小学数学思想方法讲座史宁中
史宁中解读小学数学教育：思维发展是核心
史宁中解读小学数学教育：思维发展是核心本文共3218字，仔细阅读需9分钟数学教育的终极目标是“三会”从2005年开始，教育部让我主导国家数学课程标准的制定，这些年以来，数学的课程标准一直在发展和变化中，从“双基”到“四基”，再到数学核心素养。
今天，我想重点来谈谈数学核心素养以及未来的方向。
数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。
通俗一点而言，就是通过数学学科教育，我们最终要培养一个什么样的人？我们提出了数学教育的终极目标，无论我们的学生未来是否从事与数学相关的职业，我们都希望他们具备以下三点能力：1.会用数学的眼光观察世界2.会用数学的思维思考世界3.会用数学的语言表达世界这其中，数学眼光指的是数学抽象、直观想象，代表数学的一般性；数学思维指的是逻辑推理、数学运算，代表数学的严谨性；数学语言指的是数学模型、数据分析，代表数学应用的广泛性。
“三会”就是我们对学生在数学能力和数学思维习惯培养上的终极目标。
我们教师无论处在哪一个学段，在进行数学教育的时候脑子里应该始终想着这一终极目标。
“三会”的内涵包括数学基本思想：数学眼光：数学抽象数学思维：逻辑推理数学语言：数学模型因此，数学核心素养的主线是“三会”，内涵是数学思想，基础是知识，获取方式是过程，是经验的累积，是思维的习惯和做事的习惯。
我们目前所使用的数学教材存在一定的问题，没有有意识地让学生感悟数学的基本思想，没有有意识地引发学生思考、帮助学生积累思维和实践的经验。
比如初中和高中都教函数，初中教函数是用变量的方式，高中教函数是用对应的方式，但教材并没有阐述这样教背后的原因，没有让孩子理解背后的数学思想，这就是有问题的。
我曾经调查过一所中学的中学生，为什么要学函数？居然有孩子这么回答：函数是老师考察学生数学学得好坏与否最重要的指标。
如果数学教到这个份上就没有意义了。
数学核心素养和小学数学教学(史宁中)讲课讲稿
数学核心素养和小学数学教学（一）史宁中（东北师范大学数学系教授，博士生导师）数学核心素养和小学数学教学，因为你们在讨论常态的数学教学，后来张老师让我讲核心素养，我就把这两个放在一起了，“数学核心素养与小学数学教学”。
我先讲个前言就是小学数学教学和数学核心素养怎么能挂上钩，我的第一个观点你们一定不同意，但是我坚持我的想法。
教无定法，绝对不能说哪种教学方法是最好的办法，教育教学是个艺术，艺术就是在不同的场合、不同的情况下会采取不同的方式，所以根据你讲课内容的不同，根据听众的不同，甚至根据你那天讲的心情的不同，你可以用不同的教学方法，比如一个新概念的引入，你可能会举一些例子来说明这个概念是怎么回事；如果要是接续以前的概念，你可能就不要引入很现实的例子，直接就讲下去了，我认为都可以，教无定法，但是教书得有一个基本的规则，所以我希望经过新常态的讨论能定下一个原则，就是说课堂教学应该遵循的原则是什么，或者说评价一堂课好或不好的标准是什么，教书是一门艺术，艺术同科学的最大区别是什么？科学是无论是谁，无论在哪里，无论在什么时候得到的结论都是一样的，这就叫做科学。
艺术是会随着人的不同、时间的不同、场合的不同有所改变，因此艺术的好坏有一个标准，基本标准就叫做价值观，由你的价值观来判断这个艺术是好或是不好，有人认为好，有人认为非常不好。
价值观是什么，就是一堂课的评判标准是什么，在此，中国的《义务教育法》中，国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量，就是不管你怎样教书，采用怎样的办法，一定要启发学生思考，启发式教学，在法律中只有这句话，因此在修改《普通高中数学课程标准》明确指出，数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，启发学生思考是非常重要的。
现在在讨论核心素养，核心素养就很难讨论特别清楚，但是有一句话是非常好的，就是培养一个孩子，这个孩子可能未来不从事数学，那培养的终极目标是什么呢？终极目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，眼光、思维、语言，你在讲课的过程当中，在备课的过程之中，这个是很重要的，我认为是终极目标。
史宁中教授《把握数学的思想和本质》培训讲学
1. 热爱教育事业
被动 ---- 主动 人生价值的体现 兴趣之所在
2．树立明确的教育理念
以知识为本：关注知识的传授、学生是否接受。 ◆ 凯洛夫的“三中心”论：课堂、教科书、教师。
以人为本： ➢关注学生的全面成长、培养合格的人：素质教育。 ➢站在受教育者的立场思考：尊重的教育。
◆ 教育是生存的需要、接受教育是孩子的本能。 ◆ 依据教育规律、基因的充分表达需要后天刺激。 ◆ 好的教育要启发学生思考、启发式原则。
1 那种颜色的球多？ 2 估计比例大概是多少？ 3 如果带子有五个球，白球大概有几个？
这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不 一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理” 直接给出结果固然 是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的 有效手段，这是我们过去教学中忽视的地方。
还缺少什么？ 根据情况“预测结果”的能力； 根据结果“探究成因”的能力。
需要一种“从特殊到一般的推理”， 这种推理就是归纳推理，培根在《新工具》提出。 归纳推理就是从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般 的结论。
从思维训练的角度考虑，过去的教育缺少归纳能力的培养， 对培养创新性人才是不利的,但这种培养是困难的,这种培养是 基于经验的。
“双基” → “四基”
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本经验。
“两能” → “四能” 发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题。
讲课的例子
一、有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？ 教学目的：4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12。 除法是乘法的逆运算： ？ × 1/3 = 4 → ？ = 4 ÷ 1/3 3只鸭子 ：1只鹅 (破解1/3的含义) 6只鸭子 ：2只鹅 (推广1/3的含义) …… ？只鸭子 ：4只鹅 (最后到结论)
国家数学课程标准修改组组长史宁中讲座材料 《小学数学教学中的几个问题》讲稿整理
国家数学课程标准修改组组长史宁中讲座材料《小学数学教学中的几个问题》讲稿整理学习资料一、早期阶段培养学生什么能力：思维能力教育要充分彰显人与动物的最大区别：器官：扩充的脑容量；位置偏下的喉头行为：制造工具，说话思维：想像能力与抽象能力想象能力：观察----联想------想象-----验证------结论抽象能力：形式----分类----性质----概念（描述）------规律（符号）1231231.与位数）23522052200223+2×(3+2)语言操场上有一队同学，每排三名女生、两名男生，共四排，问有多少学生？总人数=每排同学数×排数=(3+2)×43、分数乘除运算法则有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？教学目的：4÷1/3=4×3=12。
为什么必须用除法计算？？=4÷1/3的原本是？×1/3=4。
破题：3只鸭子：1只鹅(破解1/3的含义:1÷1/3=3)6只鸭子：2只鹅(推广1/3的含义:2÷1/3=6)9只鸭子：3只鹅(推广1/3的含义:3÷1/3=9)？只鸭子：4只鹅(最后到结论:4÷1/3=12)教师应该知道：除法是乘法的逆运算的具体含义。
（求证）4÷1/3=4×3（证明）？=4÷1/3等价于？×1/3=4？×1/3×3=4×3→？=4×3结论4÷1/3=4×3最后是符号表达：a÷1/b=a×b4、分数的加法：术与理的区别51/4、65–x=?7.60个，尝试：160415141424也可以用尝试的方法列出方程椅子数凳子数腿的总数a=1616-a=04×a﹢3×(16-a)=64a=1516-a=14×a﹢3×(16-a)=63a=1416-a=24×a﹢3×(16-a)=62这样，合题意的方程为4×a﹢3×(16-a)=60。
小学数学思想方法讲座史宁中
一是统计作为四大 领域知识中的一类 知识，安排了很多 独立的单元进行统 计知识的教学；
二是在学习了一些统计 知识后，在其他领域知 识的学习中，都不同程 度地应用了统计知识， 作为知识呈现的载体和 解决问题的方法。
小学数学中统计的知识点主要有：
复式条形统计图 复式折线统计图 扇形统计图 平均数 中位数 众数
分数的大小
角的关系
用符号化的语言（包括字母、数 字、图形和各种特定的符号）来 描述数学内容，这就是符号思想 符号思想是将所有的数据实例集为一体， 把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字 母公式表示出来，便于记忆，便于运用
符号化 思想方法
把客观存在的事物和现象及它们相互之 间的关系抽象概括为数学符号和公式， 有一个从具体到表象再抽象符号化的过程
简便运算
计算：12×25 可以通过转化， 将12分解成3×4 这样就变成 12×25=（3×4）×25 =3×（4×25）=300
28 3 7 10 10 4 1 7
这样利用约分 就能很快获得本题的解
“分而治之、各个击破、综合归纳”
作用 数学知识的分类有助于学 生对知识的梳理和建构 不同的分类标准就会有不同的 分类结果，从而产生新的概念 概念
目
前 言
录
小学数学思想方法 小学数学思想方法梳理
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后 记
小学数学教育的现代化，不是内容现代 化，而是数学思想及教育手段的现代化
教学实践表明 能力培养 社会对数学 价值的要求
加强数学思想的教学是基 础数学教育现代化的关键
数学思想 方法的渗透
人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度 是整个智力发展的缩影和标志。
学习的意义
有助于正确把握教材体系
关于数学核心素养和高级小学数学教学史宁中
数学中心涵养和小学数学教课（一）史宁中（东北师范大学数学系教授，博士生导师）数学中心涵养和小学数学教课，由于你们在谈论常态的数学教课，此后张老师让我讲中心涵养，我就把这两个放在一起了，“数学中心涵养与小学数学教课” 。
我先讲个序言就是小学数学教课和数学中心涵养怎么能挂上钩，我的第一个看法你们必定不一样意，但是我坚持我的想法。
教无定法，绝对不可以说哪一种教课方法是最好的方法，教育教课是个艺术，艺术就是在不一样的场合、不一样的状况下会采纳不一样的方式，所以依据你授课内容的不一样，依据听众的不一样，甚至依据你那一天讲的心情的不一样，你可以用不一样的教课方法，比方一个新看法的引入，你可能会举一些例子来说明这个看法是怎么回事；假如若是接续从前的看法，你可能就不要引入很现实的例子，直接就讲下去了，我以为都可以，教无定法，但是教书得有一个基本的规则，所以我希望经过新常态的谈论能定下一个原则，就是说课堂教课应当依据的原则是什么，也许说谈论一堂课好或不好的标准是什么，教书是一门艺术，艺术同科学的最大差异是什么？科学是无论是谁，无论在哪里，无论在什么时候获得的结论都是相同的，这就叫做科学。
艺术是会跟着人的不一样、时间的不一样、场合的不一样有所改变，所以艺术的利害有一个标准，基本标准就叫做价值观，由你的价值观来判断这个艺术是好或是不好，有人以为好，有人以为特别不好。
价值观是什么，就是一堂课的评判标准是什么，在此，中国的《义务教育法》中，国家鼓舞学校和教师采纳启示式教育教课方法，提升教育教课质量，就是无论你如何教书，采纳如何的方法，必定要启示学生思虑，启示式教课，在法律中只有这句话，所以在更正《一般高中数学课程标准》明确指出，数学教课活动的要点是启示学生学会数学思虑，启示学生思虑是特别重要的。
此刻在谈论中心涵养，中心涵养就很难谈论特别清楚，但是有一句话是特别好的，就是培育一个孩子，这个孩子可能将来不从事数学，那培育的终极目标是什么呢？终极目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思想思虑现实世界，会用数学的语言表达现实世界，眼光、思想、语言，你在授课的过程当中，在备课的过程之中，这个是很重要的，我以为是终极目标。
小学数学学科核心素养的培养与教学(读史宁中教授小学数学学科核心素养的培养与教学)
感悟数学本质培育核心素养——读史宁中教授小学数学学科核心素养的培养与教学史宁中教授在《学科核心素养的培养与教学》中，以数学学科核心素养的培养为例介绍了数学核心素养的内容与培养方法。
今天我就结合一些数学实例跟大家一起分享史宁中教授提到的培养方法。
其中有一些我个人的理解，不对的地方请帮我指出。
史宁中教授认为教育的终级目的是会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。
也就是一些学生在不再从事数学专业工作时，所学的数学公式、定理、解题方法早已忘记，但是深深铭刻在头脑中的数学逻辑思维与数学理性精神却随时随地发挥作用，使他们思考问题全面而深刻，做事思路清晰而干练，这就是使人终身受益的核心素养。
这样看来，数学教学就是培养孩子的这三大能力，其中小学数学的具体教学中，主要通过数学抽象让学生学会用数学的眼光看，通过逻辑推理让学生学会用数学的思维想，通过数学模型让学生学会用数学的语言说。
关于数学抽象，课程标准中提到的核心词中的符号意识、数感、几何直观和空间想象都可以归为数学抽象这个素养中。
在教学过程中让学生经历事实——概念——性质（数量关系）——结构（联系）——应用的过程，从事实到应用都融“数学抽象”于其中。
比如，启发学生理解数是什么，数的本质是什么时，我们将两匹马这一事实，抽象出两个圆圈，进而对应数学符号2，抽象出2这个数的本质。
我们还要通过两匹马、三只羊对应比较，抽象出3和2的大小这一数量关系。
数学是通过抽象得到一般结论，但抽象的东西又是不具体存在的，而是抽象的存在。
比如，我们抽象出2这个符号时，使用到现实世界又不是独立存在的，总是与量一起存在的。
比如两个人...在教学中培养学生数学抽象的核心素养，应从创设合适的教学情境中（事实），提出合理的问题，通过独立思考与交流（交流），感悟数学的本质（性质），并将累积起来的经验（即数学本质）来解决现象中的问题，这就是用数学的眼光看。
例如在教学认识圆柱时通过从生活通过生活中圆柱形状物体的，实例引入，抽象归纳出圆柱体的概念、特征，以及表面积和体积。
史宁中谈数学核心素养和小学数学教学
史宁中，东北师范大学前校长，教授，博士生导师。
第十、十一届全国人大代表，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，数学新课标修订组组长，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员。
前言我先讲个前言就是小学数学教学和数学核心素养怎么能挂上钩，我的第一个观点你们一定不同意，但是我坚持我的想法。
教无定法，绝对不能说哪种教学方法是最好的办法，教育教学是个艺术，艺术就是在不同的场合、不同的情况下会采取不同的方式，所以根据你讲课内容的不同，根据听众的不同，甚至根据你那天讲的心情的不同，你可以用不同的教学方法，比如一个新概念的引入，你可能会举一些例子来说明这个概念是怎么回事；如果要是接续以前的概念，你可能就不要引入很现实的例子，直接就讲下去了。
教无定法，但是教书得有一个基本的规则，所以我希望经过新常态的讨论能定下一个原则，就是说课堂教学应该遵循的原则是什么，或者说评价一堂课好或不好的标准是什么，教书是一门艺术，艺术同科学的最大区别是什么？科学是无论是谁，无论在哪里，无论在什么时候得到的结论都是一样的，这就叫做科学。
艺术是会随着人的不同、时间的不同、场合的不同有所改变，因此艺术的好坏有一个标准，基本标准就叫做价值观，由你的价值观来判断这个艺术是好或是不好，有人认为好，有人认为非常不好。
价值观是什么，就是一堂课的评判标准是什么，在此，中国的《义务教育法》中，国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量，就是不管你怎样教书，采用怎样的办法，一定要启发学生思考，启发式教学，在法律中只有这句话，因此在修改《普通高中数学课程标准》明确指出，数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，启发学生思考是非常重要的。
培养一个孩子，这个孩子可能未来不从事数学，那培养的终极目标是什么呢？终极目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
眼光、思维、语言，你在讲课的过程当中，在备课的过程之中，这个是很重要的。
小学数学中的基本思想史宁中
报告目录
一、数学的根本思想 二、小学数学中的抽象 三、小学数学中的推理 四、小学数学中的模型
一、数学的根本思想
1、课程目标：由双基到四基、从两能到四能 实现教育理念的转变
过去的教育理念：以知识为本 教学大纲
关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度
考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否到达要求 教学目标是： 根底知识〔概念记忆与命题理解〕扎实〔记忆〕 根本技能〔证明技能与运算技能〕熟练〔训练〕 教学形式是： 课堂、教材、教师〔凯洛夫的三中心论〕
比方几何概念 对应：称这样的图形为直线段、角 述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形
数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 〔根本概念与运算法那么：小学数学教学中的核心问
题 高等教育出版社，2021年〕
读数的关键：十个符号 + 数位 如何读 2002
符号 0 很重要： 1 ～ 10 → 1 ～ 9 → 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a
直接推理：对命题的直接判断 一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程
逻辑推理：命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性。 A → P，x ∈ A， x → P。 x → P，x ∈ A， A → P。
前者：凡人都有死。苏格拉底是人。/ 苏格拉底有死。 后者：苏格拉底是人，苏格拉底有死。
柏拉图是人，柏拉图有死。/ 凡人都有死。 非逻辑推理：命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性。
得到数学的根本特征： 一般性〔抽象〕、严谨性〔逻辑〕、应用的广泛性〔模型〕
二、小学数学中的抽象
数学思想：抽象、推理、模型〔不是知识，不靠讲解靠感悟〕
史宁中诠释“思考“数学教学问题的本质
史宁中诠释“思考“数学教学问题的本质（这是可能是“思考问题本源的思考方法”，作为一个教育工作者接收“理念”时，首先要思考“为什么”，其次是“是什么”。
）一、为什么？◎05年开始修订，第一次开会：“很乱”，但讨论出四条原则：·过程与结果的关系，注重过程；·直接经验和间接经验关系，重直接经验；·直观与抽象关系，注重直观；·学生学习和教师讲授的关系。
◎为什么要做这次课改？很多人说要减轻学业负担◎史宁中追问：为什么减轻？如果学的很有用，苦一点，负担重一些，也好啊。
但现在学得的累，效果又不太好。
◎再追问：为何学的累，而且效果又不好？（不断追问，不断思辨，追根问源，大师的这种理性的思考正式我们所缺少的，如果我们遇到教学困惑时，也能不断追问和思辨，也许就能找到问题的源头。
）过去是以知识为本，原来是大纲，主要关注的是“该教什么？”“教到什么程度”。
所以有了双基——基础知识，基本技能。
◎新的要求，新的变化：以学生的发展为本。
注重学生素养，注重学生创新能力。
“以学生的发展为本”！学生学得的知识很多是要忘记，所以要培养学生的“数学素养”，注重培养学生的创新能力。
·数学素养：它不是知识的多少，而是要养成一个思维的习惯：敢想问题，敢提出问题——所以加了基本思想，基本活动经验。
·作为一个创新人才——所以加了发现问题能力和提出问题的能力。
【从史宁中的话中来看：把双基变四基，双能变四能是史宁中一个人想出来的，这种一个人想出来的事情对不对呢？从王尚志的话中得知，好像这种提法得到美国教育界的赞誉。
但我更要去想：这种变化对课堂教学中有什么变化？重过程——悟知识——养智慧——有创新，不知道这样理解对不对！】二、是什么？·数学思想是一种潜在的，不是教会的，潜在东西就是一种素养。
·知识是结果，知识可能是思考的结果，也可能是经验的结果，因此知识的教学是一种结果的教学，它的关注点在知识点上。
小学数学中的基本思想(史宁中)ppt.共29页文档
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
史宁中：谈数学基本思想和数学核心素养
史宁中：谈数学基本思想和数学核⼼素养⼀关于数学基本思想我们把数学基本思想归结为三个核⼼要素：抽象、推理、模型。
——史宁中1.判断数学基本思想的原则我从1994年开始关注教育，对教育作了⼀点哲学层⾯的思考。
2005年承担义务教育阶段数学课程标准修订⼯作后，我接触了多位中⼩学教师和学科教学论的专家，并逐渐意识到：应当详细地研究数学的基本思想，构建切实可⾏的⽅法把这些思想体现于数学教师的⽇常教学；应当理顺中⼩学数学的脉络，使得数学教师在教学活动中有所遵循；应当清晰地阐述数学教学内容中重要知识点的内涵与外延，对于数学教师能够有所启发。
⼤家都觉得数学思想很重要，但是说不清道不明，有的⼈把数学思想列出⼀⼤串。
在数学教学中，通常说的等量替换、数形结合、递归法、换元法等，可以称为数学思想⽅法，但不是数学基本思想。
因为在述说这些概念的时候，必然要依附于某些具体的数学内容，因此这些概念在本质上是个案⽽不是⼀般。
此外，这些概念也不是最基本的，⽐如关于等量替换，⼈们可以进⼀步追问：为什么可以在计算的过程中进⾏等量替换呢？这就意味着，作为⼀种⽅法，等量替换可以⽤其他的更为基本的原理推演出来。
可见，数学基本思想是更上位的概念。
为此，需要建⽴判断数学基本思想的原则。
我们建⽴两条原则：第⼀条原则，数学产⽣和发展所必须依赖的那些思想；第⼆条原则，学习过数学的⼈应当具有的基本思维特征。
根据这两条原则，我们把数学基本思想归结为三个核⼼要素：抽象、推理、模型。
2.数学基本思想三要素之间的关系数学基本思想三要素对于数学的作⽤以及相互之间的关系⼤体是这样的：通过抽象，⼈们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，思维特征是抽象能⼒强；通过推理，⼈们从数学的研究对象出发，在⼀些假设条件下，有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果，促进数学内部的发展，思维特征是逻辑推理能⼒强；通过模型，⼈们⽤数学所创造的语⾔、符号和⽅法，描述现实世界中的故事，构建了数学与现实世界的桥梁，思维特征是表述事物规律的能⼒强。
访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题
访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题刘祖希访谈史宁中教授谈数学基本思想、数学核心素养等问题摘要通过访谈史宁中教授，探讨了：关于教育的哲学思考、师范教育改革与数学教育改革；什么是数学基本思想；数学基本思想与数学“双基”、数学“四基”、数学核心素养的传承关系；如何编写中小学数学教材；如何总结上海乃至中国数学教育改革经验等问题.2016年12月，国家数学课程标准修订组组长、东北师大原校长史宁中教授受邀出席在上海召开的高中数学新课程、新教材高峰论坛，笔者借论坛的两个间隙访谈了史宁中教授.访谈围绕当前数学教育领域的几个重要话题展开.刘祖希老师史校长您好，感谢您接受我们的邀请莅临本次论坛.史宁中教授谢谢你们的邀请，我很高兴与教材出版社以及中学界的朋友们交流，大家一起出力把我们国家的数学教材编好.刘祖希老师我们出版社正在组织新青年数学教师工作室编写《当代中国数学教育名家访谈》这本书，想对您做个访谈，当面向您请教一些问题.史宁中教授请教不敢当，前两年北师大曹一鸣教授和我也有过一次访谈，有些内容可以供你们参考.新的问题，我今天也乐意回答.1关于教育、师范教育与数学教育教育应当包括经验信息的传递，知识信息的传递和智慧信息的传递.我们对三种信息传递的载体进行研究，去寻求教育的内核，探讨教育自身的发展过程，从而展望教育的未来.——史宁中刘祖希老师您是何时开始关注教育、师范教育与数学教育的？您对我们国家的教育、师范教育与数学教育总体上有什么判断？史宁中教授我从1994年起担任东北师大主管本科教学与研究生培养的副校长，开始关注教育，对教育作了点哲学层面的思考.1998年出任东北师大校长，对东北师大的师范教育进行了改革.特别是2005年承担义务教育阶段数学课程标准修订工作后，接触了多位中小学教师和学科教学论的专家，我意识到：应当详细地研究数学的基本思想，构建切实可行的方法把这些思想体现于数学教师的日常教学；应当理顺中小学数学的脉络，使得数学教师在教学活动中有所遵循；应当清晰地阐述数学教学内容中重要知识点的内涵与外延，对于数学教师能够有所启发.刘祖希老师您说清晰地阐述数学教学内容中重要知识点的内涵与外延，是不是写成了“学科教学核心问题研讨丛书”这套书？我们发现第一本书在当当网上已获得2000多条好评.史宁中教授是的，遗憾的是这套书还没有写完，只出版了第一本.主要是工作太忙了，争取挤时间写完，不辜负读者的期待.刘祖希老师您刚才讲到对师范教育进行了改革，这些年我们国家的师范生教育一直在改革，效果似乎不太令人满意，您怎么看师范教育改革？史宁中教授师范教育的问题主要是课程比较陈旧.作为师范大学的校长，我清楚地意识到，随着经济与社会的发展，教师教育必然逐渐走向开放，传统的师范教育也必然逐渐走向综合.面对转型期提出的问题和挑战，我们需要认真思考和扎实实践；要实现教师职业专门化，就必须对传统的师范教育进行改造.1998年，东北师大把传统的“教育学原理”和“普通心理学”两门师范类课程改造为“教师学与教学论”、“教育研究方法”、“青少年心理学”和“学校教育心理学”四门更为实用的课程.我总是认为，在大学，应当尊重学生的学习兴趣，尊重学生的专业选择，对于师范专业尤其重要，因为一个人是否能成为一名好的教师，首先在于他是否热爱教师这个职业.事实上，从2002年开始，东北师大就打通了师范与非师范的界限：在7个一级学科实行前两年为通识课、两年后选专业方向的培养模式；对于选择师范专业的学生，从教学方法、学科思想方法等方面给予特殊的培养，我们不能用“专业教育学心理学=教师”这个公式来培养教师.刘祖希老师您来主持国家数学课程标准的修订工作，是不是跟您的大学校长身份有关？能调动更多的社会力量来做这件事？史宁中教授课程标准的修订工作主要靠大家多出主意、多沟通，包括数学家、数学教育家、中小学数学教研员和教师，甚至包括其他行业的专家，大家多交换意见就好办了.比如，我们在新修订的义务教育阶段数学课程标准里提“四基”，为此征求了许多数学家、数学教育界人士的意见，他们都很赞同.误解往往源于缺少沟通，我找到一个很有效的办法，就是把争论的双方请到一起、坐下来交换意见，误解很快就消除了.课程标准修订主要还是学术问题，不一定非要靠大学校长来做.包括这次的高中数学课程标准修订稿，一直没有公布，我们就跟教育部沟通，把精神传达给出版社，以便他们能够尽早修订教材，确保试验地区能够按时用上新教材.刘祖希老师对数学课程标准进行修订，不管是义务教育阶段的还是高中阶段的，您主张推倒重来还是小修小补？史宁中教授我们在课程标准修订过程中制定了几条基本原则：(1)坚持基础教育课程改革的大方向；(2)课程标准要更加准确、规范、明了、全面，凡是没有充足理由的说法都不出现，还是用传统的；(3)课程标准要更适合于教材编写、教师教学、学习评价，我们编了许多例子帮助老师们理解数学教学；(4)处理好几个关系：关注过程和结果的关系；学生自主学习和教师讲授的关系；合情推理和演绎推理的关系；生活情境和知识系统性的关系.这几条基本原则保障了课程标准的已有成果得到巩固，不合理的地方得到较大改善，原来的课程标准总体上是积极的，也是富有成效的.2关于关于数学基本思想我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.——史宁中刘祖希老师我们准备了一套您的著作《数学思想概论》(5册)，想请您为这套书签个名，送给会场踊跃提问的老师.史宁中教授好，我来签名，谢谢你们的精心准备.这套书内容有点多，我最近将这套书压缩成了一本，叫做《数学基本思想18讲》，已由北师大出版社出版，这样学校上课、读者看起来都方便一些.刘祖希老师我记得您在2005年左右就提出了数学的三个基本思想——抽象、推理、模型，您是怎样考虑的？史宁中教授大家都觉得数学思想很重要，但是说不清道不明，有的人把数学思想列出一大串.在数学教学中，通常说的等量替换、数形结合、递归法、换元法等，可以称为数学思想方法，但不是数学基本思想，数学基本思想是更上位的概念.因为在述说这些概念的时候，必然要依附于某些具体的数学内容，因此这些概念在本质上是个案而不是一般.此外，这些概念也不是最基本的，比如关于等量替换，人们可以进一步追问：为什么可以在计算的过程中进行等量替换呢？这就意味着，作为一种方法，等量替换可以用其他的更为基本的原理推演出来.为此，需要建立判断数学基本思想的原则.我们建立两个原则：第一个原则，数学产生和发展所必须依赖的那些思想；第二个原则，学习过数学的人应当具有的基本思维特征.根据这两个原则，我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.刘祖希老师您能否做些具体解释呢？史宁中教授这三者对于数学的作用以及相互之间的关系大体是这样的：通过抽象，人们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，思维特征是抽象能力强；通过推理，人们从数学的研究对象出发，在一些假设条件下，有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果，促进数学内部的发展，思维特征是逻辑推理能力强；通过模型，人们用数学所创造的语言、符号和方法，描述现实世界中的故事，构建了数学与现实世界的桥梁，思维特征是表述事物规律的能力强.当然，针对具体的数学内容，不可能把三者截然分开，特别是不能把抽象与推理、抽象与模型截然分开.在推理的过程中，往往需要从已有的数学知识出发，抽象出那些并不是直接来源于现实世界的概念和运算法则；在构建模型的过程中，往往需要在错综复杂的现实背景中抽象出最为本质的关系，并且用数学的语言予以表达.反之，抽象的过程往往需要借助逻辑推理；通过推理判断概念之间的关系，判断什么是命题的独立性，什么是命题的相容性，最终抽象出公理体系；在众多个案的运算过程中发现规律，通过推理验证什么是最本质的规律，最终用抽象的符号表达一般性的运算法则.因此，在数学研究和学习的过程中，抽象、推理、模型这三者之间常常是你中有我，我中有你.刘祖希老师大家对“数学的三个基本思想”这样凝练的观点接受度如何？史宁中教授抽象、推理这是大家都公认的；可能因为我的专业是数理统计学的，所以对数学的应用有很深的体会，感觉模型思想特别重要.我提出这三个基本思想之后，在不同场合听听大家的意见，大家都觉得不错，许多数学家也赞同.现在我们更明确地提出：数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型.这样大家就更容易理解三个数学基本思想的意思和重要性了.3关于数学基本思想与数学“双基”、“四基”以及数学核心素养的传承普通高中数学课程标准所设定的核心素养的本质就是抽象、推理、模型.[5]基于“四基”的数学教学就是基于数学核心素养的数学教学.——史宁中刘祖希老师“数学基本思想”是很有创见的观点.十年后的今天，您和高中数学课程标准修订组做的数学核心素养框架体系(包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析)，我感觉就是在三个数学基本思想的基础上发展起来的.五年前，义务教育阶段数学课程标准修订版提的是十个核心词，进行聚类分析后，也是三个数学基本思想.数学基本思想(抽象、推理、模型)就是“数学核心素养”体系的“基底”.史宁中教授你看的很准，张奠宙先生最近也谈到了这个观点.这其实就是我们对中国数学课程的传承，是个大问题，要反复地跟大家讲.刘祖希老师可否请您具体帮我们讲讲这个传承关系？史宁中教授数学基本思想与数学“双基”、“四基”、数学核心素养都是一脉相承的，基于“四基”的数学教学就是基于数学核心素养的数学教学.相对于我们的数学教育传统，数学核心素养并没有另起炉灶.这也是我们一以贯之的事情.我来具体说说这里面的继承关系.1990年代，我们国家的数学教学大纲是把数学思想和方法含在数学“双基”里面的，大纲里有明确的表述；数学“四基”是把“数学基本思想”从数学“双基”里面单独列出来，另外再加上“数学基本活动经验”，这是对“双基”的继承、发展.数学核心素养是六个：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，其中前三个就是数学基本思想、也是传承，后三个是传统的数学能力.刘祖希老师听您的讲解我们就很清楚了：自从1980年代徐利治先生在国内倡导“数学方法论”，在他的影响之下，在数学教学中渗透数学思想方法，已经成为中国数学教育的常识，“数学思想方法”也在1992年正式纳入义务教育数学教学大纲，拓展了数学“双基”中“基础知识”的内容，并延续至2000年初、高中数学教学大纲；后写进1998年版上海市高中数学课程标准、2002年版高中数学大纲，成为数学“双基”中“基础知识”、“基本技能”所包括的内容；随后写进2003年版高中数学课程标准、2004年版上海市中小学数学课程标准，成为了数学“三基”中的一基：数学基本思想(“三基”的提法很短暂，容易被人忽视)；进而又写进2011年修订版义务教育数学课程标准，成为了数学“四基”中的一基.史宁中教授可以这样理解，但我们不能机械地“背文件”.我们对数学教育、特别是基础阶段的数学教育至少应当清晰两件事情：一件事情是，不能单纯让学生记住一些概念，掌握一些解题的技巧，要让学生形成和发展数学核心素养，特别是逻辑推理素养；还有一件事情是，学生逻辑推理素养的形成和发展，在本质上，不是靠教师“教”出来的，而是靠学生“悟”出来的.虽然，为了数学的严谨性，现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，但数学的教学过程却应当反其道而行之，给学生创造直观思维的机会，给学生的“悟”留有充分的时间和空间；虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的.为了实现这样的教学过程，就要求教师在数学教学活动中，更多地关心学生的思维过程，抓住数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的问题，启发学生独立思考或与他人进行有价值的讨论，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养.这就是基于“四基”的数学教学，这也是未来将要提倡的基于“数学核心素养”的数学教学.4关于中小学数学教材的编写与修订教育的任务就是要把科学的知识让学生理解，并化为他自己的知识.这里面有两个重要的转化的过程：一是科学知识向学科课程知识的转化，这要依靠学科专家和课程开发专家的努力；二是把学科课程知识转化为学生知识，这就依靠广大教师.——史宁中刘祖希老师这次会议的另一个主题是关于数学教材编写，我们想请教您：作为数学家、大学校长，您觉得编写中小学数学教材难度大不大？是不是一件比较容易的事情？史宁中教授教材编写这个事还真不简单.教材要越读越有味道，经得起反复推敲，绝对不是“快餐”.你是上海教材的责任编辑，应该也有这个体会.现在我们国家很重视教材的编写，教材编写队伍力量配备很强，过去以专职的教材编写者为主，现在是由高校数学教师、教育学院的教师培训者、基层数学教育教学研究人员、资深中小学数学教师共同组成，专业、专职和兼职人员并重的四位一体编写队伍.与过去相比，教材编写队伍的学术层次提高了，研究气氛浓厚了，理论与实践之间的关系开始趋于平衡了，一线教师的参与程度加强了，教材编写活动的活力大大增加了.刘祖希老师近几年国内开展了许多教材比较研究的工作(包括国际比较)，教材难度的比较是其中一个基本问题.您认为应该如何衡量一套教材的难度？史宁中教授华东师大的《数学教学》杂志发表了我的一篇讲座稿，其中专门谈了教材难度的问题.什么是教材难度？它由许多因素确定，比如广度(知识含量，包括习题)、深度(逻辑层次，区分概念与命题)、表达(描述方式，包括例题)、时间(单位时间授课进度)，这样的话，教材难度就是广度、深度、表达、时间的(线性或对数线性)函数.大家可以做一些实证来验证一下这个观点.刘祖希老师近来您与各家教材出版社的同志、各版本教材的主编和编委交流很频繁，您是不是希望向他们传递更多的关于教材编写和修订的理念、要求？史宁中教授课程标准的实施首先体现在教材编写这个环节，至关重要.当前，编写配套的高中数学新教材要特别注意以下几点：(1)把握数学知识的本质，比如新概念的引入要回答缘由、新方法的述说要述说道理；(2)创设合适的教学情境、提出合适的数学问题；(3)启发学生思考，鼓励学生与教师交流、学生之间相互交流；(4)让学生在思考和交流中在掌握知识、技能的同时，理解知识的本质；(5)帮助学生感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养.另外，教材编写团队平时也要注意做好教材修订工作.修订工作大体上可以围绕3个方面进行：(1)围绕“显性”问题修订；(2)围绕“打造教材特色”修订；(3)围绕“深层”问题修订，这是真正有挑战性的修订，目前教材编写有很多不太令人满意的“深层”问题，比如数学概念的表述还是几十年前的，至今没有变化；还有忽视学生学习过程的问题屡见不鲜.这些“深层”问题解决好了，有可能使中国的数学教材面貌在世界上独树一帜，令人期待.上海教材就很好，很多地方值得全国同行借鉴.5关于上海数学教育改革经验的总结在近30年上海数学教育改革的长期积淀过程中，上海至少形成了三条重要经验：连贯一致的改革思路、海派文化的数学课堂、强而有力的教研与教师队伍.——史宁中刘祖希老师您今年已经是第5次来上海了吧.史宁中教授是的，为了总结上海数学教育改革经验就来了4次.刘祖希老师2016年8月22日，全国“上海中小学数学教育改革经验”交流会在上海举行，会议主题是“推广交流上海中小学数学教育改革经验，研讨我国数学教育改革发展方向与推进策略”.您作为上海基础教育改革宣传推广工作数学教育项目组组长，在会上为上海数学教育改革经验总结的3句话现在广为传播.史宁中教授上海教育界的同志很客气，请我总结上海的数学教育改革经验，我讲了3句话：连贯一致的改革思路、海派文化的数学课堂、强而有力的教研与教师队伍.头尾两句话好理解，很多人问我第二句话是什么意思？我说海派文化的数学课堂就是“海纳百川、教无定法”，大家很赞同.上海的数学课堂什么经验、方法都可以拿来试验，好的就留下来、为我所用，海纳百川本身就是上海这座城市的精神.刘祖希老师这3句话的经验总结令上海教育界欢欣鼓舞，也令中国其他地方羡慕不已.史宁中教授上海数学教育界的同志工作、研究做得很扎实，比如顾泠沅教授，上海的经验有他们的功劳.当然，这3句话不是上海独有的经验，我们国家很多地区都有这样的经验，上海是代表.刘祖希老师现在上海已经明确有几门学科会使用全国统一教材，您判断上海的数学教材会不会也使用全国统一教材？史宁中教授上海的数学教材对上海的数学教育改革经验肯定有很大贡献，国家既然总结推广上海的数学教育改革经验，上海的数学教材应该是很重要的体现，祝愿上海教材做得更好.刘祖希老师谢谢您接受我们的采访.结语对史宁中教授的访谈时间过得很快，许多问题还来不及展开.考虑到会议日程很紧张，我们按计划结束了这次访谈.在近3个小时的访谈过程中，史宁中教授为我们详细讲解了：关于教育的哲学思考、师范教育改革与数学教育改革；什么是数学基本思想；数学基本思想与数学“双基”、数学“四基”、数学核心素养有着怎样的传承关系；如何编写中小学数学教材；如何总结上海乃至中国数学教育改革经验等重要问题.当代中国数学家有关心教育特别是数学教育的优良传统，数学家关心数学教育主要有几种形式：一是关注中小学数学教育与课程改革；二是主持编写中小学数学教材；三是开展数学普及工作与科普创作.作为一名学术成就斐然的数学家、大学校长，史宁中教授从关心、关注到逐渐领导中国的中小学数学课程改革，在这一“华丽转身”的背后，是他为中国数学教育贡献的非凡智慧与拳拳之心、殷殷深情.后注史宁中教授：东北师范大学前校长，教授，博士生导师。
漫谈中小学数学教师的素养 史宁中
• 1、要以人为本。 • 以知识为本的教育： 教学是“以课堂为中 心，以课本为中心，以教师为中心”。 • 以人为本的教育：一是关注学生的全面成 长，培养合格的人，这就是我们常说的素 质教育；二是学会站在受教育者的立场上 思考问题。这也是东北师大所提出的“尊 重的教育”的实质。
椅子数
16 15 14 ……
凳子数
0 1 2 ……
腿的总数
4×16=64 4×15+3×1=63 4×14+3×2=62 ……
• 如果要求列方程，仍然可以用尝试的方法
椅子数 凳子数 腿的总数
a=16
a=15
16-a=0
16-a=1
4xa+3x(16-a)=64
4xa+3x(16-a)=63
a=14
• 误区之二：形式=道理 • 不要过多地追求形式，怎么答题了，怎么写等号了，这都 不是关键，只要头脑清晰就是好样的，不能本末倒置。 • 如：教学方程，首先要弄清方程的本质是什么，方程的本 质就是“等号”（等量关系），就是同一件事情用不同的 方式表示出来，再用等号连接起来。其次是解方程，就是 把有x的放到一边，把没有x的放到另一边。告诉学生字母 和数一样，是可以运算的就行了。关键是让孩子们知道： 用符号进行运算和推理得出的结果是具有一般性的，这是 数学的真谛。用所有的数算，算出的结果都是特例。数学 要的是一般的结果，而不是具体的结果。.
• 在一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳 子共16个，如果椅子腿和凳子腿加起来共 60条， 有几个椅子和几个凳子？ • 这是有关鸡兔同笼的问题。鸡与兔相差2条 腿，太难了，咱们变简单些。椅于和凳子 相差1条腿，有利于学生进行“尝试”。 • 所有的问题部是从最简单的数想起，例举 几个看看对不对，确定对了之后把它推广 开来就行了。
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集合的分类
不含任何元素的集合
空集
含有有限个元素的集合
有限集
含有无穷个元素的集合
无限集
集合的表现形式
把集合中的元素一一列举 出来，写在大括号内，元 素之间用逗号分开的方法
列举法围 成的图形（文氏 图）表示集合
图示法
描述法
把集合中坎的共 同特性描述出来 ，写在大括号内
表现 形式
图纸
表格
示意图 列表 动画
几何直观运用领域
运用于数学的各个领域
数与代数领域 空间与图形领域 统计与概率领域 实践与统合应用领域
我们不仅在几何教学中要重视几何直观，在整个数学教学中 都应该重视几何直观，培养几何直观应该贯穿于教学始终。
平移与旋转
9的乘法口诀
计算公式的推导 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7
填空题
判断题 假设思想的应用 应用题
分数中单位1
鸡兔同笼问题
假设思想方法
比和比例 实际问题
逻辑推理问题
图形的周长、面积和体积 等问题中都有应用
案例1：小明和妈妈恰好花100元买了10本书， 单价有8元一本的和13元一本的两种。 其中8元一本的和13元一本的各买了几本？
案例2：足球比赛门票是20元一张，平均每场有 5000名观众，降价后每场观众增加了50%， 收入增加了20%，降价后门票的价格是多少？
小学里的集合
图示法
用封闭曲线圈起来看作一个整体——集合 圈内对象——为元素
集合与集合的关系（包含） 集合与集合的交集、 集合与集合的并集 等运算在小学数学中应用
2 12 4 6 14 8 16 10 20
认数 与记数
一年级上册
加法 运算
同样多 的概念 公约数 公倍数
一年级上册
渗透等价集合的概念
两个数共同的约数和倍数
四基
基础 知识
基本 技能
基本 思想
基本 活动 经验
数学教材的两条主线
数学 基础知识
数学基础知识是一条明线 数学思想方法是一条暗线
数学 思想方法
教学时应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想方法
数学思想方法
数学 思想
数学思想方法
数学 方法
指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某
数学 思想
些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它 揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着 数学实践活动，这是对数学规律的理性认识。
数形结合思想
数形结合思想 数形结合思想包含两个方面
Content Title 往往在研究“数”的时候借助于“形”
以形助数
借助形的生动和直观性来阐 明数之间的联系
往往在探讨“形”的性质时又离不开 “数”
以数辅形
借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性
几何直观的表现形式
图形
几何图形 线段图 数轴 方格纸 坐标 方向标
校 门
180米
妹：
每分钟60米
兄妹二人走的时间不变
可逆思想
思维的可逆性，即从正向思维转为逆向思维 可逆是逻辑思维中的基本思想 心理学家皮亚杰把可逆思维作为儿童智慧发 展的重要标准
逆向 数数 逆运算 公式的 双向应用 实际问题 应用时 整除
倒着数数 减法和除法 如在面积=长×宽中已知面积和长，求宽
简便运算
计算：12×25 可以通过转化， 将12分解成3×4 这样就变成 12×25=（3×4）×25 =3×（4×25）=300
28 3 7 10 10 4 1 7
这样利用约分 就能很快获得本题的解
“分而治之、各个击破、综合归纳”
作用 数学知识的分类有助于学 生对知识的梳理和建构 不同的分类标准就会有不同的 分类结果，从而产生新的概念 概念
数学教学 就是数学 思维活动 的教学 数学教育 承载着“发 展儿童的思 维”的重任
在教师 的指导下
由于数学 自身的特点
数学教学实质上就是学生在教师指导下， 通过数学思维活动，学习数学家思维活动 的成果，并发展数学思维，使学生的数学 思维结构向数学家的思维结构转化的过程
数学课程标准 2011版
CEO 双基
数学 方法
就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问 题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是
解决数学问题的策略。
小学数学思想方法
由于小学数学内容比较简单，知识 最为基础，所以隐藏的数学思想和数学 方法很难截然分开，更多的反映在联系 方面，其本质往往是一致的。如常用的 分类思想和分类方法，集合思想和集合 在本质上都是相通的，所以小学数学通 常把数学思想和方法看成一个整体概 念，即小学数学思想方法。
其本身的大小不变，由一种形式变换成另一种形式的思想方法
这里的变换是可逆的双向变换
转换可以是等价的，也可以是不等价的 在解决数学问题时，转换是一种非常有用的策略
对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论
分数与小数的乘除法
计算：2.8÷113÷17÷0.7 直接计算比较麻烦， 而分数的乘除运算比小数 方便，故可将原问题转换为：
加法交换律
方程的意义
可以激发学 生的创造力
类比思想方法
不仅使数学知识容 易理解而且使公式 的记忆变得顺水推 舟得自然和简洁
将已知的一类数 学对象的性质迁 移到另一类数学 对象上去的思想
数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和 类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”。
乘法交换律
象形统计图 单式统计表 复式统计表 单式条形统计图
单式折线统计图
一年级统计
条形统计图
折线统计图
平均数
复式横向条形统计图
扇形统计图
概率
统计与概率
概率是对随机事件发生的可能性大小的一种度量
概率值
事件的概率是确定 的、不变的常数， 是理论上的精确值， 它的值大于零小于1
小学中的概率
主要认识事件的可能 性大小以及等可能
学习的意义
有助于正确把握教材体系
有助于培养学生思维能力
有助于对小学生进行辩证唯物主义的启蒙
有助于对学生进行美育渗透
数学美
数学美的特点
有序
简明
对称
统一
对应 思想
小学数学
思想 方法
数形结 合思想
集合 思想
统计 思想
符号化
思想
极限 思想
对应思想方法
对应指的是一个系统 中的某一项在性质、作用、 位置上跟另一系统中的某 一项相当。对应是人们对 两个集合因素之间的联系 的一种思想方法。
目
前 言
录
小学数学思想方法 小学数学思想方法梳理
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后 记
小学数学教育的现代化，不是内容现代 化，而是数学思想及教育手段的现代化
教学实践表明 能力培养 社会对数学 价值的要求
加强数学思想的教学是基 础数学教育现代化的关键
数学思想 方法的渗透
人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度 是整个智力发展的缩影和标志。
3. Title
小学采用直观 手段，利用图 形和实物渗透 集合思想
集合思想的特征
集合是现代数学的基础
给定一个集 合，按照明 确的判断标 准确定一个 元素，或者 在这个集合 里，或者不 在这个集合 里，不能模 棱两可
集合中的元 素一定是不 同的. 即集 合中的元素 没有重复的
确定性
互异性
集合特征
无序性
小学生思维以形 象思维为主逐步 向逻辑思维过渡
渗透有限与无限、 在小学数学中渗 曲与直、变与不变 透着既对立又统 的辩证关系 一的辩证思维
刘徽“割圆术”
庄子
3.14159
“一尺之棰， 日取其半， 万世不竭。”
自然数
直线、射线与线段
“自然数” “奇数” “偶数”
循环小数
平行与垂直
一个数量的变化，往往会引起另一个数 量的变化，但是在诸多变化的条件中，常常 会有一些不变的数量，我们解决问题时，往 往需要抓住这些不变量，寻找解决问题的突 破口，这就是“变中抓不变”的思想方法。
一支铅笔、一本书、一栋房子对
应一个抽象的数“1”， 两只眼睛、一对耳环、双胞胎对
应一个抽象的数“2”
直线上的点（或数轴）与表示具 体的数是一一对应
在“多与少”这一内容中，一个 茶杯盖与每一个茶杯对应
对应思想方法
本质是一一对应
提高学生分析问题 和解决问题的能力
可化抽象为具体
面积 （物体面积与单位对应）
三角形的面积
长方形的面积公式 为长×宽＝a×b， 通过类比两个相同的三角形
圆锥体体积
由加法交换律 a＋b＝b＋a
圆柱体体积公式 为底面积×高， 那么圆锥体体积
的学习迁移到
乘法交换律 a×b=b×a 的学习
可以拼成一个长方形，
因此得到三角形的面积公式为 长（底）×宽（高）÷2
可以理解为
底面积×高÷3
＝a×b（h）÷2
俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”
比较 思想 方法
人类对一切 事物的认识 都是建筑在 比较的基础上 或同中辨异 或异中求同
比较思想是 数学中常见的 思想方法之一 是促进学生思 维发展的手段
小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比 较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系和区别。
直线、射线与线段
三角形的分类
集合思想
把若干确定的有 区别的事物合并 起来，看作一个 整体，就称为一 个集合，各事物 称为集合的元素 .
1. Title
把一些能够确定 的不同对象看成 一个整体，就说 这个整体是由这 些对象的全体构 成的集合