求函数自变量取值范围应注意的问题
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(1,3 / 4) (3 / 4, 2 / 2) ( 2 / 2,1)
2 /2或 2 /2 ＜x＜1
⑵要使函数有意义，必须
32 4 x ＞ ＞ 2x 1 2x 1 1 1 2 x 1
即
x＜ 5 / 2 x＞ 1 / 2 x0 1 / 2 x 1 / 2
x | x ห้องสมุดไป่ตู้2 且 x 1 且 x 1 / 2 且 x 0
注：如果把分子视为 1，分母视为，则原函数变为，可得， 显然，此函数与原函数是两个相同的函数关系到。 二、
5
x | x k , k z
z ，余切函数的为
例 6 求下列函数自变量取值范围 ⑴ y 3 arccos(2 3x) ⑵ y tan(x / 6) 2 解：⑴要使函数有意义，必须
1 2 3x 1, 即 1 / 3 x 1
∴函数自变量的取值范围为[1/3，1] ⑵要使函数有意义必须
x / 6 k / 2, k z ，即 x / 3 k
∴函数自变量的取值范围为 x | x / 3 k , k z 7、若上述几种情况同时出现，要判断好函数的类型，分 别找出它们的自变量取值范围， 取公共部分为所求的自变量取 值范围。 例 7 求下列函数的自变量取值范围 ⑴y
y xinx( x (,)) 是不相同的函数关系。
x,
y
x. sin x x
与
⑵要使函数有意义，必须
4
x20 x0 1 1/ x 0 1 1 0 1 1 x
解得 x 2 且 x 1 且 x 1 / 2 且 x 0 ∴函数的自变量取值范围
1 自变量 x 1
X 的取值范围
解：由于分式的分母不能为 0，所以函数自变量 X 的取值
1
范围为，即 x
x 1 0 ，即x x 1
3、对于偶次根式，应取使被开方数为非负实数；对于奇 次根式，被开方数应为任意实数 例 3 求下列函数的自变量取值范围 ⑴y
4 x2
⑵ y 3 4 x2 解：⑴要使函数有意义，必须 4 x 2 0 ， 即 2 x 2 ，函数自变量取值范围为 x
∴函数自变量的取值范围为 (1/ 2.0) (0,1/ 2) 8、不能随意化简函数，否则将改变其函数关系 例 8 求下列函数的自变量取值范围 ⑴ y x. sin x
x
⑵y
( x 2) 0 1 1 1 1 x
解：⑴根据分式函数要求，有 x 0 ∴函数自变量的取值范围为 (,0) (0,) 注：此小题中，不断随意约去
1og0.5 (1og2 x 2 1) ( x 1) 0 4x 3
3
⑵ y 1og2 x1 (32 4 x ) arcsin2x 解：⑴要使函数有意义，必须
1og 0.5 (1og2 x 2 1) 0 4x 3 0 x 1 0
解得 1 x＜ 3 / 4 或 3 / 4＜x＜ ∴函数自变量的取值范围为
f ( x) 是用式子表示时， 若未作附加说
明，函数的取值范围是指使此式有意义的实数 X 的集合。 1、对于整式，一切实数都使式子有意义 例 1 试解定函数 y x 2 2x 3 自变量 X 的取值范围。 解： 由于此式不论 X 取什么实数都有意义， 所以 X 的取值 范围为（ ， ） ； 2、对于分式，应取使分母不为 0 的实数 例 2 试解定函数 y
求函数自变量取值范围应注意的问题
函数是中学数学中一个十分重要的内容， 从初等代数函数 （如正比例函数、反比例函数、一次函数与二次函数）到初等 超越函数（旭幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三 角函数） ，内容丰富，其地位举足轻重。因此求函数自变量取 值范围（即为函数定义域）问题显得尤为重要。求函数自变量 取值范围就是求使函数成立的自变量 X 取值的集合， 一般用集 合表示法，区间表示法、不等式表示法表示，求函数自变量取 值范围通常转化为解不等式或不等式组， 本文将从以下几个方 面探讨求函数自变量取值范围应注意的问题。 一、关于纯数学问题 如果所研究的函数 y
2 x 2
⑵不论 X 取什么实数， 函数都有意义， 所以函数自变量取 值范围为（ ， ） ； 4、对于对数式，应取使真数＞0，底数＞0 且底数≠1 的 实数 例 4 求下列函数为自变量取值范围 ⑴ y 1oga ( x 2 2x) ⑵ y 1og x12 分析：⑴由 x 2 2 x＞0 ，可得 x＜ 0 或 x＞ 2，函数自变量取值范 围为 ， 0 2， ⑵由 x 1＞ 0 且 x 1 1
＜x＜ 2 或 x＞ 2 可得 1
函数自变量取值范围为( 1， 2 2， 5、对于指数式，注意 0 0 没有意义 例 5 求函数 y x 2 10 的自变量取值范围
2
解：要使函数有意义，必须 x 2 1 0 ，即 x 1 ，所以函数 自变量取值范围为 x | x 1 6、对于三角函数、反三角函数，要根据各个函数的自变 量取值范围确定，正弦函数、余弦函数、反正切函数和反余切 函数的自变量取值范围为实数集， 反正弦函数和反余弦函数的 为 x 1， 1 ，正切函数的为 x | x k / 2，k
2 /2或 2 /2 ＜x＜1
⑵要使函数有意义，必须
32 4 x ＞ ＞ 2x 1 2x 1 1 1 2 x 1
即
x＜ 5 / 2 x＞ 1 / 2 x0 1 / 2 x 1 / 2
x | x ห้องสมุดไป่ตู้2 且 x 1 且 x 1 / 2 且 x 0
注：如果把分子视为 1，分母视为，则原函数变为，可得， 显然，此函数与原函数是两个相同的函数关系到。 二、
5
x | x k , k z
z ，余切函数的为
例 6 求下列函数自变量取值范围 ⑴ y 3 arccos(2 3x) ⑵ y tan(x / 6) 2 解：⑴要使函数有意义，必须
1 2 3x 1, 即 1 / 3 x 1
∴函数自变量的取值范围为[1/3，1] ⑵要使函数有意义必须
x / 6 k / 2, k z ，即 x / 3 k
∴函数自变量的取值范围为 x | x / 3 k , k z 7、若上述几种情况同时出现，要判断好函数的类型，分 别找出它们的自变量取值范围， 取公共部分为所求的自变量取 值范围。 例 7 求下列函数的自变量取值范围 ⑴y
y xinx( x (,)) 是不相同的函数关系。
x,
y
x. sin x x
与
⑵要使函数有意义，必须
4
x20 x0 1 1/ x 0 1 1 0 1 1 x
解得 x 2 且 x 1 且 x 1 / 2 且 x 0 ∴函数的自变量取值范围
1 自变量 x 1
X 的取值范围
解：由于分式的分母不能为 0，所以函数自变量 X 的取值
1
范围为，即 x
x 1 0 ，即x x 1
3、对于偶次根式，应取使被开方数为非负实数；对于奇 次根式，被开方数应为任意实数 例 3 求下列函数的自变量取值范围 ⑴y
4 x2
⑵ y 3 4 x2 解：⑴要使函数有意义，必须 4 x 2 0 ， 即 2 x 2 ，函数自变量取值范围为 x
∴函数自变量的取值范围为 (1/ 2.0) (0,1/ 2) 8、不能随意化简函数，否则将改变其函数关系 例 8 求下列函数的自变量取值范围 ⑴ y x. sin x
x
⑵y
( x 2) 0 1 1 1 1 x
解：⑴根据分式函数要求，有 x 0 ∴函数自变量的取值范围为 (,0) (0,) 注：此小题中，不断随意约去
1og0.5 (1og2 x 2 1) ( x 1) 0 4x 3
3
⑵ y 1og2 x1 (32 4 x ) arcsin2x 解：⑴要使函数有意义，必须
1og 0.5 (1og2 x 2 1) 0 4x 3 0 x 1 0
解得 1 x＜ 3 / 4 或 3 / 4＜x＜ ∴函数自变量的取值范围为
f ( x) 是用式子表示时， 若未作附加说
明，函数的取值范围是指使此式有意义的实数 X 的集合。 1、对于整式，一切实数都使式子有意义 例 1 试解定函数 y x 2 2x 3 自变量 X 的取值范围。 解： 由于此式不论 X 取什么实数都有意义， 所以 X 的取值 范围为（ ， ） ； 2、对于分式，应取使分母不为 0 的实数 例 2 试解定函数 y
求函数自变量取值范围应注意的问题
函数是中学数学中一个十分重要的内容， 从初等代数函数 （如正比例函数、反比例函数、一次函数与二次函数）到初等 超越函数（旭幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三 角函数） ，内容丰富，其地位举足轻重。因此求函数自变量取 值范围（即为函数定义域）问题显得尤为重要。求函数自变量 取值范围就是求使函数成立的自变量 X 取值的集合， 一般用集 合表示法，区间表示法、不等式表示法表示，求函数自变量取 值范围通常转化为解不等式或不等式组， 本文将从以下几个方 面探讨求函数自变量取值范围应注意的问题。 一、关于纯数学问题 如果所研究的函数 y
2 x 2
⑵不论 X 取什么实数， 函数都有意义， 所以函数自变量取 值范围为（ ， ） ； 4、对于对数式，应取使真数＞0，底数＞0 且底数≠1 的 实数 例 4 求下列函数为自变量取值范围 ⑴ y 1oga ( x 2 2x) ⑵ y 1og x12 分析：⑴由 x 2 2 x＞0 ，可得 x＜ 0 或 x＞ 2，函数自变量取值范 围为 ， 0 2， ⑵由 x 1＞ 0 且 x 1 1
＜x＜ 2 或 x＞ 2 可得 1
函数自变量取值范围为( 1， 2 2， 5、对于指数式，注意 0 0 没有意义 例 5 求函数 y x 2 10 的自变量取值范围
2
解：要使函数有意义，必须 x 2 1 0 ，即 x 1 ，所以函数 自变量取值范围为 x | x 1 6、对于三角函数、反三角函数，要根据各个函数的自变 量取值范围确定，正弦函数、余弦函数、反正切函数和反余切 函数的自变量取值范围为实数集， 反正弦函数和反余弦函数的 为 x 1， 1 ，正切函数的为 x | x k / 2，k