张量分析第3次课1
张量分析课件-3.1 张量函数各向同性张量函数的定义和例
H f T c0G c1T c2T 2 ckT k
或
H
i
j
c0
i j
c1T
i
j
c2T
ilT
l
j
ckT
T i
l1
l1 l2
T
lk 1 j
若一个张量H（标量、矢量、张量）依赖于n 个张量 T1，T2，…，Tn（矢量、张量）而变化，即当T1，T2，…， Tn 给定时， H 可以对应地确定（或者说，在任一坐标系中， H 的分量都是T1，T2，…，Tn 的一切分量的函数），则称H 是张量T1，T2，…，Tn 的张量函数。记作
H F T1,T2,,Tn
3.1.2 张量函数举例
例3.1 矢量u 的标量函数 例3.2 矢量v 的标量函数
f u u1 u2
f v 1 v 2
2
例3.3 矢量F,u的标量函数
f F, u F u
例3.4 矢量v 的矢量函数u
u Fv kv k为给定常数
例3.5 矢量v 的矢量函数u
u Fv K v K为给定对称二阶常张量
例3.6 二阶张量T 的标量函数 例3.7 对称二阶张量 的标量函数
f
T
T
1 1
f
i i
例3.8 二阶张量T 的标量函数
f
为其旋转量 ~，即
f X1, X2,, Xn ~ f X~1, X~2,, X~n
对于任意的Q，则称此函数为各向同性函数。
,
J
T 3
张量分析第三章
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
张量第三章——精选推荐
张量第三章第三章⼏个基本的张量§3.1 度量张量⼀、度量张量j j i i g g δ= ji j i g g δ=协变基⽮量的逆变分量和逆变基⽮量的协变分量是单位张量。
若把每个基⽮量看成是异名基⽮量所构成的参照标架的⼀个特殊⽮量，则可以表⽰为：jij i g g g = j ijig g g =ij g 是i g 的协变分量，ij g 是i g 的逆变分量。
ij g 和ij g 称为度量张量。
ij g ——度量张量的协变分量或协变度量张量。
ij g ——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。
证明：ijg ，ij g 是⼆阶张量：''''i j i i g g g =⼜ijj j i i j i ijj j i i j i j ij j j i i j j j ij i i jij i i i i i i g g g g g g g g g g g g '''''''''''''''''ββββββββββ==∴====同理，度量张量的混变分量是单位张量，即i ji j g δ=j i j i g δ=⼆、度量张量的性质和作⽤1、度量张量各分量等于同名基⽮量的点积。
ij k j ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δij j k ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ2、度量张量是⼆阶对称张量。
ij j i g g g g ?=? jiij g g =i j j i g g g g ?=?ji ij g g =3、度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按⼀对指标求和等于单位张量。
ji jk ik g g δ=jk ik hl jl ih l jl k ik j i j i g g g g g g g g g g ==?=?=δδ由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成： 或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
张量分析——初学者必看精选全文
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
张量分析第3次课3
r r i i r r ∂x ∂x ∂X ∂X = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ϕ , x3 = z
2
2
g11 = 1
2
g33 = r sin θ
2
2
β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号.
1 1 1 ∂g 22 1 ∂g 22 1 ∂ 2 1λ 11 = g [22, λ ] = g [22,1] = − = − = − (r ) = −r 1 1 2 ∂x 2 ∂r g11 2 ∂x 22
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 2 2 ∂ ∂ ∂ H H H 1 1 γ β γ = δ γα + γ δ αβ − α δ γβ 2 β ∂x ∂x 2 Hα ∂x
2 2 1 1 ∂g 22 1 1 ∂ 2 1 2λ 22 = 2 (r ) = = = g [21, λ ] = g [21, 2] = 1 g 22 2 ∂x r 2 ∂r r 21 12
ik k g g = δ ∑ ij j i
∂g ij ik jm ∂g ∂g jm g ij g = =− l g g l l ∂x ∂x ∂g βλ ∂x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ∂x ∂g
ik mk
ik jm ik jm
张量分析-第3讲
华中科技大学力学系 罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1.8 张量代数
1.零张量 如果阶张量的每个分量均为零，则称此张量为零张量。 2.张量的相等 设两个张量A和B在同一坐标系的同种类（协变，逆 变，混变）分量均相等，则称此两张量相等
AB
Aij B ij
A A gig jg A gig g
ij k k i jk j k
A A gig j g A gig g A g g g
k j k i j
ij k
i jk
ijk
k
A g i g j g A g i g g A kji g g g
k j k i j
A( i ', j ') ri ' sj ' A(r , s )
前几节主要内容回顾
1.9 置换符号及置换张量 解决矢量及基矢在任意坐标系中的叉乘运算问题. 1. 奇排列,偶排列,置换符号 奇排列: 132，213，312 偶排列: 123，231，312
置换符号:
1, ijk e eijk 1 0,
根据:
g 2 g3 g 3 g1 g1 g 2 2 3 , g , g g g 2 ( g 3 g1 ) g 3 ( g1 g 2 ) g1 (g 2 g 3 )
1
有:
g j g k ijk g
或根据:
i
g j g k g i (g j g k ) g i ijk g i
n
A g mg j g A gig j g
n
张量分析3
2.9克里斯托弗尔符号 ij i g j gkk ig j gkrgr gkr ig j g r gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk g kr ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把 i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk 0 ， ij 0k(2.9.10)k ij ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故 ijk 0 和 (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。
事实上，由于g ij , k gk 0。
ig j 这里分解系数 ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。
在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p 和 表示。
ij gigj kgi gj g i k gj kij kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i ijk ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j jki jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk 1 2 g k ijp kp k ijk i g j g kk ij ig j ggkrjk , i g ki , j gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。
张量分析
问题的提出 矢量的基本运算 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 自然法则与坐标无关， 分析，但也掩盖了物理本质； 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x2 L xn
记作 xi (i = 1,2,L n )
A1 δ ij Ai = δ 1 j A1 + δ 2 j A2 + δ 3 j A3 = A2 A 3 = Aj
j =1 j=2 j=3
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dxi dxi = δ ij dxi dx j
性质： 性质： δijδij = δii = δ11 +δ22 +δ33 = 3
称为指标； 下标符号 i 称为指标；n 为维数 可以是下标， 指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标， 也可以是上标，如 xi 指标的取值范围如不作说明，均表示从 指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
定义这类符号系统为指标符号， 定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
如：
2
a ji xi = b j
aki xi = b j aki xi = bk
wrong right
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 克罗内克（ ） 定义： 定义
1 δ ij = 0
由定义
当i = j 当i ≠ j
1 0 0 δ11 δ12 δ13 I = 0 1 0 = δ 21 δ 22 δ 23 = δ ij 0 0 1 δ 31 δ 32 δ 33
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件
(T
)
T
3
J1T T
2
J
T 2
T
J
T 3
G
O
由于
T3
J1TT 2
J
T 2
T
J
T 3
G
，T
n
均可用
T 2 来表达。
也就是说，H f (T ) f (T 2 ,T ,G) k0G k1T k2T 2
ki ki
J1T
,
J
T 2
,
J3T
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
二阶张量的二阶张量函数
➢ 经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形 的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不 动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思 想：坐标不动，图形移动。
➢ 注意：运动学思想之重要！
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量 u 。研究两种相
对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量
通过正交变换，使 X i X i
从而使 f ( Xi ), (i 1, 2, , n)
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数 例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
矢量的标量函数
• Cauchy基本表示定理： 矢量 vi (i 1, 2, , m) 的标量函数 f (vi ) 为各向同性 f 可表示为内积 vi v j (i 1, 2, , m) 的函数。
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
张量分析答案完整版
T i j k = βri βs j βt k T rst T
' ' i 'j k ' ' '
' ' '
'
'
'
= β ir β js β kt Trst
' ' ' ' ' ' '
T..ik j = βri βs j β kt T..trs T. ij k = βri β s βt T r j k .st
∴T 与S具有相同的主不变量。
2.4 求证： （1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ] + [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
张量分析
g = g gj
i ij
式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量， 或共轭度量张量
B) 相伴（共轭）度量张量
gi ⋅ g j = gik gk ⋅ g j = gikδkj = gij
g = g ⋅gj
ij i
gi ⋅ g j = δ ij ⇒ gik gk ⋅ g j = δ ij
gik gkj = δ ij ⇒
类似
gi = gij g j
gi = gij g j gi = gij g j
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换， 提升或下降指标。
C) 矢量的逆变分量和协变分量
任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
可知：若坐标系由xi 变换为yi ，则基矢量gi按上述变换法则变换。基矢 量gi也称为协变基矢量。
三、基本度量张量
对于任何坐标系，首先必须知道在该坐标系中如何度量长度。 在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为下式。
ds2 = dr ⋅ dr =gi dxi ⋅ g j dx j = gi ⋅ g j dxi dx j
i j k a = aij = eijka1a2 a3
aeilm = e a a a
i ijk l
j k m n
E) 克罗内克符号与置换符号的关系
1 δ1 δi j = δ12 3 δ1 1 δ2 2 δ2 3 δ2 1 1 0 0 δ3 2 δ3 = 0 1 0 =1 3 δ3 0 0 1
δli δl j δlk
y j = y j (x1, x2 , x3 )
逆变换为：
( j =1 2,3) ,
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Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γ α r 2r ∂x ∂ x Γ λ , βγ = λ ⋅ β γ ∂x ∂x ∂x
α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γα βγ
α
看成是将 Γ
αλ
α 的上标下降的结果. βγ 的上标下降的结果
反之, 的第一个下标上升, 反之 将 Γ λ , β γ 的第一个下标上升
Γ λ , βγ + Γ γ ,λβ =
∂g βλ ∂x γ
将三个指标进行轮换λ→β→γ→λ, 得
∂x
λγ β
Γ β ,γλ + Γ λ , βγ =
ERROR: limitcheck OFFENDING COMMAND: string STACK: 66038 33018 32512 33019
第三章
平直空间中的曲线坐标
§3. 3. 2
联络的变换规律
个分量. 联络 Γα 是有三个指标的量 共有 3 ( =27 ) 个分量 βγ 是有三个指标的量, 共有3 但是, 它并不是一个三阶张量, 但是 它并不是一个三阶张量 因为它在坐标变换时不 按张量规律变. 按张量规律变 我们来研究联络的变换规律. 我们来研究联络的变换规律 在坐标系 xα ′中, 有
2
r ∂ x α′ r = ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ r r γ ∂x ∂x ∂x = ∑ γ′ γ γ′ ∂x γ ∂x ∂x
r ∂ x α r = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x α
2
r r ∂x xα = α ∂x β′ 求导, 对 x 求导 得 2r 2 γ β γ 2r ∂ x ∂ x r ∂x ∂x ∂ x = ∑ β ′ γ ′ xγ + ∑ β ′ γ ′ β γ β′ γ′ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x γ ∂x ∂x βγ ∂x
2
r ∂ x r ∂x ∂x ∂ x = ∑ β ′ γ ′ xα + ∑ β ′ γ ′ β γ ∂x ∂x ∂x α ∂x ∂x βγ ∂x
2 α
β
γ
2
2 α β γ r ∂ x ∂x ∂x α r α′ ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ = ∑ ( ∂x β ′∂xγ ′ + ∑ ∂x β ′ ∂xγ ′ Γ βγ ) xα α′ α βγ α′ n r ∂x r xα = ∑ α xα ′ α =1 ∂x 2 α α′ α′ ∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α r = ∑ (∑ β ′ γ ′ α + ∑ α Γ βγ ) xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
r r ∂x ∂x ⋅ γ = g λγ λ ∂x ∂x
求导, 对xβ求导 得
Γ λ , βγ
r 2r ∂x ∂ x = λ ⋅ β γ 代入 得 ∂x ∂x ∂x ∂g
r r 2r 2r ∂g λγ ∂x ∂ x ∂x ∂ x ⋅ β γ + γ ⋅ λ β = β λ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
正好是逆变张量指标α和协变 的变换规则. 张量指标βγ的变换规则
§3. 3. 3
克里斯托菲尔符号
α Tβγ 和度规张量 gαβ的关系 的关系. 讨论联络 r 将 2r r ∂x 点乘 ∂ x α r xλ = λ = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x ∂x α
r 2r r ∂x ∂ x α r ⋅ β γ = ∑ Γ βγ xα ⋅ xλ gαλ λ ri ri ∂x ∂x ∂x r r α r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
g Γ λ , βγ = ∑ gαλ g Γ
α
αλ
α βγ
Γ
α βγ
= g Γ λ , βγ
αλ
γ gαβ g βγ = δ α ∑ β
与度规张量的关系, 为了进一步求出 Γ λ , βγ 与度规张量的关系 由度规张量的定义式有 r r
∂x ∂x ⋅ γ = g λγ λ ∂x ∂x
ri ri r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x r r i ∂x
的系数相等, 令两边 xα ′ 的系数相等 得
2 α
不是张量
α′
ΓБайду номын сангаас
α′ β ′γ ′
∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α = ∑ β ′ γ ′ α + ∑ α β ′ γ ′ Γ βγ ∂x ∂x α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
α
α′
这就是联络 Γ βγ 在坐标 变换时的变换规则. 变换时的变换规则
r r γ ∂x ∂x ∂x = ∑ γ′ γ γ′ ∂x γ ∂x ∂x
r xγ
哑标γ改写为α
r ∂ x α r = ∑ Γ βγ xα β γ 代入 ∂x ∂x α
2
r ∂ x α′ r = ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ r ∂ 2 xα ∂x β ∂xγ α r α′ ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ = ∑ ( ∂x β ′∂xγ ′ + ∑ ∂x β ′ ∂xγ ′ Γ βγ ) xα α′ α βγ