高等数学第九章第2节二重积分的计算法(2)(中央财经大学)

高等数学第九章第2节二重积分的计算法(1)(中央财经大学)

第二节二重积分的计算法（1）一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系(right angle 计算二重积分)(2x y ϕ=abD)(1x y ϕ=Dba)(2x y ϕ=)(1x y ϕ=y yy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕy )(1x ϕ=)(2x y ϕ= d d ),(d )( )()(21∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ba x x ba x y y x f x x S V ϕϕyy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕx ϕ=)(1y ϕDcdcd(2x ϕ=)(1y ϕ=DX 型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D 2D 1D 在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321∫∫∫∫∫∫∫∫++=D D D D则必须分割.,X=YY=2X=1YX 2112dxdyy dy2x2xy=y=−y e2−dyey 2∵2d y=2x y =xy =xy −=1例6 改变积分 ∫d x10的次序.原式∫∫−=y dxy x f dy 101),(.解积分区域如图例xy −=222x x y −=例7 改变积分∫∫∫∫−−+xxx dy y x f dx dy y x f dx 20212010),(),(2的次序.原式∫∫−−−=12112),(yy d xy x f d y .解积分区域如图例x+ =−d x y y )二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbax x dy y x f dx d y x f ϕϕσ.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcy y dx y x f dy d y x f ϕϕσ［Y －型］［X －型］谢谢大家！。

高等数学第九章重积分

外面。即 kf ( x, y)d k f (x, y)d
性质2：函D数的和（或差）D的二重积分等于各个函数
的二重积分的和或差[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d
D
D
D
性质3：如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分
则：
f ( x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz

a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
若 {(x, y, z) | c1 z c2 ,( x, y) Dz }
则
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy
f ( x, y)dy
a 1( x)
a
1( x)
D
2、积分区域D：1( x) x 2( x),c y d，则
f (x, y)d
d
[
2(x)
f ( x, y)dx]dy
d
dy
2(x)
f ( x, y)dx源自Dc 1(x)c
1( x)
二、利用极坐标计算二重积分
式 f ( x, y)d ( x, y)d。特殊地，由于
D
D
| f ( x, y) | f ( x, y) | f ( x, y) |，又有不等式
| f ( x, y)d | | f ( x, y) | d
性质6:设M，Dm分别是f(x，Dy)在闭区域D上的最大值
一、利用直角坐标计算二重积分
讨论二重积分 f ( x, y)d 的计算。假定 f ( x, y) 0 ，

高等数学-第九章二重积分部分

b
dx
2(x) f(x,y)dy
a
1(x)
若D为Y –型区域
则 D f (x, y)dxdy
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
y y2(x) D
oay1(x)b x
y x2(y) d
x1(y) c
o
x
例. 计算
sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0,
Dx
x所围成的闭区域.
1x2dx
x
dy00
1
1
yx
o D2 D1
1x
1 yx
2 3
例. 计算 I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
y4x2, y3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
高等数学-第九章二重积分部分
第九章重积分知识总结
一. 二重积分的计算二. 三重积分的计算三. 重积分的运用
一. 二重积分的计算
1. 二重积分的性质
例. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
y
解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行, 因此取D 为X – 型域 :
yx
D x
D = { ( x ,y ) |0 x ,0 y x }o x

二重积分的计算法2

D
D
极坐标下的面积元素
2、极坐标下二重积分转化为二次积分
根据极点与区域D的位置，分三种情况进行讨论：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
D
:

r1

(

)

r

r2
(
)
f (r cos ,r sin ) r dr d
D
r r1( )
D
o

d
r2 ( )
2. 将 f ( x, y)dxdy, D为0 y 1 x ,0 x 1,表
D
示为极坐标形式的二次积分为______________.
3.
将
2
dx
3x
f(
x2 y2 )dy 化为极坐标形式的二
0
x
次积分为______________________.
2
d
R
e

r
2
rdr

R 0
0
取D2为中心在原点，边长为2R的正方形，
当R +时，D2 D
y
e d x2 y2 lim ex2y2 dxdy R
D
D2
lim
R
dx
e dy R x2 y2
R R
R
R o
Rx
4.
将
1
dx
x2 f ( x, y)dy 化为极坐标形式的二次积
0
0
分为______________________.
5. 将
1
dx
x
(x2Biblioteka y2)1 2

微积分：9.2 二重积分的计算

1 2
(a
b)
其中a b为常数，D {(x, y) 0 x, y 1}
分析 Dxy {(x, y) 0 x, y 1}
y
1
Dyx {(x, y) 0 y, x 1} Dxy
所以D满足轮换对称性
O
1x
f ( x, y) a ( x) b ( y) , f ( y, x) a ( y) b ( x) ,
D1
D2
D1
x y
e y2dxdy y x
D2
e x2dxdy
D1
y
D2 D D1
O
1x
x y D2 : 0 x 1, x y 1 y x 0 y 1, y x 1 : D1
例设( x)为[0,1]上的正值连续函数,
证
明
：
D
a
( (
x) x)
b( y)dxdy ( y)
y
2a
y
2ax
x
y2
2a
a
D
y 2ax x2
a
a a2 y2
dy 0
y2
f ( x, y)dx O a 2a x
a
dy
0
2a 2a a
f ( x, y)dx
a2 y2
2a
dy
a
2a
xa
y2 f ( x, y)dx
a2 y2
2a
解1简单
例
1
计算二次积分 dx
1
sin
2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可
以用两个公式进行计算.
y
y
Ⅱ
d
Ⅰ
Ⅲ
D c
0
x0 a

二重积分的计算法

2 2
0
法二
先x后y
2

x2+y2
a
2
x

D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x

D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为

第二节二重积分的计算方法

D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
βα
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图
r = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
第二节二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行，二重积分的计算可以按照定义来进行，同定积分按照定义进行计算一样，同定积分按照定义进行计算一样，能够按照定义进行计算的二重积分很少，定义进行计算的二重积分很少，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和积分区域却不可行。但对于一般的函数和积分区域却不可行。本节介绍一种计算二重积分的方法—— 本节介绍一种计算二重积分的方法二重积分化为二次单积分（定积分）把二重积分化为二次单积分（定积分）来计算。计算。
z = f (x, y)
o
a
x
x + dx
b
x
a
o
已知平行截面面积 A ( x ) 的立体的体积
α
y
x
b
x
V = ∫a A(x)dx.
b
y
o
x
a
b
x
∵ 当 f ( x , y ) > 0时 , ∫∫ f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底，以为底，
D
为曲顶柱体的体积．曲面 z = f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．

9-2-二重积分的计算法

1
x
4
x
xyd
xyd
xyd
0 dx
xydy
x
1
dx xydy x2
D
D1
D2
1 y2 x
4 y2 x
0
x
2
dx
x
1
x
2
dx x2
0
4 1
x
x 2
(
x
2)2 2
dx
5
5 8
由此可见，这里用公式(1)来计算比较麻烦.
从例 2，例 3 可见，积分次序选择不同，二重积分计算
域，化成二次积分时，积分的上下限均为常数.若先对 y 积
分，把 x暂定为常数，y 的变化范围由 1 到 2，然后再对 x从
0 到 1 积分，于是得
xy2dxdy
D
1
dx
2 xy2dy
01
1
x
0
y3 3
2
1
dx y
7 3
1
xdx
7
0
6
方法二如图99，若先对 x积 2
分，后对 y积分，则得
从而有 D
f (x, y)d
b a
2 ( x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy
dx
(1)
或写成
f (x, y)d
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a
1 ( x)
(1')
这个公式表明，二重积分可以化为先对 y，后对 x 的
二次积分来计算.先对 y 积分时，应把 f (x, y)中的 x 看作常
表示（图9-5），其中1( y),2 ( y) 在区间c, d 上连续，这样的

大学高等数学课件——9-2_二重积分的计算法

d e
0 0
R
R2 rdr (1 e ); 4 2 R2 ); dxdy (1 e 4
同理 I 2 e
D2
x2 y2
I1 I I 2 ,
R R2 x2 2 2 R2 (1 e ) ( e dx ) (1 e ); 0 4 4
D {( x, y) | a x b, c y d}，则
f ( x, y)dxdy [
D
b
a
f1 ( x)dx][ f 2 ( y )dy ]
c
d
求 3x y d，练习2：
2 2

D
其中D是由x轴, y轴和抛物线y 1 x2所围成的
在第一象限内的区域．
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D：0 r a ，0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
例3
求广义积分 0 e dx .
x2

解 D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
0 1 x x
(1,1)
sin y dy y
比较麻烦
例5
求 x e
D
2 y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e

大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.

第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。

为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。

第二节二重积分的计算法(全面版)资料

第二节二重积分的计算法（全面版）资料第二节二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题.讨论中,我们假定f x y (,)≥0；假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,其中ϕ1()x , ϕ2()x 在[,]a b 上连续.据二重积分的几何意义可知,f x y d D(,)σ⎰⎰的值等于以D 为底,以曲面z f x y =(,)为顶的曲顶柱体的体积.在区间[,]a b 上任意取定一个点x 0,作平行于yoz 面的平面x x =0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]ϕϕ1020x x 为底,曲线z f x y =(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为A x f x y dy x x ()(,)()()001020=⎰ϕϕ一般地,过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A x f x y dy x x ()(,)()()=⎰ϕϕ12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为V A x a dx f x y dy dx bx x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12从而有dx dy y x f d y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσ (1)上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把x 看作常数,),(y x f 只看作y 的函数,对),(y x f 计算从)(1x ϕ到)(2x ϕ的定积分,然后把所得的结果( 它是x 的函数 )再对x 从a 到b 计算定积分.这个先对y , 后对x 的二次积分也常记作f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12在上述讨论中,假定了0),(≥y x f ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(y x f (在D 上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 I x d D x y x y D=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022σ解: []dx y xdy x dx I 21122211)1()1(⎰⎰⎰---=-=38322)1(2113112=-=-=--⎰x x dx x类似地,如果积分区域D 可以用下述不等式c yd y x y ≤≤≤≤,()()φφ12表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续,f x y (,)在D 上连续,则f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212 (2)显然,(2)式是先对x ,后对y 的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 )在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ϕ与))(,(2x x ϕ,这里的)(1x ϕ、)(2x ϕ就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,]a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b .例1计算322x y d D⎰⎰σ,其中D 是由x 轴,y 轴和抛物线yx =-12在第一象限内所围成的区域.类似地,D y x y :,0101≤≤≤≤-[]==-⎰⎰-x y dy y y dy y3211322011()令y t t t dt =⋅=⋅--=⎰sin cos sin ()!!()!!!!24502224151916315π例2计算xyd D⎰⎰σ, 其中D 是由抛物线y x 2=及直线y x =-2所围成的区域.3322012201x y d dy x y dx D y⎰⎰⎰⎰=-σD y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy () 例3求由曲面zx y =+222及z x y =--6222所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在xoy 面上的投影区域消去变量z 得一垂直于xoy 面的柱面 x y 222+=,立体镶嵌在其中,立体在xoy 面的投影区域就是该柱面在xoy 面上所围成的区域 D x y :222+≤2、列出体积计算的表达式V x y x y d D=---+⎰⎰[()()]6222222σ =--⎰⎰()63323x y d Dσ3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算V d x d y d DDD=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰63322σσσ而 d Dσπ⎰⎰=2由x ,y 的对称性有 x d y d DD22σσ⎰⎰⎰⎰=x d x dx dy x x dx Dx x 22222222222222σ⎰⎰⎰⎰⎰==------=-=⎰⎰42442222202xx dx sin cos θθπ=⋅--+⋅162121222()!!()!!()!!π=⋅⋅⋅⋅1611422π=π所求立体的体积为V =-=1266πππ二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有f x y d f Di i i i n(,)lim (,)σξησλ⎰⎰∑=→=01∆现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点0为中心的一族同心圆 r =常数以及从极点出发的一族射线θ=常数,将D 剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域∆σi的面积可如下计算i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ∆∆∆+=∆-∆∆+=∆)2(2121)(2122i i i i i i i i r r r r r r θθ∆∆=∆∆∆++=2)(其中,r i 表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域∆σi 上取点(,)r i iθ,设该点直角坐标为(,)ξηi i ,据直角坐标与极坐标的关系有ξθηθi i i i i i r r ==cos ,sin于是lim (,)lim (cos ,sin )λλξησθθθ→=→=∑∑=⋅0101f f r r r r i i i i n i ni i i i i i i ∆∆∆即f x y d f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )σθθθ⎰⎰⎰⎰=由于f x y d D (,)σ⎰⎰也常记作f x y dxdy D (,)⎰⎰, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式f x y dxdy f r r rdrd D D(,)(cos ,sin )⎰⎰⎰⎰=θθθ (1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrd θ就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法:x r →cos θy r →sin θdxdy rdrd →θf x y dxdyD(,)⎰⎰f r r rdrd D(cos ,sin )θθθ⎰⎰2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算. 【情形一】积分区域D 可表示成下述形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r其中函数ϕθ1(), ϕθ2()在[,]αβ上连续.则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12【情形二】积分区域D 为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式ϕθ10()≡( 即极点在积分区域的边界上 ).故 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθαβϕθ⎰⎰⎰⎰=0【情形三】积分区域D 为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D 的内部 ),D 可剖分成D 1与D 2,而D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπϕθπθπϕθ故 D r :,()020≤≤≤≤θπϕθ则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθπϕθ⎰⎰⎰⎰=020由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用极坐标变量r ,θ表示成如下形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤,()()12r下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、D x y y 1222:+≤2、D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-D x y 31:+≤先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围[,]αβ；再过[,]αβ内任一点θ作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围[(),()]ϕθϕθ12.注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分 Iedx x =-+∞⎰2.而被积函数满足022>--y x e,从而以下不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y x Sy x D y x dxdy edxdy edxdy e成立，再利用例二的结果有)1(42122RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π, )1(422222RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π , ⎰⎰⎰⎰⎰⎰------==Ry RxRyx R S yx dy e dx e dy edx dxdy e22222220000022222⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰-----Rx R x R x Ry Rx dx e dx e dx e dy e dx e于是不等式可改写成下述形式ππππ441414222022R R x R R R e e dx e →+∞---→+∞←−−−−-<⎛⎝ ⎫⎭⎪<-−→−−−⎰()()故当R →+∞时有edx x-+∞⎰⎛⎝ ⎫⎭⎪=224π, 即 Iedx x ==-+∞⎰22π.3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含()x y 22+α, α为实数 ). 例6计算I dxdyx y a x y a axa a x =+⋅-+>⎰⎰--+-022*******()()解此积分区域为D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为D r a :,sin -≤≤≤≤-πθθ4002I rdrd r a rd dra r r a d Da a =-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222402202024sin sin arcsin=-=-=--⎰()θθθπππd 42421232 小结二重积分计算公式直角坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφ X —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ Y —型极坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Ddr r r f d rdrd r r f βαϑφϑφϑϑϑϑϑϑ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (作业教材P 161 习题2（I ）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）第二节教学目标1. 了解小提琴常见的演奏技法，及其音乐表现特色。

第二节二重积分的计算

第二节二重积分的计算法
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
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一、利用直角坐标计算二重积分
若D为 X – 型区域
y
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
则
b
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
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x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则

D
f ( x, y ) d

D r 2 ( )
f (r cos , r sin ) rd r d
D3
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o
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x
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例１. 计算
解:
2 cos( x y ) 2 d y 0 0 2[sin y cos y ] d y
0

cos y sin y

2
0
2
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例２. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
2
y x2
4 x

y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2

1

y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1

高等数学课件D92二重积分的计算

2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
D:
0 0
yx
x
yx
D x
o x

Dsixnxdxdy

0
sixnxdx
x 0
d
y

0
sinxdx

cosx

0
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
2019/11/5
重积分
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例4. 交换下列积分顺序
例6. 计算 ex2y2 dxdy, 其中D:x2y2a2. D
解: 在极坐标系下D:00r2a,故
原式
er 2rdrd
2
d
a rer2 dr
D
0
0

2

1er 2
2

a 0
(1ea2)
由于 e x2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算.
特别, 对 D:00r2()
r1()
o
D f(rco ,rssi)n rdrd
r()

2
d
()f(rco ,srsin )rdr
0
0
D o
2019/11/5
重积分
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若 f ≡1 则可求得D 的面积