺点是缺乏直观性.1989年，Devaney R. L. 从工程的角度引入了一个与Li-Yorke 定义完全独立的定义.·Devaney 定义 设是一个（紧）度量空间，是连续映射，且满足 D D D f →:§1.1引言与混沌的定义 • 3(1) 对初值是敏感依赖的；f (2) 是拓扑传递的；f (3) 的周期点在内稠密(即，f D D f Per =)()则称映射是在Devaney 意义下是混沌的(即，是Devaney 混沌映射).f f 注释：① 对初值敏感依赖：在物理上称为“蝴蝶效应”(即，墨西哥的一只蝴蝶轻轻地扇动一下翅膀，也许会引起太平洋上的一场大风暴).“对初值是敏感依赖”0>∃⇔δ，D x ∈∀，()U x ∀∈U ，U y ∈∃，使得(其中：N n ∈∃δρ>))(),((y f x f n n ρ为上的度量).D ② 拓扑传递性：映射称为是拓扑传递的，如果D D f →:D x ∈∃0使得D f =0，其中},2,1,0)({)(00"==n x f x Orb n f 称为点的轨道.0x 从工程角度或几何角度上讲，就是所谓的“遍历性”，即，点的轨道跑遍度量空间中每一个点的每一个邻域，这是因为：0x D 0()f Orb x D x D =⇔∀∈，()U x ∀∈U ，()f U Orb x φ∩≠D x ∈∀⇔，0>∀ε，φε≠∩)(),(x Orb x B f ，其中=),(εx B }),({ερ<∈x y D y 是点的x ε-开球③ 周期点的稠密性：D x D f Per ∈∀⇔=)(，()U x ∀∈U ， ()U Per f ∩φ≠⇔D x ∈∀，0>∀ε，φε≠∩)(),(f Per x B .习题一1.在图书馆的网站上查阅100篇（近3年）以混沌为关键词的学术论文；列出5个不同学科，20个不同研究方向的混沌学术论文（每个方向一篇）.2. 证明：工程上的遍历性等价于0()f Orb x D =.3、证明：三角帐篷映射是Devaney 混沌映射，即三角帐篷映射是对初值敏感依赖的，拓扑传递的，周期点稠密的.。
浅谈混沌理论
浅谈混沌与世间种种巨大的力量相比，扇动着翅膀的蝴蝶似乎没多大力量。
然而有一句谚语却说：“中国上空的一只蝴蝶振动双翅，美国某处便下起了大雨。
”混沌理论可以证明这一谚语。
对蝴蝶力量的科学洞察始于洛伦兹的工作。
洛伦兹是一位气象学家，也被尊称为混沌理论的缔造者之一。
当时，洛伦兹正在检验一个简单的气象预测模型。
洛伦兹完成了冗长的计算后，需要对结果进行复核，他将 0. 506而不是初始的精确值 0.506127作为初值输入计算机。
他知道这样做将产生千分之一的误差，并预计在其气象预测中和原来的计算将有同等大小的差异。
然而，令他大为吃惊的是，新的天气预报和原先的结果几乎没有什么相似之处，他立即意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为原数据重新输入时，两组数据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异。
这万分之一的误差——这种误差大约相当于多了一阵轻柔的微风——很快就使天气预报变成了一片混乱。
他用图像来模拟气候的变化 ，最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅。
这就是我们今天所熟知的 “蝴蝶效应“， 从科学的角度来看，蝴蝶效应反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
混沌理论认为：在混沌系统中，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
正所谓失之毫厘，谬以千里。
对气象工作者来说，那一天是黑暗的日子。
洛伦兹意识到：“如果大气层真是这样活动的话， 那么要想做出长期气象预报几乎是不可能了。
”但这一天的经历并非只对气象工作者有意义。
他冲破了束缚人们思想的堤坝，并为新的研究领域的开辟奠定了基石，由此引入了混沌这一理论。
我们再来看看一个简单的物理系统-单摆。
在一根不能伸缩的长度为 Z 的细线下端悬挂一个小球，微微移动后，就可以在一竖直面内来回摆动，这种装置称为单摆。
只要有一定物理常识就知道，在一定的条件下(忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力，且摆角) ，回复力 F=一k x ，单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反，单摆做简谐振动。
管理科学中的混沌现象研究
管理科学中的混沌现象研究一、引言混沌理论是20世纪60年代末期由美国数学家Edward Lorenz 提出的，在经过几十年的发展和研究，已成为一门发展完备的科学理论。
混沌现象已经应用到多个领域，包括天气预报、股票市场、流体力学等。
本文将会对混沌现象在管理科学中的应用进行探讨和分析。
二、混沌现象简述所谓混沌现象，指的是在某些非线性系统中，当初始条件发生微小变化时，系统的状态也发生了很大的改变，产生了不可预测的结果。
与此同时，混沌现象还包括一些普遍的特征，如无规律出现的震荡、出现奇异吸引子等。
三、混沌现象在管理科学中的应用在管理科学领域中，混沌现象主要被应用于预测和控制方面。
具体应用包括：1.金融市场预测由于股票、期货市场本身就具有非线性因素，所以混沌理论在金融市场预测中应用得非常广泛。
基于混沌理论的金融市场预测模型，可以根据历史股市数据预测未来市场的趋势和价格波动情况。
通过这种方法，投资者可以更好地把握市场节奏，提高盈利率和降低投资风险。
2.产品质量控制在产品量产后，混沌理论被应用于分析生产工艺。
通过对不同温度、压力等参数进行微调，可以防止系统进入混沌状态，保证产品质量的稳定性，提高生产效率和质量。
3.销售预测进入市场后，混沌理论也可以被应用于销售预测。
通过对客户交易数据的分析，可以预测客户的未来购买行为，从而帮助企业更准确地进行产品定价和库存管理，提高销售效率和盈利率。
4.组织管理在组织管理方面，混沌理论可以通过研究组织内部的交互关系和协作模式，优化组织结构，提升组织运营效率。
此外，混沌理论还可以被用于解决企业中的决策问题。
通过对决策者的行为和决策参数进行分析，可以确定最优决策方案，提高决策者的决策质量和效率。
四、结论在管理科学中，混沌理论的应用范围非常广泛，并且具有非常重要的价值。
通过混沌理论的应用，可以提高企业的管理效率和盈利能力。
因此，我们应该积极探索混沌理论在管理科学中的应用，以期更好地服务于企业和社会的发展。
混沌理论及其应用研究
e综述e 唐 巍等 混沌理论及其应用研究
23
蝶效应 仅仅是蝴蝶翅膀的一次小小扇动 就有可 能改变一个月以后的天气情况
图 对初值的敏感性
具有分形的性质 如图 所示 混沌的 奇 异吸引子在微小尺度上具有与整体自相似的几何结
构 对它的空间描述只能采用分数维
c神 经 网 络 将 混 沌 与 神 经 网 络 相 融 合 使 神 经网络由最初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网
络 利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网
络逃离局部极小点 从而保证全局最优 可用于联想
记 忆 Z机 器 人 的 路 径 规 划 等 U图像数据压缩 把复杂的图 像数 据用一 组能
b 混沌的应用前景
混沌应用可分为混沌综合和混沌分析 前者利 用人工产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的
功能 如人工神经网络的联想记忆等Q后者分析由复 杂的人工和自然系统中获得的混沌信号并寻找隐藏
的确定性规则 如时间序列数据的非线性确定性预 测等 混沌的具体的潜在应用 可 ‘a 概括如下
优 化 利 用 混 沌 运 动 的 随 机 性Z遍 历 性 和 规 律性寻找最优点 可用于系统辨识Z最优参数设计等 众多方面
成 步 对每个固定的参量值 变量 从某一个
初值 统一用
开始迭代 舍去最初暂态
过 程的 个迭代值 再把后继 个轨道点都画
到所选参量的纵方向上 这样扫过全部的参量范围
图 为图 中小矩形区域的放大图
不断地经历倍周期分叉 最终达到混沌
称当
时由系统 产生的序列0 1为混
沌变量 混沌变量0 1的运动形式有如下特征
比例也趋于一个极限 >* 4?5435@A3@
B 混沌的识别
生命科学中的混沌理论与应用
生命科学中的混沌理论与应用生命科学是一门研究生命现象的学科，它包含了分子生物学、遗传学、细胞生物学、发育生物学、生物物理学等多个分支学科。
生命科学的发展，不仅是一门科学探索的过程，同时也是对人类认知自身、改变自身的历程。
而混沌理论，则是生命科学中一个新兴而有潜力的领域。
混沌理论最初起源于物理学领域，它指的是非线性系统中的一种动态行为，也就是说当系统非常敏感地依赖于输入的小变化时，系统的行为就会表现出随机、无规律的、似乎没有任何规律可循的特点。
混沌理论的核心思想是探究由简单系统规律的微小变化而产生的复杂行为，以及这些行为对系统整体性质的影响。
混沌现象的发现，为科学研究带来了深远的影响，不仅是物理学，化学、生物学等领域也逐渐引进了混沌理论，并开始探究混沌现象在这些领域的表现和应用。
在生命科学领域，混沌理论的应用日渐扩展。
生命科学中的混沌现象，是由分子层面的随机行为所导致的，比如基因突变、蛋白质折叠等。
而混沌现象在生物分子方面的应用，主要表现在以下几个方面：第一，混沌理论对于探究生物分子在系统中的动态行为有着重要的作用。
生物分子在体内的行为是极其复杂的，分子之间相互作用错综复杂，往往呈现出非线性动态行为。
混沌理论可以帮助研究人员探究生物分子运动规律、群体行为等诸多问题，揭示生物分子之间的相互作用方式，对于探索生物分子的结构和功能变化等方面，都起到了重要的帮助作用。
第二，混沌理论可帮助研究人员深入了解人体内部的代谢活动。
人体内部的代谢过程极其复杂，各个因素之间的相互作用具有非常高的复杂性。
混沌理论可以帮助研究人员探究代谢过程中的非线性动态行为，深入了解人体内部的细胞信号传递和能量代谢等重要信息，为药物研发、疾病诊治和人体健康等方面提供有力的支持。
第三，混沌理论也可以应用于神经系统的研究中，帮助科学家探究神经元在体内的运动轨迹、树突末梢的运动状态、大脑内部信息传递方式等重要问题。
这对于理解大脑的功能和修复神经系统的损伤等方面都具有重要价值。
混沌学视角下的民族语言文化
混沌学视角下的民族语言文化1 混沌学理论介绍1.1 混沌学的概念。
近代混沌学（chaos theory）是20世纪初在欧洲诞生，在七八十年代伴隨着计算机科学的迅猛发展而发展起来的一门新兴学科。
经典科学理论认为，决定世界运转的根本秩序是一种因果关系。
因果之间的必然联系构成了一种线性关系一种有序性，然而大自然并不完全是一个程序世界，而是存在复杂多样物质现象的非有序空间，存在诸多受制原因，而且这些原因本身变化多端难以预测。
什么是混沌学？简言之混沌学就是复杂系统所产生的随机性，不可预测性。
张公谨（1998.12）关于混沌的定义被普遍接受，他认为“混沌是一门以直观、整体为基点来研究混沌状态和混沌学运动的复杂规则性学问，混沌学的内涵指的是复杂的确定性系统的内在随机性和不可预测性”。
丁石庆（2008）就混沌学与语言文化研究中的几个问题进行了论述，他认为混沌学和方法自上世纪90年代引入到语言与文化的研究中，至今在国内语言学界尤其少数民族语言文化研究方面已经形成了广泛的影响。
1.2 混沌学的主要特点：混沌学的主要特点总结起来有5点，如表1所示。
2 民族语言文化研究的混沌学视角语言并不是线性系统，而是非线性系统，它作为一个整体的性质，并不能还原为它的组成部分的性质。
语言和文化的关系二者相互依存不可分离。
民族语言文化就总体而言是处于平衡的又是非平衡的，“奇异吸引子”的出现正是打破平衡的原因，它让平衡态趋向非平衡态发展，又由于民族语言文化的自组织性，把这种非平衡态还原为更高水平的平衡态，此时又会有新的奇异吸引子打破这种平衡，长此以往最终由民族语言文化的初始状态在线性与非线性、平衡与非平衡状态下相互更替，形成了今天的民族语言文化的时代特征。
随着时代的推进，语言文化的继续演变在混沌框架上会促进民族语言文化趋向深度的演变，或强势融入弱势，导致弱势衰减消亡；或弱势变为强势，取替以往的强势，这种种的演化状态都是处于高水平的混沌状态，是难以把握的，我们只能从整体方法论的角度去解释这种现象的本质原因。
混沌学与企业管理的思索
“混沌”理论对企业管理的启示一、混沌理论的产生及内涵（一）混沌理论的起源上个世纪六、七十年代，混沌概念首先由美国的气象学家提出，后来逐步应用到各个领域，最终形成了混沌学理论。
其中，最著名的的概念就是“蝴蝶效应”。
其大意为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风。
其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。
此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。
(二)混沌理论的内涵混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。
牛顿确定性理论能够完美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。
因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
（三）混沌系统的特点一般说来，一个混沌系统具有以下特征：1、混沌是一个非周期性的动力学过程，是不可逆的；2、对初值呈敏感的依赖性，混沌系统中一个小小的扰动变化，会被放大，产生意想不到的结果；3、长期行为不可预测。
(四)混沌理论的发展及应用混沌现象最初用于解释自然界之后，混沌理论研究在各个领域中兴起，不断地融入其他学科之中，既促进自身的扩展，也拓宽了其他学科和领域的研究范围与研究方法。
在人文社会领域中，因为事物之间的相互牵引，混沌现象非常多见，如股票市场的起伏等。
尤其是在混乱的复杂的不可预测的商业环境里，混沌理论的解释非常有效，其应用领域包括：企业管理、商业战略、复杂决策、社会科学、组织行为与组织变革、股市行为和证券投资等。
二、混沌理论在企业管理中的应用（一）内在随机性混沌理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一。
混沌科学的发展研究综述
混沌科学的发展研究综述摘要：混沌科学打破了各个学科之间的壁垒，如今已从单纯的理论转变成了一个新的文化隐喻。
文章首先介绍了混沌学理论的概念、模式、发展历史，阐述了研究混沌学的重要意义，进而主要分析混沌学在计算机科学、生命科学、经济学、农学、工程学领域中的应用，及混沌科学在海洋科学应用中的展望，从而对混沌科学的研究有较全面的认知。
关键词：混沌；展望；综述一、混沌的概念混沌一般意指混乱、没有规律性的事物或现象，如缓缓上升的烟雾、风中飘动的旗帜、秋风中的落叶、小溪中的流水、公路上拥挤的车流、不断变化的股市行情等，都可以用混沌一词来描述。
而科学家将混沌定义为貌似随机的事件背后却存在着内在的联系，如果一个系统的演变过程对初态非常敏感，人们就称其为混沌系统。
混沌科学就是致力于发现这些背后隐藏的模式和细微的差别，研究混沌运动的一门新学科。
系统的吸引子理论是混沌学的重要组成部分。
简单的吸引子称为极限环，而具有无限层次自相似结构的吸引子则成为奇异吸引子，只要通过计算得知吸引子至少有一个正的李雅普诺夫指数，就可以肯定该吸引子是奇异的，从而断定运动是混沌的。
混沌具有内随机性、非周期性和自身普适性。
1980年由数学家曼德布罗提出的分形几何学对混沌学的认知提供了工具，对混沌的发展起到了非常关键的推动作用。
二、混沌科学的发展19世纪末，庞加莱认识到天体运动并非是一台可以透彻计算的机械钟，甚至在局限于保守性和确定论情况下亦如此。
所有天体之间的因果相互作用，在其相互影响可以导致混沌轨迹的意义上，都是非线性的，由此他建立了分叉学说。
20世纪60年代初由著名数学家柯尔莫哥洛夫、阿诺德和莫泽提出并证明了KAM定理。
现代确定性混沌研究经历了3个主要阶段：一是从有序到混沌，研究混沌产生的机制和途径；二是混沌中的有序，研究混沌中的普适性及分形结构等；三是从混沌到有序，即混沌控制研究，是现在科学家们研究的方向。
混沌学的正式提出是1975年中国学者李天岩和美国数学家约克发表了一篇题为《周期3含混沌》的著名论文；第一次国际混沌大会于1977年在意大利召开，标志着混沌科学的产生；1978年美国物理学家费根鲍姆发表的关于普适性的研究奠定了混沌学的基础；曼德布罗分形学说的提出给混沌的描述提供了工具。
混沌发展史
中国和希腊的神话故事是最早出现“混沌”一词的，从此之后随着人类文明的进步，文化和科技的发展，中外的文学、艺术、宗教典籍和科学著作早已不断采用“混沌”一词。
“混沌”的英文翻译为“chaos”。
到了近代，特别是近几十年，混沌”一词在各类报刊文章、文献中出现的频率极高。
很多学者认为二十世纪继相对论、量子力学之后的又一次物理学革命就数混沌学了。
法国伟大的数学、物理学家庞加莱（H. Poincare）是研究混沌的第一人, 他在研究太阳系的稳定问题时，猜想能否用数学来证明，从而发现了即使只有三个星体的模型，还是能够产生明显的随机结果。
于是，庞加莱在1903年提出了庞加莱猜想。
庞加莱把拓扑学和动力系统有机地结合，并提出了三体问题在一定范围内，其解是随机的。
到1954，前苏联的概率论大师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）发表的《哈密顿（Hamilton）函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文成为了KAM定理的雏形。
到了1963 年, 柯尔莫哥洛夫的学生，年轻的、具有超群才华的V.I.Arnold 对此给出了严格的数学证明, 基本上在同一时间, 瑞士数学家J.Moser 对此给出了改进表述, 并独立地作出了数学证明。
此文的思想为混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混沌提供了信息。
这也为早期明确不仅好散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。
1963 年，美国的气象学家、物理学家E.N.Lorenz，对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值仿真时，发现在某些条件下可以出现非周期的无规则行为。
这一结果解释了长期天气预报为什么始终没有获得成功的原因，其根本原因为有一种混沌运动存在于确定非线性动力系统中。
E.N.Lorenz 不仅发觉了第一个奇怪吸引子——Lorenz吸引子，而且还揭示了混沌运动的其他一些基本特征。
这个三阶常微分方程组即著名的洛仑兹系统方程组：（1963 年，美国气象学家 E.N.Lorenz发表了著名的论文《确定性非周期流》，他在论文中指出：在三阶非线性自治系统中可能出现非周期的无规则行为。
混沌理论浅说
混沌理论浅说混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。
这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。
一·混沌学形成的背景在经典力学中，简化的力学模型人为地排除了偶然性，把必然性强烈地体现出来。
根据牛顿的动力学方程，可以从物体的初始状态准确地计算出在此之前或以后的任一时刻的运动状态，这些运动状态之间具有确定的、必然的因果联系。
拉普拉斯虽然对牛顿的一些错误观点作了尖锐的批判，但他却像牛顿一样积极宣传机械论，并把机械决定论推到了极端。
他在《概率论》引言中说：“让我们想象有个精灵，它知道在一定时刻的自然界里一切的作用力和组成这个世界的一切东西的位置；让我们又假定，这个精灵能够用数学分析来处理这些数据，由此，它能够得到这样的结果：把宇宙中最大物体的运动和最轻原子的运动都包括在同一个公式里。
对于这个精灵来说，没有不确定的东西。
过去和未来都会呈现在它的眼前。
”［1］1963年美国气象学家爱德华·诺顿·劳仑次]]提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。
混沌理论解释了决定系统可能产生[[随机]]结果。
理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。
在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用二·混沌理论的基本概念混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。
一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性——不可重复、不可预测，这就是混沌现象[2]1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断[3]：“在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风”，并由此提出了天气的不可准确预报性。
混沌理论详解
混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
一、什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。
二、混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。
科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。
因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。
曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。
如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。
这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。
Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。
然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。
Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。
然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。
Logistic映射产生的混沌序列
Logistic映射产生的混沌序列作者：刘臣等来源：《卷宗》2014年第06期摘要：混沌理论是一门专门研究奇异函数、奇异图形的数学理论，是一门研究自然界有序、无序规律的学科。
混沌学被很多学者认为是二十世纪继相对论、量子力学之后，物理学发生的第三次大革命。
混沌学中的混沌是貌似无序的有序，紊乱中的规律。
混沌学的面世，标志着人类历史上又一次重大科学的进步，因为人们可以从更接近实际的角度去认识这个既无序又有序的世界。
混沌序列的产生有多种方法，常用的是Logistic映射和Chebyshev映射，本文采用的是Logistic映射的满映射。
关键字：混沌；logistic映射；序列1963年美国气象学家E.N.Lorenz提出了著名的“蝴蝶效应”，“蝴蝶效应”大意为：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，不经意间扇动几下翅膀，两周后可能就会在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。
其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，会导致其身边的空气系统发生变化，并会产生微弱的气流，而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一系列的连锁反映，最终可能会导致其他系统的极大变化。
这是他在研究大气时发现，当选取一定量的参数时，一个由确定三阶常微分方程组描述的大气对流模型变得不可预测。
经过长期反复的数值实验和理论思考， Lorenz从同一系统出现的一系列非周期无规则行为中发现了混沌运动，这为后来的混沌研究奠定了基础。
一般地，当一个接近实际而没有内在随机性的模型，仍然具有貌似随机的行为，我们就可以说这个真实物理系统是混沌的。
混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性，即蝴蝶效应；二是奇异吸引子，这里是非线性事件的发生点，它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而产生了不可预测性；三是分形，它具有二个普通特征：自始至终都是不规则的以及在不同的尺度上，不规则程度却是一个常量，这同时也表明了有序和无序的统一。
混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西回去之后，经过变换再出来，循环往复，任何初始值的微小变动都会按指数放大，因此会导致系统内在长期的不可预测性。
（1）混沌论产生的历史背景
（1）混沌论产⽣的历史背景（1）混沌论产⽣的历史背景⽬录⼀余长根《混沌⼤世界》书中关于机械论⼒学缺陷的论述（⼀）经典⼒学的缺陷（⼆）⼒学≠⼀切（三）机械论局限。
⼆吴⽂成关于混沌论产⽣的历史背景的论述（⼀）前⾔（⼆）相对论──量度值虽然并不见得「很真实」，但还有什么会⽐量度「更真实」呢？（三）量⼦⼒学──有时候，真理骑在错误的背上，驶⼊历史（四）混沌──不测风云的背后⼀余长根《混沌⼤世界》书中关于机械论⼒学缺陷的论述（⼀）经典⼒学的缺陷近代经典科学，是伽利略——⽜顿⼒学时代。
这个伟⼤科学时代的以物理学为标志的⾃然科学然，达到极盛的顶峰，在欧洲乃⾄世界占居崇⾼的统治地位将近三个世纪。
实际上，经典科学⼀开始就是以⾮我性为开端的，但是，由于当时的实践和知识的局限，它以⼤⾃然的终极描述的姿态，追求完美⽆缺的线性系统为对象，⽽把⼀些⾮线性现象加以忽略了。
经典科学只相信本质上是有序的，有序=有规律，⽽把⽆序=⽆规律。
不懂得，不研究⾮线性现象及其规律。
他们以为决定论和可逆性的规律驰骋的缰域似乎已把⼤千世界尽收眼底，⼀切都已经似乎功德圆满⽆所遗憾了。
对于⽜顿的分析⼒学的辉煌成就和完美体系来讲，已经不存在什么有待解决的重⼤问题。
但正是在这个形⽽上学的科学体系内部暴露了深刻⽭盾。
伽利略是近代物理学之⽗，他⽤实验科学的定是否定了亚⾥斯多德的古典⼒学机体论（或⽬的论，即将⼀切物体运动与动物机体运动直接类⽐，以猜测性思辨的合理⽬的作为解释的根据），提出了惯性概念和相对性原理等。
爱因斯坦认为：“伽利略的发现以及他所应⽤的科学推理⽅法是⼈类思想史上最伟⼤的成就之⼀，⽽且标志着物理学的真正开端”。
伽利略的⼒学思想，成了⽜顿建⽴完整⼒学体系的先导。
开普勒在《新天⽂学》和《宇宙和谐论》两本著作中，分别发表了著名的⾏星运动三定律。
关于所有⾏星的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的⼀个焦点上。
这第⼀定律是对天体运⾏轨道均为圆形的传统观念突破。
混沌理论发展现状的综述
混沌理论发展现状的综述摘要：混沌理论是非线性科学的重要理论，是20世纪的三大科学革命之一，自提出以来在各个领域得到了广泛的应用，具有极大的研究意义。
本文基于前人研究工作的基础上，总结了国内对于混沌理论的研究现状，并提出了其发展方向。
关键词：1.前言混沌现象是自然界的一个普遍现象，所以在工程实际中系统会不可避免的出现混沌现象而不能正常工作，这对生产生活造成了极大的影响。
我们希望系统能够稳定的工作，并且能很好的对系统进行控制，使它按照人们的要求去工作。
总的来说，研究混沌，目的就是为了在工程中应用混沌、避开混沌。
因此，按照这一原则，用工程手段来处理混沌问题或者利用混沌解决实际问题具有十分重要的现实意义。
近代以来，我国对混沌现象不断地进行着探索与研究，本文将对我国混沌理论的发展情况进行综述。
2.国内研究现状我国物理学界对混沌现象的注意，始于1980年夏天在大连举行的第二届全国非平衡统计物理会议。
我国著名的混沌学家、中国科学院院士郝柏林指出：“混沌,这个在中外文化渊源悠久的词,正在成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字,它正在促使整个现代知识体系成为新科学。
”他还指出：“越来越多的人认识到,这是相对论和量子力学问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击.这也许是20世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡献。
”1983年，郝柏林院士在《物理学进展》1983年第3期上发表长篇论文“分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它”，这是在中国传播混沌学的最重要的文献之一。
1984年11月在桂林举行“非线性系统中不稳定性和随机性”学术讨论会时，80多位来自高等学校和科学院各所的与会者反映了我国各个学科工作者已经取得的一批研究成果，混沌现象的研究已经明确属于基础研究范围。
科学院一批研究所进行了有关混沌的理论或实验研究课题。
理论物理研究所在临界慢化、分频采样方法、一维映像的符号动力学和用符号动力学于常微分方程周期窗口排序，以及吸引子维数计算等方面有一批结果，并将混沌研究列为开放所的课题。
混沌学研究现状与展望
混沌学研究现状与展望混沌学研究现状与展望非线性系统在一定参数范围内所表现出的内在的随机性已经渐渐受到更多学者的注视。
本文旨在用尽量浅显的语言概述有关混沌理论的主要内容，使那些没有接触过混沌的人尽快地了解、认知它，同时本文的作者还想通过此种形式与广大非线性动力系统的研究者们相互交流、切磋，以期对混沌学的更深入的探索。
关键词：非线性混沌确定性内在随机性自相似结构奇怪吸引子分形分岔一、引言１.１、混沌与非线性科学本世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。
二三十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。
混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。
正因为如此，我们所讨论的对象必然是非线性系统，或者确切地说是非线性动力系统。
"线性系统"是我们熟知的。
如函数。
就是一个最简单的线性函数，此函数在（x,y）平面中的图象是一条直线，函数y=f (x)对自变量x的依赖关系是"一次"多项式。
但如果函数y=f(x)对x的依赖关系高于一次，就象抛物线函数（其中项是非线性项），那么这个函数所描述的系统就是"非线性系统"。
可见，从函数构造的角度来说，非线性系统要比"线性系统"更多、更普遍。
"线性系统"与"非线性系统"的不同之处至少有两个方面。
第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则绝对不能！第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。
可以用一个不太准确的例子来说明这种现象──非线性系统局部看来好比是放在篮球顶端的一只乒乓球，起初是静止的，而后在受到一个极奇微小的初始速度（可以是各个方向的）的作用下，乒乓球会飞快地向一个方向滚落下去；而线性系统则好比是放在碗底的乒乓球，只要初始速度不很大，乒乓球最终会停在碗底。
在物理学中称在这两点的平衡状态为不稳定平衡和稳定平衡；在混沌学中，我们通常将这两点命名为双曲不动点（鞍点）和椭圆不动点。
混沌物理学
混沌物理学1. 导言在自然界中，我们经常会遇到许多看似近乎随机、复杂难以描述的现象。
比如天气变化、心脏跳动的规律、经济市场的走势、病毒传播的扩散等等。
这些现象都很难用传统数学方法来描述和预测。
这时候，混沌物理学就闪亮登场了。
2. 混沌物理学的基本观点混沌物理学是一门研究非线性动力学系统的学科。
事物按照直线或者曲线运动，都可以归为线性系统运动。
但是，有些动力学系统是存在着涡流、涡旋和分岔等非线性现象的，这时候就属于非线性系统运动。
而混沌物理学则是研究这些非线性动力学系统即混沌序列及其规律性、特征的科学。
在这种系统中，哪怕是参数的微小变化，也可能导致运动的全然不同。
所以混沌物理学对于研究这些非线性现象具有重要的作用。
3. 创始人：洛伦兹混沌物理学的创始人洛伦兹教授，是美国物理学家和气象学家。
20世纪60年代，他发现一个小实验室常常出现的诡异现象：两个相似的气氛混合瓶，由于一个管子的微小扰动，结果变得完全不同。
这就是"蝴蝶效应"，这一简单的微小扰动，可能导致一个大系统进入完全不同的稳态，如果我们想做准确的预测，必须考虑到所有可能的扰动。
这样，我们就需要一个深厚的混沌物理学知识背景，才能进行合理的预测。
4. 发展历程混沌物理学在20世纪70年代开始成为一门独立的学科并爆发了发展热潮。
许多研究者纷纷将混沌引入各领域，如神经科学、生态学、经济学等等，产生了很多重要的成果。
比如，我们知道市场经济波动所导致的失业、物价等一系列问题是非线性现象造成的，对它们进行科学研究，可以得到更加准确、严谨的解释。
同样，混沌理论也是基础物理学中的一个分支，应用于分子动力学、复杂等离子体、量子场论等方面，造就了物理学的一系列重要进展。
5. 总结混沌物理学体现了自然现象的本质，其中富含许多有趣的数学和物理背景。
研究它对于我们了解世界和日常生活中的各种现象有着重要的意义。
混沌物理学还有广泛的应用，有助于解决许多实际问题，为人类社会的发展做出更大的贡献。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一步讨论.
1987 年周作领[ 11] 从另一角度给出了如下定义:
定义 3 对于度量空间( X , d) 中的连续映射 f , 若存在 X 的不可数子集 S 含于f 的非游荡
集, 且对任意 x , y ∈ S 有lni→m∞ inf d( f n ( x ) , f n ( y ) ) = 0, 另外当 x ≠ y 时还有 lim sup d ( f n( x ) , f n ( y ) ) > 0,
13 28
1-
1 23000
=
13( 8999 +
8998 + 2 3002
…+
1) , 则 x 3002 =
在西方的许多文献中也有类似的说法. 如: 在《圣经》中将天地刚刚开辟后的状态称之为混 沌; 在希腊哲学家看来, 世界在本质上是从混沌中产生出来的; 歌德笔下的浮士德的行为有混 沌的色彩.
在近代, 也有许多人用“混沌”这个词儿. 例如, 张君励 1946 年在《醒》这个杂志上发表的文 章中提到: “二十年来之中华民国, 有政府而实无政府, 有制度而实无制度, 混沌而已”.
的多余, 即( i ) 和( iii) 导不出( ii) ; ( ii) 和( iii) 导不出( i) . 1994 年 V ellekoop 和 Berg lund[ 9] 证明,
若考虑区间上的映射, 仅( i) 就可以了, 即拓扑传递性等于混沌. 1995 年 Crannell[ 10] 又作了进
作为一门新科学的混沌学( Chao logy ) , 一般认为始于李天岩和约克( Yorke) 的著名论文 “周期 3 蕴含混沌”, 因为正是在该文中“混沌”( Chaos) 首次被作为科学词儿使用. 该文在《美 国数学月刊》上正式发表是 1975 年 12 月. 20 年来, 混沌学作为一门新科学传播速度之快, 波 及空间之广, 恐怕是前所未有的. 李天岩和约克的论文发表后大约过了 10 年, 国际上便形成了 一支可观的混沌学专家队伍. 与此同时, 许多研究中心与研究所则专门冠之以“非线性动力 学 ”、“非线性科学”、“非线性数学”等名称. 本文将对混沌学 20 年来的发展状况进行回顾和 评述.
风雨的来临. 这种说法来源于一篇文章的题目“在巴西的一只蝴蝶的翅膀扇动会引起一场在德
克萨斯州的龙卷风吗”. 气象系统实际上是一个典型的混沌系统. 正是由于气象系统的敏感性,
长期天气预报难于准确.
为了说明这一特征, 我们举出如下的极为简单的例子.
考虑一维映射( 俗称面包师映射) :
2x n,
当 0 ≤ x n < 1/ 2 时;
x n+ 1 = 2x n - 1, 当 1/ 2 ≤ x n ≤ 1 时.
( 3)
这是一个混沌系统且对初始条件具有敏感性. 事实上, 我们有序列
x 0, x 1, x 2 , …, x n, …,
( 4)
这里 x 0 是初始状态. 序列演化依据初始条件的不同会出现 3 种形态:
1) 当 x 0 是分母 为 2n 的 有理数( n 是 整数) 时, x n → 0 ( n → ∞) . 例如, 取 x 0 =
在当代, 使用“混沌”这个词儿的地方随处可见. 例如, 文学杂志《清明》1989 年第 5 期上有 一篇文章中写道: “杭敏混沌的大脑陡然了一下, 浑身再次打了个激凌……”
显然, 以上一些说法, 均不是今天科学名词“混沌”之同义, 但也不能说, 没有一点渊源. 从学术思想渊源看, 1889 年庞加莱就证明了不可积系统的存在性. 1949 年Van der Pol 研 究振子时发现了与混沌类似的 现象. Feimi 等人于 50 年代初在实验中亦发现了混沌 现象. Krylo v 亦发现了弹性碰撞动力学系统中的指数不稳定性. 1953 年 Go waro d 和 Hine 通过计算 机证明, 粒子运动可以从有规则运动转变为混沌运动. Belonsov 和 Zhabot inski 在进行著名的 BZ 反应实验时, 发现了化学反应从有序到混沌的转变. 1954 年柯尔莫哥洛夫( Kolm ogo lov) 对 解析哈密尔顿系统的椭圆周期轨道进行了分析, 发现了充分接近可积哈密尔顿系统的一类不 可积系统. 这类系统可看作是可积系统受到扰动所致. 若扰动小则其图像接近可积系统; 若扰 动足够大, 则其图像转为混沌. Arnold 给出了柯氏论断的证明, 而 Moser 又给出了改进的柯氏 论断并独立地进行了证明. 这就是著名的 KAM 定理( 由三位姓中第一个字母组成) . 1964 年 Arnold 进一步发现了哈密尔顿扰动系统中的随机运动——Arnold 扩散. 1960 年初上田皖亮在研究 Duf f ing 方程 xb + kxa+ x 3 = Bco st 时, 发现当参数 k = 0. 05, B = 7. 5 时方程解的轨迹, 在 t 很大时会乱七八糟地走一通, 毫无规律可言, 后来人们称之为 “上田吸引子”( Veda Att racto r) . 1963 年, 气象学家洛伦兹( Lo renz) 借助于运算速度为每秒 17 次的计算机, 发现“确定性的 非周期流”的存在是长期预报天气失败的基本原因. 其实他的贡献远远不止于此. 他在耗散系 统中发现了混沌, 发现了奇怪吸引子, 从而提供了混沌研究的模型并开创了用数值方法研究混 沌的先河. 1971 年 Ruel le 和 T akens 通过严密的数学分析独立地发现了奇怪吸引子, 并提出了描述 湍流形成机理的新观点. 这实质上说明, 与奇怪吸引子相关的运动是混沌运动. 人们只要细心回顾一下科学史就不难发现, 自然界虽然只有一个, 但描述自然界的数学方 法却有确定论和概率论两种. 确定论描述的范例是开卜勒的行星运动的三定律及牛顿力学的 三定律. 概率论描述的范例是布朗运动. 随着科学的发展, 人们发现这两种描述在认识论上存 在极为深刻的差异. 混沌现象的发现, 混沌学的建立, 有力地帮助人们理解这种差异的原委. 有些确定论的系 统, 不加任何随机因素的干扰就可以出现与布朗运动类似的行为, 这就是混沌现象. 混沌现象 主要是非线性系统的长时间演化的行为. 非线性数学是从数学角度去描述非线性系统, 然后研 究它在演化过程中出现的各种性态, 尤其是各种共性. 这就是混沌学的任务.
n→∞
则称 f 是混沌的.
周作领依据这个定义证明了有正的拓扑熵的系统以及存在位移自同构或横截同宿点或斯
梅尔马蹄的系统都是混沌的.
从这些定义中可以发现: 混沌系统( 存在混沌的系统) 是由确定性的方程描述的, 不含随
机项; 系统具有拓扑传递性.
2 关于混沌的思想渊源
“混沌”, 正如郝柏林院士指出的那样, 渊源悠久. 在中国的历史文献中“混沌”多处出现. “混沌”又作“浑沌”, 有圆浑、质朴、敦厚、醇粹、温纯、混浊、无分、元始等含义. 《庄子》中说到的 “浑沌”作中央之帝, 很可能是他设想的宇宙生成的一个阶段; 当然, 也有可能是他主观精神的 状态. 《易纬·乾凿度》中说, “太易者, 未见气也. ……气似质具而未相离, 谓之混沌. ”昆伦山在
第 31 卷第 4 期
华中师范大学 学报( 自然科学版)
V ol. 31 N o. 4
1997 年 12 月 JOU RN A L O F CEN T R A L CHIN A N ORM AL U NIV ER SI T Y ( N a 现 状*
49 4
华中师范大学学报( 自然科学版)
第 31 卷
《山海经》中是神仙, 名字也叫“混沌”. 周人称颂祖考, 也喜欢用“混沌”. 庄子以混沌说大道的地 方更多. 老子的“道”亦有混沌之意. 道家认为, “道”即自然, 自然的存在和演化方式就是混沌. 《西游记》一开头便诗曰: “混沌未分天地乱, 茫茫渺渺无人见”. 还可以在古籍中找出更多的 叙说.
( 2)
是连续的, 其中 K为单参数. 映射 F 称为是混沌的, 若
( i) 存在一切周期的周期点;
( ii) 存在不可数的非周期点集 S , S < I 且
lim infûF n( x , K) - Fn( y , K) û = 0, x , y ∈ S , x ≠ y ;
n→∞
lim supûFn( x , K) - Fn( y , K) û> 0, x , y ∈ S, x ≠ y ;
1 关于混沌的定义
什么是混沌? 自然科学界、哲学社会科学界等都有具自己学科色彩的解释. 如: 混沌是非周 期的有序性; 混沌是蕴含着有序的无序运动状态, 是有序和无序的对立统一, 是从有序中产生 的无序状态. 又如: 混沌是一个简单的决定论系统表现出来的一种随机反复的性态; 混沌是不 规整的不可预测的, 来自决定论的非线性动力学系统的性态. 再如: 混沌是决定论系统有限相 空间中高度不稳定的一种运动.
邓 宗琦
( 华中师范 大学, 武汉 430079)
摘 要 对混沌学 20 年来 的发展状况进行回顾和评述. 共分 6 个部分: 1. 关于混沌的 定义; 2. 关
于混沌 的思想渊 源; 3. 关 于混沌的基 本特征; 4. 关于混 沌系统的控 制; 5. 关 于混沌学 的传播; 6. 关 于混沌学的展望.
n→∞
lim supûFn( x , K) - Fn( p , K) û > 0, x ∈ S , p 为周期点
n→∞
成立, 这里 Fn 是 F 的第 n 次迭代.
这个定义一般只适用于一维的情形.
1986 年 Devaney[ 6] 给出了较一般的定义:
定义 2 设 V 为一个集合, 映射 f : V → V 称为在 V 上是混沌的, 若下列条件成立:
关键词 混沌学; 历史; 现状; 展望 中图分类号 N 09; N 13
我国著名的混沌学家、中国科学院院士郝柏林指出: “混沌, 这个在中外文化渊源悠久的词 儿, 正在成为具有严格定义的科学概念, 成为一门新科学的名字, 它正在促使整个现代知识体 系成为新科学. ”他还指出: “越来越多的人认识到, 这是相对论和量子力学问世以来, 对人类整 个知识体系的又一次巨大冲击. 这也许是 20 世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡 献. ”[ 1]