第4章控制网平差
测绘数据处理-自由网平差
式中， 是非拟稳点的未知参数， 是拟稳点的未知参数。这样
拟稳平差是在 值。
6
和
求定未知参数的最佳估
2014年4月3日星期四
由上可知，三种秩亏自由网平差均遵循
的原则，对
于同一平差问题，它们将有相同的法方程，三种自由网平差的解
均能满足法方程式(1-7-6)，它它们都是这一相同法方程多组解
中的一个特解。它们之间的不同只是由于各自对解向量x所加的 限制条件不同引起的，即由于各自所加的最小范数条件不同，因 此得到了不同的解向量。 由于秩亏网平差与拟稳平差都是加权秩亏网平差的特殊情况，
2014年4月3日星期四
5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘 的条件 （3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
下求定未知参数的最佳估值。 和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。 （4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即 (s>d) (1-7-7)
31
（1-7-46） 式中， ，。 因为降秩方阵，无正常逆，所以必须对法方程做适当变动。 将（1-7-46）中的第二个方程左乘 后再加到第一个方程上去， 既得变形后的法方程为 （ 1-7-47） 式中，，。 解法方程，得 （1-7-48） （1-7-49） 可以证明,当 满足条件时，联系数向量K必等于零。故式可简化为 （1-7-50） 代入式（1-7-45），可求得V，即可求得各未知参数的平差值 。
(1-7-16)
将代入式(1-7-11)，可求得V，再根据 知参数的平差值 要满足BG=0的条件，还要满足条件 (1-7-17) 也即在实际计算前，尚需要把G阵进行标准化，是的满足式(1-717)所述条件。
平差软件计算说明
由观测数据到平差成果用平差易做控制网平差的过程第一步：控制网数据录入第二步：坐标推算第三步：坐标概算第四步：选择计算方案第五步：闭合差计算与检核第六步：平差计算第七步：平差报告的生成和输出作业流程图：向导式平差向导即是按照应用程序的文字提示一步一步操作下去，最终达到应用目的。
PA2005提供了向导式平差，根据向导的中文提示点击相应的信息即可完成全部的操作。
它对PA2005的初学者有着极大的帮助，建议PA2005的初学者先应用向导来熟悉PA2005数据处理的全部操作过程。
本平差向导只适用于对已经编辑好的平差数据文件进行平差。
向导式平差的应用向导式平差需要事先编辑好数据文件，这里我们就以demo中的“边角网4.txt”文件为例来说明。
第一步：进入平差向导首先启动“南方平差易2005”，然后用鼠标点击下拉菜单“文件\平差向导”。
如下图“平差向导”所示：平差向导请注意平差向导的中文提示和应用说明，并依据提示进行。
第二步：选择平差数据文件点击“下一步”进入平差数据文件的选择页面。
如下图“选择平差数据”所示：选择平差数据点击“浏览”来选择要平差的数据文件。
所选择的对象必须是已经编辑好的平差数据文件，如PA2005的Demo中“边角网4”。
对于数据文件的建立，PA2005 提供了两种方式，一是启动系统后，在指定表格中手工输入数据，然后点击“文件\保存”生成数据文件；二是依照附录A中文件格式，在Windows的“记事本”里手工编辑生成。
打开数据文件点击“打开”即可调入该数据文件。
如下图“调入平差数据文件”所示：调入平差数据文件第三步：控制网属性设置调入平差数据后点击“下一步”即可进入控制网属性设置界面，如下图：该功能将自动调入平差数据文件中控制网的设置参数，如果数据文件中没有设置参数则此对话框为空，同时也可对控制网属性进行添加和修改，向导处理完后该属性将自动保存在平差数据文件中。
点击“下一步”进入计算方案的设置界面。
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
高程控制网平差
i
i
i
h h V 改厕厕短的改正数， 代入上式，得：
i
i
i
V1 V2 V3 V4 W 0
W H A h1 h2 h3 h4 H B
1.附合水准路线的条件数和条件方程式组成
观测值5个，待定水准点2 个，所以条件有3个，可 以列出3个条件方程：
h1
H B h1 h2 H A 0
V 1 V 3 V 2 W a 0 V 2 V 4 V 6 W b 0 V 4 V 5 V 3 W c 0
(二)观测值权的确定：
1.各水准路线都进行了往返观测，每公里水准路线的观测中误差为 ，
则m：i
R mi2
1 4n
n i
2 i
i
式中，为测往返测高程不符值，以mm为单位；R为测段长度，以km为单位；n
H A h2 h3 h5 H D 0
H B h1 h3 h4 H C 0
一般以1个已知点为起点，其它已知点为终点，所构成的附合 水准路线为已知点数减1，这样可以列出的条件方程式为已知 水准点个数减1.
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组成
从一个水准点出发，经过若干水准测段，又回到该 水准点，这样的水准路线称为闭合水准路线。
V 1 V 7 V 8 W b 0
V 2 V 8 V 7 W c 0
V 3 V 5 V 8 W d 0
V 4 V 6 V 5 W e 0
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组 成
图(c)是四边形状水准网，网中有4个待定点，没有已知点， 在平差计算时，只能确定个待定水准点之间的相互关系，如 果确定一个水准点的高程，就可以确定其他点的高程。因此， 该网的必要观测是3个，观测值总数是6个，又3个多余观测， 可以列出3个条件方程。为了让所列立的条件方程式互相独 立，没个条件方程都要求有一个其他方程没有用到的观测值， 即：
基于MATLAB的控制网平差程序设计--第四章源代码
chkdat函数（72页）function [n1,k]=chkdat(sd,pn,n1)n=length(n1);k=0;for i=1:ni1=0;for j=1:sdif(n1(i)==pn(j))i1=1;n1(i)=j;break;endendif(i1==0)% fprintf(fit2,'%5d %5d\n',i,n1(i)k=1;endendreturnreadlevelnetdata函数（73页）function [ed,dd,sd,gd,pn,h0,k1,k2,h1,s]=readlevelnetdata global filename filepath;global ed dd sd pn gd h0 k1 k2 h1 s k11 k12;k1=[];k2=[];h=[];s=[];[filename,filepath]=uigetfile('*.txt','选择高程数据文件');fid1=fopen(strcat(filepath,filename),'rt');if(fid1==-1)msgbox('Input File or Path is not correct','Warning','warn');return;ended=fscanf(fid1,'%f',1);dd=fscanf(fid1,'%f',1);sd=ed+dd;gd=fscanf(fid1,'%f',1);pn=fscanf(fid1,'%f',sd);h0=fscanf(fid1,'%f',ed);h0(dd+1:ed+dd)=h0(1:ed);heightdiff=fscanf(fid1,'%f',[4,gd]);heightdiff=heightdiff';k1=heightdiff(:,1);%起点k2=heightdiff(:,2);%终点k11=heightdiff(:,1);%起点k12=heightdiff(:,2);%终点h1=heightdiff(:,3);%高差s=heightdiff(:,4);%距离fclose('all');%点号转换[k1,k01]=chkdat(sd,pn,k1);[k2,k02]=chkdat(sd,pn,k2);h0(1:dd)=20000;ie=0;while(1)%计算近似高程for k=1:gdi=k1(k);j=k2(k);if(h0(i)<1e4&h0(j)>1e4)h0(j)=h0(i)+h1(k);ie=ie+1;endif(h0(i)>1e4&h0(j)<1e4)h0(i)=h0(j)-h1(k);ie=ie+1;endendif(ie==dd)break;endendh0=reshape(h0,length(h0),1); returnbm1函数（75页）function id=bm1(gd,dd,k1,k2)%计算一维压缩存放的数组idid=[];for i=1:ddk=i;for j=1:gdi1=k1(j);i2=k2(j);if(i1==i&i2<k)k=i2;endif(i2==i&i1<k)k=i1;endendid(i)=k;endfor i=2:ddid(i)=id(i-1)+i-id(i)+1;endreturn一维压缩存储法方程平差（76页）global pathname filenameglobal ed dd sd pn gd h0 k1 k2 h1 s dh;p=1./s;id=bm1(gd,dd,k1,k2);mm=id(dd);a(1:mm)=0;b(1:dd)=0;for k=1:gd %形成法方程i=k1(k);j=k2(k);h1=h1(k)+h0(i)-h0(j);if(i<=dd)ii=id(i)-i;a(ii+i)=a(ii+i)+p(k);b(i)=b(i)-h1*p(k);endif(j<=dd)jj=id(j)-j;a(jj+j)=a(jj+j)+p(k);b(j)=b(j)+h1*p(k);if(i<=dd)if(i>=j)a(ii+j)=a(ii+j)-p(k);elsea(jj+i)=a(jj+i)-p(k);endendendenda=gs5(dd,a,id);%变带宽下三角紧缩存储高斯消元法dh=cy6(a,b,id,dd,1);%常数项约化与回代子程序dh(dd+1:ed+dd)=0;hm(dd+1:ed+dd)=0;for i=1:sdh(i)=h0(i)+dh(i);endvv=0;for i=1:gdL(i)=h(k2(i))-h(k1(i));v(i)=h(k2(i))-h(k1(i))-h1(i);vv=vv+v(i)*v(i)/s(i);endu=sqrt(vv/(gd-dd));for i=1:ddb(1:dd)=0;b(i)=1.0;b=cy6(a,b,id,dd,i);hm(i)=sqrt(b(i))*u;endwritelevelnetdata(pn,k1,k2,h1,v',L',h0,dh',h',hm',u);gs5函数（77页）function a=gs5(dd,a,id)%变带宽高斯消去法for i=1:ddii=id(i)-i;if(i-1==0)li=1-ii;elseli=id(ii-1)-ii+1;endfor j=li:ijj=id(j)-j;if(j-1)==0lj=1-jj;elselj=id(j-1)-jj+1;endlk=li;if(li<lj)lk=lj;endfor k=lk:j-1kk=id(k);a(ii+j)=a(ii+j)-a(ii+k)/a(kk)*a(jj+k);endendendreturncy6函数（78页）function b=cy6(a,b,id,dd,k1)%常数项约化与回代子程序for i=k1:ddii=id(i)-i;if(i==1)nd=id(i);elsend=id(i)-id(i-1);ende=0;for k=1:i-1if((i-k)<nd)e=e+a(ii+k)*b(k);endendb(i)=(b(i)-e)/(a(ii+i);endfor i=dd-1:-1:k1ii=id(i);for k=i+1:ddkk=id(k)-k;nk=id(k)-id(k-1);if(k-i<nk)b(i)=b(i)-a(kk+i)/a(ii)*b(k);endendendreturn上三角存储法方程平差程序（79页）mm=(dd+1)*dd/2;a(1:mm)=0;b(1:dd)=0;for k=1:gdi=k1(k);j=k2(k);h1=h1(k)+h0(i)-h0(j);if(i<=dd)ii=(i-1)*(dd-i/2);a(ii+i)=a(ii+i)+1/s(k);b(i)=b(i)+1./s(k)*h1;endif(j<=dd)jj=(j-1)*(dd-j/2);a(jj+j)=a(jj+j)+1/s(k);b(j)=b(j)-1./s(k)*h1;if(i<=dd)if(i<j)a(ii+j)=a(ii+j)-1/s(k);elsea(jj+i)=a(jj+i)-1/s(k);endendendenda=invsqr(a,dd);for i=1:dddh(i)=0;di=(i-1)*(dd-i/2);for j=1:dddj=(j-1)*(dd-j/2);if(j<i)dh(i)=dh(i)-a(dj+i)*b(j);elsedh(i)=dh(i)-a(di+j)*b(i);endendenddh(dd+1:ed+dd)=0;hm(dd+1:ed+dd)=0;for i=1:sdh(i)=h0(i)+dh(i);endvv=0;for i=1:gdL(i)=h(k2(i))-h(k1(i));v(i)=h(k2(i))-h(k1(i))-h1(i);vv=vv+v(i)*v(i)/s(i);enduw0=sqrt(vv/(gd-dd));for i=1:ddii=(i-1)*(dd-i/2);hm(i)=sqrt(a(ii+i))*uw0;endreturn输出数据函数（79页）function writelevelnetdata(pn,k1,k2,h1,v,L,h0,dh,h,hm,uw0)disp('待定点高程平差值及中误差:')disp('---点号----近似高程(m)-高程改正(m)-高程平差值(m)-中误差')[pn,h0,dh,h,hm]disp('高差观测值平差值:')disp('---点号------点号----观测高差(m)---高差改正(m)-平差高差(m)')[pn(k1),pn(k2),h1,v,L][filename1,pathname1]=uigetfile('*.txt','请选择输出文件');fid2=fopen(strcat(pathname1,filename1),'wt');if(fid2==-1)msgbox('Error by Opening Output File','Warning','warn');return;endfprintf(fid2,'待定点高程平差值及中误差：\n 点号--近似高程(m)--高程改正(m)-高程平差值(m)-中误差\n');fprintf(fid2,'%5d %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f\n',[pn,h0,dh,h,hm]');fprintf(fid2,'高差观测值平差值:\n -点号---点号--观测高差(m)--高差改正(m)-平差高差(m)\n'); fprintf(fid2,'%5d %5d %10.4f %10.4f %10.4f\n',[pn(k1),pn(k2),h1,v,L]');fprintf(fid2,'单位权中误差：%10.4fm\n',uw0);% open(strcat(pathname1,filename1));fclose(fid2);return利用Matlab矩阵运算的平差程序（81页）function level3ticdisp('平差已经开始---->>>>')global ed dd sd pn gd h0 k1 k2 h1 s dh;[ed,dd,sd,gd,pn,h0,k1,k2,h1,s]=readlevelnetdata;[dh,h,V,L,uw0,uwh,uwl]=calculatelevelnet(ed,dd,sd,gd,pn,h0,k1,k2,h1,s);writelevelnetdata(pn,k1,k2,h1,V,L,h0,dh,h,uwh,uw0); %输出水准网解算结果yunxing=toc;disp(['平差过程的运行时间为',num2str(yunxing),'秒。
测绘数据处理-自由网平差
4
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外 ，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
2019/2/15
17
阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
2019/2/15
2
在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
2019/2/15
det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
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点号
P1 P2 P3 P4
/m
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（1）计算网的重心点坐标
（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值
点号
P1 P2 P3
/km
P4
2019/2/15
计算器中的测量软件----道路之星操作手册 (1)
柃路园柃路园9860计算器与道路之星销售靠的是诚信与服务来经营店铺，店铺诚信服务、服务第一。
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软件分为两个部分：a.电脑端数据处理负责设计输入输出、设计成果的复核、现场采集数据的分析计算以及与计算器进行文件传输；b.计算器端施工现场计算基于Casio fx9750、fx9860、fxCG20计算器设计，负责现场的施工指导和相关数据的采集。
（一）、道路全线测设系统：将道路全线或一个标段所有数据一次性输入，主线、匝道可以存入一个文件，用路线名进行标识，一个项目文件可以包含任意多条路线。
[整理]10控制网平差计算
![[整理]10控制网平差计算](https://img.taocdn.com/s3/m/e0263d420066f5335b812169.png)
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ211⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛=⨯b a r w w W 1⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛=⨯n v v V 211⎪⎪⎪⎫⎛=⨯οοb a A o r 11⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L⎪⎪⎪⎫⎛=⨯n n p p P 000021则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
计算器中的测量软件----道路之星操作手册 (1)
柃路园柃路园9860计算器与道路之星销售靠的是诚信与服务来经营店铺，店铺诚信服务、服务第一。
在本店铺购买后包教会道路之星安装与使用，并解决购买者任何测量问题，同时赠送各种常用软件及测量文件案例，并对新手及老手测量人员提供测量服务。
柃路园—(服务淘宝第一、价格淘宝最低）购买者请看准测量服务：网店网址：按住Ctrl并点击鼠标“柃路园—(淘宝网址)”以跟踪连接教程网址：按住Ctrl并点击鼠标“（道路之星软件视频讲解_道路之星软件使用教程 - )”以跟踪连接QQ测量服务群：128528455 电话138****4860基于Casio计算器的中文测量计算系统道路之星V1.22操作手册目录第一章概述- 1 - 第二章系统安装- 3 - 第一节电脑端程序- 3 - 第二节计算器与电脑交换数据- 5 - 第三节计算器程序- 7 - 第四节计算器程序基本操作- 11 - 第五节简易操作指南- 14 - 第三章常规计算- 16 - 第四章水准网记录及平差- 20 - 第五章控制测量记录与平差- 26 - 第六章道路测设- 30 - 第一节项目管理- 30 - 第二节道路正反算- 36 - 第三节路基路面控制- 44 - 第四节边坡计算- 49 - 第五节结构物及桥梁计算及检测- 53 - 第六节隧道超欠挖计算- 60 - 第七章计算器数据输入- 68 -道路之星用户手册第一章概述第一章概述一、功能和特点道路之星适用于公路、铁路、城市道路主线、立交匝道、隧道的勘测设计与施工放样工作。
软件分为两个部分：a.电脑端数据处理负责设计输入输出、设计成果的复核、现场采集数据的分析计算以及与计算器进行文件传输；b.计算器端施工现场计算基于Casio fx9750、fx9860、fxCG20计算器设计，负责现场的施工指导和相关数据的采集。
（一）、道路全线测设系统：将道路全线或一个标段所有数据一次性输入，主线、匝道可以存入一个文件，用路线名进行标识，一个项目文件可以包含任意多条路线。
工程测量与测绘技术操作手册
工程测量与测绘技术操作手册第1章工程测量基础 (4)1.1 测量基本概念 (4)1.1.1 测量 (4)1.1.2 基准 (4)1.1.3 尺度 (4)1.1.4 比例尺 (4)1.2 测量坐标系与基准面 (4)1.2.1 测量坐标系 (5)1.2.2 基准面 (5)1.3 测量误差与精度分析 (5)1.3.1 测量误差的分类 (5)1.3.2 测量误差的传播与合成 (5)1.3.3 测量精度的评定 (5)1.3.4 测量误差的控制 (5)第2章测绘仪器及其使用方法 (5)2.1 水平仪 (5)2.1.1 使用方法 (5)2.2 经纬仪 (6)2.2.1 使用方法 (6)2.3 全站仪 (6)2.3.1 使用方法 (6)2.4 激光扫描仪 (6)2.4.1 使用方法 (6)第3章水平控制测量 (6)3.1 水平控制网设计 (7)3.1.1 控制网设计原则 (7)3.1.2 控制网类型选择 (7)3.1.3 控制点等级划分 (7)3.1.4 控制网精度估算 (7)3.2 水平控制点布设与测量 (7)3.2.1 控制点布设原则 (7)3.2.2 控制点选点与标石埋设 (7)3.2.3 水平控制测量方法 (7)3.2.4 水平控制测量操作步骤 (8)3.3 水平控制测量数据处理 (8)3.3.1 数据预处理 (8)3.3.2 观测值平差 (8)3.3.3 控制点坐标计算 (8)3.3.4 控制网精度评定 (8)3.3.5 成果整理与提交 (8)第4章垂直控制测量 (8)4.1.1 设计原则 (8)4.1.2 控制网等级与类型 (8)4.1.3 控制点分布 (8)4.1.4 控制网优化 (9)4.2 垂直控制点布设与测量 (9)4.2.1 控制点选点 (9)4.2.2 控制点标志 (9)4.2.3 观测设备 (9)4.2.4 观测方法 (9)4.2.5 观测精度 (9)4.3 垂直控制测量数据处理 (9)4.3.1 数据预处理 (9)4.3.2 外业数据检验 (9)4.3.3 数据平差 (9)4.3.4 精度分析 (10)4.3.5 成果整理与提交 (10)第5章地形图测绘 (10)5.1 地形图基本知识 (10)5.1.1 地形图概念 (10)5.1.2 地形图分类 (10)5.1.3 地形图比例尺 (10)5.1.4 地形图符号 (10)5.2 地形图测绘方法 (10)5.2.1 地面测量 (11)5.2.2 航空摄影测量 (11)5.3 地形图质量控制与检查 (11)5.3.1 资料检查 (11)5.3.2 测量数据检查 (11)5.3.3 地形图内容检查 (11)5.3.4 地形图精度检查 (11)5.3.5 审核与验收 (12)第6章工程测量 (12)6.1 施工放样 (12)6.1.1 概述 (12)6.1.2 放样方法 (12)6.1.3 放样步骤 (12)6.1.4 放样质量控制 (12)6.2 线路测量 (12)6.2.1 概述 (12)6.2.2 中线测量 (12)6.2.3 横断面测量 (13)6.2.4 纵断面测量 (13)6.3 建筑物测量 (13)6.3.2 平面控制测量 (13)6.3.3 高程控制测量 (13)6.3.4 细部测量 (13)6.3.5 建筑物变形观测 (14)第7章水下测量 (14)7.1 水下测量概述 (14)7.2 单波束测深仪 (14)7.3 多波束测深系统 (14)第8章遥感与卫星测绘技术 (15)8.1 遥感基本原理 (15)8.1.1 遥感概念 (15)8.1.2 电磁波谱 (15)8.1.3 遥感传感器 (15)8.1.4 遥感平台 (15)8.2 卫星测绘技术 (15)8.2.1 卫星测绘概述 (16)8.2.2 卫星轨道与传感器 (16)8.2.3 卫星测绘系统 (16)8.3 遥感与卫星测绘数据处理 (16)8.3.1 数据预处理 (16)8.3.2 数据融合 (16)8.3.3 目标提取与分类 (16)8.3.4 变化检测 (16)8.3.5 应用实例 (16)第9章摄影测量与激光扫描 (16)9.1 摄影测量基本原理 (17)9.1.1 摄影测量概述 (17)9.1.2 摄影测量基本公式 (17)9.1.3 摄影测量设备 (17)9.1.4 摄影测量方法 (17)9.2 激光扫描技术 (17)9.2.1 激光扫描概述 (17)9.2.2 激光扫描原理 (17)9.2.3 激光扫描设备 (17)9.2.4 激光扫描方法 (17)9.3 摄影测量与激光扫描数据处理 (17)9.3.1 数据预处理 (17)9.3.2 特征提取 (18)9.3.3 数据配准与拼接 (18)9.3.4 三维模型重建 (18)9.3.5 精度分析 (18)第10章测绘成果应用与质量控制 (18)10.1 测绘成果的应用 (18)10.1.1 测绘成果在工程项目中的应用 (18)10.1.2 测绘成果在公共事务中的应用 (18)10.2 测绘成果的质量控制 (18)10.2.1 质量控制原则 (19)10.2.2 质量控制方法 (19)10.2.3 质量控制措施 (19)10.3 测绘成果交付与验收标准 (19)10.3.1 成果交付要求 (19)10.3.2 成果验收标准 (19)10.3.3 成果验收程序 (20)第1章工程测量基础1.1 测量基本概念工程测量是应用测量学原理和方法，对工程对象的几何位置、形状、大小及物理量进行测定的一门科学技术。
测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理
大地四边形 t 2*44 4
中心多边形 t 2*7 4 10
扇形 t 2*5 4 6
r 84 4
r 18 10 8
r 11 6 5
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量 平差得以实现 由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何 模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不 满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使 其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一
（1）两个相邻点坐标 （2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长。
L2
L1
L3
③测边网和边角网：
一个已知点坐标，一个相邻已知方位，
一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。
L2
L1
L3
三、必要观测
必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 用符号t表示。
§4.5参数估计与最小二乘原理
Estimation of Parameters and Principles of Least Squares 一、参数估计及最优性质
高程控制网平差
1.单位权中误差的计算公式：
m0 ˆ0
PVV
r
2.每km高差中误差：
m m0
C
3.最弱点的高程中误差
最弱点是指误差最大的待定水准点，一般为离开已知水准点 最远的点。首先要列出最弱点的权函数式：
V F f 1V1 f 2V 2 f nV n
利用m f
1
m0式P计f 算最弱点高程中误差。
V 1 V 7 V 8 W b 0
V 2 V 8 V 7 W c 0
V 3 V 5 V 8 W d 0
V 4 V 6 V 5 W e 0
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组 成
图(c)是四边形状水准网，网中有4个待定点，没有已知点， 在平差计算时，只能确定个待定水准点之间的相互关系，如 果确定一个水准点的高程，就可以确定其他点的高程。因此， 该网的必要观测是3个，观测值总数是6个，又3个多余观测， 可以列出3个条件方程。为了让所列立的条件方程式互相独 立，没个条件方程都要求有一个其他方程没有用到的观测值， 即：
在水准网中，把3条或3条以 上水准路线的交点称为结点。 两条水准路线的交点称为节点。
（一）按间接平差法对结点进行平差
1.误差方程式的列立
不考虑水准路线中的节点，将水准路线的高差作为独立观测 值，取结点的近似高程改正数为未知数，列立每条水准路线 高差观测值的误差方程。
如图，路线高差观测值以表示，已知
（一）按间接平差法对结点进行平差
3.法方程式的解算 法方程式系数阵的逆阵为：
Q
N Q QQ 1
11
XX
21
31
Q 12
Q 22
Q 32
Q
13
Q Q23
测量控制网平差软件详细使用说明
威远图公司简介北京威远图仪器有限责任公司（简称WELTOP），是一家致力于空间数据的获取与应用开发、空间信息系统集成、空间信息服务的高新技术企业，创建于1997年1月。
公司自成立以来，一直本着“真诚、服务、创新、发展”的企业精神，“以卓越的方式完成每一件事”的原则，集测绘设备销售、软件开发、信息系统集成、空间信息生产与服务为一体，短短几年时间里，已发展成为一家集空间地理信息和应用专业软件的研制和开发、空间地理信息增值服务、大型GIS工程承接为一体的全国性知名品牌企业，业务范围涵盖了整个测绘行业及服务于公众地理信息的所有工作范畴。
2000年1月又分离出北京威远图数据开发有限公司，侧重于软件和系统工程的开发和研究。
现在公司的产品与服务涉及领域包括国土、交通、水利、海洋、石化、电力、市政、农业、金融、商业、咨询等行业，在测绘行业中赢得了引人瞩目的一席之地。
公司的主要业务范围包括：测绘/地理信息采集设备、计算机与专业应用软件系统的开发/销售、以及相关的技术咨询和服务。
目前主要产品分为软、硬件两大类，有公司自己开发研制的Cito和SV系列测绘成图软件、TOP 系列测绘软件（平差及通讯等）、水利断面软件、道路测设一体化系统软件、地下管线测绘及管理软件、建筑物沉降分析软件、掌上测图系统、数字水准软件、数字矿山测绘系统以及房产测量师软件；另外我公司还承接GIS工程，已经推出并得到成熟应用的GIS系统有：房产测绘信息管理系统、矿产资源管理信息系统、银行营业网点管理系统、通用测绘信息化管理系统、地下管网信息管理系统等；配套的硬件产品有全站仪、GPS、绘图仪、扫描仪等。
2002年，威远图公司入住中关村德胜科技园区，同时获得北京市西城区政府下属隆达集团风险注资，被北京市认证为高新技术企业以及软件企业、获得北京市规划委员会颁发的测绘软件及地理信息系统开发的乙级资质，同年与美国知名企业Autodesk公司携手，作为Autodesk GIS产品中国测绘行业总代理，成为测绘行业唯一的一家ADN全球开发联盟成员。
第四章 图根控制测量
² = y x +² =0.150
x = y =0.12 +0.09
K=
D
=
1 4900
<
1 2000
附合导线的计算
例：
A
205 3648
xB 1536.86m y B 873.54m
前进方向
AB 236 4428
AB
D B 1 2
202 47 08
三、闭合导线内业计算
计算中的取位：
图根级角——秒位； 边、坐标——厘米位； 一、二、三级角——秒位 ；边、坐标——毫米位。
计算前的准备工作：
整理外业成果，绘计算草图，填计算表。
内业计算：
1、角度闭合差的计算与调整 2、推算坐标方位角 3、计算坐标增量 4、坐标增量闭合差的计算与调整 5、计算坐标
f (n 2)180
观测角
点 号 A B 205 36 48 1 2 290 40 54 （右角） °´"
改 正 数
˝
改正角 °´"
坐标 方位角 α 236 44 28
距离 D m
增量计算值 Δx m Δy m
改正后增量 Δx m Δy m
坐标值 x y m m
点 号 A
-13 205 36 35 211 07 53 125.36 -12 290 40 42 100 27 11 98.71 -13 202 46 55 77 40 16 144.63
（2）满足精度要求，将fβ反符号平均分配到各观测角上。
2、坐标增量闭合差的计算
f x x测 x理 x测 ( x终 x始 ) f y y 测 y 理 y 测 ( y终 y 始 )
控制测量学复习重点
45、重力垂线偏差：重力方向线与正常重力方向线之间的夹角称为重力垂线偏差。
46、测定垂线偏差的方法有：天文大地测量方法；重力测量方法；综合天文大地重力测量方法；GPS方法。
48、测定地球形状的基本方法：天文大地测量方法、重力测量方法、空间大地测量方法
23、大地方位角A: 过P点和另一地面点Q点的大地方位角A就是P点的子午面与过P点法线及Q点的平面所成的角度，由子午面顺时针方向量起。
24、大地坐标系又叫参心（参考椭球中心）坐标系
25、地心坐标系：建立大地坐标系时，如果选择的旋转椭球为总地球椭球，椭球中心就是地球质心，再定义坐标轴的指向，此时建立的大地坐标系叫做地心坐标系。分类：地心大地坐标系与地心空间直角坐标系 应用：空间技术和卫星大地测量中
18、地面点在参考椭球面上的位置用大地经度L和大地纬度B表示。
19、大地高：若地面点不在椭球面上，它沿法线到椭球面的距离称为大地高H大。
20、子午圈：子午面与椭球面的交线称为子午圈或子午线。
21、大地坐标：大地经度L、大地纬度B和大地高H。
22、我国位于赤道以北的东半球，所以各地的大地经度L和大地纬度B都是正值。
：1大地控制网应分级布设、逐级控制2大地控制网应有足够的精度3大地控制网应有一定的密度4、大地控制网应有统一的规格和要求.。内容包括：具体的布网方案、作业方法、使用的仪器、各种精度指标等，全国各测绘部门，再进行测量作业时都必须以此为技术依据而遵照执行
6、一等锁在起始边的两端上还精密测定了天文经纬度和天文方位角，在锁段中央处测定了天文经纬度。测定天文经纬度的目的是为计算垂线偏差提供资料，测定天文方位角的目的是为了控制锁段中方位角的传递误差。作用：1国家平面控制网的骨干2建立统一的坐标系框架3控制低等级三角网的建立4为研究地球形状大小提供资料
控制点坐标平差处理
控制点坐标平差处理城市平面控制网的种类较多，有GPS网、三角网、边角组合网和导线网，其中导线网按等级划分为三、四等和一、二、三级。
本文以附合导线的内业数据处理为例，说明控制点坐标平差处理的方法。
导线的内业计算，就是根据起始点的坐标和起始边的坐标方位角，以及所观测的导线边长和转折角，计算各导线点的坐标。
计算的目的除了求得各导线点的坐标外，还有就是检核导线外业测量成果的精度。
在转入内业计算之前，应整理并全面检查外业测量的基础资料，检查数据是否完整，是否有记录错误和计算错误，是否满足精度要求，起算数据是否正确和完整，然后绘制相应导线的平面草图，并将相关数据标示于草图的对应部位。
如图2-21所示的附合导线，观测转折角为左角，计算的步骤如下：(1)填表。
计算之前，首先将示意图中各观测数据（观测角和边长）和已知数据（起始边和附合边的坐标方位角，起始点和终止点的坐标）填入相应表格之中，如表2-19所示。
(2)角度闭合差的计算与调整。
如图2-20所示的附合导线，观测转折角为左角，根据坐标方位角的推算公式可以依次计算各边的坐标方位角：αA1＝αBA＋180°＋βAα12＝αA1＋180°＋β1α2C＝α12＋180°＋β2＋）αCD′＝α2C＋180°＋βCαCD ′＝αBA＋4×180°＋∑β测左计算终边坐标方位角的一般公式为：α终边′＝α始边＋n·180°＋∑β测左（2-5）式中n为导线观测角个数。
角度闭合差的计算公式为：fβ测＝α终边′－α终边（2-6）图2-21 附合导线计算示意图角度闭合差fβ的大小，表明测角精度的高低。
对于不同等级的导线，有不同的限差（即fβ容）要求，例如图根导线角度闭合差的允许值为：fβ容＝±60″n（2-7）式中n为多边形内角的个数。
这一步计算见辅助计算栏，fβ测＝+41″， fβ容＝±120″。
平差第四章
第4章平差数学模型与最小二乘原理测量———确定模型确定模型的必要元素(量、数据），其个数为t m个。
•必要元素的个数T只取决于模型本身•所有的必要元素都是彼此函数独立的量•模型中所有的量都是必要元素的函数•一个模型中函数独立的量最多只有T个•模型中作为必要元素的“量”不是唯一的必要元素分必要观测量(t 个）和必要起算数据(t o 个）。
一个测量问题中的总观测个数(n 个），则多余观测个数(r 个）相应的有总起算数据个数和多余起算数据个数。
必要观测数据个数：m o t t t =--多余起算数据个数控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型水准网点数t=1一个点的高程测角三角网点数×2t=4一个点的坐标、一边边长和方位角⇦⇨两个已知点测边三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角边角三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角r=n-t当n＜t时，不能确定平差问题的模型n =t时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知n＞t时，有多余观测，因观测误差使观测值间产生矛盾，使模型出现多解。
n＞t时，通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
4-2函数模型由于只能求出真误差的估值，即真值的估值，函数模型应为：ˆ0AL A +=平差值条件：0()AV W W AL A +==+改正数条件选择t 个函数独立的参数：，这些参数刚好能够确定模型。
则函数模型为：12(,,,)t X X X1()n L F X ⨯=线性情况下111n n t t n L B X d⨯⨯⨯⨯=+ 误差方程：111111()n t t n n n n n V B X l l d L ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=- o o1111()n t n t n n V B x ll BX d L L L ⨯⨯⨯⨯⨯=+=+-=-附有参数的条件平差法模型在具体平差问题中，观测次数n ，必要观测次数t ，则多余观测次数r ，再增加u 个独立参数，且0 ＜u ＜t ，则总共有r +u = c 个条件方程，一般形式是：线性情况下01111c n n c u u c c A L B X A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++=改正数条件方程：01111()c n c u n u c c A V B x W W AL BX A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++==++1(,)0c F L X ⨯=具有约束条件的间接平差法的函数模型选择u 个参数：，u＞t ，且包含t 个函数独立的参数。
科傻平差说明文件..
科傻系统系列软件之二（COSA_CODAPS）现代测量控制网测量数据处理通用软件包Version 6.0使用说明书武汉大学测绘学院武地课题组2009年4月目录前言 (1)第一章概述 (3)1.1 系统简介 (3)1.2 安装及运行 (4)1.3 快速入门 (5)第二章平差 (10)2.1 控制网观测值文件 (10)2.2 控制网平差 (20)2.3 设置与选项 (23)2.4 生成概算用文件 (32)2.5 附加信息文件 (33)2.6 自由网平差 (34)第三章工具 (40)3.1 平面闭合差计算 (40)3.2 高程闭合差计算 (42)3.3贯通误差影响值计算 (42)3.4图形显绘 (44)3.5斜距化平 (44)3.6手簿通讯 (46)3.7格式转换 (47)3.8高差转换 (47)3.9徕卡DNA格式转换 (47)3.10拓普康GTS格式转换 (50)3.8叠置分析 (52)第四章粗差定值定位和方差分量估计 (54)4.1粗差定值定位 (54)4.2方差分量估计 (60)第五章网的模拟计算和优化设计 (62)5.1生成正态标准随机数 (62)5.2网的模拟计算 (62)5.3平面网优化设计 (70)第六章报表输出 (72)6.1原始数据报表 (72)6.2 平差结果报表 (79)第七章坐标转换 (82)7.1 XYZ-〉BLH (82)7.2 BLH->XYZ (83)7.3 XY->BL (84)7.4 BL->XY (85)7.5 XY1->XY2 (85)7.6 XY1->XY2 (86)7.8 几何转换 (87)ii附录2 COSA_CODAPS的文件组织 (89)1平面控制网 (89)2 水准（高程）网 (90)3 GPS网 (91)附录3 所附实例文件目录 (92)附录4 有关参考文献 (94)附录5 有关获奖情况 (97)i ii前言“测量工程控制与施工测量内外业一体化和数据处理自动化系统”简称科傻系统(COSA),意即用高科技集成的傻瓜式测量数据采集和处理系统。
水利工程测绘规范
水利工程测绘规范篇一：Sl197-2013 《水利水电工程测量规范》 4 平面控制测量Sl197-2013 《水利水电工程测量规范》 4 平面控制测量 4.1 一般规定4.1.1 平面控制可分为基本平面控制、图根平面控制和测站点平面控制等，可采用GNSS测量、三角形网测量和导线（网）测量等方法。
4.1.2 基本平面控制的等级可划分为二等、三等、四等、五等4个等级，各等级均可作为测区的首级控制，其布设层次和精度要求应符合表4.1.2的规定。
4.1.3 基本平面控制点均应埋设标志并绘制点之记，尺寸规格与要求应符合附录A的规定。
4.1.4 全站仪测图图根控制点的密度，应满足测图需要，不宜小于表4.1.4的规定。
表4.1.4 图根控制点密度4.1.5 平面控制测量内业计算中数字取位应符合4.1.5的规定。
4.2 GNSS测量4.2.1 GNSS测量控制网按精度可划分为五个等级，各等级控制网的相邻点间距及精度要求应按表4.2.1的规定执行。
4.2.2 GNSS网的设计应满足下列要求：1 各等级GNSS网可布设成多边形或附和路线，其相邻点最小距离不宜小于平均间距的1/3，最大距离不宜大于平均间距的3倍。
2 新建GNSS网与原有控制网联测时，其联测点数不宜少于3点，分布宜均匀。
在需用常规测量方法加密控制网的地区，GNSS网店应成对布设，对点间相互通视。
3 基线长度大于20km时，应采用GB/T18314中C级GPS网的时段长度进行静态观测。
4 二等、三等、四等GNSS控制网应采用网连式、边连式布网；五等、图根控制网可采用点连式布网。
5 GNSS控制网由非同步基线构成的多边形闭合环或附和路线的边数应满足表4.2.2的规定。
表4.2.2 GNSS控制网非同步观测闭合环或附和路线边数规定4.2.3 GNSS点的点位应顶空开阔、视场内障碍物的高度角不宜大于15°，并远离大面积水域、大功率发射台或高压线，其距离不宜小于50m。
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V T P =K T A
转置后左乘 P –1 得：
V =P –1 ATK
(1)
该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。
第4章控制网平差
二、法方程式
将（1）式代入条件方程 AV +W=0 中得：
AP –1 AT K+W=0
（2）
这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值
的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi , 则
b i b i v bi
c i c i v ci
代入条件方程得到改正数表达的条件方程
• n个图形条件：
vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci –180º
第4章控制网平差
• 1个基线条件：
Σδai vai – Σ δbi vbi+wB= 0
wB
(1B2 B1
sin b)"
(1) 设C为常数阵，X为列阵，则
d(CX ) C dX
(2)设Y、Z 均为列阵，则：
d(YTZ)YT dZZT dY
dX
dX dX
第4章控制网平差
一、改正数方程
函数 Ф = VTPV － 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导：
dVTP(P) V T2K TA dV
令其等于零，注意到 (PV )T = V T P，从而有：
第4章控制网平差
用改正数表达：
va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2 – 180º va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; w2= a2+ b2 +a3 +b3 –180º va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w3= a3+ b3 +a4 +b4 –180º
第4章控制网平差
一、典型三角网
1.三角锁 共有n+2个点，其中2个为起算点，n个未知点.
起算数据：(x1,y1), (x2,y2). 观测值：ai, bi, ci，B2
B1 c 1
ci
①
②
an
bn
ⓝ
a1
b1
ai
bi
第4章控制网平差
B2
cn
2.大地四边形
共有4个点，其 中2个为起算点， 2个未知点。
第4章 控制网平差
• 对于一个实际平差问题，可建立不同形 式的函数模型，相应地就有不同的平差 方法。测量中常见的控制网平差方法有 条件平差和间接平差两种。
• 本章介绍独立三角网条件平差和水准网 间接平差的原理和方法
第4章控制网平差
第一节 独立三角网条件平差
根据三角网中起算数据的多少，三角网有独 立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独 立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。 三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方 法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差 时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的 详细步骤和方法。
sina
其中：δai =ctgai ;
δbi =ctgbi ;
ρ” = 206265”
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• 2、大地四边形，
a3
b3
可以列出7个图形条件， b2
a4
但是只有 3 个是相互独
立的，其余几个可以由
这 3 个方程推导出来：
a2
b4
b1
a1
a1 b1 a2 b2 180 0 a2 b2 a3 b3 180 0 a3 b3 a4 b4 180 0
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条件方程 AV +W=0 中， 有 r 个方程，n 个未知数,且 r <n，这样 的方程组有无穷多组解。然而，根据最 小二乘准则，观测量的最或然值应该满 足VTPV=min。
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在 AV +W=0的条件下确定 VTPV 的最 小值，这在数学中是求函数Ф=VTPV 的条件极值问题。条件平差，实际上 就是确定条件方程满足VTPV=min 的 唯一解。
a2
c2
②
ci
b2 ⓘ
ai
bi
C
D
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二、典型三角网的条件方程
1.三角锁
ai bi ci 18 00 ——图形条件
B2B1ssiinnab11ssiinnab22 ssiinnbann ——基线条件
B1
c1
①②
a1
b1
ai
ci
bi
第4章控制网平差
an
bn
ⓝ
B2
cn
将
a i a i v ai
p1
P
. . .
. . .
p2 . .
. .
... .
. pn
第4章控制网平差
显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：
1 . . .
p1
P 1
.
.
.
1 .
p2
.
. .
... .
在中点多边形中，平差时除了要满足三角
形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满
足下列条件：
ci 360 0
a1 b1 c1
ci
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ai bi
用改正数表达：
• 图形条件n个：
vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci –180º
(i = 1,2,…,n)
•圆周角条件1个： Σ vci+wo= 0 ； wo= Σ ci -360º
C
a3
b2
D
b3
a4
起算数据：
(xA ,yA), (xB , yB)
a2
观测值： a1~ a4 , b1~ b4
b1
B
S
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b4 a1
A
3.中点多边形
共有n+1个点，其中 2个为起算点，n-1个
A
a1
①ⓝE
未知点.
B b1
c1 O
起算数据： (xA , yA), (xO , yO) 观测值：ai , bi , ci
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根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘 数法则组成新函数：
Ф = VTPV－ 2KT（AV+W)
其中： K =（k1, k2，…，kr )T 是拉格朗日 乘数，测量平差中称之为联系数向量。
显然，只要令Ф对V的一阶导数等于零就 可以求出 VTPV 的极值。
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矩阵求导的两个公式：
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极条件1个:
sina1sina2sinan sinb1sinb2sinbn
10
用改正数表达：
Σ δai vai – Σδbi vbi +ws = 0 ；
其中： δai = ctg ai , δbi = ctg bi
ws
(1 sinbi ) sina 第4章控制网平差 i
"
3、中– Σ δbi vbi+ws= 0
ws (1
sinbi )"
sina 第4章控制i网平差
第二节 条件平差原理
条件方程可以写成矩阵形式：
AV +W=0
其中， • A －为r n 阶矩阵，称为系数矩阵；
• V －为n 1列阵，称为改正数向量； • W－为r 1列阵，称为闭合差向量。