结构力学试题
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补充2．压杆的稳定
１．临界荷载：压杆保持稳定平衡所能承受的最大的压力．记做 2. 临界荷载的计算公式（欧拉公式）
p cr
2 EI pcr ( l ) 2
pcr
l —计算长度
—长度系数
pcr
Pcr与杆件的抗弯刚度E I成 正比，与计算长度μl的平方 成反比。
EI
2
l
2
pcr
T （可参考教材第157页例7.3和例7.4）
刚度系数 k11 (可用位移法求)； 柔度系数δ 11 (可用力法去求）.
如：
1) EI L
k11 m
1 g 2 m 11 W 11 T
m
2) L/2 m EI=∞
6i k11 Δ=1 h
Δ=1
6i h
l 2
P=1 δ11
分析: 此题同作业4第四题,属于“超静定刚架利用内力与 位移的比例关系计算动弯矩幅值”类型.
解：1) 绘 M 图， 1
计算 K11 1 l3 24 EI 11 K11 3 K11 24EI l 2)计算动力系数
C.
以重力作用时的静平衡位置为y座标零点。
重力是静力,不在动平衡方程中考虑。 B)
重力与其它力相比,可略去不计。 D.
（02、03级试题） 2.图示体系不计阻尼的稳态最大动位移 ymax=4Pl3/9EI,其最大动弯矩为：( A.7Pl/3 C.Pl B.4Pl/3 D. Pl/3
EI l
Psinθ t m
B.
(
3EI k) m l3
m
k
D. (k 3EI ) 3 m l
EI l
k11 k k
Δ=1 EI
k11 —原体系的刚度系数
k —悬臂杆件的刚度系数 k —弹簧的刚度系数
P=1
M图
k11 k k 3EI k 3 l
l
l3 3EI
k
1 3EI l3
EI
EI h L
6i h
6i h
1 1 l l 1 l l l l3 11 ( l ) EI 3 2 2 3 2 2 2 8EI
k11
24i 24 EI l2 l3
（补充）：要会计算具有有弹簧支座的单自由度体系的自振频率。
例1（02级试题）： 求图示体系的自振频率。已知弹簧刚度为C，不计梁的自重。（15分） A EI =∞
k11 3EI ( 3 k) m m l
㈡ 计算单自由度体系在简谐荷载作用下，强迫运动平稳阶段的最大 动位移（振幅）和最大动内力 M(t)max 、 Q(t)max 。
例1(03级试题) 求图示体系质点处最大动位移和最大动弯矩（ymax\Mmax) E=2×104kN/cm2 ，I=4800cm4,θ=20s-1 , W=20kN ，P=5kN （25分）
2 R 11 c 3
3l R l P 有 2
代入上式，
得
2 3 11 c l l 3 2
11
9 4c
1 m 11
4c 2 c 9m 3 m
例2（03级试题）： 选择：在图示体系的自振频率为：
Hale Waihona Puke Baidu（ B）
A. C.
分析：
3EI m l3
l3 3m EI
EI
2
2 EI
(0.5l )
2
pcr
2 EI
(0.7l ) 2
(2l )
2
l
1
2
0.5
0.5
0.7
举例（01级试题）设 Pcr 和 A.
a Pcr
a = Pcr
b
a Pcr 分别表示图a,b所示两结构的临界荷载,则应有关系式：（ Ｃ）
b a = Pcr Pcr
2
P=1
M1
⑵ 计算自振频率
3.计算质点处最大动位移A
A P 11 8 9.6 103 0.013029 m 1.3029 cm 3.127 5
g W 11
1
9.8 9.6 10 3 1 24.5( ) 20 8 s
2.计算动力系数
2 1 2
1 1 3.127 1 0.68 202 1 24.5 2
4.计算最大动弯矩
M (t ) max PM 3.127 5 2 31.27kN.m
此题与作业4第三题类同，复习时注意区别最大位移（或弯矩）与最大动位移（或动弯矩）的区别
例2(01级试题) 试求图示体系稳态阶段动力弯矩幅值图。θ =0.5ω (ω 为自振频率)，不计阻尼。（20分）
(分析:此题属于静定结构且振动荷载与惯性力共线，可采用简化的比例算法) EI
p sin(t )
W 4m 2m
解: 1. 计算体系自振频率 ⑴ 绘M1图，求柔度系数。
1 2 2 4 2 2 2 8 11 ( ) EI 3 3 EI
EI= 2×104 kN/cm2×4800cm4 =9.6×103 kN.m2
A.
m
B.
D.
p sin(t )
m
M sin(t )
C.
计算式M =μM st的适用 条件是： 动力荷载的方向与质 点振动方向共线。
m
m
二.计算题类型分析：
㈠ 求单自由度体系的自振频率（或周期）
方法：首先根据结构的特点求出与质体振动方向相应的柔度系数或刚度系数，然 后用公式计算。
11
k11
1 b Pcr 2
B.
C.
a b = 2P Pcr cr
a D. P = cr
b 4Pcr
2EI
(a)
b Pcr
l
EI l
(b)
选择题： （01级试题）1. 单自由度体系运动方程为 2y 2 y P(t ) / m ,其中未考虑质体 y 重力,这是因为： ( C ) A. B. 重力在弹性力内考虑了。
4 Pl 3 4P 9 EI l3 3 3EI
4 Pl 3
分析： l
P=1
l3 11 3EI
F
ymas 11
F
3. 单自由度体系如图，若μ为动力系数，M st为荷载幅值作为静力所产生的静力弯矩， 则弯矩幅值可表示为 M =μM st 的体系为 ( )B p sin(t ) p sin(t )
B
c
l 2
m
l
解: 因为梁的刚度为无穷大，所以当质点处作用单位力时，弹簧支座的位移Δ 与质点 的位移δ 11有比例关系： 2 变形图： p=1 11 由此可得 由 M A 0
R
2 11 c 3
3
11
2 11 2 3 R 11 c
3
将 p 1
有 所以
１．临界荷载：压杆保持稳定平衡所能承受的最大的压力．记做 2. 临界荷载的计算公式（欧拉公式）
p cr
2 EI pcr ( l ) 2
pcr
l —计算长度
—长度系数
pcr
Pcr与杆件的抗弯刚度E I成 正比，与计算长度μl的平方 成反比。
EI
2
l
2
pcr
T （可参考教材第157页例7.3和例7.4）
刚度系数 k11 (可用位移法求)； 柔度系数δ 11 (可用力法去求）.
如：
1) EI L
k11 m
1 g 2 m 11 W 11 T
m
2) L/2 m EI=∞
6i k11 Δ=1 h
Δ=1
6i h
l 2
P=1 δ11
分析: 此题同作业4第四题,属于“超静定刚架利用内力与 位移的比例关系计算动弯矩幅值”类型.
解：1) 绘 M 图， 1
计算 K11 1 l3 24 EI 11 K11 3 K11 24EI l 2)计算动力系数
C.
以重力作用时的静平衡位置为y座标零点。
重力是静力,不在动平衡方程中考虑。 B)
重力与其它力相比,可略去不计。 D.
（02、03级试题） 2.图示体系不计阻尼的稳态最大动位移 ymax=4Pl3/9EI,其最大动弯矩为：( A.7Pl/3 C.Pl B.4Pl/3 D. Pl/3
EI l
Psinθ t m
B.
(
3EI k) m l3
m
k
D. (k 3EI ) 3 m l
EI l
k11 k k
Δ=1 EI
k11 —原体系的刚度系数
k —悬臂杆件的刚度系数 k —弹簧的刚度系数
P=1
M图
k11 k k 3EI k 3 l
l
l3 3EI
k
1 3EI l3
EI
EI h L
6i h
6i h
1 1 l l 1 l l l l3 11 ( l ) EI 3 2 2 3 2 2 2 8EI
k11
24i 24 EI l2 l3
（补充）：要会计算具有有弹簧支座的单自由度体系的自振频率。
例1（02级试题）： 求图示体系的自振频率。已知弹簧刚度为C，不计梁的自重。（15分） A EI =∞
k11 3EI ( 3 k) m m l
㈡ 计算单自由度体系在简谐荷载作用下，强迫运动平稳阶段的最大 动位移（振幅）和最大动内力 M(t)max 、 Q(t)max 。
例1(03级试题) 求图示体系质点处最大动位移和最大动弯矩（ymax\Mmax) E=2×104kN/cm2 ，I=4800cm4,θ=20s-1 , W=20kN ，P=5kN （25分）
2 R 11 c 3
3l R l P 有 2
代入上式，
得
2 3 11 c l l 3 2
11
9 4c
1 m 11
4c 2 c 9m 3 m
例2（03级试题）： 选择：在图示体系的自振频率为：
Hale Waihona Puke Baidu（ B）
A. C.
分析：
3EI m l3
l3 3m EI
EI
2
2 EI
(0.5l )
2
pcr
2 EI
(0.7l ) 2
(2l )
2
l
1
2
0.5
0.5
0.7
举例（01级试题）设 Pcr 和 A.
a Pcr
a = Pcr
b
a Pcr 分别表示图a,b所示两结构的临界荷载,则应有关系式：（ Ｃ）
b a = Pcr Pcr
2
P=1
M1
⑵ 计算自振频率
3.计算质点处最大动位移A
A P 11 8 9.6 103 0.013029 m 1.3029 cm 3.127 5
g W 11
1
9.8 9.6 10 3 1 24.5( ) 20 8 s
2.计算动力系数
2 1 2
1 1 3.127 1 0.68 202 1 24.5 2
4.计算最大动弯矩
M (t ) max PM 3.127 5 2 31.27kN.m
此题与作业4第三题类同，复习时注意区别最大位移（或弯矩）与最大动位移（或动弯矩）的区别
例2(01级试题) 试求图示体系稳态阶段动力弯矩幅值图。θ =0.5ω (ω 为自振频率)，不计阻尼。（20分）
(分析:此题属于静定结构且振动荷载与惯性力共线，可采用简化的比例算法) EI
p sin(t )
W 4m 2m
解: 1. 计算体系自振频率 ⑴ 绘M1图，求柔度系数。
1 2 2 4 2 2 2 8 11 ( ) EI 3 3 EI
EI= 2×104 kN/cm2×4800cm4 =9.6×103 kN.m2
A.
m
B.
D.
p sin(t )
m
M sin(t )
C.
计算式M =μM st的适用 条件是： 动力荷载的方向与质 点振动方向共线。
m
m
二.计算题类型分析：
㈠ 求单自由度体系的自振频率（或周期）
方法：首先根据结构的特点求出与质体振动方向相应的柔度系数或刚度系数，然 后用公式计算。
11
k11
1 b Pcr 2
B.
C.
a b = 2P Pcr cr
a D. P = cr
b 4Pcr
2EI
(a)
b Pcr
l
EI l
(b)
选择题： （01级试题）1. 单自由度体系运动方程为 2y 2 y P(t ) / m ,其中未考虑质体 y 重力,这是因为： ( C ) A. B. 重力在弹性力内考虑了。
4 Pl 3 4P 9 EI l3 3 3EI
4 Pl 3
分析： l
P=1
l3 11 3EI
F
ymas 11
F
3. 单自由度体系如图，若μ为动力系数，M st为荷载幅值作为静力所产生的静力弯矩， 则弯矩幅值可表示为 M =μM st 的体系为 ( )B p sin(t ) p sin(t )
B
c
l 2
m
l
解: 因为梁的刚度为无穷大，所以当质点处作用单位力时，弹簧支座的位移Δ 与质点 的位移δ 11有比例关系： 2 变形图： p=1 11 由此可得 由 M A 0
R
2 11 c 3
3
11
2 11 2 3 R 11 c
3
将 p 1
有 所以