第4章控制网平差

第4章控制网平差
极条件1个:
sina1sina2sinan sinb1sinb2sinbn
10
用改正数表达：
Σ δai vai – Σδbi vbi +ws = 0 ；
其中： δai = ctg ai , δbi = ctg bi
ws
(1 sinbi ) sina 第4章控制网平差 i
"
3、中点多边形
第4章控制网平差
用改正数表达：
va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2 – 180º va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; w2= a2+ b2 +a3 +b3 –180º va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w3= a3+ b3 +a4 +b4 –180º
a2
c2
②
ci
b2 ⓘ
ai
bi
C
D
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二、典型三角网的条件方程
1.三角锁
ai bi ci 18 00 ——图形条件
B2B1ssiinnab11ssiinnab22 ssiinnbann ——基线条件
B1
c1
①②
a1
b1
ai
ci
bi
第4章控制网平差
an
bn
ⓝ
B2
cn
将
a i a i v ai
第4章 控制网平差
• 对于一个实际平差问题，可建立不同形 式的函数模型，相应地就有不同的平差 方法。测量中常见的控制网平差方法有 条件平差和间接平差两种。
• 本章介绍独立三角网条件平差和水准网 间接平差的原理和方法
第4章控制网平差
第一节 独立三角网条件平差
根据三角网中起算数据的多少，三角网有独 立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独 立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。 三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方 法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差 时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的 详细步骤和方法。
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根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘 数法则组成新函数：
Ф = VTPV－ 2KT（AV+W)
其中： K =（k1, k2，…，kr )T 是拉格朗日 乘数，测量平差中称之为联系数向量。
显然，只要令Ф对V的一阶导数等于零就 可以求出 VTPV 的极值。
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矩阵求导的两个公式：
b i b i v bi
c i c i v ci
代入条件方程得到改正数表达的条件方程
• n个图形条件：
vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci –180º
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• 1个基线条件：
Σδai vai – Σ δbi vbi+wB= 0
wB
(1B2 B1
sin b)"
•极条件1个：
Σδai vai – Σ δbi vbi+ws= 0
ws (1
sinbi )"
sina 第4章控制i网平差
第二节 条件平差原理
条件方程可以写成矩阵形式：
AV +W=0
其中， • A －为r n 阶矩阵，称为系数矩阵；
• V －为n 1列阵，称为改正数向量； • W－为r 1列阵，称为闭合差向量。
V T P =K T A
转置后左乘 P –1 得：
V =P –1 ATK
(1)
该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。
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二、法方程式
将（1）式代入条件方程 AV +W=0 中得：
AP –1 AT K+W=0
（2）
这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值
的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi , 则
在中点多边形中，平差时除了要满足三角
形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满
足下列条件：
ci 360 0
a1 b1 c1
ci
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ai bi
用改正数表达：
• 图形条件n个：
vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci –180º
(i = 1,2,…,n)
•圆周角条件1个： Σ vci+wo= 0 ； wo= Σ ci -360º
p1
P
. . .
. . .
p2 . .
. .
... .
. pn
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显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：
1 . . .
p1
P 1
.
.
.
1 .
p2
.
. .
... .
(1) 设C为常数阵，X为列阵，则
d(CX ) C dX
(2)设Y、Z 均为列阵，则：
d(YTZ)YT dZZT dY
dX
dX dX
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一、改正数方程
函数 Ф = VTPV － 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导：
dVTP(P) V T2K TA dV
令其等于零，注意到 (PV )T = V T P，从而有：
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一、典型三角网
1.三角锁 共有n+2个点，其中2个为起算点，n个未知点.
起算数据：(x1,y1), (x2,y2). 观测百度文库：ai, bi, ci，B2
B1 c 1
ci
①
②
an
bn
ⓝ
a1
b1
ai
bi
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B2
cn
2.大地四边形
共有4个点，其 中2个为起算点， 2个未知点。
sina
其中：δai =ctgai ;
δbi =ctgbi ;
ρ” = 206265”
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• 2、大地四边形，
a3
b3
可以列出7个图形条件， b2
a4
但是只有 3 个是相互独
立的，其余几个可以由
这 3 个方程推导出来：
a2
b4
b1
a1
a1 b1 a2 b2 180 0 a2 b2 a3 b3 180 0 a3 b3 a4 b4 180 0
C
a3
b2
D
b3
a4
起算数据：
(xA ,yA), (xB , yB)
a2
观测值： a1~ a4 , b1~ b4
b1
B
S
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b4 a1
A
3.中点多边形
共有n+1个点，其中 2个为起算点，n-1个
A
a1
①ⓝE
未知点.
B b1
c1 O
起算数据： (xA , yA), (xO , yO) 观测值：ai , bi , ci
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条件方程 AV +W=0 中， 有 r 个方程，n 个未知数,且 r <n，这样 的方程组有无穷多组解。然而，根据最 小二乘准则，观测量的最或然值应该满 足VTPV=min。
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在 AV +W=0的条件下确定 VTPV 的最 小值，这在数学中是求函数Ф=VTPV 的条件极值问题。条件平差，实际上 就是确定条件方程满足VTPV=min 的 唯一解。