华师大二次函数教案

第二十六章 二次函数

[本章知识要点]

1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决

简单的实际问题．

26．1 二次函数

[本课知识要点]

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维]

（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]

例1． m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(2

2

+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：

02≠-m m ．

解 若函数)1()(2

2+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02

≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ．

因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2

2+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2

的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．

探索 若函数)1()(2

2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？

例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与

所存年数x 之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．

解 （1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；

（2）由题意，得 )0(42

>=x x y π

，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），

其中y 是x 的一次函数； （4）由题意，得 )260(132

1

)26(212<<+-=-=

x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数．

例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）)2

150(42254152

2

2

<

<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252

=⨯-=S （cm 2）． [当堂课内练习]

1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02

=-x y （2）2

)1()2)(2(---+=x x x y

（3）x

x y 12

+

= （4）322-+=

x x y 2．当k 为何值时，函数1)1(2

+-=+k

k

x k y 为二次函数？

3．已知正方形的面积为)(2

cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]

A 组

1． 已知函数7

2

)3(--=m

x m y 是二次函数，求m 的值．

2． 已知二次函数2

ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．

3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱

的底面半径x 为3，求此时的y ．

4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间

的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．

B 组

5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ）

A ．22)1(x m y -=

B ．22)1(x m y +=

C ．22)1(x m y +=

D ．22)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是 （ ） A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B ． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C ． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计

空气阻力） D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]

26．2 二次函数的图象与性质（1）

[本课知识要点]

会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]

我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x

y 3

=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？

（1）描点法画函数2

x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？

（2）观察函数2

x y =的图象，你能得出什么结论？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）2

2x y = （2）2

2x y -=

解 列表

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．

共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．