1对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分教案
第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。
在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。
记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。
如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。
由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。
对弧长的曲线积分
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
两类曲线积分定义及计算公式
第二类曲线积分的计算
定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧L上有定义且连 x ( t ), 续, L的参数方程为 当参数t单调地由变 y ( t ),
到时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B,
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
第一类曲线积分的计算
设 f ( x , y )在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 , x ( t ), L的 参 数 方 程 为 ( t )其 中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 则
2 f [ x , ( x )] 1 ( x )dx. ( a b )
L
f ( x , y )ds
b
a
( 2) L : x ( y )
c y d.
d c
推广
L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy. (c d )
x (t ) ( 3) 推广 : y ( t ), t起点 , 终点 . z (t )
Pdx Qdy Rdz
{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
微积分：10.1 第一类 (对弧长的) 曲线积分
i 1
n
取极限
A
lim
0
i 1
h(i ,i
) si .
A
y
Mn
MnA1 i
Mi
Mi1 (i ,i )
2:非均匀平面曲线形构件的质量
均匀的质量 M s.
分割 M0 , M1,, Mn , 近似 取 (i ,i ) Mi1Mi ,
Mi (i ,i ) si .
y
M0
o
(x, y) Mn
则 f ( x, y, z)ds
0,
当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z) 的奇函数
2 f ( x, y)ds, 当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z)的偶函数 1
Γ1是曲线Γ落在yz (或xz) (或x y平) 面一侧的部分.
运用对称性简化第一类曲线积分计 算时, 应同时考虑被积函数 与积分曲线 的对称性.
A⌒B
BO
yB
OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx
O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
A⌒B : x a cos t, y a sint, 0 t
4
A⌒B e x2 y2ds
4 ea
0
(a sint)2 (a cos t)2 dt aea
解2 选 y 为积分变量
y2 2x x y2 2
(0 y 2)
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
例 求I xyzds,其 中 : x a cos , y a sin ,
z k 的 一 段. (0 2 )
高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题1
∫
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
高数下第十一章曲线积分与曲面积分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的 对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
对弧长曲线积分课件
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
第十章 第1节 对弧长的曲线积分
β
(α < β )
8
∫
L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′2 ( t ) + ψ ′2 ( t )dt
α
β
(α < β )
说明: 说明
y
ds = (dx) +(dy)
2
2 2
2
= φ′ (t ) +ψ′ (t ) dt
o
ds d y dx x x
9
注意: 注意:
1. 定积分的下限 α 一定要小于上限 β ; 2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形
x = x ⇒ y = ψ ( x)
(1) L : y = ψ ( x )
2
a ≤ x ≤ b.
2
′2(x) d x ds = (dx) +(dy) = 1+ψ
α
− α
3
o α
L R x
= ∫ R2 sin2θ (−Rsinθ)2 +(Rcosθ )2 dθ
= R3(α −sinαcosα )
θ θ sin2 = R ∫ sin θdθ = 2R − α − 2 4 0
α
2
3
α
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
π 2 0
= ab ∫ sin t cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
a ab u 2du (令 = a2 sin2 t +b2 cos2 t ) = 2 u 2 ∫b a −b
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
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一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为µ(x, y). •把曲线弧L分成n个小段: ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示弧长); •任取(ξi, ηi)∈∆si, 得第i小段质量的近似值µ(ξi , ηi)∆si;
∑ f (ξi ,ηi )∆si ;
如果当λ=max{∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn}→0时, 这和的极限总存在, 则 称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分, 记作
i=1 i =1
n
∫L f (x, y)ds ,
即
lim ∫L f (x, y)ds = λ →0 ∑ f (ξi ,ηi )∆si , i =1
M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
n
i =1
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对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲线 ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示第i个小弧段的长度); 在每个小弧段∆si上任取一点(ξi, ηi), 作和
L
(3) 当 f ( x, y )表示立于L上的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算沿着曲线的某个向量场的积分。
曲线积分可以分为对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分两种类型。
对弧长的曲线积分是指在曲线上沿着曲线的方向对向量场进行积分。
这种积分通常用来计算曲线上的物理量，比如曲线的长度、质量、电荷等。
对弧长的曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y,z)ds其中，f(x,y,z)是曲线上的向量场，ds表示曲线上的微小弧长元素。
这个积分可以通过参数化曲线来计算，即将曲线表示为参数方程x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，然后将ds表示为dt的函数，即ds=√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2dt，然后将f(x,y,z)表示为x(t)，y(t)，z(t)的函数，最后对t进行积分即可。
对坐标的曲线积分是指在曲线上沿着一个固定的方向对向量场进行积分。
这种积分通常用来计算曲线上的势能、电势等。
对坐标的曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y,z)·dr其中，f(x,y,z)是曲线上的向量场，r表示曲线上的位置向量。
这个积分可以通过参数化曲线来计算，即将曲线表示为参数方程x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，然后将r表示为x(t)，y(t)，z(t)的函数，即r=<x(t),y(t),z(t)>，然后将f(x,y,z)表示为x(t)，y(t)，z(t)的函数，最后对t进行积分即可。
曲线积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算沿着曲线的某个向量场的积分。
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分类型，它们分别用来计算曲线上的物理量和势能等。
在实际应用中，曲线积分经常用于计算电场、磁场、流体力学等领域中的物理量。
第十一章 第1节 对弧长的曲线积分
3
3
2 a3
3
24
思考
y
3
(2xy 3x2 4 y2)ds
L
2 o 2 x
其中L : x2 y2 1,其周长为a. 43
利用对称性 2xyds 0 L
原式 12
( x2 L4
y2 )d s
3
12 ds
L
12a
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
3
记作 f (x, y)ds, 即 L
n
L
f (x, y)ds
lim 0
i 1
f (i ,i ) si.
其中
被积函数
n
L
f (x, y)ds lim 0
i 1
f (i ,i ) si
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
4
2.存在条件：
当 f (x, y) 在光滑曲线弧 L 上连续时,
L
c
(3) L : r r ( ), .
可举实际例子进行说明：r 2a cos
A(r, ) 与直角坐标
•
(x, y)关系？
L f ( x, y) d s
o
r
f
r( ) cos
, r( )sin
r2 ( ) r2 ( ) d.
11
推广:
x (t)
空间曲线
:
y
(t)
,
( t ).
解: ( x2 y2 z2 )d s 2 (a cost)2 (a sint)2 (kt)2 0
(a sint)2 (a cos t)2 k2 d t
§6.4第一型曲线积分的计算
故 ( x2 y2 z2 )ds 9 ds 2 9 2dt 18 .
L
L2
02
例 4．设 L 为椭圆 x2 y2 1 ，其周长为 a， 43
求 (3x 2 4 y 2 2xy)ds 的值. L
解：∵ x2 y2 1 ，∴ 3 x2 4 y2 12 ， 43
∴ (3x 2 4 y 2 2xy)ds （代入L的方程） L
L
x2 y2 z2 9 与平面x z1 的交线. 2
解： L
：x2 y2Biblioteka x z1z29 2
(x 1)2 2
2 z1 x.
y2 4
1,
其参数方程为：
x 1 2cost, 2
y 2sint,
z
1 2
2 cos t .
(0t 2 ) ，
ds ( 2 sint)2 (2cos t)2 ( 2 sint)2 dt 2dt,
ds 1 y2 (x)dx R dx
R2 x2
R xR
xds
dx 0
L
R R2 x2
(法二)
:
L
:
x
y
R R
cos s in
,0
ds R 2 sin 2 R 2 cos2 d
xds R 2 cosd R 2 sin 0
L
0
0
例 2 L (x y)ds, L : 连接三点O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
而平面 x y z0 通过原点，
∴ L 为平面 x y z 0 上半径为 R 的圆，其周长为 2R .
∵曲线 L 的 方程对 x，y，z 具有轮换对称性，
∴ zds xds yds 1 ( x y z)ds 0 ，
曲线积分的三个公式
曲线积分的三个公式
嘿，让我来给你讲讲曲线积分的三个公式呀！
第一个公式是对弧长的曲线积分公式，就好像你沿着一条弯曲的道路行走，要计算你走的总路程一样。
比如说，你绕着一个圆形花坛走了一圈，那这个路程不就是对弧长的曲线积分嘛！
第二个公式是对坐标的曲线积分公式。
这就好比你沿着一条路走，不仅要考虑走了多远，还要考虑在各个方向上走了多少。
举个例子呀，你在一个弯曲的操场上跑步，有向前跑的距离，也有左右横移的距离，把这些都综合起来计算，不就是对坐标的曲线积分嘛！
第三个公式是格林公式。
哇哦，这个公式可神奇啦！就像是给你一个神奇的工具，能把沿着曲线的积分转化为在一个区域内的积分。
比如说，就像你要计算一个复杂迷宫里的某种量，而格林公式能帮你找到一个更简单的方法去搞定它！
总之，这三个公式都超级有趣且重要呢，是不是很有意思呀！。
高数同济第六版下高等数学2第十一章答案[1]
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⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼗⼀章答案[1]习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +?，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第⼀象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ，其中Γ为折线ABCD ，这⾥A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ?，其中L 为摆线的⼀拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有⼀段铁丝成半圆形y =，其上任⼀点处的线密度的⼤⼩等于该点的纵坐标，求其质量。
解曲线L 的参数⽅程为()cos ,sin 0x a y a π==≤≤ds ad ??==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a π===?? 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的⼀段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+?，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针⽅向绕⾏）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-?，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的⼀段直线；（4）dx dy ydz Γ-+?，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这⾥A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧。
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提示
(2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (x, y)ds
d
f [ ( y), y]
2( y) 1dy
L
c
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
( i ,i )si
•对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分
•当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L
上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上 是连续的
•曲线形构件的质量就是曲线积分 (x, y)ds的值 L
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L
(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L
设f(x y)在曲线弧L上连续 L的参数方程为
x(t) y(t) (t) 其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0
则曲线积分 L f (x, y)ds 存在 并且
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？
提示
f (x, y, z)ds
f [(t), (t), (t)]
2(t) 2(t) 2(t)dt
一代、二换、三定限
代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，
特别地 有
| L f (x, y)ds | L| f (x, y)| ds
思考: 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
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二、对弧长的曲线积分的计算（描述代人法) （描成参数方程）
❖定理
则
f (x, y)ds 2 f (x, y)ds
L
L1
其中L1 是位于对称轴一侧的部分
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]Biblioteka 2(t) 2(t)dt ()
L
例 1 计算 yds 其中 L 是抛物线 yx2 上点 O(0 0)与点 L
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L1 L2
L1
L2
•函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 f (x, y)ds L
❖对弧长的曲线积分的性质
•性质1 设c1、c2为常数 则
L[c1 f
§6.4.1 对弧长的曲线积分（第一类）
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
在每个小弧段si上任取一点(i i) 作和
n
f (i,i)si
i 1
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则
称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
L f (x, y)ds 即
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0
i 1
f
( i ,i )si
其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
(x, y) c2g(x, y)]ds
c1
L
f
(x, y)ds c2
g(x, y)ds
L
•性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L
L1
L2
•性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则
L f (x, y)ds L g(x, y)ds
•类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线
积分
n
f
(x,
y,
z)ds
lim
0
i 1
f
(i,i,
i )si
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
( i ,i )si
•如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积
分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和
换：换弧微元 ds x2 y2dt
定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数
关于对称性
对弧长的曲线积分 可以利用对称性 简化计算
设L 关于 x ( y ) 轴对称 若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是奇函数
则 f (x, y)ds 0 L
若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是偶函数
•整个曲线形构件的质量近似为
M
n
( i ,i )si
i 1
•令max{s1 s2 sn}0 则整个曲线形构件的质量为
n
M
lim
0
i 1
(i,i
)si
❖对弧长的曲线积分
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界
将L任意分成n个小弧段
>>>光滑曲线
s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度)
提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb)
f (x, y)ds
b
f [x, (x)]
1 2(x)dx
L
a
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L