江苏省南通市2020届高三高考考前模拟卷数学试题(十)含附加题

南通市2020届高考考前模拟卷（十）

数 学Ⅰ

（南通数学学科基地命题）

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．若集合{|24},{|}A x x B x x a =<=>≤，若{|34}A B x x =<

z ＋1

z －1

＝－i ，其中i 为虚数单位，则||z = ▲ . 3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，

则输入的x 的值为 ▲ .

4. 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2=1，a 5＋a 6=16，

则a 9＋a 10= ▲ .

5. 已知双曲线x 2

－y 2

=1，则其两条渐近线的夹角为 ▲ .

6．设实数x ，y 满足条件01,02,21,x y y x ⎧⎪

⎨⎪-⎩

≤≤≤≤≥则|343|x y ++的

最大值为 ▲ .

7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示， 则ω的值为 ▲ .

8. 设集合B 是集合A =(1，2，3，4}的子集，若记事件

M 为:“集合B 中的元素之和为5”，则事件M 发生的概率为 ▲ .

9. 若函数f (x )=2cos(x +2θ)+ cos2x (0<θ<π

2)的图象过点M (0，1)，则f (x )的值城为 ▲ .

10. 设函数f (x )=x 3

+ax 2

+bx +c 的三个零点x 1，x 2，x 3是公差为1的等差数列，则f (x )的极小

值为 ▲ .

11. 在△ABC 中，AB =8，AC =6，A =60°，M 为△ABC 的外心，若AM →=λAB →+μAC →

，λ、μ∈R ，

则4λ＋3μ＝ ▲ .

12. 已知△ABC 的面积等于1，若BC =1，当三边之积取得最小值时，则sin A = ▲ .

（第3题图）

13. 已知F 是椭圆C : x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的一个集点，P 是椭圆C 上的任意一点，则PF 称

为椭圆C 的焦半径.设椭圆C 的左顶点与上顶点分别为A ，B ，若存在以A 为圆心，PF 长为半径的圆经过点B ，则椭圆C 的离心率的最小值为 ▲ .

14. 已知f (x ) = a cos x －4cos 3

x ，若对任意的x ∈R ，都有|f (x )|≤1，则a = ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）

已知函数f (x ) = sin(ωx +φ) (ω>0，|φ|＜π2)的图象关于直线x ＝π

6对称，两个相邻的最高点

之间的距离为2π． (1) 求函数f (x )的解析式;

(2) 在△ABC 中，若f (A )=一3

5，求sin A 的值．

16.（本小题满分14分）

如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，E 为CC 1的中点， 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1D 1， 证明: (1) A 1C ∥平面B 1D 1E ;

(2) 平面AA 1C 1C ⊥平面B 1D 1E

(第16题图)

A

C

A 1

B 1

C 1

D 1

D

E

B

某工厂两幢平行厂房间距为50m ，沿前后墙边均有5m 的绿化带，现在绿化带之间空地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m 3，深度为3m ，水池一组池壁与厂房平行.如果池底总造价为c 元，垂直于厂房的池壁每1m 2的造价为a 元，平行于厂房的池壁每1m 2的造价为b 元，设该贮水池的底面垂直于厂房的一边的长为x （m ）． （1）求建造该长方体贮水池总造价y 的函数关系，并写出函数的定义域； （2）试问怎样设计该贮水池能使总造价最低？并求出最低总造价．

18.（本小题满分16分）

已知椭圆C 的方程是: x 24＋y 2

3

＝1.

(1)设椭圆的左,右焦点分别为F 1,F 2，点P 在椭圆上运动，求|PF 1→|・|PF 2→|＋PF 1→・PF 2→

的值;

(2)设S 为椭圆的右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(异于点S )，直线PS ，QS 分别交直线x =4于A ,B 两点，求证: A ,B 两点的纵坐标之积为定值.

（第17题图）

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12n 2+1

2n +a ，数列{b n }满足b 2n -1= a 2n -1 (n ∈N *)，

且对任意正整数m ，使得b 2m ，b 2m +1，b 2m +2，…，b 2m +1成等比数列,公比为q m . (1) 求a 的值;

(2) 求数列{q n }的前n 项积T n ；

(3) 记数列{b n }的前n 项和为B n ，求证: S n ≥B n .

20.（本小题满分16分）

已知函数f (x )＝e x －a 2

x 2

，（a ＞0），其中e 为自然对数的底数.

(1)∀x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，均有e x 2－e x 1

x 2－x 1

＞m ，求实数m 的取值范围；

(2) ① 设曲线y = f (x )在x =In a 处的切线为直线l ，求曲线y = f (x )与直线l 的公共点的个数;

② 求证: 存在唯一的x 0∈R ，使得对任意的x 1∈(－∞，x 0)且x 2∈(x 0，+∞)，均有f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

＞f ′(x 0).