二次函数零点的分布

2
f(x)
x1
0
1
x2
x
m 2 4(m 3) 0 m6 f (1) 0 m 1 2
转化为韦达定理的 不等式组
助于图像，解不 等式组
法二：
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 m 6 ( x1 1)( x2 1) 0 ( x 1) ( x 1) 0 x x 2 0 2 1 2 1
.
∴x + 4 x 的最小值是4，∴a≤4，即a的最大值为4.
4 =4（当且仅当x=2时取等号） x x
练习：已知函数 f (x)=mx2+(m -Βιβλιοθήκη Baidu)x+1在原点右侧至少有一个零点， 求实数m的取值范围.
分析 二次函数的零点分布问题,经常要结合其图象进行求解.
【解释】注意到x=0时， f (x)=1，∴f (x)的图象恒过定点（0，1）. 当m=0时， f (x)=-3x+1在原点右侧有一零点， 当m＜0时， f (x)的图象开口向下，在原点右侧有一个零点， 当m＞0时， f (x)的图象开口向上，如下图所示. ∴ Δ=(m-3)2-4m≥0, 3-m ＞0, 2m
函数零点
• 一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实 数x就做函数y=f(x)的零点. 由此得出以下三个结论等价：
• 方程f(x)=0有实根 • 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 • 函数y=f(x)有零点
二次函数零点的分布
实根分布问题 2 ax ★一元二次方程 bx c 0(a 0)
(5) x1 k1 k2 x2 (k1 , k2为常数）
f ( k1 ) 0 f ( k2 ) 0
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
k1
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0
k1
k2
0 或 b k1 k2 2a
(8)方程有两个不相等的正根
0 可用韦达定理表达式来书写条件 x x 0 1 2 x x 0 1 2
也可
0 b 0 2a f (0) 0
f ( x)
0
x1
x2
x
(9)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件
也可
• 判断二次函数的零点分布的关键:
在于作出二次函数的图象的草图， 根据草图通常从判别式、对称轴 的位置、特殊点的函数值这三个 角度列出不等式组求解．
(1)方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1， 求实数a的取值范围．
(2)方程x2－2ax＋4＝0的一根大于1， 一根小于1，求实数a的取值范围.
(3)方程x2－2ax＋4＝0的一根在(0,1)内， 另一个根在(6,8)内,求实数a的取值范围．
0 b 0 2 a f (0) 0
f ( x)
x1
0
x2
x
(10)方程有一正根一负根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可
f(0)<0
关于x的不等式x2-ax+4≥0在区间(0,+∞)上恒成立，则实数 a的最大值是
【答案】 4 【解释】 ∵x>0，∴由原不等式得a≤x+ 4 x恒成立. ∵x + 4 x ≥2
设f ( x ) ax 2 bx c(a 0) 一元二次方程ax bx c 0(a 0)
2
的两根为x1 , x2 ( x1 x2 )
(1)方程两根都小于k (k为常数）
0 b k 2a f (k ) 0
(2)方程两根都大于k (k为常数）
m 6或m 2 0 (3) 得 得：m 3. x1 x2 0 m 3 0
练习：、已知关于x的方程 (m+1)x2+2(2m+1)x+(1-3m)=0. 当m为何值时，方程有两异号的实根.
变式题1m为何实数值时，关于x的方程 x mx (3 m) 0 有两个大于1的根. 2 转变为函数，借 法一：设 f ( x) x mx (3 m) 由已知得：
0 b k 2a f (k ) 0
(3) x1 k x2 (k为常数）
f (k ) 0
(4)k1 x1 x2 k2 (k1 , k2为常数）
0 b k2 k1 2a f ( k1 ) 0 f ( k2 ) 0
（1）有实根
（2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1) m 4(3 m) 0 ， m 4m 12 0
2 2
得： m 6或m 2.
m 6或m 2 0 (2) x1 x2 0 得 m 0 得：m 6 x x 0 m 3 0 1 2
=m 2 4(3 m) 0 法三： m m 2 4m 12 1 x1 2 m m 2 4m 12 1 x2 2
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
m 6或m 2 m6 解不等式组，得 m 2 m 2 4m 12 m 2 4m 4
k1
k2
f ( k1 ) 0 或 b k1 k2 k1 2a 2
k1
f ( k2 ) 0 或 k1 k2 b 2 2a k2 k2
(7)m x1 n p x2 q ( m , n, p, q为常数）
f (m ) 0 f ( n) 0 f ( p ) 0 f (q ) 0
解得0＜m≤1.
综上所述知所求m的取值范围是m≤1.
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
2 x 例1.m为何实数值时，关于x的方程 mx (3 m) 0