流体力学三大方程的推导(优选.)
流体力学三大方程是什么适用条件有哪些
流体⼒学三⼤⽅程是什么适⽤条件有哪些
流体⼒学的三⼤⽅程分别是连续性⽅程、能量⽅程、动量⽅程。
下⾯是关于流体⼒学的简要介绍，供⼤家参考了解。
流体⼒学三⼤⽅程
流体⼒学之流体动⼒学三⼤⽅程分别指：
1、连续性⽅程——依据质量守恒定律推导得出；
2、能量⽅程（⼜称伯努利⽅程）——依据能量守恒定律推导得出；
3、动量⽅程——依据动量守恒定律（⽜顿第⼆定律）推导得出的。
适⽤条件：
流体⼒学是连续介质⼒学的⼀门分⽀，是研究流体(包含⽓体，液体以及等离⼦态)现象以及相关⼒学⾏为的科学纳维-斯托克斯⽅程基于⽜顿第⼆定律，表⽰流体运动与作⽤于流体上的⼒的相互关系。
纳维-斯托克斯⽅程是⾮线性微分⽅程，其中包含流体的运动速度，压强，密度，粘度，温度等变量，⽽这些都是空间位置和时间的函数。
⼀般来说，对于⼀般的流体运动学问题，需要同时将纳维-斯托克斯⽅程结合质量守恒、能量守恒，热⼒学⽅程以及介质的材料性质，⼀同求解。
由于其复杂性，通常只有通过给定边界条件下，通过计算机数值计算的⽅式才可以求解。
流体⼒学原理及应⽤
流体⼒学原理主要指计算流体动⼒学中的数值⽅法的现状；运⽤基本的数学分析，详尽阐述数值计算的基本原理；讨论流域和⾮⼀致结构化边界适应⽹格的⼏何复杂性带来的困难等。
流体⼒学原理在游泳中的应⽤：⽔的⾃然特性与⼈体的飘浮能⼒凡涉及⽔环境的运动项⽬，参与者都不可忽视⽔的⼀条最为重要的⾃然属性──⽔是⼀种流体。
物理学中，研究流体宏观运动的这部分⼒学，称为流体⼒学。
它分为流体静⼒学和流体动⼒学两部分。
流体静⼒学研究流体平衡时⼒的宏观状态和规律，其主要内容有⽐重、液体内部压强、浮⼒和阿基⽶德定律等。
流体力学基本方程的推导和应用
流体力学基本方程的推导和应用流体力学是研究流体运动规律的学科，它的基础是一组基本方程。
这些方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在本文中，我们将推导这些基本方程，并探讨它们在实际应用中的作用。
首先，我们来推导流体力学的质量守恒方程。
根据质量守恒定律，单位时间内通过某一截面的质量应该等于流入该截面的质量减去流出该截面的质量。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体通过截面的面积为A，则单位时间内通过该截面的质量为ρuA。
假设流体在该截面上的流入速度为u，流出速度为u+Δu，则单位时间内流入该截面的质量为ρuA，单位时间内流出该截面的质量为ρ(Δu)A。
根据质量守恒定律，我们可以得到以下方程：ρuA - ρ(Δu)A = 0通过简化和除以Δt，我们可以得到质量守恒方程的微分形式：∂(ρuA)/∂t + ∂(ρu^2A)/∂x = 0接下来，我们来推导流体力学的动量守恒方程。
根据牛顿第二定律，流体的动量变化率等于作用在流体上的力。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体在y方向上的速度为v，流体在z方向上的速度为w，则单位体积内的动量为ρu，ρv和ρw。
假设流体受到的力为Fx，Fy和Fz，则根据动量守恒定律，我们可以得到以下方程组：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz通过简化和除以Δt，我们可以得到动量守恒方程的微分形式：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz最后，我们来推导流体力学的能量守恒方程。
03第三章 流体力学的基本方程
15
江苏大学
Jiangsu University
：从1至2断面的能量损 hw
失（单位重量流体）
六、实际微小流束的伯努利方程 1. 急变流与缓变流 缓变流：流线之间的夹角很小，流线间几乎是平行的，且流线曲率半径 很大。即：流线近似平行直线的流动。 急变流：不满足缓变流条件之一的流动。
( v )v 0?
2．动能修正系数
1 2 dQv A 2 2 1 Q v 2
v2 A 2 g gdQ v gQ 2g
2
3．总流伯努利方程的导出 总流是无数微小流束的总和，总流的 伯努利方程只要对微小流束的伯努利 积分在整个断面上积分便可求出：
2 p1 v12 p2 v2 z1 z2 hw g 2 g g 2 g 2 p1 v12 p2 v2 ) gdQ A1 ( z1 g 2g )gdQ A2 ( z 2 g 2g hw 1 p x x PF 1 p y y PF 1 p z z
4
江苏大学
Jiangsu University
v2 (W PF ) 2(v z y v y z ) x 2
v2 (W PF ) 2(v x z v z x ) y 2
2 1 1
2 2
方程的意义：断面1单位重量流体的机械能=断面2单位重量流体的机械能+ 断面之间单位重量流体的机械能损失 伯努利方程的适用条件： 1）定常流动 ；2）不可压缩均质流体 ；3）重力流体，质量力只受重力 4）缓变流断面 伯努利方程应用注意： 1）方程式不是对任何流动都适用的，注意其使用条件；2）常常和一元 连续性方程连用 ；3）方程中的位置水头是相对的，通常取在轴线或较 低断面上；4）两个断面的压强标准必须一致，一般用表压（相对压强） ；5）在选取二个过流断面时，尽可能只包含一个未知数，如水库水面、 大容器水面、出口断面等；6）方程要求二个断面都是缓变流断面，但并 不要求二个断面之间是缓变流 ；7）在多数工程计算中，位置水头或压 20 强水头都较大，而流速水头都较小 ，动能修正系数为1.0
流体力学三大方程推导
流体力学连续性方程，动量方程，能量守恒方程推导过程——广州新宿一次狼我在做热设计仿真的时候复习了流体力学的连续性方程，动量方程和能量守恒方程，就整理出来，分享一下。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
最后就是能量守恒方程。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t r νν=随体导数表示流体质点在欧拉场内（见流体运动学）运动时所具有的物理量对时间的全导数。
从张量的角度推导流体力学三大基本方程
从张量的角度推导流体力学三大基本方程首先要讲一点，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就是物理学家们在最初探讨介质流动的基本思路，也就是物理四大基本方程组的应用。
因此，我们可以借助张量的思维，来解释它们之间的联系和关系。
物理学家莱布尼茨首次提出物理的四大基本方程，有基于的物质的物理过程，包括动能守恒定律、牛顿第二定律、热力学定理和电磁学方程，这四个定理被称为"物理四大基本方程"。
运用张量计算，物理四大基本方程组可以表示为扩散方程（物体总动能守恒）、质量守恒方程（物体质量守恒）、动量守恒方程（物体总动量守恒）和能量守恒方程（物体总能量守恒）。
因此，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就可以被推导出来了，它们分别是物质及能量流量守恒方程（散度定律）、恒定流体能量方程（动量守恒方程）和变量流体压力方程（勒莱塔方程）。
物质及能量流量守恒方程，就是基于张量计算的变量物质流动的物理过程，它表示物体总本量的流动的等离子体及其能量的守恒，其正视图扩散方程可以表示为：∇•∇*T=0，T表示物质总本量的流动及其能量；恒定流体能量方程，主要对物体动量而言，基于张量表示，比如动量方程：。
∇•(Y×Y )=0， Y表示动量；最后是变量流体压力方程，这是在勒莱塔方程的基础上的进一步发展，它结合了物质及能量流浪的特性，表示为：Φ=Φ(F/L-q*h)，其中F表示动量、L表示动量流浪速度、q表示物质流浪的密度以及h表示压力的空间变化。
总之，流体力学三大基本方程实质上都是应用物理四大基本方程和张量思维，在有限时间和空间范围内对物体总本量和其能量变化和动力学过程进行守恒性分析的方法。
鉴于其复杂性，可以用来研究复杂物理过程，比如流体动力学。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
上海市考研力学复习资料流体力学基本公式推导
上海市考研力学复习资料流体力学基本公式推导流体力学是力学的一个重要分支，研究流体的运动规律和性质。
在考研力学复习中，流体力学是一个必须掌握的内容。
本文将对流体力学的基本公式进行推导。
一、流体静力学1. 流体的定义流体是指无固定形状且能够流动的物质，包括液体和气体。
2. 流体中的压强单位面积上垂直于面积的方向上的力称为压力，用P表示。
流体中的压强可以用下式表示：P = F/A其中，P表示压强，F表示作用力，A表示受力面积。
3. 流体静力学基本公式1) 定压体积力学模量流体的定压体积力学模量K可以用下式表示：K = -V(∂P/∂V)其中，V表示流体的体积，P表示流体的压强。
2) 压强在流体中的传递考虑一个高度为h的柱状流体，底面积为A，上面施加一个压强为P的外力。
那么，在底面积上受到的压力为F1 = PA，上面受到的压力为F2 = F1 + P∆A。
而上面受到的压力为重力和压强的合力，可表示为F2 = mgh + P∆A。
由此可得P∆A = mgh，即P = ρgh。
这就是流体静力学中的基本公式，即压强公式。
二、流体动力学1. 流体的密度和质量流体的密度用ρ表示，质量用m表示，体积用V表示。
它们之间的关系可以表示为ρ = m/V。
2. 流体的体积流量流体的体积流量Q可以用下式表示：Q = Av其中，A表示流体横截面的面积，v表示流体的速度。
3. 质量守恒定律考虑通过一个管道的流体，其质量守恒定律可以用下式表示：ρ1A1v1 = ρ2A2v2其中，ρ1和ρ2分别为流体的密度，A1和A2分别为流体的横截面积，v1和v2分别为流体的速度。
4. 动量守恒定律考虑一个流体元体积内的动量变化，其动量守恒定律可以用下式表示：∂(ρv)/∂t + ∇(ρv^2) = -∇P + ∇·τ + ρg其中，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，t表示时间，P表示流体的压强，τ表示黏性应力，g表示重力加速度。
5. 能量守恒定律考虑一个流体元体积内的能量变化，其能量守恒定律可以用下式表示：∂(ρe)/∂t + ∇(ρve) = -P∇·v + ∇·(k∇T) + ρg·v + Q其中，ρ表示流体的密度，e表示单位质量的总能量，v表示流体的速度，t表示时间，P表示流体的压强，T表示流体的温度，k表示热导率，g表示重力加速度，Q表示单位质量的热源。
流体力学三大基本方程公式
流体力学三大基本方程公式流体力学是研究流体（液体和气体）行为的一门学科，而其中的三大基本方程就像是流体世界里的三位“大神”，每一个都有自己的风格和特点。
今天我们就来轻松聊聊这三大基本方程，看看它们是如何影响我们日常生活的。
1. 连续方程1.1 理论基础连续方程说的就是流体在流动时质量是守恒的，也就是说流体不会凭空消失或者出现。
这就好比你在喝饮料，吸管里的液体不管你怎么吸，它的总量始终不变。
你想，假如你吸得太快，吸管里液体都没了，那饮料可就喝不到了，真是要命！1.2 实际应用在现实生活中，这个方程的应用可广泛了。
比如，水管里流动的水，流量是一定的。
如果管道变窄，水速就会变快，简直就像是高速公路上的汽车，车道窄了，车速得加快才能不堵车。
你可以想象一下，如果这条“水路”被堵了，后果可就不堪设想，真是“水深火热”啊。
2. 纳维斯托克斯方程2.1 理论基础说到纳维斯托克斯方程，这可是流体力学里的“超级英雄”。
它描述了流体的运动，考虑了粘性、压力、速度等多个因素，就像一位全能运动员，无论是短跑、游泳，还是足球，样样精通！这个方程让我们能够预测流体的流动，简直就像是给流体穿上了“预测未来”的眼镜。
2.2 实际应用说到实际应用，纳维斯托克斯方程可是在天气预报、飞机设计等领域大显身手。
在气象学中，气象学家利用这个方程来模拟风暴、降雨等自然现象，真的是“未雨绸缪”，让我们提前做好准备。
想象一下，若是没有它，我们可能在大雨来临时还在悠哉悠哉地喝着茶，结果被“浇”了个透心凉。
3. 伯努利方程3.1 理论基础最后我们得提提伯努利方程，它可是流体动力学的明星。
简单来说，伯努利方程告诉我们，流体的压力和速度之间有着“爱恨交织”的关系。
流速快的地方，压力就低；流速慢的地方，压力就高。
这就像是你在一个热闹的派对上，越往外挤，周围的人越少，反而显得格外“安静”。
3.2 实际应用伯努利方程的应用那可是多得数不胜数，尤其是在飞行器设计上。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
(完整版)流体力学NS方程推导过程
流体力学NS 方程简易推导过程小菜鸟0 引言流体力学的NS 方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。
1 基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。
不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。
自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS 方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。
连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。
连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。
有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。
流体力学_纳维尔斯托克斯_欧拉方程的推导
一、流体力学基本公式公式的含义：质量守恒、动量守恒、能量守恒()0D V Dtρδ=(0.1)()D VUV f Dtρδδρδτ=+(0.2)()()()2/2D V e U V f U U V q Dtρδδρδτδρ+=⋅+⋅+(0.3)将(0.1)式应用于(0.2)、(0.3)两式可得()()()()()()()()()2222/2/2/2/2 D VU D V DU DU U V V V f Dt Dt Dt Dt D V e U D e U D V e U V Dt Dt Dt D e U V V f U U V q Dt V f ρδρδρδρδδρδτρδρδρδρδδρδτδρδρ=+==+++=+++==⋅+⋅+=+ ()U U V q δττδδρ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋅+⋅+⎩即DU f Dt V δτδρ=+()2/2D e U U f U q DtV V δττδδρδρ+⎛⎫⋅=+⋅++ ⎪⎝⎭而(0.1)式本身作如下简化：()()()()00D V D D V V DtDt DtD V D D U Dt VDt Dt ρδρδδρδρρρρδ=+=+=+∇⋅=那么三个控制方程可以表示为()20/2D U DtDUf Dt V D e U U f U q Dt V V ρρδτδρδττδδρδρ⎧⎪+∇⋅=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+⎛⎫⋅⎪=+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎩(0.4)将()()()D U Dtt∂=+⋅∇∂ 应用于(0.4)式，可以得到()0U t ρρ∂+∇⋅=∂ (0.5)U U U f t V δτδρ∂+⋅∇=+∂(0.6)()()22/2/2e U U U e U f U q t V V δττδδρδρ∂+⎛⎫⋅+⋅∇+=+⋅++ ⎪∂⎝⎭(0.7)将(0.6)式代入(0.7)式化简，可得()()()()2222/2/2/2/2e U U e U t U e U e U U t t U U U U U qt V ρρρτδρδρ⎛⎫∂+ ⎪+⋅∇+ ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪=+⋅∇++⋅∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⋅=+⋅∇⋅++ ⎪∂⎝⎭其中，()()()()()2/2/21122i i i i i i i i U U U U U U U U U U U ttt t t t∂⎛⎫∂∂∂∂∂==+==⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭()()21/22j j j i i j i iU U U U U U U U U U U x x ∂∂⋅∇===⋅∇⋅∂∂所以e U U e q t V τδδρ∂⋅+⋅∇=+∂(0.8)于是，三个控制方程化简为()0U t U U U f t V e U U e qtV ρρδτδρτδδρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂⎪+⋅∇=+⎨∂⎪⎪∂⋅⎪+⋅∇=+∂⎪⎩(0.9)其中，τ为剪应力对微元体的力，故()1,2,31,2,31,2,31,2,31111ij i i j k ij i i i i j ki j j ij j k ij i ij i i j k i j T dx e dx dx T x e TV dx dx dx x U T dx dx dx U x U T T U V dx dx dx x δτδρρρρτδδρρρρ====∂⎧⎪∂∂⎪===∇⋅∂⎪⎪⎨∂⎪⎪∂∂⋅===⋅∇⋅⎪∂⎪⎩∑∑ 所以，三个控制方程最终可以写为()()011U t U U U f T t e U e T U qtρρρρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂+⋅∇=+∇⋅⎨∂⎪⎪∂+⋅∇=⋅∇⋅+⎪∂⎩(0.10)其中，T 为微元体受到的表面应力()22j ki ij kk ij ij ij k j i u u u T p S S p x xx λδμμδμ⎛⎫∂⎛⎫∂∂=-++=--++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭即()()2T p U I U U μμ=--∇⋅+∇+∇(0.11)将(0.11)代入(0.10)式可以得到()()()()()()2323011U t U U U f p U U U te U e p U I U U U q tρρμμρμμρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂⎡⎤+⋅∇=+∇--∇⋅+∇⋅∇+∇⎨⎣⎦∂⎪⎪∂⎡⎤+⋅∇=--∇⋅+∇+∇⋅∇⋅+⎪⎣⎦∂⎩(0.12)将(0.12)式写为张量形式()2222323011i i j j ii i j i j i i j j i j j j j j i i j i j i i U t x U U U U U p U f t x x x x x x x x U U U U U e U e p q t x x x x x ρρμμρμμρ⎧∂∂⎪+=⎪∂∂⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪∂∂∂∂∂∂⎪+=+--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎪+⋅∇=--+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩(0.13) 再将(0.13)式写为分量形式，得()()()222222222220 113 113x y u v w t x y z u u u u u v w tx y z p u v w u u u f x x x y z xy z v v v v u v w t x y z p u v w v v f y y x y z x y ρρρρμμρμμρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222223113 2z v z w w w wu v w tx y z p u v w w w w f z z x y z x y z e e e e u v w t x y z p u v w u v w x y z x y z u μμρνρν⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪∂⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=--++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂+∂222222+v w u v u w v w q x y z y x z x z y ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩(0.14)当流体不可压缩时，ρ为常数，(0.14)式可以化简为22222222222222220111x y z u v w x y z u u u u pu u u u v wf t x y z x x y z v v v v p v v v u v w f t x y z y x y z w w w w pw w uv w f t x y z z x y μρμρμρ∂∂∂++=∂∂∂⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++∂∂∂∂∂∂∂22w z ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪∂⎝⎭⎪⎣⎦⎩(0.15)此时方程已经封闭，最后一个方程不需要再给出。
流体力学公式推导
关于N-S 方程的推导1.切向应力互等定律将作用与六面体上的所有表面力和质量力得对通过六面体中心点M 且与Z 轴平行的轴线取矩。
dy y∂∂+yxyx ττxyτ dy •Mdx xxy∂∂+ττxy dx yx τ222xy )(dx dx dx d d d M d d d d d d d d zy x x yx z y xy z x y y yxyx z y x yx ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-∂∂∂∂∑-=ττττττ （1） 根据转动定律有Ja M =∑ （2）2)(d d d d J rzyxρ= （3）J-流体微团对通过中心点M 且与Z 轴平行的轴的转动惯量，kg.2ma -角加速度，1/sdr -转动惯量半径。
m合并（1）（2）（3）的a dr d d d d d d d y d x d d d zyxzyxyyxxyxzyxyxxy2)(2)()(ρττττ=∂∂-∂∂+-（4）ττττττττzxxzzyyzyx xy zyxyxxyd d d ====-0)( （5）2.广义牛顿内摩擦定律dydxμτ=θ∆ B C 'BA D 'A剪变形角速度。
用{}z y x γγγ,,表示流体微团在yz 面、xz 面、xy 面内某一直角在单位时间内改变量的一半则有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)(21)(21)(21x y x z z y yxzzxyyzxυυγυυγυυγ （6）剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半，下标XYZ 表示剪切变形的法线方向其中γ的下标与偏微分方向可以按 zX y 的顺序。
根据（6）式可知，其中垂直于Z 轴的平面上的角变形速度为yx xyz∂∂+∂∂=υυγ2 (7)因此，切向应力μγττ2xy== (8)由牛顿内摩擦定律和（6）（7）（8）式可以得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==)()()(z x z y x xzzxxzyzzyyzyy xyxxyυυμττυυμττυυμττ(9)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+-=∂∂+-=∂∂+-=z p y p x p zzzyyy xxx υμσυμσυμσ222 (10)3.不可压流体的连续方程0=∂∂+∂∂+∂∂zy x zyxυυυ (11) 4.N-S 方程的推导 由牛顿第二定律a Fm =即质量力+表面力=加速度×质量（先研究X 方向）dtd dxdydzdxdy z dxdy dzdx dy y dzdxdydz dx xdydz dxdydz f xzxzxzxyxyxyxxxxxxxxυρττττττσσσρ=∂∂++-∂∂++-∂∂++-)()()( （12） 整理方程得dtd z y x f xzxyxxxxυττσρ=∂∂+∂∂+∂∂+)(1 （13） 同理可得Y Z 方向dtd y x z f dtd x z y f zyzxzzzxyxyzyyyyυττσρυττσρ=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+)(1)(1 （14）将切向应力和法向应力的关系式（9）（10）代入（13）得)()(1}21222222zy x x z y x x p f x xz z y x y x p x f dt d zy x x x x x z x x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-⎩⎨⎧∂∂+=υυυρμυυυρμρυυμυυμυμρυ （15）根据不可压流体的连续方程（11），上面（15）等号右端的第四项为零，故得⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=2222221d y y x x p fx dt xxxxυυυνρυ (16) 同理可得)(1)(1222222222222zy x fz dt d zy x fy dt d zzzzyyyy∂∂+∂∂+∂∂+-=∂∂+∂∂+∂∂+-=υυυνρυυυυνρυ （17）这就是 N-S 方程3.N-S 方程的物理意义和几何意义基于N-S 方程的水泵管道动态分析一．工程实际问题的描述在管道运输过程中，管道存在各种非恒定定流动，水泵运行时也面临各种各样的暂态过程，这些暂态过程会对水泵及水泵站的经济及安全造成一定的影响。
(优选)流体力学中的三大基本方程
3.1 伯努利方程积分形式
p x
dx 2
pN
p
p x
dx 2
X方向上质点所受表面力合力：
（pM pN）dydz
p x
dxdydz
③ 流体质点加速度 a 的计算方法：
（x，y，z，t）x f（t） y f（' t）y f （ '' t）
流速a 的 全ddt导数应t是： x
x
y
y
z
z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
即作F用 力之m合a力=动m量d随时间的d变（化m速率）
dt
dt
⑶分析受力： ① 质量力：
dxdydzf
单位质量力：f fxi f y j fzk
X方向上所受质量力为： f xdxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力
X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
pM
p
流体力学中的三大基本方程
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中
任取出以 ox，y，z
（ dt）dxdydz dxdydz dtdxdydz
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
流体力学伯努利三个公式
流体力学伯努利三个公式
嘿，朋友！让我来给你讲讲流体力学伯努利的三个公式哈。
第一个公式就是连续性方程啦，简单来说就是在一个流管中，流体的质量流量是保持不变的哟。
就好比是一条水管，水从这头进，那头出，进去多少水就得出来多少水呀！比如说，你家里的水龙头一直在放水，水在水管里流动，不管中间怎么拐来拐去，进去的水量和出来的水量肯定是一样的嘛。
第二个公式是伯努利定理啦。
哎呀呀，这个可神奇了！它说流体的速度和压力之间有个特别的关系呢。
想象一下，一阵风吹过，风速度快的地方压力是不是就小呀？就好比在刮大风的时候，你会感觉风大的地方好像有股力量在拉你一样！比如飞机能飞起来，不就是利用了这个原理嘛，机翼上方空气流速快压力小，下方空气流速慢压力大，这不就把飞机给托起来啦？
第三个公式是动量方程。
这就像是流体的一种“力气”表现哟！比如消防水管里喷出的水，可以冲倒一些东西，这就是水的动量在起作用呀。
想想看，消防员用高压水枪灭火的时候，那水流的力量多大呀，不就是因为动量嘛！
怎么样，是不是对流体力学伯努利的三个公式有点感觉啦？哈哈，好好去琢磨琢磨吧！。
流体力学 三大方程
流体力学三大方程今天咱们来聊一聊特别有趣的流体力学里的三大方程。
咱们先想象一下水在水管里流动的样子。
水就像一群调皮的小虫子，在管道里跑来跑去。
流体力学就是研究像水这样的流体是怎么运动的科学呢。
那这三大方程就像是给流体运动制定的三条特别的规则。
有一个方程就像是在说流体的数量是怎么变的。
比如说，咱们家里的水龙头开着的时候，水不断地流出来。
如果水龙头流出来的水比流进下水道的水多，那水就会在水池里越积越多。
这就好像是这个方程在描述的东西，它关注的是有多少流体在一个地方增加或者减少了。
就像在一个大水桶里，如果一边往里倒水，一边往外漏水，这个方程就能告诉我们桶里的水到底是变多了还是变少了。
还有一个方程就像是在描述流体的力气。
你看，当风很大的时候，能把咱们的小帽子吹跑，这就是风的力气。
流体也是有这样的力气的。
比如说大海里的海浪，海浪能把海边的小贝壳冲到沙滩上更远的地方，这就是海水流动的力气在起作用。
这个方程就像在给流体的力气做记录，看看它到底有多大的劲儿。
最后一个方程呢，就像是在讲流体的能量。
咱们都知道玩滑梯的时候，从滑梯上滑下来速度会越来越快，这是因为有重力势能变成了动能。
流体也有能量的变化。
就像河流从高高的山上流下来，在山上的时候水就像是有很多潜在的能量，等流到山下的时候，这些能量就变成了让水快速流动的能量。
这个方程就是在告诉我们流体的能量是怎么转换的。
这三大方程就像是三个好朋友，一起帮助科学家们了解流体到底是怎么运动的。
不管是小小的雨滴从天上落下来，还是大大的飞机在天空中飞行时周围空气的流动，都可以用这三大方程来研究呢。
比如说，咱们吹泡泡的时候。
泡泡里面的空气就是一种流体。
当我们吹出泡泡的时候，泡泡里面的空气数量、空气的力气还有空气的能量都是有一定的关系的。
这三大方程就像隐藏在泡泡背后的小秘密，要是我们能很好地理解这三个方程，就好像能看透泡泡里空气的所有小秘密一样。
所以呀，这流体力学的三大方程虽然听起来有点复杂，但是只要我们想象生活中的这些小例子，就会觉得它们很有趣，也很容易理解啦。
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微分形式的连续性方程连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。
设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。
先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。
在x 轴方向流出与流入质量之差()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x xρρρρ∂∂+-=∂∂用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入质量之差分别为()y u dxdydzdt y ρ∂∂()z u dxdydzdt z ρ∂∂这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：()()()[]y x z u u udxdydzdt x x x ρρρ∂∂∂++∂∂∂在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量()dxdydzdt t ρ∂-∂()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z tρρρρ∂∂∂∂++=-∂∂∂∂()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
代表单位时间内，单位体积的质量变化代表单位时间内，单位体积内质量的净流出利用散度公式：得到利用矢量场基本运算公式和随体导数公式：得到 )()()()div(z y x u z u y u x u ρρρρ∂∂+∂∂+∂∂= 0)div(=+∂∂u tρρ()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂在连续方程中 div()div u u u ρρρ=+⋅∇ρρρ∇⋅+∂∂=u tDt D 0div =+u Dt D ρρdiv 0u u tρρρ∂++⋅∇=∂讨论*表明对不可压流体，体积在随体运动中保持不变。
适用于定常或不定常流体。
⑴ 对于定常流动， ，连续方程可简化为， 0t ∂=∂ ⑵ 对于不可压缩流体， ，连续方程可简化为， 0=DtD ρ()0div v ρ=0divv =——微分形式 *表明定常运动时，单位体积内流进流出的质量相等。
适用于可压或不可压流体。
0D divv Dtρρ+=因为 ()0div v tρρ∂+=∂微分形式的运动方程运动方程是流体运动的最基本的运动学原理，即找出流体运动和它受到的作用力之间的关系的数学表达式，依据的理论原理是牛顿的运动定律或动量定理，下面利用欧拉法形式建立微分形式的运动方程。
作用于流体的力质量力流体的作用力表面力 分析对象：流体中以界面 包围的体积为的流体块 στ质量力质量力（体力）：是指作用于所有流体质点的力。
如重力、万有引力等。
（1）质量力是长程力：它随相互作用的元素之间的距离的增加而减小，对于一般流体的特征运动距离而言，均能显示出来。
（2）它是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体存在并无关系。
通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。
如果 表示单位质量的流体的质量力，规定其为：其中 是作用在质量为 的流体块上的质量力。
不难看出， 可以看做力的分布密度。
F 0lim m F F mδδδ→'=F ' δF例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度或者说单位质量的流体的质量力就是重力加速度 。
g m δ表面力表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面上的摩擦力等。
（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。
表面力随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱，只有在相互作用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现出来。
（2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的，只有处于界面上的流体质点所受的，由界面外侧流体所施加的表面力存在。
（3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。
定义单位面积上的表面力为：其中 是作用于某个流体面积上 的表面力 0lim p p δσδδσ→'=δσp ' δ矢量 是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函数，因而构成了一个矢量场。
而矢量为流体的应力矢，它不但是时间和空间点的函数，并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变化。
所以要确定应力矢 ，必须考虑点的矢径 、该点受力面元的方向（或者说面元的法向单位矢 ）以及时间 t 。
确切地说应力矢是两个矢量（ 、 ）和一个标量函数 t 。
质量力和表面力的比较n r p F 质量力和表面力有着本质的差别。
p n r在运动流体中选取一小六面体体元，其边长分别为： 为了导出流体的运动方程，首先来分析小体元的受力情况。
δδδx y z,,=+dV x y z dtρδδδ质量力表面力根据牛顿第二定律： x yz x δy δzδx 方向质量力分析x x m F F x y zδρδδδ==x 方向的质量力 x 方向表面力分析周围流体对小体元的六个表面有表面力的作用，而通过六个侧面作用于小体元沿 x 方向的表面力分别为：z y x x p p xx xx δδδ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+zy p xx δδ-小体元所受的x 方向的表面力 = 前后侧面之和： 前后侧面： z y x xp xx δδδ∂∂x xx p -xxp z y δδxδ?因此，周围流体通过六个侧面作用于小体元沿x 方向的表面力合力为：z x y y p p yx yx δδδ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+zx p yx δδ-y x z z p p zx zx δδδ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+yx p zx δδ-右左侧面： 上下侧面： z y x z p y p x p zx yx xx δδδ∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++据牛顿运动定律：小体元受力等于其质量与加速度的乘积：z y x z p y p xp z y x F z y x dt du zx yx xx x δδδ∂∂∂∂∂∂δδρδδδρδ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z p y p x p F dt du zx yx xx x ∂∂∂∂∂∂ρ1x 方向合力分析单位质量流体在 x 方向的运动方程方程可以简化为：单位质量流体在 y 方向的运动方程单位质量流体在 z 方向的运动方程 同理可得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z p y p x p F dt dw zz yz xz z ∂∂∂∂∂∂ρ1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z p y p x p F dt dv zy yy xy y ∂∂∂∂∂∂ρ1矢量形式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=zp y p x p F dt V d zy x ∂∂∂∂∂∂ρ 1P F dt V d ∙∇+=ρ1xx xy xz yx yy yz zx zy zz p p p P p p p x y z p p p ∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎪⎛⎫∇∙= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭或者： 流体运动方程的普遍形式微分形式的能量方程1、动能方程2、热流量方程 3、伯努利方程能量守恒定律是自然界的普遍规律，流体在运动过程中也是遵循该定律。
孤立系统（与外界没有质量、能量的交换）：流体在运动过程可以伴随着各种形式的能量之间的相互转换，但起总能量是不变的； 非孤立系统：总能量的变化，等于外力（包括质量力和系统外部的表面力）对系统所做的功和所吸收的热量。
系统的能量对于能量，主要指为三种形式：内能、动能及重力势能。
单位质量的内能------e ：流体分子热运动而具有的能量； 单位质量的动能------v 2/2表示单位质量的重力势能-------gz ：由万有引力起，与位置的高差有关；gzv e e s ++=221τρτρττd gz v e d e E s )21(2++==⎰⎰单位质量的总能量（储存能）-------e s ： 则体积为τ的流体系统的能量E:热力学第一定理对于一个静止的热力学系统（或起始和终止状态处于静止的系统）：系统储存能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。
一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和。
对于某一系统，单位时间对系统所作的功（实际上就是功率）用 表示，单位时间加给系统的热量用Q 表示，则系统能量E 的变化率为:dW dt Q tWDt DE +=d d 将热力学第一定律应用于流体运动，把上式各项用有关的流体物理量表示出来，即是能量方程。
在系统的总能量中，已考虑单位质量的重力势能，则质量力作功功率中将不包括重力作功功率。
推导微分形式的能量方程的思路：根据热力学第一定律，系统能量的变化率等于外力单位时间对系统所作的功与通过热传导向系统单位时间所传的热量之和。
即: 单位时间系统能量的变化=单位时间外力对系统所作的功+单位时间外界传递给系统的热量外力对系统所作的功=质量力所作的功+表面力所作的功外界传递给系统的热量=传导热+辐射热下面用有关的流体的物理量来表达上述各项。
①单位时间系统能量的变化 方法1微元系统能量的时间变化率也分为两部分，一部分是控制体内储存能的变化，其单位时间的变化率为z y x e ts d d d )(ρ∂∂z y x we z ve y ue x s s s d d d )()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ρρρ另一部分为经控制面迁移的能量引起的，单位时间经全部控制面净流出的储存能为()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这样微元系统总的储存能的时间变化率为这两部分之和：zy x DtDe zy x v Dt D e Dt De zy x v e Dt D e Dt De z y x v e e Dt Dz y x v div e e v e t z y x e v div e t z y x we z ve y ue x e t Dt DE s s ss s ss s s s s s s s s s s d d d d d d )div (d d d div d d d div )(d d d ))(()(d d d )()(d d d )()()()(ρρρρρρρρρρρρρρρρρρ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇⋅+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=①单位时间系统能量的变化 方法2在t 时刻微元六面体系统的储存能，其系统能量的随体导数:z y x e s d d d ρz y x DtDe dxdydz DtDe dxdydz Dt e D dxdydz e Dt D Dt DE s s s s d d d )()(ρρρρ=+==()0s D e dxdydz Dtρ=由于系统质量的随体导数等于零。