【大学物理】第四讲 电势和电势能

VA
AB
E dl
VB
已知在积分路径上 E的函数表达式
注意：有限大带电体，选无限远处电势为零。
（2）利用电势的叠加原理求电势
VA
n i 1
qi 4 π ε0ri
VA
1 4πε0
dq r
例题1-9 求电偶极子的电势分布。
解法一：设在电偶极子的电场中
任一点激发的电场强度为
E
q
4π 0 r2
q
解： 电荷元激发的电势为
dVP
1 4πε0
dq r
VP
1 4πε0r
dq
q
4πε0r
q
dq
r
R
4πε0 x2 R2 x o
x
Px
讨论
VP 4πε0
q x2 R2
（1） x 0，
V0
q 4πε0 R
（2） x R，
VP
q 4πε0 x
点电荷系激发的电场
E Ei
i
W
q0
E dl
l
q0 l Ei dl
i
q0 l E1 dl q0 l E2 dl
q0 4πε0
n i1
qi
(1 riP
1) riQ
任意带电体的电场
结论：静电场力做功，与路径无关。
2、静电场的环路定理
q0 E dl q0( E dl E dl )
§1.4 电势和电势能 一、静电场的环路定理
1、静电场力所做的功
dW q0E dl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱqq0 4πε0r 2
er
dl
er dl dl cosθ dr
Q
rQ
dr
dl
E
r
er
q
rP
q0
P
dW
qq0 4πε0r 2
er
dl
er dl dl cosθ dr
dW
qq0 4πε0r 2
dr
+
R
Q
4π 0 r
2
dr
Q R2 r2
Q
8π 0 R3
+
4π 0 R
（2）r R
V外
r E dr
Q dr
r 4π0r 2
Q
4π 0 r
均匀带电球体的电势分布为：
Q R2 r2
V内 8π0R3
Q +
4π 0 R
(r R)
V外
Q
4π 0 r
(r R)
例题1-11 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上 。求环轴线上距环心为x处的点P的电势。
qi 4 π ε0ri
静电场的电势叠加原理：
在点电荷系激发的电场中，某点的电势等于 每个点电荷单独存在时在该点激发的电势的代数 和。
电荷连续分布的带电体
dq dV
dV dq 4πε0r
VA
1 4πε0
dq Vr
dq
r
A
同理，对于带电面与带电线：
dq dS
dq dl
2、电势的计算
（1）已知电场强度求电势
二、电势能和电势
1、电势能 在电场中一定位置，就具有一定的电势能。
符号：
We
B
WAB q0
E dl
A
电势能的变化表示电场力
移动电荷所作的功。
A WeA
B
WeB E
B
WAB WeA WeB q0
E dl
A
B
WAB WeA WeB q0
E dl
A
WAB WeA WeB (WeB WeA )
静电场力所做的功就等于电荷电势能增 量的负值。电场力做正功，电势能减少。
令 WeB 0
WeA AB q0E dl
A WeA
B
WeB E
WeB 0 ----零势能点
零势能点
WeA A
q0E dl
A WeA
B
WeB E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值 上等于将此电荷从该点移到零势能处静电场力所 作的功。
E 4π0r2
根据电势定义有
Vp
E dr
P
r
E+ E
dr
q 1 1
4π 0
r
r2
r2
dr
由图可知 故
r
r
l cos
2
r
r
l 2
cos
VP
q
4π0
r2
l cos
l 2
cos
2
当 r l时
矢量式：
VP
1
4π 0
p cos
r2
1 pr
VP 4π0 r3
解法二：电偶极子在空间P点激发的电势为
将单位正电荷从A点移到B点时电场力作的功。
注意
1eV 1.6021019 J
（1）电势是描述电场能量性质的物理量。
电势能是描述电荷与电场相互作用的能量。
电势只由电场决定。
（2）电势是相对的，电势差是绝对的。电
势差与零电势点的选择无关。
三、电势的计算
1、电势叠加原理
点电荷
q E 4 πε0r 2 er
电势能的单位：焦耳（J）
2、电势
WAB q0
E dl
AB
(WeB WeA )
令
VA WeA / q0 -----A点电势
VB WeB / q0
-----B点电势
E dl AB
(VB
VA )
令 VB 0
VA
E dl
AB
q0 A WVpAA
B
WVpBB E
电势的单位：伏特（V）
dr
W qq0 rQ dr
4πε0 r rP 2 qq0 ( 1 1 )
4πε0 rP rQ
Q
rQ
dr
dl
E
r
er
q
rP
q0
P
W qq0 ( 1 1 ) 4πε0 rP rQ
结论: 电场力所作 的功W仅与试探电荷q0 的始末位置有关，与路 径无关。
Q
rQ
dr
dl
E
r
er
q
rP
q0
P
令 V 0
V
E dl
r
qdr r 4πε0r 2
E
qr
er
V q 4πε0r
点电荷系
E Ei
i
VA
E dl
A
n
A Ei dl i 1 n
Vi
i 1
VA
n i 1
qi 4 π ε0ri
q1
r1
q2 q3
r2
r3
•
A
E3 E2
E1
VA
n i 1
V
q
4π 0 r
q
V 4π0r
同样有：r
r
l 2
cos
r
r
l 2
cos
VP
q
4π 0
r2
l cos
l 2
cos
2
例题1-10 求真空中一电荷为Q，半径为R的均匀 带电球体的电势分布。
解：
Qr
E
4 ε0R3
Q
4 ε0r2
（1）r R
rR rR
V内
r E dr
R r
Qr
4π 0 R3
l
ABC
CDA
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
q0 E dl
CDA
B
C
DE
A
l E dl 0
静电场是保守场
结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零。
静电场的性质：
高斯定理
静电场是有源的保守力场
环路定理
静电场是无旋场
（电场线是不闭合的，即形不成旋涡的）
-----------静电场的基本方程。
注 意 零电势点的选取：
（1）有限带电体以无穷远为电势零点，实
际问题中常选择地球电势为零。
VA
E dl
A
物理意义：把单位正试探电荷从A点移到无 限远处静电场力作的功。
（2）无限大的带电体，则不能选无限远处为 零电势点，只能在有限区域内选择某点为电势零 点。
电势差
VAB VA VB AB E dl