高二数学周考试卷2
高二数学第四次周考试卷
高二数学第四次周考试卷（理普）命题人：马艳红 时间： 2012-12-11一、选择题（共60分）1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于(D ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 2.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( C ) A．B．C ．D ．3．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。
A.221169x y += B 16x 2＋12y 2＝1 C4x 2＋3y 2＝1 D3x 2＋4y 2＝15．若椭圆19922=++m y x 的离心率是21，则m 的值等于( C ) A ．49- B ．41 C ．49-或3 D ．41或36.下列命题中的真命题是（D ）A ．R x ∈∃使得5.1cos sin =+x xB ． x x x cos sin ),,0(>∈∀πC ．R x ∈∃使得12-=+x x D ． 1),,0(+>+∞∈∀x e x x7.命题“若.12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（D ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<xC.若1>x 或1-<x ，则12>xD.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x8.已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件， q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④┐p 是┑s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是（B ） A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤ 9.到定点（2，0）与到定直线x=8的距离之比为22的动点的轨迹方程是 （ C ） A ．2211612x y += B ．2211216x y += C ．2228560x y x ++-= D ．22328630x y x +-+=10.．过点Ｍ（－２，０）的直线L 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于Ｐ１、Ｐ２两点，线段Ｐ１Ｐ２的中点为Ｐ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线ＯＰ的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （D ）A ．２B ．－２C ．21D ．－2111.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） （A ）3 （B ）11 （C ）22 （D ）1012.椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与圆222)2(c by x +=+（c 为椭圆半焦距）有四个不同交点，则椭圆离心率e 的取值范围是( A )A ．5355<<eB ．153<<eC ．155<<eD ．530<<e二．填空题 (共20分)13.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k =14.若命题“∃x ∈R ，x 2+ax +1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是15.点P(x,y)在直线x+2y+1=0上移动，并在函数u=2x +4y取得最小值，则P 点坐标为 (-21，-41) .16.已知斜率为1的直线过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为____三、解答题：(共70分．)17．已知命题p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得m ＞2，即命题p ：m ＞2若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 解得：1＜m ＜3．即q ：1＜m ＜3．因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真， 又“p 且q ”为假，所以命题p 、q 至少有一为假，因此，命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真．18.已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或{}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或,p q A⌝⇒∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩19.经过点P(3，2)的一条动直线分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，M 是线段AB 的中点，连结OM 并延长至点N ，使｜ON ｜=2｜OM ｜，求点N 的轨迹方程..x 3+y2=1 20、已知函数f(x)＝3x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋mx －2在(2，＋∞)上单调增，求实数m 的取值范围； (3) 若对于任意的x ∈[－2,2]，f(x)＋n ≤3都成立，求实数n 的最大值．解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝0，f (－2)＝0 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ；(2) g(x)＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 62－2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 62，－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.21.设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求∣1PF ∣·∣2PF ∣的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围⑴焦半径公式，4,1 ⑵向量的方法，332244k k <<-<<-或22.某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更解：（Ⅰ）设第n 年获取利润为y 万元n 年共收入租金30n 万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共222)1(n n n n =⨯-+因此利润)81(302n n y +-=，令0>y 解得：273<<n所以从第4年开始获取纯利润．（Ⅱ）年平均利润n nn n n W --=+-=8130)81(302 1281230=-≤（当且仅当n n=81，即n=9时取等号） 所以9年后共获利润：12469+⨯=154（万元） 利润144)15()81(3022+--=+-=n n n y所以15年后共获利润：144+ 10=154 （万元）两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①．。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
魏县第一中学高二数学周考2
高二数学周考（2）命题人：刘金良 审题人：李永科一、选择题（60分）1．已知数列a ，-15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c 的值是( ) A ．-5 B ．0 C ．5 D ．10 2. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为（ ）A 30B 27C 24D 213.设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 4.在ABC∆,内角,,A B C所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=,a b B >∠=且则 （ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为 （ ） A 4∶5 B 5∶13 C 3∶5 D 12∶13 6．首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ）A.83d >B. 3d <C. 833d ≤<D. 833d <≤( )A ．45B ．48C ．52D ．558．一个凸n 边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n 的值为 （ ）A 9B 12C 16D 9或169.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0(a b ≠)的四个根可以组成首项为41的等差数列，则a+b 的值为（ ）A 83B 2411C 2413D 723110.若数列{a n }为等差数列，公差为21，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为 （ ） A 60 B 85 C 2145D 其它值11．若数列{a n }由a 1=2,a n+1=a n +2n(n 1≥)确定，则a 100的值为（ ）A 9900B 9902C 9904D 9906 12．若a 1,a 2, ……,a 2n+1成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为 （ ）A 4B 5C 9D 11二、填空题（共20分）13．在等差数列{a n }中，S 4 = 6,S 8 = 20,则S 16 = 。
高二(下)周考(2) 数学理科导数部分
中学2012-2013学年第二学期高二年级第二次周考数学卷（理普）分值：100分；时间：100分钟；命题人:第Ⅰ卷 选择题（共40分）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1.曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）A ．-9B ．-3C ．9D ．152.若()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数3. 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．27D ．04. 若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12-5.设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-6.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-7.若α，β∈R ，则“α＝β”是“tan α＝tan β” 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8.设()()()()()()()010211sin ,,,,,n n f x x f x f x f x f x f x f x n N +'''====∈ ，则)(2013x f =（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x -9. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）10.已知函数2()f x x bx=-的图像在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的 前n 项和为n S ，则2013S 的值为（ ）A ．20102011B ．20112012C ．20132012 D ．20142013第Ⅱ卷 非选择题（共60分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 函数2(3)y x x =-的递减区间是 ．12. 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 .13. 设)6()2)(1()(+++=x x x x x f ，则(0)f '= ．14. 在平面直角坐标系中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图像上的动点，该图像在P 处的切线l 交y 轴于点M,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的 中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.（本题满分8分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧>-+≤--0820622x x x x ,若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16.（本题满分12分）已知函数()()0≠++=x b xax x f ，其中R b a ∈,.（1）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式；（2）讨论函数()x f 的单调性.17.（本题满分12分）已知函数()ln (),a f x x a R x=+∈当1x =时,函数()y f x =取得极小值.(1)求a 的值;(2)证明:若1(0,),2x ∈则3().2f x x >-18.（本题满分12分）函数32()332f x x ax bx =+++在2x =处取得极值，其图象在1x =处的切线与 直线350x y -+=垂直． （1）求,a b 的值；（2）当(,x ∈-∞时，2'()69xf x m x x ≤-+恒成立，求m 的取值范围．。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。
高二上期第五次周考数学试题
高二圣光班上学期第五次周考数学试题一． 选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题5分共60分） 1．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（ ） A ．是真命题 B ．是假命题 C ．不一定是真命题 D ．无法判断 2．若命题P 的逆命题是q ，命题q 的否命题是x ，则x 是p 的 （ ） A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．以上判断都不正确3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ,则=++987a a a （ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 4已知A 是ABC ∆的一个内角，且54=+CosA SinA ，则ABC ∆得形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上均有可能5．平面区域如图所示，若使目标函数)0(>+=a ay x z 取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（ ） A32 B ．1 C ．23D ．46．不等式2xx 42)3(2log log <-的解集为（ ）A ．φB ．(1,9)C ．),9()1,(+∞⋃-∞D ．(3,9)7．数列 ,3211,3211,211,1n +++++++的前n 项和为（ ） A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D 12+n nxyB(4,1)A(1,3)8．已知数列{}n a 为等比数列，若82,a a 是方程06722=+-x x 的两个根，则97531a a a a a ⋅⋅⋅⋅的值是（ ）A ．221 B ．39 C ．39± D ．53 9．已知函数)10(11≠>+=-a a a y x 且过定点p ，若点p 在直线)0(042>=-+mn ny mx 上，则nm 24+的最小值为（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．223+10．命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B=B ”的否命题是( )A ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠BB ．若A ∩B ＝B ，则A ∪B=AC ．若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠BD ．若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A11．已知数列{}n a 满足133,011+-==+n n n a a a a ，则31a 是（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23 12．在ABC ∆中，若,3,3,2-=⋅==→→→→AC AB AC AB 则ABC ∆的面积S 等于（ ）A ．3B ．3C ．23D ．233 二．填空题（每小题5分，共20分）13．把正整数按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…则第60个数对是__________14．已知不等式b a x x ≤+)(的解集是{}10≤≤x x ，那么=+b a __________ 15．下列命题中是真命题的是___________.①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题 ②“全等三角形是相似三角形”的否命题 ③“若m ＞1，则mx 2－2（m ＋1）x ＋（m －3）＞0的解集为R ”的逆命题 ④若“a ＋5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题。
高二数学 周测试卷(含答案解析)
（2）求二面角 的平面角的余弦值。(理科做）
求点F到平面ABE的距离。（文科做）
21.已知椭圆 的，离心率为 ， 是其焦点，点 在椭圆上。
（Ⅰ）若 ，且 的面积等于 。求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线 交椭圆于另一点 ，分别过点 作直线 的垂线，交 轴于点 ，
当 取最小值时，求直线 的斜率。
22.已知函数
（1）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）当 时， ，试求 的取值范围。
参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
B
A
A
D
A
A
D
B
C
D
C
1.选B.【解析】∵ ， ，∴ ，故选B.
2.选B.【解析】∵ ，对应的点为 在第二象限，故选B.
……………………………………5分
（Ⅱ）
函数的图象为：
当 时， ，依题意， ，则
∴ 的取值范围是 …………………………………………………………10分
18.（Ⅰ）∵ 由正弦定理得
∴
即 ，易知 ，且 ，
上式两边除以 ,得 ……………………………………6分
（Ⅱ）∵ ,∴ ，
由 ，又 ， ，得
而
∴ …12分
19．（12分）
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.
13.填 .【解析】如图可知 的最小值是 ．
14.填 .【解析】由题意得四面体 是底面边长为 的正三角形，侧棱 垂直底面，且 ， ， ，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于 的一半，∴
湖北省襄阳市第四中学2022-2023学年高二上学期数学周考测试题(二)
襄阳四中2021级高二数学周考测试题（二）一、单选题1、已知向量，且向量与互相垂直，则的值是（）A.B. C. D.2、若平面的一个法向量分别为，，则（）A. B.与相交但不垂直C.或与重合D.3、已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.4、如图，在长方体中，，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且平面，则AP的长为（）C.1D.与AB的长有关A. B.5、设、，向量，，且，，则（）A. B. C. D.6、以下命题：①若，则存在唯一的实数，使得；②若，则或；③若{}为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；④一定成立.则其中真命题的个数为（）A.4B.3C.2D.17、直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则以下各命题中正确的是（）A.与不垂直B.的最小值为D.平面C.的取值范围为8、在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（）A.-B.C.-D.二、多选题9、已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列说法中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则10、如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是（）A.当为线段的中点时，平面B.当为线段的三等分点时，平面C.在线段的延长线上，存在一点，使得平面D.不存在点，使与平面垂直11、正方体的棱长为，，，分别为，，的中点.则（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.点与点到平面的距离相等12、在三维空间中，叫作向量与的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①，，且，，三个向量构成右手系（如图所示）；②.在正方体中，已知其表面积为S，下列结论正确的有（）A. B.C. D.与共线三、填空题13、已知向量，若，则实数________．14、已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________．15、如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．16、已知球是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是_____.四、解答题17、已知空间中三点的坐标分别为，，，且，.(1)求向量与夹角的余弦值；(2)若与-互相垂直，求实数的值.18、在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角;（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积.19、2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分．根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．已知评分在的居民有人．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；（2）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民中用分层抽样的方法抽取名居民，倾听他们的意见，并从人中抽取人担任防疫工作的监督员，求这人中仅有一人对防疫工作的评分在内的概率．20、如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)当为何值时，．21、如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．22.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．。
福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷【含答案】
厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
吉安一中2010年高二数学周考试卷
吉安一中2010年高二数学周考试卷（理科）命题人 罗飞兰一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．满足f (x )＝f ′(x )的函数是 （ ） （A ） f (x )＝1－x（B ） f (x )＝x（C ） f (x )＝0D f (x )＝12．若复数z 满足()i z i +=⋅-31，则z =（ ）（A ）44i + （B ）24i + （C ）22i + （D ）12i +3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）（A ）a b c ，，都是奇数 （B ）a b c ，，都是偶数（C ）a b c ，，中至少有两个偶数 （D ）a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数4．+的大小关系是 （ ）（A ）= （B ）<；（C ）>+（D ）无法判断.5．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=．且0x >时，''()0,()0f xg x >>则0x <时 （ ）（A ）''()0,()0f x g x >> （B ）''()0,()0f x g x >< （C ）''()0,()0f x g x <> （D ）''()0,()0f x g x <<6．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是( )(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则他与另一条相交 ． (B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则他与另一条垂直． (C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交． (D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行． 7．用数学归纳法证明：2121n n xy--+（n N *∈）能被x y +整除．从假设n k =成立到1n k =+成立时，被整除式应为（ ） （A ）2323k k xy+++ （B ）2222k k xy+++ （C ）2121k k xy+++ （D ） 22kkxy+8．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ） （A ）74y x =+（B ）72y x =+ C 4y x =- D 2y x =-9．已知()()()1,2122-=+-=x x g x x f ，则复合函数()[]x g f 的单调增区间是（ ）（A ）()0,2-（B ）()2,-∞- （C ） ()0,2-和()+∞,2 （D ）()+∞,2（ ）11．设0<a <b ，且f (x)＝xx ++11，则下列大小关系式成立的是( ).（A ）f (a )< f (2b a +)<f (ab ) （B ）f (2b a +)<f (b )< f (ab )（C ）f (ab )< f (2b a +)<f (a ) （D ）f (b )< f (2b a +)<f (ab )12．关于x 的方程0323=--a x x 有三个不同的实数解,则a 的取值范围是( )（A ）(－4，0) （B ）(－∞，0) （C ）(1，＋∞) （D ）(0，1)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分13．从222576543,3432,11=++++=++=中，得出的一般性结论是______ ____14．设复数z 满足1=z ，则i z ++22的最大值是 ． 15．在R t ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111hab=+，由此类比：三棱锥S A B C -中的三条侧棱S A 、SB 、S C 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面A B C 上的高为h ，则 ． 16．若函数24()1x f x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是_三．解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）求证：当a 、b 、c 为正数时，()9111≥⎪⎭⎫⎝⎛++++c bac b aABC D18．（本小题满分12分）已知0,0>>y x ，且2>+y x ，求证:xy yx ++11与中至少有一个小于2。
高二数学联赛二试真题分析代数
本讲收录了1998年以来所有的联赛二试代数真题二试代数向来是联赛的必考内容甚至在最近10年中最少有4年占两道.从以往试题来看，二试代数问题往往偏于对学生代数功力的考察，其主要类型为不等式（占50%）、方程组求解等代数经典问题（占30%）以及数列相关问题（占20%）.在08年前只考三道题的时候，为了尽可能全面考察四大板块，经常还出现代数与数论、组合相交叉的综合性问题,不等式问题占的比重相对较小.从09年开始变为四道题之后，四道题分别考察四个独立的内容成为可能，这也使以前联赛问题总是与其它主流竞赛问题“不像”这个问题得以解决.但是这明显让绝大部分未进行过专业数论、组合板块训练的同学失去对竞赛的兴趣和信心（因为最后两道题很难得分，前面的题目也不一定就能拿到高分）.为了解决这个问题，从今年开始又将一试分数调整到120分，相应地二试从每题50分变到两道40分题加上两道50分题.虽然从理论上说，二试的两道40分题可能为四个板块中任意两种，但因为数论与组合常规下总是较难，所以绝大部分情况下二试问题结构为第一题平几与第二题代数40分，第三题数论与第四题组合各50分.在不与数论、组合发生交叉的情况下，代数问题仍以不等式为主（也可能以递归数列形式出现的不等式），但不排除其它两种可能.下面的例习题也将按此比例大致分配.考虑到代数部分极可能为40分题，因此其难度不会太大；但联赛代数历年来也不会命那些只要简单的几步即可完成的题，总是会出现较大的计算量(一般在20行内难以完成)以实现分步给分.如果是不太难的不等式，则总是会出现两问或“两头堵”以增加难度，实现选拔功能.板块一 不等式与极值不等式是联赛二试改为四道题之后代数部分最主要的题型，其解决方法多样，内容繁多，且基本没有通法，需要考生创造性地解决问题.以下内容为联赛考察重点：1、 均值不等式，在用均值的时候往往需要根据取等条件来凑配相应的系数；2、 柯西不等式，特别要注意柯西不等式的几个重要变形特别是主动变形即222221211111()()ni i n nn ni i ii i i ni i i i ii a b a ba b a b======≥⇔≥∑∑∑∑∑∑二试代数概述例题精讲第1讲二试真题分析（1）代数右方这个式子的诸i b 往往是根据题目特点主动构造的.3、 对离散量或整值问题按照逐步调整（或磨光变换）方法得到极值；4、 有时需要用到其它的重要不等式（如排序，切比雪夫不等式等），但用的不多；5、 由于三元轮换对称不等式的普通变式基本已经被研究透彻，且容易被暴力破解；新的三元不等式往往极难，因此这种几年前的主流不等式问题近年来已越来越少见. 6、 利用某方法（如构造某函数并利用增减性、求导等）得到局部不等式并求和得证的问题近年较多见，其主要难点在于局部不等式的右方为何种形式难以想到.根据单墫、陈计等不等式专家的观点，不等式问题最关键的是培养大小的感觉，也就是说做不等式问题第一步不是考虑用哪个不等式，而是对题目中各变量对大小的影响有一个较明晰的感觉并将这种感觉细化与具体化.这种感觉需要长期的培养与练习，一般可以通过固定其它变量单独看某变量变化的方法来进行.【例1】 (2010年第3题)给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤=，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 【解析】 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kniii i k ak an k ==+<≤<≤-∑∑。
陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学2023-2024学年高二上学期阶段质量检测(二)数学试题
，且直线 l
与 l1 垂直，a
的
值为（ ）
A．1
B．6
C．0 或 6
D．0
2．已知 C1 : x 2 y 2 2x 8y 8 0,C2 : x 2 y 2 4x 4 y 1 0 ，则两圆的位置关系
为（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
3．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 1 ， AA1 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成
15．已知点 A3, 0 , B 1, 0 ，平面内的动点 P 满足 PA 3 PB ，则点 P 的轨迹形成的图
形面积是
．
四、填空题
16．如果
F1、F2
分别是双曲线
x2 16
y2 9
1 的左、右焦点，AB
是双曲线左支上过点 F1 的弦，
且 | AB | 6 ，则 ABF2 的周长是
五、问答题 17．如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD，E 为 PD 的中 点．
陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学 2023-2024 学年高 二上学期阶段质量检测（二）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线 l 的倾斜角为
3 4
，直线 l1 经过点
A3, 2 和
B a, 1
角的余弦值为
A． 1 5
B． 5 6
C． 5
5
D． 2 2
4．直线
x 4
y 2
1与
x
轴，
y
轴分别于点
新高考高二第二学期(下学期)数学期末模拟卷二
普通高中高二年级教学质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 的共轭复数z 满足i 42i z +=+，则||z =（）A.5B.3C.32D.172.设集合1|2x A x y x ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，则()Z N A = ð（）A.{2,1}--B.{}1- C.{1,0}- D.{0,1}3.储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m 和3m ，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（）A.6B.9C.10D.114.已知()1,1,1a =为平面α的一个法向量，()1,0,0A 为α内的一点，则点()1,1,2D 到平面α的距离为（）A.3B.2C.52D.635.若将函数()y f x =的图象1C 向左平移π2个单位后得到函数()y g x =的图像2C ，再将2C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数sin y x =的图像3C ，则()f x =（）A.cos 2x- B.sin 2x- C.cos 2xD.sin 2x6.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A.480种B.336种C.144种D.96种7.若直线20x y m -+=将圆C ：22(1)(2)9x y -++=的面积分为(3π2):(π2)+-，则m 的值为（）A.3542-B.3542+C.31042±D.31042-±8.已知点F 为抛物线212x y =的焦点，A 为抛物线的准线与y 轴的交点，点B 为抛物线上一动点，当ABFB取得最大值时，点B 恰好在以A ，F 为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A.1- B.1- C.22D.32二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会.自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则（）A.甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数B.甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差C.甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数D.甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差10.在三角形ABC 中，若7cos 25A =，6BC =，BC 边上的高为h ，满足条件的三角形ABC 的个数为n ，则（）A.当04h <<时，2n =B.当4h =时，1n =C.当h =时，1n = D.当h =时，0n =11.若等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，公差为d ，等比数列{}n b 的前n 项之和为n T ，公比为q （1q ≠），若21222333n n n n S T n n n n +⋅=⋅+⋅--，则下列各选项正确的是（）A.9q =B.3q =C.13a d= D.12a d=12.已知点P 为正方体1111ABCD A B C D -内及表面一点，若AP BD ⊥，则（）A.若//DP 平面1AB C 时，则点P 位于正方体的表面B.若点P 位于正方体的表面，则三棱锥C APD -的体积不变C.存在点P ，使得BP ⊥平面11B CDD.AP ，CD的夹角π3π,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,2)a =- ，(sin ,cos )b αα= ，当a b ∥时，tan α=__________.14.已知0,0a b >>，且2a b ab +=，则ab 的最小值为_________.15.记Y kX b =+（k ，b 为实常数），若1~2,9X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，~(0,1)Y N ，则k b +=__________.16.已知正方形ABCD的边长为，两个不同的点M ，N 都在BD 的同侧（但M 和N 与A 在BD 的异侧），点M ，N 关于直线AC 对称，若AM CN ⊥，则点M 到直线AD 的距离的取值范围是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知在正项等比数列{}n a 中，1232a a a =，123a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，求11n n b b +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S .18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，2(sin cos )sin 2sin cos b B A C A C =22cos sin b B C -.（1）求C ；（2）若3a =，4b =，在角C 的平分线上取点D ，且63813CD =，则点D 是否在线段AB 上？请说明理由.19.刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A ，B ，C 三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A ，B ，C 三类题出现“优秀”的概率依次分别为45，34，23.（1）记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率.20.在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面VAB .（1）求证：平面VBC ⊥平面VAB ；（2）若VA VB ⊥，2AB BC =，求平面VCD 与平面VAB 所成锐二面角的余弦值的取值范围.21.已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的右焦点F 作不与两坐标轴重合的直线l ，与E 交于不同的两点Ｍ，N ，线段MN 的中垂线与y 轴相交于点T ，求||||MN OT （O 为原点）的最小值，并求此时直线l 的方程.22.已知函数()()()21e ,12xf x xg x ax a R =-=+∈.（1）求()f x 的图象在0x =处的切线方程；（2）当[)0,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.。
四川省眉山市仁寿2023-2024学年高二下学期周考数学试题含答案
高二下周考一数学试题（平行班)（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.质点M 按规律s ＝2t 2＋3t 做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度是（）A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.11m/s 2.已知函数()1f x x =，则()()011lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A.-1B.1C.-2D.03.若函数()()22'1f x xf x =+，则()()'11f f --等于（）A.34-B.34C.65-D.56-4.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于()A.2B.lg 50C.5D.105.设曲线1y x=在点()1,1P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积等于（）A.1B.2C.4D.66.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[π,π⎤-⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.7.已知椭圆2222x y a b＋＝1的左焦点为F 1，右顶点为A ，上顶点为B .若∠F 1BA ＝90°，则椭圆的离心率是()A.12B.12-C.2D.128.已知函数()f x x ax =-有两个不同的极值点()1212,x x x x <,则下列说法不正确的是（）A.a 的取值范围是(),1-∞B.1x 是极小值点C.当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<D.12ln 2ln 2x x +=+二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列求导数运算正确的有（）A.()22sin 2sin cos x x x x x x'=+ B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()31log 3ln x x'=D.()1ln x x'=10.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为B ，左､右焦点分别为12,F F ，则下列说法正确的是（）A.若12BF BF ⊥，则a =B.若椭圆C的离心率为2，则2a =C.当2a =时，过点1F 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最小值为12D.若直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为11,2A BF F A = ，则232a =11.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线12．已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x +<'，则下列判断中正确的是（）A ．6624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．263f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数2()21x f x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++ 的值为____.14.点12,F F 分别是双曲线22:14x E y -=的左、右焦点，点P 在E 上，且12π3F PF ∠=，则12F PF △的面积为________．15.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则12a b+的最小值是_________.16.已知直线l 与曲线e x y =相切，切点为11(,)M x y ，与曲线()23y x =+也相切，切点是22(,)N x y ，则212x x -的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．18.已知函数32()231()f x x ax a =++∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，求函数()f x 在区间[]0,2上的最值．19．已知数列{}n a 中，13a =，()111n n na n a +=+-.（1）求2a ，3a ，4a 的值；猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和16n T <.20.已知抛物线C ：()20x ay a =>上的点()02,M y 到焦点F 的距离为02y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线上一点P （异于坐标原点）作切线1l ，过F 作直线21l l ⊥，2l 交抛物线于A ，B 两点．记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求2212k k +的最小值．21.（12分）已知函数2()ln 3()f x x ax x a R =+-∈.（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为=2y -，求函数()f x 的极值；（2）若1a =，对于任意12,[1,10]x x ∈，当12x x <时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围.22.已知()2e e (0)=--+>x f x ax a a （1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 极值点的个数；（3）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.高二下数学周考（一）（5-13班）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.质点M 按规律s ＝2t 2＋3t 做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度是（D ）A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.11m/s2.已知函数()1f x x =，则()()011lim x f x f x∆→+∆-∆等于（A ）A.-1B.1C.-2D.03.若函数()()22'1f x xf x =+，则()()'11f f --等于（C ）A.34-B.34C.65-D.56-4.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于(C )A.2B.lg 50C.5D.105.设曲线1y x=在点()1,1P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积等于（B ）A.1B.2C.4D.66.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[π,π⎤-⎦上的图象大致为（C）A.B.C.D.7.已知椭圆2222x y a b＝1的左焦点为F 1，右顶点为A ，上顶点为B .若∠F 1BA ＝90°，则椭圆的离心率是(A )A.B.312C.32D.128.已知函数()f x x ax =-有两个不同的极值点()1212,x x x x <,则下列说法不正确的是（A ）A.a 的取值范围是(),1-∞B.1x 是极小值点C.当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<D.12ln 2ln 2x x +=+二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列求导数运算正确的有（AD ）A.()22sin 2sin cos x x x x x x'=+ B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()31log 3ln x x'=D.()1ln x x'=10.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为B ，左､右焦点分别为12,F F ，则下列说法正确的是（ABD）A.若12BF BF ⊥，则a =B.若椭圆C的离心率为2，则2a =C.当2a =时，过点1F 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最小值为12D.若直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为11,2A BF F A = ，则232a =11.已知函数3()1f x x x =-+，则（AC ）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线12．已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x +<'，则下列判断中正确的是（BD）A ．6624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．263f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数2()21x f x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++ 的值为__11____.14.点12,F F 分别是双曲线22:14x E y -=的左、右焦点，点P 在E 上，且12π3F PF ∠=，则12F PF △的面积为___3_____．15.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则12a b+的最小值是__8________.16.已知直线l 与曲线e x y =相切，切点为11(,)M x y ，与曲线()23y x =+也相切，切点是22(,)N x y ，则212x x -的值为_-1_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．【解析】由()f x '为一次函数可知()f x 为二次函数．设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+．所以，()()()()()()222212212x f x x f x xax b x ax bx c '--=+--++=，即()()2220a b x b c x c -+-+-=，所以，02020a b b c c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得442a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()2442f x x x =++.18.已知函数32()231()f x x ax a =++∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，求函数()f x 在区间[]0,2上的最值．（1）因为()32()231f x x ax a =++∈R ，所以2()666()f x x ax x x a '=+=+，【解析】①当0a =时，2()60f x x '=≥恒成立，此时()f x 在R 上单调递增；②当a<0时，由()()60x f x x a ='+>，解得0x <或x a >-，由()()06x a f x x =+'<，得到0x a <<-，此时()f x 在(,0)-∞，(,)a -+∞上单调递增，在(0,)a -上单调递减；③当0a >时，由()6()0f x x x a =+>'，解得0x >或x a <-，由()6()0f x x x a '=+<，得到0a x -<<，此时()f x 在(,)a -∞-，(0,)+∞上单调递增，在(),0a -上单调递减．（2）当1a =-时，32()231f x x x =-+，则2()666(1)f x x x x x '=-=-，由()0f x '=，得到0x =或1x =，所以()f x 在[0,1]上单调递减，在(]1,2上单调递增．又()01f =，()10f =，()25f =，所以当1a =-时，函数()f x 在[]0,2上的最小值为0，最大值为5．19．已知数列{}n a 中，13a =，()111n n na n a +=+-.（1）求2a ，3a ，4a 的值；猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和16n T <.【解析】（1）由已知得，111n n n a a n n++=-，又13a =.所以21111511a a +=-=，32211722a a +=-=，34931133a a +-==.猜想21n a n =+.证明：①当1n =时，13a =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k a k =+，当1n k =+时，()()()()211112112323211k k k a k k k k a k k kkk++-++-+====+=++.1n k ∴=+时，等式成立，由①②可知，21n a n =+成立.（2）证明：令()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，121n n nT b b b b -=++++ 1111111112355721212123n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+++⎝⎭1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭111236<⨯=.20.已知抛物线C ：()20x ay a =>上的点()02,M y 到焦点F 的距离为02y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线上一点P （异于坐标原点）作切线1l ，过F 作直线21l l ⊥，2l 交抛物线于A ，B 两点．记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求2212k k +的最小值．【解析】（1）由题可得()20x ay a =>的焦点坐标(0,)4a F ，由于点()02,M y 在抛物线()20x ay a =>，所以04y a=，点()02,M y 到焦点F 的距离为04a y +，即484a a a+=，解得4a =（4a =-舍去），所以抛物线C 的方程为24x y=（2）由题可得(0,1)F ，设2(,)4m P m (0)m ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y由于抛物线方程为24x y =，即24x y =，则2x y '=，所以切线1l 的斜率12l m k =，由于21l l ⊥，所以直线2l 的斜率为2m -，则直线2l 的方程为：21y x m -=-，即21y x m=-+，联立2214m x y y x ⎪=⎧⎪⎨=-+⎩，化简得：2840mx x m +-=，则264160m ∆=+>，121284x x m x x -⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以2221111114444PAx m m y x m k k x m x m --+====--，同理224k x m+=所以2222121212122212()22()24416x m x m x x x x m k x x m k +++-+++⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝2222643281624168m m m m+-++-==，由于2222323222m m m m+≥⨯=（当且仅当242m =，所以()n2212mi 241282k k -=+=，故2212k k +122-21.（12分）已知函数2()ln 3()f x x ax x a R =+-∈.（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为=2y -，求函数()f x 的极值；（2）若1a =，对于任意12,[1,10]x x ∈，当12x x <时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题意得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()23f x ax x'=+-由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为=2y -，得(1)1230f a '=+-=，解得1a =此时2()ln 3f x x x x =+-，21231()23x x f x x x x -+'=+-=.令()0f x '=，得1x =或12x =.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，（此处列表）则当1x =时，函数()f x 取得极小值，为(1)ln1132f =+-=-，当12x =时，函数()f x 取得极大值，为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭.（2）由1a =得2()ln 3f x x x x =+-.不等式()()()211212m x x f x f x x x -->可变形为()()1212m m f x f x x x ->-，即()()1212m m f x f x x x ->-因为12,[1,10]x x ∈，且12x x <，所以函数()m y f x x =-在[1,10]上单调递减.令2()()ln 3,[1,10]m m h x f x x x x x x x =-=+--∈则21()230m h x x x x '=+-+≤在[1,10]x ∈上恒成立，即3223m x x x -+- 在[1,10]x ∈上恒成立设32()23F x x x x =-+-，则2211()661622F x x x x ⎛⎫'=-+-=--+ ⎪⎝⎭.因为当[1,10]x ∈时，()0F x '<，所以函数()F x 在[1,10]上单调递减，所以32min ()(10)210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，所以1710m - ，即实数m 的取值范围为(,1710]-∞-.22.已知()2e e (0)=--+>x f x ax a a （1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 极值点的个数；（3）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()2e e 1x f x x =--+，()10f =，切点为()1,0.所以()e 2xf x x '=-，所以函数()f x 在1x =处的切线()1e 2k f '==-，所以切线方程为()()e 21y x =--．即()e 2e 2y x =--+.（2）函数()2e e (0)=--+>x f x ax a a 的定义域为R ，因为()e 2x f x ax '=-，令()()g x f x '=，则()e 2xg x a '=-，因为0a >，令()0g x '=，解得ln(2)x a =，当(,ln(2))x a ∞∈-时()0g x '<，即()g x 在(,ln(2))a ∞-单调递减当(ln(2),)x a ∞∈+时()0g x '>，即()g x 在(,ln(2))a ∞-单调递增因此min ()(ln(2))2(1ln(2))g x g a a a ==-①当e 02a <≤时，()0g x ≥，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 无极值点；②当2e a >时，min ()(ln(2))0g x g a =<因为(0)10g =>，即(0)(ln(2))0g g a <，因此函数()g x 在(0,ln(2))a 上有唯一零点1x 当x →+∞时，()g x →+∞，因此函数()g x 在(ln(2),)a ∞+上有唯一零点2x ，当1x x -∞<<时，()0g x >，即()0f x ¢>，所以函数()f x 在()1,x -∞上单调递增，当12x x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，所以函数()f x 在()12,x x 上单调递减，当2x x <<+∞时，()0g x >，即()0f x ¢>，所以函数()f x 在()2,x +∞上单调递增，又()()120f x f x ''==，所以当e 2a >时，函数()f x 有两个极值点；综上，当e 02a <≤时，函数()f x 无极值点；当2e a >时，函数()f x 有两个极值点；（3）因为()2x f x e ax '=-，令()()g x f x '=，则()e 2x g x a '=-，因为()e 2x g x a '=-在区间[1,)+∞单调递增，又()1e 2g a '=-，①当e 02a <≤时，()0g x '≥，所以()f x '在[1,)+∞上单调递增，所以()()1e 20f x f a ''≥=-≥，即()0f x '≥，()f x 在[1,)+∞上单调递增，又()10f =，所以()0f x ≥，符合题意．②当2e a >时，令()0g x '=，解得ln 2x a =，当)1,ln 2x a ⎡⎣∈时，()0g x '<，所以()f x '在)1,ln 2a ⎡⎣上单调递减，()()1e 20f x f a ''≤=-<，()f x 在)1,ln 2a ⎡⎣上单调递减，所以)1,ln 2x a ⎡⎣∈时，()(1)0f x f ≤=，不符合题意。
湖南省长沙2022高二数学上学期第二次模块检测试题pdf
湖南省长沙市2022名二第一学期第二次栽块祫测数学本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第 1 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）＊1．直线3x+2y —l =O 的一个方向向址是A. (2,—3)B. (2,3)C .（—3,2) D.(3,2)*2．设m,n 是空间中两条不同的直线，a,/3是两个不同的平面，则下列说法正确的是A ．若m C a,n 亡(3,a//(3，则m //n B．若ml_a,n上(3,ml_n，则a上(3C ．若m//a,n//(3飞J_(3，则ml_nD．若m 亡a,n 亡{3,m//{3,n ／压，则劝倌*3.设数列{an}的前n项和Sn＝矿，则a 8=A.15B. 16*4．若O <x1<x三1，则A.e 气—e1>ln X2—ln x1 C. x 2e1 >x 1e 巧C. 49D. 64B. e 屯—e1<ln X2—ln x 1 D. X 2邑<:X 1e 气*5．如图，在正四棱台ABCD—儿B1C1队中，点E,F 分别是棱A 心1,B1 C 1的中点，1A戊＝—A B，则下列判断错误的是2 A. A ,A1,C,C 1共面B.E E平面ACFC.A E,C F,B 凡交千同一点D. D D1/／平面ACF一少文、、－－－－－－＼－＼－－－－－－－－－夕D夕夕、、、、,-－26．已知卢x)是函数f(x)的导函数，且/Cx)+f (x)>O ,f(2)＝飞，则不e 2等式j(ln X )＜—的解集是XA. (2,+=)C. (0平）B. (e 2，十=)D. (0,2)1 n+l7.已知数列{a n }满足a 1=—,a n +l = a n 9 (nE N*），若不等式飞＋2 n na n +1 n 1 —十入a n 多0对任意的nEN*都成立，则实数入的取值范围是n A.［—16，十=)C.［—10，十=)B.［—20，十=)D.[—18，十=)8．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两，，：：＿－－－一心球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆，则该厂椭圆的离心率为｀屈/一一：：：｀3B.—3C. 迈D.22二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1>0，公差d#-0，则下列命题正确的是A．若S5=S9，则S 14=0B．若S5=S9，则S 7是S n 中最大的项C．若S6>S1，则S 7>s8D．若S6>S1，则必有S s >S610．如图，正方体ABCD—儿从C心的棱长为1,E,F,GD ,分别为BC,CC1,B凡的中点，则 AA．直线D心与直线AF 垂直B ．直线A心与平面AEF平行长三二叶五AB9 C．平面AEF 截正方体所得的截面面积为—8D ．点C与点G到平面AEF 的距离相等c,11.已知抛物线C:y2=2px(p>O)与圆O:x2+y2 =5交千A,B两点，且IABl=4，直线l过C的焦点F，且与C交于M,N两点，则下列说法正确的是忒A．若直线l的斜率为—，则I MN=83B. I M Fl+2INFI的最小值为3+2忒屈C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(o,—)，则点M的横坐标2为—3 2D．若点G(2,2)，则LGFM周长的最小值为3＋石12.巳知函数f(x)=x2+2x—7e x ，则下列结论正确的是A.函数f(x)有极小值B．函数f(x)在x=O处的切线与直线9y—x+l=O垂直C．若f(x)=k有三个实根，则k的取值范围为(—4e气订8e8D．若xE[O,t]时，f(x)max=飞，则t的最小值为3e第11卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）113.已知f(x)对任意xER都有f(x)+J(l—x)＝—．数列{a n}满足：a n=2f(O)＋叶）＋f勹）＋…十八勹）＋f(l)，则a n=.＞ ＞ ＞ *14．设空间两个单位向最OA=Cm, n, 0), OB= CO, n, p)与向量OC= (1,1,1)的夹角都等千i，则cos乙A OB=.2 215．设F1，凡是双曲线C：气—义＝l(a>O,b>O)的两个焦点若在C上存a2 b2在一点P，使PF1_l_PF2，且乙PF1F2=30°，则C的离心率为＿16．巳知函数f(x)=x+ l n x, f(x)为函数f(x)的导函数，若/(x)> k 对任意x>O恒成立，则整数K的最大值为l n(x+D+l四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知A点为圆T:(x—4)2+y2=16上的动点，B点坐标为(—4,0),P 点为线段AB的中点．(1)求P点的轨迹C的方程；(2)过点(—1,3)的直线l与轨迹C交于M,N两点，且IMNl=2瓦，求直线l的方程*18.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n—2(n EN勹．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和T汇*19.（本小题满分12分）已知函数f(x)=2ln x—x2+ax(a E R).(1)当a=2时，求f(x)的图象在x=l处的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)—ax+m在区间门，e]上有两个零点，求实e数m的取值范围．20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点．(1)求证：平面AEFl_平面B1BCC1;(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45勹求三棱锥F-AEC的体积c lB l--－ >＜、A i.,,:王：一--－－－－－l__＿＿、：峓B21.（本小题满分12分）2I'Y2石巳知椭圆9：气＋斗＝l(a>b>O)的离心率为—，焦距为2.a b 5(1)求椭圆Q的标准方程；(2)过Q的右焦点F作相互垂直的两条直线l1山（均不垂直于x轴），h交Q千A,B两点山交Q于C,D两点．设线段AB,CD的中点分别为M,N，证明：直线MN过定点．22.（本小题满分12分）设函数f(x)=ax2+(2a—l)x—ln x(a ER).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数g(x)= f(x)—(2a—l)x—1存在两个零点X1，立，证明：1X江2>—.e数学参考答案一、二、选择题言答案A2-B3A4C5D6C7A: 1 ;1 ;: 1卢I ;；4. C 【解析】令f(x)—e-lnx，则f ＇(）xe x —l x — ，当x趋近于0时，xe-l<O，当x —1时，xe-l>O,因此在区间(0,1)上必然存在/(x)=O,因此函数f(x)在区间(0,1)上先递减后递增，故A、B均错误；e x 令g(x)——,g'(x)—,x e —e xx x当O<x<l时，矿(x)<O,:.g(x)在区间(0,1)上为减函数，• e x l � e 气·:o<x1<xz<l, :.—>—，即Xz邑＞X1e 究，．．．选项C正确，D 不正确．故选C.X1 Xz5.D 【解析】对于A选项，由棱台的性质，延长正四棱台ABCD-A1B1C1队的侧棱，相交于点P,A选项显然正确；对于B选项，连接EF ，则EF//A1C1，而A1C1//AC ，所以EF//AC,所以EF,AC共面，EE平面ACF,B选项正确；对于C选项，由于EF,AC共面，且AE,CF不平行，设AEncF —M,因为AE亡平面PAB,CF亡平面PBC，所以M亡平面PAB,M亡平面PBC,又平面PABn平面P BC —直线BB1,所以ME直线BB1,所以AE,CF,B片交于同一点，C选项正确；对于D选项，连接B D，交AC于0，连接OB 1,因为A1B]——AB，所以B]为B P 的中点，而0为BD的中点，2所以PD//B10，而B10与平面ACF 相交于点O,所以B10与平面ACF不平行，所以D队与平面ACF不平行，D选项错误．故选D.pB}、、飞'" ` A ”、人尽、、－－－、气一一一-\-\-----=二：：＝少D'，、｀， ------B卢::..::.:C6. C 【解析】令t —lnx，则x —e勹2 2因为j(ln X)＜—，所以f(t)＜了，即f(t)• e'<2,x e 设g(x)=e丁(x)，则g'(x)=e (J(x) + J '(x)),因为J(x)+ J '(x) >O，所以旷（x)>O，所以g(x)在R上单调递增，2因为J(2)=-5;,，所以g(2)=e叮（2)=2，所以J(t)• e'<2等价于g(t)<g(2),e则t<2，即lnx<2，解得O<x<e气2即不等式J(lnx)＜—的解集是(0平），故选C.X7.A 【解析】因为n+l a n a n +l = ，所以a n +l = na n ，所以1 1 ——=1,n na n +1 (n+1)（na 二1)（n+1)a n +1 na n 1 1 因为a尸上，所以勹[}是首项为2，公差为1的等差数列，所以—-——+（n —1)—n+l，所以a 厂12na n a l n(n+1)· 9 1 (9+n)（n+1)因为不等式了十—十入a n 彦0恒成立，所以入泛—恒成立，n -n n 因为(9+n)(n+D I , 9 n—(n+—+10尸(2p +10)— 16，当且仅当n —3时取等号，n''Vn所以入多—16.故选A .椭圆中心为O ，长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c,对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，反向延长AA 1和延长AA 1与轴截面相交于点C,C 1,过点0作O D_lDC，垂足为D，连接BB 1,AB,A 1B 1,5—2X1 3 AB 2在RtDABO中，AB —1,BO ———，所以si n 乙A OB ——-——,22 BO3 又因为si n乙AO B —sin 乙O CD ——-——,12 O C 33则a—OC——,2a —3，由平面与圆柱所截，可知椭圆短轴长即为圆柱底面直径长2b —2,2互则c—五了勹尸《广了了立二二立2 2'e a 立32．故选A.9.ABC 【解析】根据等差数列的性质，若Sg—Ss=as +a7 +as +ag =2(a7+as) =O,14(a 1 +a14) 则a7+as =O, S 14 =� =7 (a7 +as) =O，故A 正确；213 飞飞＋a 8=0, :.2a 1 + 13d =0,则a 1=——d,2·: a1>0,．．．公差d<O,131 5 ．五＝a 1+C n —l )d=—了d+C n —l )d=d(n —了），令a n=d(n —劂玄0，则n —巨句，解得n 冬亘2 2 2:.等差数列{a n }的前7项均为正数，从笫8项开始为负值，:．使得S n 最大的正整数n为7，故B正确；若S6>S7，则a7<0，那么d<O，所以as<O,所以S 8—S7<0，即S7>Ss，故C 正确；s6—S5=a 5，不能判断正负，故D错误．故选ABC.10. B C【解析】对于选项A，以D 点为坐标原点，DA,DC,DD 1所在的直线分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(l ,O,O),F(0,1，向），D 1(O,O, 1).x从而00i=co,o,1)，对＝（—1,1,—,12) ——1 从而DD 1•AF=—-#-0，所以直线D队与直线AF 不垂直，选项A 错误；2 对于选项B，取从C 1的中点为M，连接A 1M,GM，则易知A 1MIIAE,又A 1M亿平面AEF,AE亡平面AEF，故A 1M/／平面AEF,又GMIIEF，同理可得GMII 平面AEF,又A 1M门GM=M,A1M,GM亡平面A 1GM，故平面A 1MG/／平面AEF,又A心亡平面A 1MG，从而A心／／平面AEF，选项B正确；对于选项C，连接AD 1，从F，如图所示，正方体中AD 1IIB C 1II EF,:.A,E,F，从四点共面，.＼四边形AEF队为平面AEF 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形AEF队为梯形，岳又由勾股定理可得几F—AE——,AD1—迈_,EF——22'c,二F（＇A,C匕ABA,二F长三二叶五ABC:．梯形AE F队为等腰梯形，高为（石2凇—立）—（勹＝迈4':.s梯形AEFD1=-½x（迈＋迈迈9l 了）x 4 ＝百，选项C正确；对于选项D，由于S凶GE F=--;:.X X=�,S心釭｀＝X X=4 81 1而V A-GEF=�Sf"..EFG.A B,V A－兀F＝S凶兀F.A B,'V A-GEF—VA－兀F'即VG-AEF—V c-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的倍，从而D错误．故选BC..BCD 【解析】由题意得点(,)在抛物线C:y z—p x上，所以2—p，解得p—，所以C:y z—4x，则F(l,),设直线l:x—m y+，与y2—4x联立得y2-4m y-4—o,设M(x口y1),N(x口Y2)，所以Y1+Y z—4m,Y1Y2——4,所以I M N|＝/［二矿－IY1—y2 =』丁汇·✓(y1五）2—4y心2=4(l＋旷），当m—点时，IMN—6,A项错误；X厂x z+M F|＋|NF|—m++X2+—xm+x1+x2+1m(y1飞）＋4_ 4m2+4 —,(y心2)24m2+46十m(y1+y z)+3则IMFl+N Fl=CIMFl+INF)• ( ＋M F||N F|)＝+ IN F I I MF IMF I INF I十多3+迈，屈当且仅当IMF|—＋心，NF|—+—时等号成立，B项正确；如图，过点M作准线的垂线，垂足为M'，交y轴于M1,取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1,则MM1IIOF,DD1是梯形OFMM1的中位线，由抛物线的定义可得MM1=IMM'—|M1M'=IMF|—,所以I D D1I= OF|＋M M1二+|MF|—=M F|'所以以MF为直径的圆与y轴相切，所以点（o立）为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为性，又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为战，3又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为—,C项正确；过G作GH垂直于准线，垂足为H,所以l::,.G FM的周长为IM Gl+M Fl+IGF|—MG+IMM'|＋石�I G H|＋石—＋污，当且仅当点M的坐标为(,)时取等号，D项正确．故选BCD.yGX N.A D 【解析】由已知J'(x)(x+2)e—(x2 +zx—7)e 9—x2e红e x'j'(x)=⇒x＝豆，当x<—或x>时，j'(x)<O,—<x<3时，j'(x)>O,所以J(x)在区间(—~，—)和（3，十～）上递减，在区间(—,)上递增，8f(x)极小值＝j（—)＝—4e3,f(x)极大值＝f(3)＝飞，A正确；e切线斜率丸＝／（0)=9，直线9y—x+=的斜率耟＝—，K心＃—，两直线不垂直，B错误；9数学试题参考答案—x ----►—～时，f(x)----►＋气x ----►＋～时，f(x)----►O'8 若J(x)—K有三个实根，则kE(o ，言），当4e 2<k冬0时，f(x)=k只有两个根，C 错误；8若xE [O,t]时，f(x)max ＝飞，则t彦3,t的最小值为3,D正确．e故选AD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.n +l 414.2＋矗2—祁4 或 415．岛＋1【解析】如图所示，·:P F1l_PF 2,LPF1F2—30°，可得I P Fz|—c.由双曲线定义知，I P F1 =2a+c，由F 1F 212=P F1尸＋PF z尸得，4c 二(2a+c)气产，即2c 2-4ac -4a 2—o,即e 2-2e-2—o ,• _2±2忒.. e = 2,.'.e =l ＋屈．16. 3 【解析】/Cx)=l +-1:-心f'（x)>Kxln (x +1)＋1 对任意x>O 恒成立，则k<(x+ 1) [ln (x + 1) + l ](x>O)，令x+l —t>1,XF ly即k<t ln t +t (t>l)恒成立，令F(t)—t ln t 十t (t>l ),t —1 t —l —ln t 十t —2 1 t —1 F'(t)— (t —1)2 ，令g(t)——lnt+t —2，g'(t）———+1—>O (t >1)，则g(t)单调递增，又g(3)=1—ln 3<0,g(4)=2—ln 4>0, :3 t天（3,4),g(t。
高二上学期(周考二)数学
中学2012-2013学年度第一学期高二年级周考（二）数 学分值：100分 时间：100分钟 命题人： 审题人：第Ⅰ卷（选择题 共40分）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交C ．任意一条直线不相交D ．无数条直线不相交2.一个平面内无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.重合3.空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定 4.(文)经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作（ ） A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.1个或2个 （理）过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 5.已知直线a 、b 和平面α，下列说法中正确的是（ ）A.若αα⊂b a ,//,则b a //B.若αα//,//b a ,则b a //C.若α⊂b b a ,//,则α//aD.若α//,//a b a ，则α//b 或α⊂b6．正四棱柱1111D C B A ABCD -中,AB AA 21=,则异面直线B A 1与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．51B ．52C ．53D ．547.（文）教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（ ）A.异面B.相交C.平行D.垂直（理）已知1111D C B A ABCD -是正方体，若过1B C A 、、三点的平面与底面1111D C B A 的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.垂直8.平面l =βα ，点βαα∈∈∈C B A ,,，且l C B A ∉、、，又R l AB = ，过A 、B 、C 三点确定的平面记作γ，则γβ 是（ ）A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对9.(文)点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若P A =PB =PC ，则点O 是ABC ∆的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心(理)点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若P 到AB 、BC 、AC 的距离相等，则点O 是ABC ∆的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心10．（文）已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 中点，则下列判断正确的是（ ） A.)(21BD AC MN +≥ B.)(21BD AC MN +≤ C.)(21BD AC MN +=D.)(21BD AC MN +< (理)在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分 别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则( )A ．EF 与GH 平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.已知直线a //平面α，平面α//平面β，则a 与β的位置关系为 . 12.若直线a 、b 异面，则经过a 且平行于b 的平面有 个.13.在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC =BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为14.（文）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①BM ∥ED ；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 所成的角为60°； ④AF ⊥CN ．其中正确命题的序号是 .（理）如图，在正四棱柱A 1C 中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、 D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1. (注：请填上你认为正确的一个条件．．．．即可，不必考虑全部可能情况.) 三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.（本题满分10分）在空间四边形ABCD 中,AD =BC =2a ,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,EF =a 3,求AD 与BC 所成的角. ABCDEF16.（本题满分10分）如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点， （文）若M 、N 均为中点，求证：//MN 平面SBC .（理）若=MS AM NDBN，求证：//MN 平面SDC .17.（本题满分12分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点.求证:CE 、F D 1、DA 三线共点.18.（本题满分12分）（文）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 分别是所在棱AB 、BC 、A 1D 1、D 1C 1的中点，G 在棱BB 1 上，且141BB BG =,R 是棱DD 1的动点，问：当点R 在什么位置时，平面PQR ∥平面EFG ？C 1D1 QP GRB 1 A 1D CF BAE（理）如图,在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中,ABC ∠=60°，P A =AC =a ，PB =PD =a 2，点E 在PD 上，且PE ：ED =2:1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF //平面AEC ？证明你的结论.附加题（本题满分10分）（文）如图,在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中,ABC ∠=60°，P A =AC =a ，PB =PD =a 2，点E 在PD 上，且PE ：ED =2:1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF //平面AEC ？证明你的结论.（理）如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，M 、N 分别为111C A AB 、上的点，AM N A =1.(1)求证：C C BB MN 11//平面; (2)求MN 的长的最小值.（文科图） （理科图）。
湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案
2024年湖北部分名校高二10月联考高二数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年10月10日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()1i 13iz +=+，则复数z 的虚部为（）A.1B.1- C.iD.2【答案】B 【解析】【分析】根据除法运算求得2i z =+，即可得复数z 的虚部.【详解】由题意可得：()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-，所以2i z =-的虚部为1-.故选：B.2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（）A.14B.15C.23D.25【答案】D 【解析】【分析】根据上四分位数的概念求值即可.【详解】把数据按从小到大的顺序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因为3864⨯=，∴上四分位数是2327252+=.故选：D3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深4CD =-锯道AB =则图中弧 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A.4πB.8C.4π8-D.8π8-【答案】C 【解析】【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解.【详解】由题意4AD BD OD OC CD OA ===-=-+，在Rt AOD 中，222AD OD OA +=，即(2284OA OA +-+=，解得4OA =，故OD =π2AOB ∠=，因此221π1444π8222AOB AOB S S S =-=⨯⨯-⨯=-弓形扇形△.故选：C.4.已知πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.410+ B.310+ C.410- D.310-【答案】A 【解析】【分析】以π4θ+为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin 2,cos 2θθ，结合两角和差公式运算求解.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444，且πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得πsin 410⎛⎫+==⎪⎝⎭θ，则2ππππ4sin 2sin 2cos 212cos 42445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθ，πππππ3cos 2cos 2sin 22sin cos 424445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθθ，所以π14sin 2sin 2232210+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭θθθ，故选：A.5.平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A.3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得11122BM AA AD AB =+-，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：()11111111111112222BM BB B D BB A D A B AA AD =+=+-=+-uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r uuu r uuu r uu u r，则2222211111111122442BM AA AD AB AA AD AB AA AD AA AD AB AD⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r11911323201122=+++⨯⨯-⨯⨯-=，所以BM =uuu r故选：C.6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A.事件B 与C 互斥B.()58P A B ⋃=C.()()()()P ABC P A P B P C =D.,,A B C 两两相互独立【答案】C 【解析】【分析】对于A ：根据互斥事件的概念分析判断；对于BC ：先求A B ，ABC ，结合古典概型分析判断；对于D ：根据独立事件改了乘法公式可知事件A 与C 不相互独立.【详解】由题意得，事件A 的样本点为{}1,3,5,7，事件B 的样本点为{}1,2,3,4，事件C 的样本点为{}2,3,5,7，对于选项A ：事件B 与C 共有样本点2，3，所以不互斥，故A 错误；对于选项B ：A B 事件样本点n S ，所以()6384P A B ⋃==，故B 错误；对于选项D ：因为()4182P A ==，()12P C =，且AC 事件样本点{}3,5,7，则()38P AC =，可得()()()P AC P A P C ≠，所以事件A 与C 不相互独立，故D 错误；对于选项C ：因为ABC 事件样本点{}3，可得()18P ABC =，所以()()()()P ABC P A P B P C =，故C 正确.故选：C.7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为2，则此圆台与其内切球的表面积之比为（）A.43B.2C.136D.73【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得213r r =，且14BC r =，以及内切球O的半径r =，再结合圆台和球的面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，如图，取圆台的轴截面，作CM AB ⊥，垂足为M，设内切球O 与梯形两腰分别切于点,E F ，可知12=+BC r r ，21BM r r =-，由题意可知：母线与底面所成角为π3B ∠=，则211212r r BM BC r r -==+，可得213r r =，即14BC r =，12BM r =，可得1CM =，可知内切球O的半径1r =，可得()222111111π9ππ3426πS r r r r r r =+++⨯=圆台，)22114π12πS r =⨯=球，所以212126π1312π6S r S r ==台球.故选：C.8.在ABC V 中，2BC =，π3BAC ∠=，O 是ABC V 的外心，则OA BC BA CA ⋅+⋅ 的最大值为（）A.2B.103C.113D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意结合向量运算可得22OA BC BA CA c ⋅+⋅=-+uu r uu u r uu r uu r，利用正弦定理求边c 的最大值即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为O 是ABC V 的外心，记BC 中点为D ，则有OD BC ⊥，即0OD BC ⋅=，可得()OA BC BA CA OD DB BA BC BA CA⋅+⋅=++⋅+⋅uu r uu u r uu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu rDB BC BA BC BA CA=⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu r 222122BC BA c =-+=-+，在ABC V中，由正弦定理可得：sin sin 2c a C BAC ===∠则c C =≤sin 1C =，即π2C =时，等号成立，所以OA BC BA CA ⋅+⋅的最大值为21023-+=.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“1a =-”是“直线210a x y -+=与直20x ay --=互相垂直”的充要条件B.“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件C.直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.若点()1,0A ，()0,2B ，直线l 过点()2,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是112k -≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B ：由题意可得[]tan sin 1,1k θα==-∈-，进而可得倾斜角的范围；对于C ：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D ：根据图形结合斜率公式分析求解.【详解】对于选项A ：当1a =-时，直线10x y -+=与直线20x y +-=斜率分别为1，1-，斜率之积为1-，故两直线相互垂直，即充分性成立；若“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”，则20a a +=，故0a =或1a =-，所以得不到1a =-，即必要性不成立，故A 错误；对于选项B ：由直线平行得()212a a a a ⎧+=⎨≠⎩，解得2a =-，所以“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件，故B 正确；对于选项C ：直线的倾斜角为θ，则[]tan sin 1,1k θα==-∈-，因为0πθ≤<，所以π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故C 正确；对于选项D ：如图所示：可得12PB k =-，1PA k =，结合图象知112k -≤≤，故D 正确；故选：BCD.10.已知函数()cos f x x =，()sin g x x =，下列说法正确的是（）A.函数()()()m x f x g x =⋅在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.函数()()()m x f x g x =⋅的最小正周期为2πC.函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣D.函数()()()n x f x g x =+的一条对称轴为π4x =【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()sin g x x =，()1sin cos sin 22m x x x x ==，此时()2π,2πx ∈，而sin y x =在()π,2π上不单调，故A 错误；B 选项，函数()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin m x x x x x m x +=+⋅+==，而()sin cos ,2π2ππsin cos ,2ππ2π2πx x k x k m x x x k x k ≤≤+⎧=⎨-+<<+⎩1sin 2,2π2ππ,Z 21sin 2,2ππ2π2π,Z 2x k x k k x k x k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩，所以()m x 的最小正周期为2π，故B 正确；C 选项，当[]()2π,2ππZ x k k k ∈+∈时，()ππ5π2π+,2πZ 444x k k k ⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎣⎦，πsin 42x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，所以()πcos sin 1,4⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭n x x x x ，当()()2ππ,2π2πZ x k k k ∈++∈时，()π5π9π2π,2πZ 444x k k k ⎛⎫+∈++∈ ⎪⎝⎭，πcos ,142x ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()(πcos sin 1,4⎛⎫=-=+∈- ⎪⎝⎭n x x x x ，综上，函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣，故C 正确；D 选项，因为1π3ππ2444⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，πππcos sin 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ，3π3π3πcos sin 0444n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π4x =不是()n x 的一条对称轴.故选：BC11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AB 、BC 、11B C 的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥E FGH -的外接球的表面积为πB.过点E ，F ，H 作正方体的截面，则截面面积为334C.若P 为线段11B D 上一动点(包括端点)，则直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为,33⎣⎦D.若Q 为线段CD 上一动点(包括端点)，过点1A ，G ，Q 的平面分别交1BB ，1DD 于M ，N ，则BM DN +的范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件确定三棱锥的外接球的球心位置，求出球的半径，由此可得结论；对于B ：分析可知截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，即可得面积；对于C ：根据体积关系求得点P 到平面1A BD 的距离h ，可得1sin hPA =θ，进而分析范围；对于D ：根据平面性质作截面，设CQ CD λλ==，结合平面几何性质分析求解即可.【详解】对于选项A ：由题意可得：,12EF FG EG GH ====，且GH ⊥平面ABCD ，则222EF FG EG +=，即π2EFG ∠=，可知三角形EFG 外接圆的半径为1122r EG ==，所以三棱锥E FGH -的外接球的球心为EH 的中点，可得三棱锥E FGH -的外接球的半径为2R ==，所以其表面积为24π2πR =，故A 错误；对于选项B ：取1111,,BB C D DD 的中点分别为,,K L J ，可知过点E ，F ，H 作正方体的截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，边长为2所以其面积为122336sin 602224S =⨯⨯⨯︒=，故B 正确；对于选项C ：设点P 到平面1A BD 的距离为h ，由正方体的性质可得：//BD 11B D ，11B D 不在平面1A BD 内，BD ⊂平面1A BD ，则11//B D 平面1A BD ，当点P 在线段11B D 上运动时，则点P 到平面1A BD 的距离即为点1D 到平面1A BD 的距离，由11D A BD -的体积可得111111132322h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h ，设直线1PA 与平面1A BD 所成角θ，则11sin h PA =θ，若P 为11B D 的中点时，111PA B D ⊥，()111min122PA B D ==；当点P 为线段11B D 的端点时，()1max 1PA =；即112PA ≤≤，所以1sin ,33h PA θ=∈⎣⎦，故C 正确；对于选项D ：设,QG AB S QG AD T ==I I ，可知平面1A GQ 即为平面1A ST ，则1111,A S BB M AT DD N ==I I，可得1122BG CG BC ===，设CQ CD λλ==，当01λ<<时，由相似三角形知识可得：11BM λλ=+，11211112DN λλλλλλ--==-++，即1BM λλ=+，11DN λλ-=+，且当0λ=或1λ=时，也符合1BM λλ=+，11DN λλ-=+；则11111BM DN λλλλλ-+=+=+++，且01λ≤≤，可得11,112BM DN λ⎡⎤+=∈⎢⎥+⎣⎦，所以BMDN +的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()2,1A ，()4,3B 两点到直线10x ay -+=的距离相等，则a =__________．【答案】1或2【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式列式求解即可.=353a a -=-，可得353a a -=-或353a a -=-，解得1a =或2a =.故答案为：1或2.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ，()1,0,2B ，()1,1,4C -，CD 为三角形ABC 边AB 上的高，则CD =__________．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.【详解】()2,1,3AC =-- ，()0,2,1AB =-，则AC =AC AB AD AB⋅=== ，所以3CD ===，故答案为：314.对任意两个非零的平面向量a 和b，定义：22a b a b a b⋅⊕=+，2a b a b b⋅=，若平面向量a ，b满足0a b >> ，且a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b ⊕= __________，cos ,a b =__________．【答案】①.14##0.25②.8或3【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，分析可得cos 2a b θ⊕< ，进而可得14a b ⊕= ，且1cos θ2>，分析可得1cos 2a b >>θr r e ，即可得34a b = 或1，结合向量夹角公式运算求解.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，所以其取值可能为113,,,1424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为0a b >> ，则222a b a b +> ，可得22cos cos 22a b a ba b a b a bθθ⋅⊕=<=+，因为cos 1θ≤，即cos 122θ≤，可得12a b ⊕< ，所以14a b ⊕= ；又因为cos 2a b θ⊕< ，即cos 124θ>，解得1cos θ2>，因为0a b >>，可得22cos cos 1cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅===>>，即34a b = 或1，当14a b ⊕= 且34a b = 时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且234a b b⋅=r rr ，可得23,4a b b a ⋅==r r r r，所以2234cos ,8a b b a b b a ⋅===⋅r r r r r r r r ；当14a b ⊕= 且1a b =时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且21a b b⋅=r rr ，可得2,a b b a ⋅==r r r r r，所以22cos ,3b a b a a b b ⋅===⋅r rr r r r r r ；综上所述：32cos ,8a b =或33.故答案：14；8或3.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin cos 3a C Cb =+.（1）求角B ；（2）若D 是ABC V 边AC 上的一点，且满足BA BD BD BCBA BC⋅⋅=，9425a c +=，求BD 的最大值．【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）根据题意可得3sin cos 3a b C b C =+，利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan B =，即可得结果；（2）根据题意结合向量夹角公式可得π6ABD CBD ∠==，利用面积关系可得311BD a c=+，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为3cos 3a C C b =+，即3sin cos 3a b C b C =+，由正弦定理可得sin sin sin cos 3A B C B C =+，且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，即sin cos cos sin sin sin sin cos 3B C B C B C B C +=+，可得cos sin sin sin 3B C B C =，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得tan B =，又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为BA BD BD BCBA BC ⋅⋅=，即BA BD BD BC BA BD BC BD⋅⋅= ，可得cos cos ABD CBD ∠=∠，即ABD CBD ∠=∠，可知BD 平分ABC ∠，则π6ABD CBD ∠==，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即131111222222ac BD a BD c ⨯=⨯⨯+⨯⨯，整理可得311BD a c=+，又因为9425a c +=，则()11114919413131252525c a a c BD a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当49c aa c=，即53a =，52c =时取等号，可得BD ≤，所以BD 16.已知ABC V 的顶点()1,1A ，边AC 上的高BH 所在直线的方程为80-+=x y ，边AB 上的中线CM 所在直线的方程为53100x y --=．（1）求直线AC 的方程；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）20x y +-=（2）24【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，求直线方程.（2）先确定B 、C 点的坐标，可求线段AC 的长度，利用点到直线的距离求点B 到直线AC 的距离，即三角形的高，就可以求出三角形的面积.【小问1详解】由于边AC 上的高BH 所在直线方程为80-+=x y ，所以设直线AC 的方程为0x y c ++=，由于点()1,1A 在直线AC 上，即110c ++=，解得2c =-，所以直线AC 的方程为20x y +-=.【小问2详解】由于点C 既满足直线53100x y --=的方程，又满足20x y +-=的方程，所以5310020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2x y =⎧⎨=⎩，故()2,0C ，所以AC ==设(),B a b ，由于点B 满足直线80-+=x y ，故80a b -+=，设AB 的中点坐标为11,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，满足53100x y --=，所以115310022a b ++⨯-⨯-=，整理得53180a b --=，所以8053180a b a b -+=⎧⎨--=⎩，解得2129a b =⎧⎨=⎩，所以()21,29B ，则点()21,29B 到直线20x y +-=的距离d ==，故112422ABC S AC d =⨯⨯==△.17.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x 作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（2）从样本数据在8090x ≤<，90100x ≤<两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：12310,,,,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差5s =，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．【答案】（1）73分合理（2）815（3）22.25【解析】【分析】（1）由题意知可得，20.160.8a =计算可求得a ；根据小长方形的面积和为1求得b ，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.【小问1详解】由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，20.160.8a =，解得0.032a =，又()0.0080.0160.0320.04101b ++++⨯=，解得0.004b =，所以0.032a =，0.004b =，成绩落在[)50,70内的频率为：0.160.320.48+=，落在[)50,80内的频率为：0.160.320.400.88++=，设第60百分位数为m ，则()700.040.60.48m -=-，解得73m =，所以晋级分数线划为73分合理；【小问2详解】由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，则所有的抽样有：()Ω,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd =，共15个样本点，A =“抽到的两位同学来自不同小组”，则{},,,,,,,A Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd =共8个样本点，所以()815P A =.【小问3详解】因为90x =，所以12101090900x x x +++=⨯= ，所以()2222221210190510s x x x =+++-= ，所以222121081250x x x +++= ，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为1x ，2x ，3x ，…，8x ，平均数与标准差分别为0x ，0s ，则剩余8个分数的平均数：1238090096849088x x x x x ++++--=== ，方差：()()22222222012811908125096849022.2588s x x x =+++-=---= 18.在ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，满足DE BC ∥，且DE 经过ABC V 的重心．将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，存在动点M 使()110A M A D λλ=>如图所示．（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）当12λ=时，求二面角C MB E --的正弦值；（3）设直线BM 与平面1A BE 所成线面角为θ，求sin θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）20（3）148【解析】【分析】（1）先证DE ⊥平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，进而可得1A C ⊥平面BCDE ；（2）建系标点，分别求平面BMC 、平面BME 的法向量，利用空间向量求二面角；（3）根据题意可得()2,3,BM λ=-和平面1A BE 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为90C ∠=︒，则AC BC ⊥，且DE BC ∥，可得AC DE ⊥，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，始终有1DE A D ⊥，DECD ⊥，因为1A D CD D = ，1A D ，CD ⊂平面1A CD ，所以DE ⊥平面1ACD ，由1A C ⊂平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，且1A C CD ⊥，CD DE D = ，CD ，DE ⊂平面BCDE ，所以1A C ⊥平面BCDE .【小问2详解】由（1）可知，1AC ，CD ，CB 两两垂直，翻折前，因为DE 经过ABC V 的重心，且DE BC ∥，所以2AD CD =，所以2CD =，4=AD ，223DE BC ==，翻折后14A D =，由勾股定理得1AC ===以C 为原点，直线CD ，CB ，1CA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，(10,0,A ，()2,0,0D，(M ，()0,3,0B ，()2,2,0E ，可得(CM =，(1,3,MB =- ，()2,1,0BE =-，设平面BMC 的法向量 =1,1,1，则11111030m CM x m MB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令11z =，则110x y==，可得()m =，设平面BME 的法向量 =2,2,2，则222223020n MB x y n BE x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21x =，则222,y z ==，可得1,n ⎛= ⎝，可得10cos ,20m nm n m n⋅====⋅，且[],0,πm n ∈，则sin ,20m n ===，所以二面角C MB E --的正弦值为39020.【小问3详解】由（2）可知(10,3,BA =- ，()2,1,0BE =-，(12,0,A D =- 设平面1A BE 的法向量()333,,p x y z =，则133333020p BA y p BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令31x =，则331,y z ==，可得(1,p =，且((()110,3,2,0,2,3,BM BA A D λλλ=+=-+-=-，因为直线BM 与平面1A BE 线面角为θ，则sin cos ,p BM p BM p BM θ⋅==⋅8=当且仅当74λ=时，等号成立，所以sin θ的最大值为148.19.对于一组向量123,,,n a a a a （*n ∈N 且3n ≥），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,m a m n ∈ ，使得m n m a S a ≥- ，那么称m a，是该向量组的“H 向量”．（1）设()()*,n a x n n n =+∈N ，若3a 是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若()*ππcos ,sin 22n n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，向量组1a ，2a ，3a ， ，11a 是否存在“H 向量”？若存在求出所有的“H 向量”，若不存在说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，其中1x a ⎫=⎪⎭，2x a -⎫=⎪⎭，求证：222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积．【答案】（1）[]2,0-（2）存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10a （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可得312a a a ≥+ ，结合模长公式列式求解即可；（2）根据题意可得1n a = ，4n n a a +=uuu r u u r ，结合111m s a -= 可得π1cos 22m ≤-，即可分析证明；（3）根据题意分析可得1230a a a ++=，3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合模长公式分析证明即可.【小问1详解】由题意可得：33312a S a a a ≥-=+ ，因为(),n a x n n =+ ，则()()()121,2,223,3a a x x x x +=+++=+ ，()33,3a x =+ ，则22312a a a ≥+ ，即()()2239239x x ++≥++，整理得()360x x +≤，解得20x -≤≤，所以实数x 的取值范围为[]2,0-.【小问2详解】存在，理由如下：假设存在“H 向量”m a ，因为ππcos ,sin 122n n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且444ππcos π,sin πcos ,sin 2222n n n n n n a a +++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则由题意，只需要使得111m S a -= ，又因为()()()()()12340,11,00,11,00,0a a a a +++=+-+-+= ，则()11123111231,0S a a a a a a a =++++=++=- ，可得11ππ1cos ,sin 22m m m S a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，由ππ1cos ,sin 122m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1≤，整理得π22cos 12m +≤，解得π1cos 22m ≤-，又因为{}*|11m x m ∈∈≤N ，即2m =，6，10满足上式，所以存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10 a 满足题意；【小问3详解】由题意得：123a a a ≥+ ，22123a a a ≥+ ，即()22123a a a ≥+ ，222123232a a a a a ≥++⋅ ，同理222213132a a a a a ≥++⋅ ，222312122a a a a a ≥++⋅ ，三式相加并化简得：2221231213230222a a a a a a a a a ≥+++⋅+⋅+⋅，即()21230a a a ++≤ ，1230a a a ++≤ ，所以1230a a a ++= ，由1230a a a ++=，可得3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()()222222222123e e e e e e 1e e 2222222x x x x x x x x a a a ----+++=++=++++ ()()()222e e 1e e 1e e 1e e 1x x x x x x x x ----=++=+-=+++-()()2211e 1e 1e e 1e e 1e e x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫=+++-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
宁远二中高二周考数学试题(2013.12)
宁远二中高二数学周考试题（2013.12）时量70分钟 满分100分 命题人：廖财春 考试内容：数学必修5及选修2-1一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是 （ ）A ．103-B ．6-C ．6D ．1032．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是 ( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->3. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =， 则10S 的值是 ( ) A ．511 B ．1023 C ．1533 D ．30694. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件． C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题5. 设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆ 的面积是 （ ）A.1B.25C.2D.56. 已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→→-b a 2互相垂直，则k 的值是 （ ）A. 1B. 51C. 53D. 577. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为 A ．233 B ． 433 C ．43D ．843- ( ) 8．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是 （ ） A ．[]2,1B ．()2,1C ．()+∞,2D ． [)+∞,2宁远二中高二数学周考试题答卷（2013.12）班次 学号 姓名 得分一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.9．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .10. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则z x y =+的最小值是 .11. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .12. 点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 .三、解答题:本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13. （本小题满分10分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，⑴求12,a a 的值； ⑵数列{}n a 的通项公式。
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高二数学周考试卷（二）
班级： 姓名： 得分：
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共25分）。
1．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A 的个数是
（ ） A ．1个 B ． 2个 C ． 3个 D ．4个
2．函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≤≤-)
02(6)30(222x x x x x x 的值域是 （ ） A ．R B ．[－9，＋∞) C ．[－8，1] D ．[－9，1]
3．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4．设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定 5 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A (],40-∞ B [40,64] C (][),4064,-∞+
∞ D [)64,+∞ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共15分）
6．若集合I=R ,{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则()=B A C I _____________．
7．函数()()
23log 22--=x x x f 的定义域是__________.
8、已知53()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，则(2)f =
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
9．已知函数2()21f x x =-.
（1）用定义证明f (x )是偶函数；
（2）用定义证明f (x )在(,0]-∞上是减函数；
（3）作出函数f (x )的图像，并写出函数f (x )当[1,2]x ∈-时的最大值与最小值．
11．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-，又对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
都有： 1212()()()f x x f x f x +=；
（1）设(1)2f =，求11(),()24
f f 的值；
（2）证明：(4)()f x f x +=．
附加题．设函数2221()log log (1)log ()1
x f x x p x x +=+-+--， （1）求()f x 的定义域；
（2）()f x 是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.
答案DCABC 7、}10732{<≤<<
x x x 或 8、 ),2()1,(+∞--∞ 9、-26
10、略 11、（1
）1()2f =
1()4
f =（2）∵()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-
∴(2)(2)f x f x +=-
∴(4)()f x f x +=
附加题．解：（1）由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>->->-+0010
11x p x x x 得1x x p >⎧⎨<⎩， 因为函数的定义域是非空集合，故p >1，所以f (x )的定义域为（1，p ）
（2） 2
2221(1)()log [(1)()]log [()]24
p p f x x p x x -+=+-=--+ ∴当112
p -≤，即13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，当12p x -=时，()f x 有最大值2
2(1)log 4
p +， 但没有最小值. 综上可知：13p <≤，()f x 既无最大值又无最小值
3p >，()f x 有最大值2
2(1)log 4p +，但没有最小值。