数字信号处理课程总结(全)

数字信号处理课程总结

以下图为线索连接本门课程的内容：

)

(t x a )

(t y a

一、 时域分析

1． 信号

✧ 信号：模拟信号、离散信号、数字信号（各种信号的表示及关系） ✧ 序列运算：加、减、乘、除、反褶、卷积 ✧ 序列的周期性：抓定义

✧ 典型序列：)(n δ（可表征任何序列）、)(n u 、)(n R N 、

n a 、jwn e 、)cos(θ+wn ∑∞

-∞

=-=

m m n m x n x )()()(δ

特殊序列：)(n h 2． 系统

✧ 系统的表示符号)(n h ✧ 系统的分类：)]([)(n x T n y =

线性：)]([)]([)]()([2121n x bT n x aT n bx n ax T +=+ 移不变：若)]([)(n x T n y =，则)]([)(m n x T m n y -=- 因果：)(n y 与什么时刻的输入有关 稳定：有界输入产生有界输出

✧ 常用系统：线性移不变因果稳定系统 ✧ 判断系统的因果性、稳定性方法 ✧ 线性移不变系统的表征方法：

线性卷积：)(*)()(n h n x n y =

差分方程： 1

()()()N

M

k k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑

3． 序列信号如何得来？

)

(t x a )

(n

x 抽样

✧ 抽样定理：让)(n x 能代表)(t x a ✧ 抽样后频谱发生的变化？ ✧ 如何由)(n x 恢复)(t x a ？

)(t x a =∑∞

-∞

=--m a mT t T

mT t T mT x )()](sin[)(ππ

二、 复频域分析（Z 变换）

时域分析信号和系统都比较复杂，频域可以将差分方程变换为代数方程而使分析简化。 A ． 信号 1．求z 变换

定义：)(n x ↔∑∞

-∞

=-=

n n

z

n x z X )()(

收敛域：)(z X 是z 的函数，z 是复变量，有模和幅角。要其解析，则z 不能取让)(z X 无穷大的值，因此z 的取值有限制，它与)(n x 的种类一一对应。

✧ )(n x 为有限长序列，则)(z X 是z 的多项式，所以)(z X 在z=0或∞时可

能会有∞，所以z 的取值为：∞<

✧ )(n x 为左边序列，-<

✧ )(n x 为右边序列，∞<<+z R x ，z 能否取∞看具体情况（因果序列）； ✧ )(n x 为双边序列，-+<

✧ 留数法

✧ 部分分式法（常用）：记住常用序列的)(z X ，注意左右序列区别。 ✧ 长除法：注意左右序列 3．z 变换的性质：

✧ 由)(n x 得到)(z X ，则由)()(z X z m n x m -↔-，移位性；

✧ 初值终值定理：求)()0(∞x x 和；

✧ 时域卷积和定理：)(*)()(n h n x n y =)()()(z H z X z Y =⇔； ✧ 复卷积定理：时域的乘积对应复频域的卷积； ✧ 帕塞瓦定理：能量守恒

⎰∑-

∞

-∞

==

π

ππdw e

X n x jw

n 2

2

)(21

)(

4．序列的傅里叶变换

公式：∑∞

-∞

=-=

n jwn

jw

e

n x e X )()(

1

()()2j j n x n X e e d π

ωωπ

ωπ

-

=

⎰

注意：)(jw e X 的特点：连续、周期性；)(jw e X 与)(z X 的关系 B ． 系统

由)()(z H n h ↔，系统函数，可以用来表征系统。

✧ )(z H 的求法：)()(z H n h ↔；)(z H =)(/)(z X z Y ； ✧ 利用)(z H 判断线性移不变系统的因果性和稳定性 ✧ 利用差分方程列出对应的代数方程

1

()()()N

M

k k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑∑∑=-=--=⇒

N k k

k M

k k

k z a z

b z X z Y 1

01)

()

(

✧ 系统频率响应)(jw e H ：以2π为周期的ω的连续函数 ∑∞

-∞=-=

n jwn

jw

e

n h e H )()(

∑∞

-∞

=-=

n jwn

jw

e

n h e

H )()(，当)(n h 为实序列时，则有)(jw e H =)(*jw e H -

三、 频域分析

根据时间域和频域自变量的特征，有几种不同的傅里叶变换对 ✧ 时间连续，非周期↔频域连续（由时域的非周期造成），非周期（由时

域的连续造成）；

⎰∞

∞-Ω-=Ωdt e

t x j X t

j )()(

⎰

∞

∞

-ΩΩΩ=

d e j X t x t

j )(21)(π

✧ 时间连续，周期↔频域离散，非周期

⎰

-Ω-=

Ω2

/2

/0

0000)(1

)(T T t

jk dt e t x T jk X ∑ΩΩ=t jk e jk X t x 0)()(0

✧ 时间离散，非周期↔频域连续，周期 ∑∞

-∞

=-=

n jwn

jw

e

n x e X )()(

1

()()2j j n x n X e

e d π

ω

ωπωπ

-

=

⎰，T w Ω=（数字频率与模拟频率的关系式）

✧ 时间离散，周期↔频域离散，周期

∑∑-=-=-==10

10

2)(~)(~)(~N n kn N

N n kn N

j W n x e n x k X π

∑∑-=--===10

102)(~1)(~1)(~N n kn N

N n kn N

j W k X N e k X N n x π

✧ 本章重点是第四种傅里叶变换-----DFS

✧ 注意：

1）)(~

)(~

k X n x 和都是以N 为周期的周期序列； 2）尽管只是对有限项进行求和，但)(~

)(~k X n x 和的定义域都为（∞∞-,）；

例如：0=k 时，∑-==1

)(~

)0(~

N n n x X 1=k 时，∑-=-=10

2)(~)1(~

N n n N j e n x X π

N k =时，∑∑-=-=-==10

10

2)(~)(~)(~N n N n Nn N j n x e n x N X π

=)0(~X

1+=N k 时，)1(~)(~)1(~10

)1(2X e n x N X N n n N N j ==+∑-=+-π