2019版高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第69讲绝对值不等式课件

【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解析 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0，令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5， －2x－6，x≤－2，
则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图象，如图所示． 由图可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
三 绝对值不等式的综合应用
对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式 更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有 最大值又有最小值．
【例3】 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|＋a. (1)当a＝0时，解不等式f(x)≥6； (2)若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
3．不等式 1＜x＋1＜3 的解集为( D )
A．(0,2)
B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0)
D．(－4，－2)∪(0,2)
解析 1＜|x＋1|＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2或－4＜x＜－2.
4．不等式|2x－1|＜2－3x 的解集是( C )
A．x|x＜12
B．x|12≤x＜35
C．x|x＜35
D．x|x＞35
解析 |2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔32xx－ －21＜ ＜22x－－31x，
x＜1， ⇔x＜35
⇔x＜35.
5 ． 若 不 等 式 |3x － b|＜ 4的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则b的取值范围为 ___(5_,_7_) ___．
二 绝对值不等式的证明
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
【例 2】 设 a∈R，函数 f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54. 证明 方法一 ∵－1≤x≤1，∴|x|≤1. 又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x|2＋|x|＝－|x|－122＋54≤54.
－4x＋2，x＜－12， 解析 (1)当 a＝0 时，求得 f(x)＝4，－12≤x≤32，
4x－2，x＞32，
由 f(x)≥6⇒x≤－1 或 x≥2.
所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
第十二章
不等式选讲
第69讲 绝对值不等式
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝 2017·全国卷Ⅰ，23 解绝对值不等
对值不等式的几何意义证明以下不等式： 2016·全国卷Ⅰ，24 式是本部分在
(1)a＋b≤a＋b. (2)a－b≤a－c＋c－b. 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类
2．含绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式x＜a，x＞a 的解集
不等式 x ＜a x ＞a
a＞0 __{_x_|－__a_＜__x_＜__a_}____ _{_x_|_x_＞__a_或__x＜__－__a_}___
a＝0 ____∅________ ____{_x_|_x_∈__R_且__x_≠_0_}_____
方法二 设 g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1， 当 x＝±1，即 x2－1＝0 时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤54； 当－1<x<1，即 x2－1<0 时，g(a)＝ax2＋x－a 是单调递减函数． ∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－x－122＋54； g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝x＋122－54. ∴－54≤g(a)≤54，∴|f(x)|＝|g(a)|≤54.
解析 由|3x－b|＜4 得－4＜3x－b＜4，即－43＋b＜x＜4＋3 b，
∵不等式|3x－b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，
则03≤ ＜－ 4＋343＋ b≤b＜ 4 1，
⇒45≤ ＜bb＜ ≤78， ， ∴5＜b＜7.
一 绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何 法或图象法求解较为简单．若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时 注意端点值的取舍．
(2)ax＋b≤c(c＞0)和ax＋b≥c(c＞0)型不等式的解法
①ax＋b≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②ax＋b≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
a＜0 ___∅_____ __R____
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)． (1)对a＋b≥a－b当且仅当 a＞b＞0 时等号成立．( × ) (2)对a－b≤a－b当且仅当a＞b时等号成立．( × ) (3)对a－b≤a＋b当且仅当 ab≤0 时等号成立．( √ ) (4)ax＋b≤c 的解等价于－c≤ax＋b≤c.(√ ) (5)不等式x－1＋x＋2＜2 的解集为∅.( √ )
2016·全国卷Ⅲ，24 高考中的重点 2016·江苏卷，21(D) 考查内容，其
中以解含有两
型的不等式：
分值：5～10 分 个绝对值的不
ax＋b≤c，ax＋b≥c，x－a＋x－b≥c.
等式为主.
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板块一 板块二 板块三
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，那么a＋b≤a＋b，当且仅当____a_b_≥_0_____时，等 号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么a－b≤a－c＋c－b， 当且仅当______(_a_－__c_)_(c_－__b_)_≥_0_________时，等号成立．
2．设 ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( C )
A．a＋b＞a－b
B．a－b＜a＋b
C．a＋b＜a－b
D． a－b ＜ a － b
解析 由 ab＜0，得 a，b 异号，
易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，
∴C 项成立，A，B，D 项均不成立．