杆件的刚度计算汇总.
杆件的强度刚度计算
材料力学习题第12章12-1一桅杆起重机，起重杆AB的横截面积如图所示。
钢丝绳的横截面面积为10mm2。
起重杆与钢丝的许用σ，试校核二者的强度。
力均为M Pa[=120]习题2-1图习题12-2图12-2重物F=130kN悬挂在由两根圆杆组成的吊架上。
AC是钢杆，直径d1=30mm，许用应力[σ]st=160MPa。
BC是铝杆，直径d2= 40mm, 许用应力[σ]al= 60MPa。
已知ABC为正三角形，试校核吊架的强度。
12-3图示结构中，钢索BC由一组直径d =2mm的钢丝组成。
若钢丝的许用应力[σ]=160MPa,横梁AC单位长度上受均匀分布载荷q =30kN/m作用，试求所需钢丝的根数n。
若将AC改用由两根等边角钢形成的组合杆，角钢的许用应力为[σ] =160MPa，试选定所需角钢的型号。
12-4图示结构中AC为钢杆，横截面面积A1=2cm2；BC杆为铜杆，横截面面积A2=3cm2。
[σ]st = 160MPa，[σ]cop [F。
= 100MPa，试求许用载荷]习题12-3图习题12-4图12-5图示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[σ] = 160MPa，杆BC为bh= 2的矩形截面木杆，其截面尺寸为b = 5cm, h = 10cm,许用应力[σ] = 8MPa，承受载荷F = 128kN，试求：（1）校核结构强度；（2）若要求两杆的应力同时达到各自的许用应力，两杆的截面应取多大？习题12-5图习题12-6图12-6图示螺栓，拧紧时产生∆l = 0.10mm的轴向变形，试求预紧力F，并校核螺栓强度。
已知d1=8mm, d2=6.8mm, d3=7mm, l1=6mm, l2=29mm, l3=8mm; E=210GPa, [σ]=500MPa。
12-7图示传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=368kW，从动轮2和3分别输出功率P2=147kW 和P3=221kW。
杆件强度、刚度、稳定性计算
建筑力学问题简答（五）杆件的强度、刚度和稳定性计算125．构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
126．什么是应力、正应力、切应力？答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。
127．应力的单位如何表示？答：应力的单位为Pa 。
1 Pa =1 N ／m 2工程实际中应力数值较大，常用MPa 或GPa 作单位1 MPa =106Pa1 GPa =109Pa128．应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。
129．应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
130．什么是线应变？答：单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 ll ∆=ε 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
131．什么是横向应变？答：拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为a a a -=∆1横向应变ε/为 a a ∆=/ε 杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
132．什么是泊松比？答：试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。
理论力学中的杆件的刚度分析
理论力学中的杆件的刚度分析杆件是工程中常用的结构元素，用于连接和支撑物体。
在理论力学中，对杆件的刚度进行分析是非常重要的，以确保结构的稳定性和可靠性。
本文将介绍杆件的刚度分析方法和相关理论。
一、杆件的定义与分类杆件是指在某一个平面内或者空间中，形状较细长，但在其自由端和连接处的横断面积相对较大的结构元素。
根据杆件的形状和受力方式的不同，可以将杆件分为以下几类：1. 杆件的形状：直杆、弯杆、曲杆等；2. 杆件的受力方式：拉杆、压杆、扭杆等。
二、杆件的刚度概念杆件的刚度是指在受到外力作用下，杆件抵抗形变的能力。
刚度越大，杆件在受力下的变形越小，结构越稳定。
杆件的刚度可以通过弹性力学理论中的应力和应变的关系来计算。
三、杆件的刚度分析方法针对不同类型的杆件，可以采用不同的刚度分析方法来求解其刚度。
1. 直杆的刚度分析对于直杆受力分析，可以利用梁的刚度公式来计算其刚度。
当直杆受到拉力作用时，可以通过应力和变形之间的关系来计算其刚度；当直杆受到压力作用时，需要考虑杆件的稳定性，通过欧拉公式来计算其临界压力和临界变形，以确定杆件的稳定性。
2. 曲杆和弯杆的刚度分析曲杆和弯杆通常需要考虑杆件的弯曲变形和剪切变形。
可以采用梁的弯曲刚度公式和剪切刚度公式来计算杆件的刚度。
四、杆件刚度的影响因素杆件的刚度受到多种因素的影响，包括材料的弹性模量、截面积、截面形状、杆件的长度和约束条件等。
对于相同材料和截面形状的杆件，其刚度与截面积成正比，与杆件的长度成反比。
五、刚度分析的工程应用杆件的刚度分析在工程设计中具有重要的应用价值。
通过对杆件的刚度进行准确分析，可以确定杆件的设计参数，包括截面积、材料强度等，以满足工程要求。
此外，刚度分析还可以用于结构的优化设计和疲劳寿命评估。
六、结论在理论力学中，对杆件的刚度进行分析是非常重要的。
通过刚度分析，可以计算杆件在受力下的变形和应力分布，为工程设计提供依据。
杆件的刚度分析需要考虑杆件类型、受力方式、材料特性等多个因素，并采用合适的理论方法进行计算。
杆在扭转时的变形 · 刚度条件
πd A实 1749 mm 2 4 2 2 π(76 71 ) A空 577mm 2 4
两轴材料、长度均相同, 故两轴重量比等于两轴的横截面积比，
A2 577 0.329 A1 1749
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻, 即节省材料.
例题7 两端固定的圆截面杆AB, 在截面C 处受一个扭转力偶矩
Me 的作用, 如图所示.已知杆的抗扭刚度 GIp, 试求杆两端的支反 力偶矩. Me
A a
C
B b
l
解:去掉约束,代之以约束反力偶矩
Mx 0
M eA M eB M e 0
这是一次超静定问题,
Me
A
a
须建立一个补充方程
杆的变形相容条件是 C 截面相对于两固定端 A和B的相对扭转角相等.
'
Mt Ip
M tl GI p
max
• The strengh condition • The rigidity condition
Mt Wp
180
Mp GI p
o
例题5 图示等直杆, 已知直径d = 40mm, a = 400mm, 材料的剪切
弹性模量G = 80GPa，DB =1°. 试求：
（1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA 解：画扭矩图 Me D a C a 2Me B 2a 3Me Me +
3Me
A
Tmax= 3Me 计算外力偶矩Me
材料的许用切应力 [ ] = 100MPa, 切变模量为 G = 80GPa, 轴的许可扭角[′ ] = 2/m . 试校核轴的强度和刚度.
第九章 杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
刚度系数k怎么计算
刚度系数k怎么计算
刚度系数k的计算方法可以根据不同的情境和对象而有所不同。
在材料力学中，刚度系数k通常表示材料或结构在受力时抵抗弹性变形的能力。
对于杆件而言，其刚度系数k可以通过公式k = E*I/L来计算，其中E为材料的弹性模量，I为截面的惯性矩（也称为截面二阶矩），L为杆件的长度。
另外，对于弹簧等弹性元件，其刚度系数k可以通过公式k = F/ΔL来计算，其中F为弹簧所受的力，ΔL为弹簧的形变量。
在建筑结构设计中，刚度系数k也是一个非常重要的参数，可以用来评估结构的抗震性能等。
此时，刚度系数k的计算可能涉及到更为复杂的公式和计算过程，需要考虑结构的整体刚度、各构件的刚度以及它们之间的连接关系等因素。
需要注意的是，在计算刚度系数k时，需要确保所有的物理量都是正确的，并且符合相关的计算条件和假设。
此外，对于不同的材料和结构类型，可能需要采用不同的计算方法和公式来计算刚度系数k。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况进行选择和调整。
总之，刚度系数k的计算方法需要根据具体情况而定，需要考虑材料、结构、受力情况等因素。
在实际应用中，需要遵循相关的计算规则和标准，确保计算结果的准确性和可靠性。
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
等效弯曲刚度
等效弯曲刚度等效弯曲刚度概念介绍等效弯曲刚度（Equivalent Bending Stiffness）是指杆件在受力状态下，其抗弯刚度的一种计算方法。
等效弯曲刚度是指在相同长度和相同截面积的情况下，不同杆件的抗弯性能大小的比较指标。
计算方法等效弯曲刚度可以通过以下公式进行计算：EI = (π^2 × E × I) / L^2其中，EI为等效弯曲刚度，E为杨氏模量，I为截面惯性矩，L为杆件长度。
应用领域等效弯曲刚度广泛应用于结构工程、机械工程、航空航天工程和地震工程等领域。
在这些领域中，需要对杆件的抗弯性能进行评估和设计。
通过计算等效弯曲刚度，可以对不同材料和截面形状的杆件进行比较，并确定最优方案。
影响因素等效弯曲刚度受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：1. 材料特性：不同材料具有不同的抗弯性能。
例如，在相同截面积和长度的情况下，钢杆的抗弯刚度要大于木杆。
2. 截面形状：不同截面形状的杆件具有不同的抗弯性能。
例如，在相同长度和材料的情况下，圆形截面的杆件比方形截面的杆件具有更高的抗弯刚度。
3. 杆件长度：杆件长度越长，其抗弯刚度越小。
这是因为在受力状态下，长杆件容易发生弯曲变形。
4. 受力方式：不同受力方式对等效弯曲刚度也会产生影响。
例如，在纵向压缩载荷作用下，等效弯曲刚度会减小。
应用案例1. 结构工程中等效弯曲刚度的应用在结构工程中，等效弯曲刚度通常被用来评估柱子、梁和桁架等结构元素的抗弯性能。
例如，在设计桥梁时，需要计算桥梁主梁、支撑柱和桥塔等结构元素的等效弯曲刚度，并根据计算结果进行优化设计。
2. 机械工程中等效弯曲刚度的应用在机械工程中，等效弯曲刚度通常被用来评估机器零部件的抗弯性能。
例如，在设计飞机机翼时，需要计算机翼杆件的等效弯曲刚度，并根据计算结果进行优化设计。
3. 地震工程中等效弯曲刚度的应用在地震工程中，等效弯曲刚度通常被用来评估建筑物结构的抗震性能。
钢结构压杆的刚度计算
钢结构压杆的刚度计算
钢结构压杆的刚度计算是指对钢结构中压杆的刚度进行评估和计算的过程。
刚度是衡量结构抵抗变形的能力，对于压杆而言，刚度计算涉及确定其弯曲、剪切等变形的程度。
在进行钢结构压杆的刚度计算时，需要考虑以下因素：
1.杆件截面特性：包括截面尺寸、惯性矩、回转半径等，这些因素决定了杆
件的弯曲刚度和剪切刚度。
2.材料特性：如弹性模量、泊松比等，这些参数影响材料的受力行为和刚度。
3.支撑条件：如固定、简支或自由等，不同的支撑条件会对压杆的刚度产生
影响。
为了计算压杆的刚度，可以采用以下示例公式：
弯曲刚度（EI）：用于计算杆件在弯曲载荷作用下的变形程度。
公式为：EI = E×I，其中E是材料的弹性模量，I是杆件的惯性矩。
剪切刚度：用于计算杆件在剪切载荷作用下的变形程度。
公式为：KG=G×J，其中G是材料的剪切模量，J是杆件的截面剪切惯性矩。
综合以上因素和公式，可以对钢结构压杆的刚度进行全面评估，为结构的稳定性和安全性提供保障。
总的来说，钢结构压杆的刚度计算涉及多个因素和复杂的公式，旨在准确评估其抵抗变形的能力，以确保结构的可靠性。
开口和闭口薄壁杆件的强度和刚度
开口和闭口薄壁杆件的强度和刚度摘要：一、开口和闭口薄壁杆件的定义与特点二、开口和闭口薄壁杆件的强度分析1.强度计算方法2.影响强度的因素三、开口和闭口薄壁杆件的刚度分析1.刚度计算方法2.影响刚度的因素四、开口和闭口薄壁杆件的应用领域五、总结正文：一、开口和闭口薄壁杆件的定义与特点薄壁杆件是指壁厚较薄的构件，广泛应用于建筑、机械、航空航天等领域。
根据端口的开放程度，薄壁杆件可分为开口薄壁杆件和闭口薄壁杆件。
开口薄壁杆件指一端开口，另一端固定的杆件；闭口薄壁杆件则指两端均固定的杆件。
这两种类型的杆件具有轻质、高强度、刚度可调等特点。
二、开口和闭口薄壁杆件的强度分析1.强度计算方法薄壁杆件的强度计算主要采用截面强度理论，包括剪切强度、弯曲强度、扭转强度等。
其中，剪切强度计算公式为τ= V*τ_y/I_y，弯曲强度计算公式为M_b = F*y_b/I_y，扭转强度计算公式为τ_t= G*τ_y/I_y。
2.影响强度的因素影响薄壁杆件强度的因素包括材料性能、截面几何形状、边界条件等。
材料性能主要包括材料的弹性模量、泊松比等；截面几何形状包括截面惯性矩、极惯性矩等；边界条件则包括固定端和自由端等。
三、开口和闭口薄壁杆件的刚度分析1.刚度计算方法薄壁杆件的刚度计算主要采用截面刚度理论，包括剪切刚度、弯曲刚度、扭转刚度等。
其中，剪切刚度计算公式为K_t = G*I_y/a，弯曲刚度计算公式为K_b = G*I_y/y_b，扭转刚度计算公式为K_t = G*I_y/a。
2.影响刚度的因素影响薄壁杆件刚度的因素包括材料性能、截面几何形状、边界条件等。
材料性能主要包括材料的弹性模量、泊松比等；截面几何形状包括截面惯性矩、极惯性矩等；边界条件则包括固定端和自由端等。
四、开口和闭口薄壁杆件的应用领域开口和闭口薄壁杆件广泛应用于各种工程结构中，如建筑中的梁、桁架等；机械中的轴、齿轮等；航空航天中的翼梁、框等。
这些应用场景中，薄壁杆件的轻质、高强度、刚度可调等特点得到了充分发挥。
第4章杆件的变形和刚度
拉刚度为EA，B点处受F作用，试求B点位移B。
a
【解】 M A 0，
F
L
1 2
L
cos
FCD
FNCD
2F
cos
FNCD
A
C
C
αD
F
B
LCD
FNCD LCD EA
2Fa
EAcos2
C1
L/2
L/2
B1
CC1
CC LCD
cos cos
B
BB1
2CC1
形。实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与 横向应变y之间存在下列关系：
y x
为材料的一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
【例4-1】 变截面直杆，ADE段为铜制，EBC段为钢制；
在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
【例4-2】 已知杆长L=2m，杆直径d=25mm，=300，材料
的 弹 性 模 量 E=2.1×105MPa ， 设 在 结 点 A 处 悬 挂 一 重 物
F=100kN，试求结点A的位移A。
【解】 1． 求轴力
Fx 0，
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2C
FNAB FNAC
αα
Fy 0,
FNAC cos FNAB cos F 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
A
杆件强度与刚度计算课件
通过强度计算案例的学习，可以深入了解杆件 强度的计算方法和应用技巧，提高解决实际工 程问题的能力。
03
杆件刚度计算
Hale Waihona Puke 刚度定义与分类刚度定义
刚度是指杆件在受力后抵抗变形的能力。
刚度分类
根据受力情况，刚度可分为静刚度和动刚度；根据变形性质，刚度可分为弹性刚 度和塑性刚度。
复合材料
复合材料如碳纤维、玻璃纤维等具有轻质、高强、抗腐蚀等 优点，可以替代传统金属材料用于制造高强度杆件。
新的计算方法
有限元分析
有限元分析是一种数值计算方法，可 以模拟杆件的受力、变形和破坏过程 ，为杆件设计提供更精确的计算结果 。
人工智能与机器学习
人工智能和机器学习技术可以用于优 化设计过程，自动识别和预测杆件的 性能，提高设计效率和准确性。
杆件强度与刚度计 算课件
目 录
• 杆件强度与刚度概述 • 杆件强度计算 • 杆件刚度计算 • 杆件强度与刚度的实际应用 • 杆件强度与刚度的未来发展
01
杆件强度与刚度概述
定义与概念
杆件强度
指杆件在受力条件下，抵抗破坏 的能力。
杆件刚度
指杆件在受力条件下，抵抗变形 的能力。
强度与刚度的重要性
保证结构安全
优化设计
通过计算强度和刚度，可以对机械零件进行优化设计，以减小重量、降低成本和提高性 能。
航空航天中的应用
01 02
飞行器结构
在航空航天领域中，杆件广泛应用于飞行器的各种结构中，如机身、机 翼、尾翼等。计算强度和刚度是确保飞行器在各种工作状态下都能够保 持稳定性和安全性的基础。
横向稳定杆刚度计算
稳定杆刚度和应力计算公式
1、横向稳定杆刚度计算：大小相等A′处的载荷Pd，作用在两端点A，图示为圆形实心断面，直径为) 方向相反，载荷作用点处变形为f(不考虑横向稳定杆的橡胶衬套变形刚度K为：?1f232llll???2
sinR(??sin2?l)?[1R=2=002K p
02GI2EI3EI2t2l????2??sin?sin22[)]??(()1R1R0
22GI22t?????223]2?21lR(?cossin))?R?(sin1024 mm/N）；（)l?l?l?R(121，(mm)式中；201l2l2?arctanφrad；，
22l?l?l22
l14?d?l4
mm，——圆截面惯性矩，I=64
3?d?3，II=mm ——圆截面极惯性矩，32tt
G=G2N/mm75460，——剪切弹性模数，
模向稳定杆倾角刚度K为：R2Kl K （N.mm/rad）0?R
22、横向稳定杆应力计算：
车身侧倾角为时，稳定杆两端部载荷P为：?1 / 2
?K)P?(N R l0???处，′段的θ=在最大弯曲应力BC，B′C?R?arctan?l0P222?Rl??2(N/mm) 0Zt3?d ——扭转断面系数：Zt=式中：Zt3):mm(,单位
16)Rlll?2R(P222???120)/mm(单位:.,在?0处的CC'点处N?l?R?最大剪应力0Z22l?l t21′段，可近似用下式计算：B′C、最大主应力?BC发生在max P2（N/mm）22?)2R(??l?R0max Z t
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杆件的刚度计算
G
d dx
G
d dx
T A dA d A G dA dx
2
τp
d T dx GI p
dA
O
d 2 G A dA dx
2
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
1、扭转角公式：
由
d
l
T GI P
dx
d
l
T GI P
4
12
1 . 27 10
12
6
(m )
4
4
32 3 . 14 30 10
4
d
0 . 08 10 2 . 5 10
9 3
6
(m ) 1 . 4 ( /m)
0
1
2
32 180
T1 GI
P1
180
32 180 3 . 14 180 3 . 14
A
L∕2 L∕2
F
B
x
L-2X
x
F／2
F／2
M 0
FL／4
x x
M 0
L-2X
x x
31
FX／2
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
T
T2
T3
T
T2
A
B
C
T3
x
T
T3 T
x
T2 B T
T3 C
A
32
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 二、合理布置梁的支撑
q A
L
q B A
q 8 . 04 N/cm ( 80 . 4 kgf/m ) I 32240 cm
理论力学中的刚度与柔度分析
理论力学中的刚度与柔度分析理论力学是研究物体在外力作用下的力学性质和相互作用的学科。
在力学中，刚度和柔度是描述物体对外力响应的重要参数。
本文将重点介绍刚度和柔度的概念、计算方法以及在工程中的应用。
一、刚度的概念与计算方法刚度是指物体抵抗形变的能力。
当物体受到外力作用时，如果能够保持形状不发生变化，即具有很高的抵抗形变能力，我们称该物体具有高的刚度。
刚度可以用来衡量物体对力的响应程度，是一个标志物体强度和刚性的指标。
在理论力学中，刚度通常用弹性系数表示。
最常见的是弹性模量，也称为杨氏模量，用E表示。
弹性模量描述了物体受力时的应变与应力之间的关系。
弹性模量越大，物体的刚度就越高。
计算刚度的方法有多种，其中最常用的是针对杆件和弹簧的刚度计算公式。
对于杆件，刚度可以通过杨氏模量和截面形状来计算。
例如，对于长度为L、截面面积为A的杆件，其刚度可以通过以下公式计算：刚度 = 弹性模量 ×截面积/长度对于弹簧，刚度可以通过弹性系数和弹簧的形状参数来计算。
例如，对于线性弹簧，其刚度可以表示为：刚度 = 弹性系数 ×弹簧长度/形变刚度的计算方法因物体的形状和材料特性而异，需要根据具体情况进行选择和计算。
二、柔度的概念与计算方法柔度是指物体在受到外力作用时发生形变的程度。
与刚度相反，柔度越高，物体对外力的响应越灵敏，形变程度越大。
在理论力学中，柔度可以用来衡量物体的柔软度和弯曲性。
柔度的计算方法与刚度类似，同样涉及物体的形状、尺寸和材料特性。
对于弹性材料，柔度可以用杨氏模量的倒数来表示。
也就是说，柔度可以表示为：柔度 = 1/弹性模量柔度越高，即弹性模量越小，物体的弯曲性越大，形变程度越严重。
对于弹簧，柔度可以通过弹性系数的倒数来表示。
即：柔度 = 1/弹性系数柔度的计算方法类似于刚度，需要根据具体情况进行选择和计算。
三、刚度与柔度在工程中的应用刚度和柔度在工程中具有广泛的应用。
它们在结构设计、材料选择以及机械性能评估等方面发挥着重要的作用。
等直杆件ab的转动刚度(劲度系数)sab
等直杆件ab的转动刚度(劲度系数)sab
直杆件ab的转动刚度(劲度系数)是指当外力作用在ab的顶端的时候，能造成其角度
变化的力的系数，即和角度变化量成正比的力。
换句话说，直杆件ab的转动刚度sab描
述的是由外力施加于ab的顶端引起的角度变化量与施加的外力之间的关系。
直角杆件ab
所受的外力P，则其角度变化量θ可表示为：θ=sab ×P，这里，sab为直角杆件ab的
转动刚度(劲度系数)，单位是Nm/ rad。
直杆件ab的转动刚度可通过测量其转动振动实验来进行测定，具体过程是通过在ab
顶端处施加一个正弦脉动载荷，可以观测到增大的正弦振动角度。
按照牛顿第二定律，直
杆件ab的转动刚度与振动振幅的大小成反比，即sab和振幅的大小呈负比例，即sab = -k²/Am，这里，k为振动刚度常量，Am为振动振幅。
在实际应用中，还可以通过计算方法来求解ab的转动刚度，以L-形直杆为例，则其
转动刚度表达式如下：Sab = G × A × l/ k，这里，G为钢的杨氏模量，A为杆件的截
面面积，l为杆件的长度，k为Kn系数，该系数的取值范围大致为3~8之间。
总的来说，直杆件ab的转动刚度sab，是指当外力作用在直杆件ab的顶端的时候，
能造成其角度变化的力的系数，即和角度变化量成正比的力。
它可以采用实验方法或计算
方法来测量或求解，它是材料刚度、模型尺寸和振动参数等因素的函数，仍需要谨慎问题，以达到准确求算和满足设计要求。
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第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
T max Ip G[ ]
T
max
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
13
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
7
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)
材料力学
第七章 杆件的刚度计算
第一节 圆轴扭转时的变形及刚度计算
第二节 梁的变形及刚度计算 第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施
1
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
一、圆轴扭转时的变形
tg
G1G d dx dx
d d G dx dx
根据虎克定律：
G G
T A dA d A G dA dx
2
τp
dA
O
d G A 2dA dx
d T dx GI p
2
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
1、扭转角公式：
由
l
d
l
T dx GI P
d
0
0 0
T 180 G IP
/m
4
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
二、圆轴扭转时的刚度计算
T GI P
0 T 180 或： G IP
精密机器轴：[θ]=0.150～0.500/m 一般传动轴：[θ] =0.500～1.00/m 精度低的轴：[θ] =1.00～2.50/m
T Tl dx GI P GI P
式中：
GI P ——抗扭刚度
G ——剪切弹性模量
I P ——截面的极惯性矩
T——研究段截面上的扭矩 L——研究段的长度
3
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2、单位长度扭转角：
T l GI P
工程中常以
0
单位：rad(弧度)
/ m 为单位来计算，则上式写为：
16 7024 6 80mm 3.14 70 10
16 4210 6 67.4mm 3.14 70 10
3 d2
16T
3
由刚度条件得：
T 180 Ip 32 G [ ]
d
4
0
11
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
32 180 T 4 32 7024180 4 d1 84mm 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
9
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
[例] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，
已知：G=80GPa ，[ ]=70MPa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ②若全轴选同一直径，应为多少 N
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第二节
梁的变形及刚度计算
1、挠度与转角
挠度 ：用y 表示。
规定：挠度向上为正， 反之为负。 比如，C 截面的挠度为 yC 转角：用θ 表示。 规定：转角以逆时针为正，
4 d2 32 180 T 4 32 4210180 74.4 mm 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
综上：
d1 85mm, d2 75mm d d1 85mm
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② 全轴选同一直径时
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
1
D 4
说明刚度不够
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第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
扭转角为： AC AB BC T1l1 T2l2 1 T1l1 T2l2 ( ) GI P1 GI P 2 G I P1 TP 2 1 2.5 103 0.8 1.5 103 1 ( ) 9 6 6 8010 1.27 10 0.0810 0.215rad
1
N2 B
N3 C
③主动轮与从动轮如何安排合理
解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：
m 7.024 N (kN m) n
A
500
T (kNm)
400 x
–7.024
– 4.21
10Biblioteka 第一节圆轴扭转时的变形及刚度计算
T Wt 16 [ ]
d13
16T 3 3 d1