如何突破天体运动问题的难点

图 2
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1949 年 5 月 5 日 , 欧洲委员会宣告成立.
·难点挑战 ·
G + F向 . 地球表面的物体所受到的向心力 F向 的大小 不超过重力的 01 35 % ,因此在计算中可以认为万有引 力和重力大小相等. 如果自转速度相当大 , 使得在其 赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随天 体自转所需要的向心力 ,那么这个天体就处于自行崩 溃的临界状态了.
引力中的 r 是 2 个质点间的距离. 向心力公式 F =
m v2 中的 r ,对于椭圆轨道指的是曲率半径 , 对于圆轨
r
道指的是圆半径 ,开普勒第三定律中的 r 指的是椭圆
例 1 在天体运动中 , 将 2 颗彼此距离较近的恒 星称为双星. 它们围绕 2 球心连线上的某一点做圆周 运动. 由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持 不变. 已知两星质量分别为 m 1 和 m 2 , 相距 L , 求它们 的角速度.
,即
G
m0 m r2
=
m a. 式中的
a是
向心加速度
,
根据问题的条件可以用
v2 r
、ω2
r 、4πT22
r或
4π2 f 2 r 来表示.
3 分清 4 个不同
1) r 的含义不同
求解天体问题一般要用到公式
F=
G
m 1 m2 r2
、F
=
m
v2 和开普勒第三定律
r
r3 T2
=
k. 虽然这
3
个式子中都
含有 r ,但在具体列式时要注意它们的含义不同. 万有
宇宙速度是指人造天体相对于地球的不同发射
速度 ,它们均是以地心为参考系. 而人造天体发射后
绕中心天体运动的速度叫运行速度
,由
mg
=
G
m0 R
m
2
、
G
m0 m r2
=
m
v2 r
两式得出
v
=
R2 g , 可见 , 环绕速度与
r
轨道半径平方根成反比 ,离地越高 , 环绕速度越小 , 卫
星离地越近 , 其运行速度越大 , 即运行速度的大小随
于学生来说也是比较熟悉的题型 , 但每次考试的得分
率都是比较低的 ,其主要原因就是学生没有把物理公
式中的每一个物理量理解清楚 , 只是死套公式 , 要想
提高这部分的解题能力最主要的就是理解物理量的
准确含义. (作者单位 :江苏省泰兴市第三高级中学)
g
=
Gm地 R地2
, 卫星绕地球运行的向心加速度是由地球对
轨道半径的增大而减小. 但由于人造卫星发射过程中
要克服地球引力做功 ,所以将卫星发射到离地球越远
的轨道上 ,在地面所需要的发射速度就越大.
3) 万有引力和重力的
不同
如图 2 所示 ,地球表面
的物 体 所 受 的 万 有 引 力 的
一个分力是重力 ,另一个分
力是 使 该 物 体 随 地 球 一 起 自转所需的向心力 ,即 F =
图 3
轨道上正常运行时 ,以下说法正确的是 ( ) .
A 卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的
速率 ;
B 卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的
角速度 ;
C 卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于
它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度 ;
D 卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于
如图 1 ,设 m 1 的轨道半 径为 r1 , m 2 的轨道半径 为 r2 ,由于两星绕 O 点做匀速圆 周运动的角速度相同 , 都设为 ω, 根据牛顿第二定律有 :
G
m1 L
m
2
2
= m 1ω2 r 1
,
G
m1 L
m
2
2
= m 1ω2 r 2
,
而
r1 + r2 = L .
图 1
以上三式联立解得
心 ,而地球表面的重力加速度随纬度的升高而增加 ,
如果不考虑地球的自转 ,地球表面物体的重力加速度
例 3 如图 3 所示 , 发射地
球同步卫星时 , 先将卫星发射至
近地圆轨道 1 , 然后经点火 , 使其
沿椭圆轨道 2 运行 , 最后再次点
火 ,将卫星送入同步轨道 3 , 轨道
1 、2 相切于 Q 点 , 轨道 2 、3 相切 于 P 点. 则当卫星分别在 1 、2 、3
ρ=
3W
4πGR
m
.
在星球赤道处 ,物体受星球的引力与弹簧的弹力
作用 ,物体随星球自转 ,做圆周运动 ,所以
F引
-
W′=
m
4π2
T2
R
.
又 F引 = W ,所以
W
-
W′=
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m
4π2
T2
R
,
m R
=
(W
- W′) T 2 4π2
,
整理后得 : ρ= G T 2 (3WWπ- W′) .
题目中所提到的物重 W 与 W′,实质上是弹
·难点挑战 ·
的半长轴.
如何突破 天体运动问题的
难点
◇ 江苏 何卫政
1 建立 2 种物理模型
天体有自然天体和人造天体 ,无论是什么天体 , 也不管它有多么大 ,处理天体问题时 ,首先应把研究 对象抽象成质点模型 ,人造天体直接看做质点 ; 自然 天体看作球体 ,质量则抽象为在球心. 这样 ,它们的运 动就可抽象为一 个质 点绕 另一 个质 点的 匀速圆 周
例 2 某星球自转的周期为 T , 在它的两极处用 弹簧测力计称得某物重为 W ,在赤道上称得该物重为 W ′, 求该星球的平均密度ρ.
在星球的两极物体受星球的引力与弹簧的 弹力作用 ,因该处的物体不随该星球做自转
运动 ,有
F引
=W
=
G
m0m R2
.
又 m 0 =ρV =ρ · 34πR 3 ,代入上式后整理得
簧测力计的读数 ,即弹簧的弹力 ,它不一定
等于万有引力. 另外还要判断出物体在两极和赤道处
的意义 ,才能想到用牛顿第二定律列方程 ,因此做题
时正确地阅读题 目弄 清它 的物 理含 义对 解题十 分
重要.
4) 加速度的含义不同
地球表面上的物体有向心加速度和重力加速度 ,
自转的向心加速度随纬度的升高而减小 ,且指向轴
加速度的值应
该
用
Gm 0 r2
m
=
ma
来计算.
所以可知选
项 D 正确 ,在计算加速度时 ,不能直接应用
a1Q
=
v
2 1
rQ
、a2Q
=
v
2 2
rQ
、a2 P
=
v
2 3
rP
、a3 P
=
v
2 4
rP
来计算. 因为 P、Q 两点既在圆轨道上 , 又在椭圆轨道
上 ,而上面的公式只能应用在圆周运动的问题上.
天体运动题目几乎在每一次考试中都会出现 , 对
:ω=
1 L
G(
m1 + L
m2)
.
双星之间的万有引力是一对相互作用力 , 分
别提供各自做匀速圆周运动的向心力 , 所以
它们能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变 , 且
角速度相同 ; 这类双星模型在列方程时要注意 :用万
有引力定律时两颗星之间的距离与天体做匀速圆周
运动的轨道半径不同.
2) 速度的含义不同
它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度.
在卫星绕地球做匀速圆周运动的问题中 , 应
明确轨道半径越大 , 速度越小 , 周期越长 , 角
速度越小. 而要想使卫星从低轨道上升到较高的轨
道 ,则必须提供给卫星更多的动能. 高轨道和低轨道
上的动能差用于克服引力做功. 因此 , 我们可以顺利
判断出选项 A 错 , 选项 B 正确. 卫星在运行过程中的
卫星的吸引而产生的
, 它等于
(
Gm地 R地 + h)
2
, 这一值就是
地面以上 h 高处物体的重力加速度 g′. 即卫星绕地球
做圆周运动的向心加速度就是该处地面上空的重力
加速度 g′,这一加速度与卫星是否存在无关.
1955 年 5 月 5 日 , 战后重新武装西德的巴黎协定生效.
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运动.
2 抓住 2 条思路
天体问题实际上是把万有引力通过牛顿第二定
律与匀速圆周运动规律紧密结合起来的综合应用. 解 决问题的基本思路实质上只有 2 条 :
思路 1 利用万有引力等于重力的关系 (不考虑
天体的自转)
,即
G
m0 m r2
=
m g.
思路 2 利用万有引力等于向心力的关系 (围绕
中心天体做圆周运动)