上海市静安区2018届高三一模数学试卷(含答案)

上海市静安区2018届高三一模数学试卷

2018.01

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算lim(1)1

n n

n →∞

-

+的结果是 2. 计算行列式

12

311i i i

-++的值是 （其中i 为虚数单位）

3. 与双曲线

22

1916

x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是 4. 从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工 作，则不同的选派方案有 种（用数值作答）

5. 已知函数()23x f x a a =⋅+-（a R ∈）的反函数为1()y f x -=，则函数1()y f x -=的图像经过的定点的坐标为

6. 在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =

7. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是 8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴

的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy 中，若12

OP xe ye =+

（其中1e 、2e

分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，,x y R ∈），则点P 的坐

标为(,)x y ，若在斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，点M 的坐标为(1,2)，则点M 到原点O 的距离为

9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83

π，则该圆锥的侧面积等于 10. 已知函数(5)11

()1x

a x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩

（0a >，1a ≠）是R 上的增函数，则实数a 的 取值范围为

11. 已知函数2

31

()|sin cos(

)|22

f x x x x π=--，若将函数()y f x =的图像向左平移 a 个单位（0a π<<），所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合为

12. 已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x R ∈，都有(())0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知无穷等比数列{}n a 的各项之和为

32，首项11

2

a =，则该数列的公比为（ ）

A.

13 B. 23 C. 13- D. 13或23

14. 设全集U R =，3{|log (1)}A x y x ==-，{||1|1}B x x =-<，则()U C A B = （ ） A. (0,1] B. (0,1) C. (1,2) D. [1,2)

15. 两条相交直线l 、m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

16. 若曲线||2y x =+与22

:

144

x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ） A. (,1](1,)-∞-+∞ B. (,1]-∞-

C. (1,)+∞

D. [1,0)(1,)-+∞

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为3

π

. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求直线1BC 与平面11AAC C 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

18. 在ABC ∆中，角A 、B 、

C 的对边分别是a 、b 、c ，设向量(,cos )m a B = ，(,cos )n b A =

， 且m ∥n ，m n ≠

.

（1）求证：2

A B π

+=

；

（2）若sin sin sin sin x A B A B ⋅=+，试确定实数x 的取值范围.

19. 如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，

tan t θ=.

（1）当三点C 、P 、Q 不共线时，求直角CPQ ∆的周长； （2）设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面 积为S （平方百米），试求S 的最大值.

20. 如图，已知满足条件|3|||z i i -=（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点.

（1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直；

（2）当||PQ =时，求直线l 的方程；

（3）设t AM AN =⋅

，试问t 是否为定值？若为定值，

请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.

21. 已知数列{}n a 的通项公式为n n a n a

=

+（*

,n a N ∈）. （1）若1a 、2a 、4a 成等差数列，求a 的值；

（2）是否存在k （10k ≥且*k N ∈）与a ，使得1a 、3a 、k a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合，若不存在，请说明理由；

（3）求证：数列{}n a 中的任意一项n a 总可以表示成数列{}n a 中的其它两项之积.