中学生物理竞赛系列练习试题圆周运动

中学生物理竞赛系列练习题

第四章 圆周运动 万有引力定律

1、如图所示，赛车在水平赛道上做90°转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r 1、r 2，车与路面间的动摩擦因数都是μ。试问：竞赛中车手应选图中的内道还是外道转弯？在上述两条转弯路径中，车手在内、外车道选择中可能赢得的时间为多少？

解：对外车道，其走弯道所允许的最大车速为V 2，则m(V 2)2∕r 2=μmg, ∴V 2＝2gr *μ,因此车先减速再加速，加速度为a=μmg ∕m=μg,减速的路径长

为X 2＝（V m 2

－V 22

）∕2a=2

222

r

g V m -μ, ∴总时间为t 2=t 减速＋t 圆弧＋t 加速＝a V V m 2-+

222V r *π＋a V V m 2-（2分）＝μg V m 2－（2－2π

）μg r 2 （2分） 同理，车走内道的时间为t 1=

μg V m 2－（2－2π

）μ

g r 1 (4分) 又由于车在内道和外道的直线路径是相等的。∴车手应该选择走外道。时间差为: Δt=t 1-t 2=（2－2π

）μ

g r r 12- (3分)

2、根据天文观测，月球半径为R =1738km ，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，此时水蒸气分子的平均速度达到v 0=2000m/s 。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g =9.8m/s 2）（要求至少用两种方法说明）

方法一：假定月球表面有水，则这些水在127℃时达到的平均速度v 0=2000m/s

必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量为m 的某水分子，因为GMm /R 2=mv 12/R 2，mg 月=GMm /R 2，g 月=g/6，所以代入数据解得v 1=1700m/s ，v 1＜v 0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动

而不落到月球表面，使月球表面无水。

方法二：设v0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径

R

1

，如果R1＞R，则月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R12=mv02/R12，

mg

月

=GMm/R12，g月=g/6，所以R1=v02/g月=2.449×106m，R1＞R，即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。

方法三：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月＞GMm/R2，当v=v0=2000m/s时，

g

月

＞v02/R=2.30m/s2，而现在月球表面的重力加速度仅为g/6=1.63m/s2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。

方法四：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月＞GMm/R2，，即应有g月R＞v2而实际上：

g

月R=2.84×106m2/s2，v

2=4×106m2/s2，所以v

2＞g

月

R即以2000m/s的速度运行

的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。

3、半径分别为r1和r2（r1：r2=5：1）的；两金属细齿轮互相吻合地装配在一起，如图所示，它们的转轴半径均为。整个装置放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场的方向平行于转轴。两转轴通过金属支架互相连通。当两齿轮互相接触时，量得两齿轮边缘之间的电阻为R。现将一其质量为m的物体用轻绳绕在大齿轮的轴上，忽略摩擦损耗，求悬挂物体在重力作用下匀速下落的速度。

4、用恰好足以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨道上，从地球发射一航天器，由时间控制以便航天器在木星后面一定距离穿越木星轨道。因航天器跟木星引力场有作用而偏转90o，即作用后的速度切于木星轨道（圆轨道）。在这作用中航天器单位质量得到的能量是多少？（在作用时略去太阳引力场，并假设持续时间与木星周期相比很小）

题库83

5、开普勒从1909年至1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。第二定律：太阳和行星的联线在相等的时

间内扫过相等的面积。第三定律：所有行星的椭

圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船。宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R ，今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍。因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示。飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为r

GMm

-

。试求：(1)飞船新轨道的近火星点的高度h 近和远火星点高度h 远；(2)设飞船原来的运动速度为v 0，试计算新轨道的运行周期T

设火星和飞船的质量分别为M 和m ，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点到火星中心的距离为r ，飞船速度为v 。

因飞船喷气前绕圆形轨道的面积速度为00v r 2

1，等于喷气后飞船绕椭圆轨道

在D 点的面积速度θsin 2

1

0D v r （D 为圆轨道和椭圆轨道的交点），

由开普勒第二定律，后者又等于飞船在近、远火星点的面积速度rv 2

1

，即：

rv v r v r D 2

1

sin 2121000==θ，即rv v r 00=…………………………（1）2分 由机械能守恒定律：0

2

02202r Mm G

)v v (m 21r Mm G mv 2

1-+=-α… （2）2分 飞船沿原轨道运动时：0

202

0r v m

r Mm G

=……………… （3）2分

式中h R r ,H R r 0+=+=………………………… （4）2分 联立方程组可解得：αα+-=1R H h 近… （5）2分 α

α-+=1R

H h 远 （6）2分

（2）设椭圆半长轴为a ，则a 2r r ＝远近+，即：2

01r a α-= …… （7）2分

飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为：0

0v r 2T π=

………… （8）2分 设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T ，由开普勒第三 定律得：