概率论—样本空间及其随机事件
概率论全部
24.設正態總體X～N（μ,σ2）,σ2未知, ,S2是樣本平均值和樣本方差,給定顯著性水準α,檢驗假設Ho：σ2= ,H1：σ2≠ 應使用的檢驗用統計量是（A： ）。
11、設X～b（3，0.5），則P(X≥1)的值是（D:0.875）。
12、已知(X ,Y )的分佈律為
0
1
1
0
1/6
2
1/12
1/6
3
1/2
1/12
則X的邊緣分佈律為（C:
X
0
1
P
13、設連續型隨機變數X的分佈函數為F(x)= 則A的值為（C:0.5）。
14、設X的分佈律為
則E(X)=(C:0.8)
53．设X1，X2，…Xn是总体X的一个样本，g（X1，X2，…Xn）是X1，X2，…Xn的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数，则称g（X1，X2，…Xn）是一个统计量。
54．设A与 互为对立事件，则 。
55．若二维随机变量（X，Y）在平面区域D中的密度函数为 其中A为D的面积，则称（X，Y）在区域D上服从均匀分布。
19．设随机测得某化工产品得率的5个样本观察值为82，79，80，78，81，则样本平均值 80。
20．设总体X~N（μ，σ2），x1，x2，…，xn是来自总体X的样本，则σ2已知时，μ的1-a置信区间为 。
21．假设检验可能犯的两类错误是弃真错误和纳伪错误。
22．设总体X～N（μ，σ2），对假设 做假设检验时，所使用的统计量是 它所服从的分布是 。
X
0
1
P
0.2
0.8
15、已知X～b（n, 0.2）則E(X) =(D:0.2n)
1.2 样本空间与事件
A = { 第一次是正面 } = { HHH，HHT，HTH，HTT }
B = { 第二次是正面 } = { HHH，HHT，THH，THT }
C = { 第三次是反面 } = { HHT，HTT，THT，TTT }
D = { 正面比反面多一次 } = { HHT，HTH，THH，} E = { 正面反面都出现 } = {HHT，HTH， HTT， THH， THT， TTH }
E 3 ： 记录一小时落在地球上某一区域的粒子数 Ω3 ：{ 0，1，2，3，······} 可数个点
E 4 ：从一批电子元件里任意抽取一只测试寿命 Ω4 ：{ t | t ≥ 0 } 不可数点构成的区间
E5 ：从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽出 一张，观察它的花色和点数
Ω5 ：{ ( x,y ) | x 表示花色，有 4 种可能 ； y 是点数，1 ≤ y ≤ 13 }
A1∩A2 = { HHH }；
A1 I A2 = {THH，THT，TTH } 。
□
例1.1.6 把 A∪B 分解成互不相容的事件的和。
B A
Ω
解. ① ②
A∪B = A + (B – A) = A + (B – AB) ； A∪B = (A – B) + AB + (B – A)
= (A – AB) + AB + (B – AB) 。
关于“差事件”的理解
1. A∪B 的样本点是 A 的样本点与B 的样本点的并集； AB 的样本点是 A 的样本点与B 的样本点的交集；
A – B 的样本点是从 A 中去掉同时也属于B 的样本点。 2. 如果 A B ，则 A – B 是不可能事件。
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
北邮概率论与数理统计样本空间及随机事件1.1
§1.1 随机事件及其运算1.随机现象自然界和社会上发生的现象多种多样.有些现象,我们可以准确预言他们在一定条件会出现何种结果,例如“在标准大气压下,纯水加热到C ︒100时必定沸腾”等等,这类现象我们称为确定性现象.然而自然界和社会上还有许多现象,他们在一定条件下，并不总是出现相同结果,而且事先我们无法准确预言会出现何种结果, 这类现象我们称为随机现象.随机现象随处可见。
如抛一枚硬币，其结果可能是正面朝上,也可能反面朝上,而且在出现结果之前无法准确预言会出现何种结果.再比如用一仪器在相同条件下测量一物体的质量,各次测量结果会有差异,等等。
有的随机现象可以在相同条件下重复,也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.对于这类随机现象，我们常常通过多次重复的随机试验，观察其出现的结果，以期发现随机现象的规律性。
长期的实践经验表明，在大量重复试验下,随机现象的结果的出现往往呈现出某种规律性.例如大量重复抛一枚硬币,正面出现的次数与反面出面出现的次数大致相当,等等.这种在大量重复试验中所呈现的规律性就是我们以后常说的统计规律性.概率论与数理统计的研究对象是随机现象,研究和揭示随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象.2.样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。
在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，这一原始概念又联系着另一原始概念“随机试验”.概率论中所说的随机试具有下述特点:(1)可以在相同条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先能明确试验的所有可能的结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪个结果会发生.随机试验的可能结果称为样本点，用ω表示样本点；而随机试验的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为}{ω=Ω.在具体问题中,认清“样本空间是哪些样本点构成的”是十分重要的. 有些随机试验凭“经验”可确定样本点和样本空间,有些随机试验需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间.样本点和样本空间的确定也与研究目的有关,或者说与观察或记录的是什么有关.看下面一些例子.例 1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为}6,5,4,3,2,1{=Ω.如果我们只是观察出现奇数点还是偶数点,那么样本空间可以确定为{=Ω出现奇数点,出现偶数点}.例 2 考虑试验:观察一天内进入某商场的人数. 一天内进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为},3,2,1,0{⋅⋅⋅=Ω,即样本空间确定为全体非负整数构成的集合.例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地确定为),0[+∞=Ω.例 4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反面出现的情况,则样本空间为},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH =Ω;若我们记录正面出现的次数,则样本空间为}3,2,1,0{=Ω.若样本空间中的元素个数是有限个,我们称此样本空间为有限样本空间. 若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3.随机事件有了样本空间后,我们可以给出随机事件的概念.直观上, 随机事件是随机现象或随机试验中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生应当能由试验出现的结果判定,因此一个事件可以由使其发生的那些样本点组成，换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.设随机试验E 的样本空间为}{ω=Ω,我们称样本空间为}{ω=Ω的子集为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,…表示.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间Ω本身.空集Φ作为样本空间Ω的子集也是事件,称此事件为不可能事件. 显然, 必然事件在每次试验中是必定发生的,不可能事件在任一次试验中都不会发生.这两种情况已无随机性可言,但我们把它们视为随机事件的特例.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，随机事件就是该样本空间的子集。
§1.1随机事件与样本空间
§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。
例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
随机事件与样本空间的关系
随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。
理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。
本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。
它是样本空间中的一个子集。
例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。
在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。
二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
它包含了实验中的每一个可能结果。
以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。
样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。
它们之间的关系可以用包含关系来描述。
具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。
相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。
四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。
随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。
1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。
例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。
2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。
例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。
交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。
差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。
例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个基本概念，它们对于理解概率和计算概率具有重要意义。
本文将介绍随机事件与样本空间的定义、性质以及与概率相关的概念。
1. 随机事件的定义及性质在概率论中，随机事件是指可以观察或发生的事情。
形式上，随机事件可以用集合表示。
假设我们在某次实验中观察到了一个事件A，它可以是一个点，也可以是多个点的集合。
这个事件A的发生与否由实验的结果决定。
随机事件可以满足以下几个性质：- 任意事件A发生的概率介于0和1之间：0 <= P(A) <= 1。
- 必然事件的概率为1：P(样本空间) = 1。
- 不可能事件的概率为0：P(空集) = 0。
- 若事件A与事件B互斥（不能同时发生），则它们的概率为零：P(A∩B) = 0。
2. 样本空间的定义及性质样本空间是指一个实验中所有可能结果的集合，常用Ω表示。
样本空间中的每个元素都代表了一个可能的结果。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
样本空间具有以下性质：- 样本空间是事件的基本组成单元，所有的事件都是由样本空间中的元素构成的。
- 样本空间的元素个数有限且不为0。
- 不同实验的样本空间可以不同。
3. 随机事件的关系与运算在概率论中，我们常常需要对事件之间的关系和事件的运算进行讨论和计算。
常见的事件关系和运算包括：包含关系、互斥关系、并、交、差等。
- 包含关系：事件A包含事件B，表示为A⊇B，当且仅当A发生蕴含B发生。
若A⊇B且B⊇A，则称A与B相等。
- 互斥关系：事件A与事件B互斥，表示为A∩B=∅，即A与B不能同时发生。
- 并：事件A和事件B的并事件，表示为A∪B，包含了A和B中任意一个事件发生的情况。
- 交：事件A和事件B的交事件，表示为A∩B，包含了A和B同时发生的情况。
- 差：事件A减去事件B，表示为A-B，包含了A发生而B不发生的情况。
4. 随机事件的概率计算概率是描述随机事件发生可能性的数值。
样本空间与随机事件
4 .1 样本空间与随机事件
3.随机事件 在随机试验E中，可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称
事件，一般用大写字母A，B，C…表示。在引入样本空间后，事件便 可以表示为样本空间的子集。 每次试验中，一定发生的事件称为必然事件，记为月，每次试验中一 定不发生的事件称为不可能事件，记为Ф，这两个事件是确定性事件， 不是随机事件，但为今后讨论问题方便，也把它们看成随机事件。
是可以事先明确知道的。 (3)每一次试验，实际只出现一种结果，至于实际出现哪一种结果，试验
之前是无法预先知道的。 以上3个特点是随机试验所具有的共同特点，我们就是通过大量的随机
试验去研究随机现象的。 2.样本空间 在研究随机试验E时，首先必须弄清楚这个试验可能出现的所有结果，
称每一个可能的结果为样本点，一般用小写字母ω或e等表示，全体样 本点构成的集合称为样本空间，一般用大写字母Ω或S等表示。
点”，显然事件A的发生必然导致事件B的发生，即A是B的子集。
对任一事件AΩ 。
2.事件相等
若“事件A B且B A”，则事件A与B相等，记为A=B。
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4 .1 样本空间与随机事件
3.事件的积(交) “事件A与B同时发生”的事件，称为事件A与事件B的积(交)事件，记为
A ∩ B或简记为AB。即由A与B的公共样本点组成的集合。 例如，某公司2009年同时进行了A和B两种投资方案，事件A表示“A
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4 .1 样本空间与随机事件
如上述随机试验E1中，样本空间Ω={ω正， ω反}，样本点简记为: 随机试验E2中，样本空间Ω={ω1 ， ω2 ， … ， ω6}，样本点记为: 随机试验E3中，若用x表示灯泡使用寿命，则x的取值为某个范围，若灯
第2节 样本空间,随机事件
同时发生. 同时发生
6.差事件 设随机试验 的样本空间为 而A,B 差事件 设随机试验E的样本空间为 的样本空间为S,而 的子集,事件 为S的子集 事件 －B = { x | x ∈ A但x ∉ B } 表 的子集 事件A－ 发生而B不发生 示 A发生而 不发生 发生而 不发生. 例如,甲乙二人向同一目标各进行一次射击 例如 甲乙二人向同一目标各进行一次射击 A=“甲命中目标 A=“甲命中目标”, 甲命中目标” B=“乙命中目标 B=“乙命中目标”, 乙命中目标” 甲命中目标而乙未命中目标” 甲命中目标而乙未命中目标 A − B = “甲命中目标而乙未命中目标” 再如,在电话呼叫的例子当中 再如 在电话呼叫的例子当中 A=“10 ≤ X≤30” , B=“20 ≤ X≤ 50” 发生而B不发生 发生而 不发生” A − B = “A发生而 不发生”= “10 ≤ X<20”
再如,向如图所示的平面区域 内任意地投掷 再如 向如图所示的平面区域S内任意地投掷 向如图所示的平面区域 质点 S A=“所投质点落入 a之内”, 所投质点落入S 之内” 所投质点落入 B=“所投质点落入 b之内”, 所投质点落入S 所投质点落入 之内”
Sa
Sb
所投质点落入S 之内” 所投质点落入 A U B = “所投质点落入 a或Sb之内”, 所投质点落入S 之内” 所投质点落入 A I B = “所投质点落入 a且Sb之内”. 说明 A U B , A I B 集合论:两集合 与 集合论 两集合A与B 两集合 的并与交. 的并与交 发生或B发生或 注意 A U B : A发生或 发生或 与B同时发生 发生或 发生或A与 同时发生
设随机试验E的样本空间为 而可列个事件 设随机试验 的样本空间为S,而可列个事件 的样本空间为 A1, A2,…, An,…为S的子集 的子集, 为 的子集
概率论课件——样本空间、随机事件
互
斥
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA. (Exchange law)
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( AB )C A( BC ).
(Combination law)
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的积事件.
k 1
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
A .
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) (Incompatible events) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
B A B A
S
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) (Product of events)
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件(Random event ) 的概念
第二节 样本空间、随机事件 (Sampling space, Random event )
1.1随机试验、样本空间、随机事件
随机试验E
例如：抛一颗骰子，观察其出现的点数.
样本点
可能的结果：1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点.
所有可能结果的集合：{1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点}.
样本空间
随机试验、样本空间、随机事件
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间， 记为 S. 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，记为ei .
结合律： AU( BUC) = ( AUB) UC ， ( AI B) I C = AI ( BI C) .
分配律： AU( BI C) = ( AUB) I ( AUC) ， AI ( BUC) = ( AI B) U( AI C) .
德摩根律： A U B = A I B ， A I B = A U B .
随机现象 概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科！
随机试验、样本空间、随机事件
二、随机试验 E1：抛一枚硬币，观察其出现正面 H 、反面T 的情况； E2 ：抛一颗骰子，观察其出现的点数； E3：抛一颗骰子，观察点数 2 是否出现； E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数； E5 ：任取同一生产线上生产的一只灯泡，测试其寿命； E6 ：在[0,1]之间随机地投一点，记录该点的坐标.
随机试验、样本空间、随机事件
例 1 设 A、B、C 为三个事件，试用其运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C 同时发生；
ABC
（2）A、B、C 至少有一个发生；
AU B UC
（3）A、B、C 至少有两个发生；
AB U BC U AC
（4）A、B、C 都不发生；
ABC
（5）A、B、C 不都发生.
概率论第一章第二节
A、B 互斥
A、B 对立
SA
B
AB
互斥
A B A S
A B S且AB 对立
21
事件的运算规律
交换律 A B B A, AB BA 结合律 A (B C ) (A B) C
A(BC ) (AB)C 分配律 A (B C ) (A B) (A C )
A(B C ) (AB) (AC )
例如，只包含两个样本点的样本空间
S {0, 1},
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
5
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
S
思考：何时 A B ？何时 A B A？
18
5. 互不相容(互斥) 若AB ，称事件A与B互不相容.
A S
B
即A与B不能同时发生.
AB “骰子出现1点”互斥
“骰子出现2点”
基本事件是两两互不相容的.
19
6. 逆事件（对立事件）
若 A B S且 AB ，则称 A与B互为逆事件，或对立 事件.
14
三、事件的关系与运算
设试验E, 样本空间S,
A, B, Ak (k 1, 2, )是S的子集.
BA
1. 包含
S
A B
A发生必导致B发生. A B
实例“长度不合格” 必然导致 “产品不合格”,
特别地：A B
A B且B A.
设A为任一事件，有
(1) A S， (2) A A，
(3) A B 又 B C A C.
概率论中的随机事件和样本空间
概率论中的随机事件和样本空间概率论是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律的学科。
在概率论中，随机事件和样本空间是非常基础的概念。
它们的理解对于理解概率论的整个体系以及应用非常重要。
本文将深入解析随机事件和样本空间的概念、性质和应用。
一、随机事件和样本空间的概念随机事件指可能发生也可能不发生的结果，可以用事件的形式来描述。
例如扔一枚硬币，事件可以表示为“正面朝上”或“反面朝上”。
而样本空间指所有可能出现的结果组成的集合，通常用大写字母S来表示。
以扔一枚硬币为例，样本空间可以表示为S={正，反}。
其中正和反为样本点，也可以表示为ω1和ω2。
二、随机事件和样本空间的性质1、不可能事件：事件不会发生，即概率为0。
例如扔一枚硬币出现“正”和“反”的可能性是相等的，所以不可能事件为硬币竖直立着，既不朝上也不朝下。
2、必然事件：事件一定会发生，即概率为1。
例如扔一枚硬币一定朝上或朝下，所以必然事件为“硬币朝上”和“硬币朝下”。
3、事件的互斥性：如果两个事件A和B至少有一个发生的话，那么这个事件的概率就是A和B概率之和。
4、事件的独立性：如果事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，那么称A和B是互相独立的。
三、样本空间和事件的应用概率论在现实生活中有广泛应用，例如赌博、证券交易、保险、抽样调查等。
下面以抽样调查为例，说明样本空间和事件的应用。
在抽样调查中，研究对象的总数往往很大，难以全部进行统计和研究。
因此，需要从总体中抽取一部分进行研究，这部分就被称为样本。
在这个过程中，样本空间是指可能被抽到的所有样本组成的集合。
例如，假设要进行某市民的选举调查，抽取1000人作为样本。
样本空间可以表示为S={第1个受访者，第2个受访者，…，第1000个受访者}。
而事件则是针对研究对象的某种特征或情况而定义的，例如这1000个受访者中有多少人会投票选某位政治人物。
事件的概率表示着该事件发生的可能性大小，它是通过概率分布函数（PDF）或概率密度函数（PDF）来计算的。
1.1 随机试验、样本空间.1.2 随机事件 (1)
n
n
Cm n
即
n m
:
从n个相异元中取m个元素并成一组
P C P m m m(先取后排）
n
n
m
Pmn n (n 1) (n 2)
(n m 1)
n! (n m)
!
0！ 0.
m
P m Cn
n m
n(n
1)L (n m!
抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（学校规定），希望遵守公 德：不迟到 • 5.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分 • 6.复习微积分，保证学习正常进行 • 7注：平时成绩大于30分；别因中学“学过”而大意，应当重新审视这门课。
4
预备知识（排列组合） • 1. 两个基本原理 • 2. 排列、组合的意义 • 3. 排列数、组合数计算公式 • 4. 例题
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） C62 C24 P33 540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
引言
•概率是什么？
•1.概率是频率：
P A
fn
ALeabharlann nA 频数 n 试验次数
.
•2.概率是比例：
序
一、概率论 简史及概率论的应用
1. 概率论简史
1654年， 有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久 的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m 局就算赢，全部赌本就归谁．但 是当其中一个人赢了a 局，另一个人赢了b 局的时候，赌博中止．问：赌本应该 如何分法才合理？” ．
随机事件和样本空间
由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A，我们约定 A
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3}
则 A B={球的标号为 1，2，3，4， ，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或 积） ，记作 A B（或ＡＢ） ，它对应图１．３种的阴影部分： 如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则
， 也就是说 A 与 B 互不
A
B
Байду номын сангаас图 1.5
7 . 若 A 是一个事件,令 A =
A 是 A 的对立事件或逆事 — A，称
件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然） 即A与 有 A A =
A
二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而
A
A
=
（A B） C=（A C）（ B C） （1.5）
（4）德摩根定理（对偶原则）： ________
n
A =
i
_______ n i 1
Ai A = i 1
i i 1
n
__
（1.6）
A
i 1
n
__ i
（1.7）
证明：（略）.
n
Ai
An ；若“ A1 ，A2 ，…，
同时发生” ，这样的事件称作A1 ， A2 ，…，An 的交，记作
A 1
A2 …
An
或 i 1
n
Ai
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
三、最大似然估计法
1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.
2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为 （或 ），其中参数 未知，则X的样本 的联
(1) 设总体X的概率密度函数为f(x), 则样本的联合密度函数为
(2)设总体X的概率函数为 , 则样本的联合概率函数为
二、统计量
1. 定义
不含总体分布中任何未知参数的样本函数 称为统计量, 是 的观测值.
注：（1）统计量 是随机变量； （2）统计量 不含总体分布中任何未知参数；
（3）统计量的分布称为抽样分布.
3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体 ,称为总体X的容量为n的样本。
注：⑴ 样本 是一个n维的随机变量；⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：
① 代表性： 中每一个与总体X有相同的分布.② 独立性： 是相互独立的随机变量.
4.样本 的联合分布
设总体X的分布函数为F(x)，则样本 的联合分布函数为
都有确定的实值P(A)，满足下列性质：
(1)非负性： (2)规范性：
(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件 ，有 .
则称P(A)为随机事件A的概率.
2．概率的性质
① ②
③若 ，则
④
注：性质的逆命题不一定成立的.如若 则 。（×）若 ，则 。（×）
三、古典概型的概率计算
古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
第二版 工程数学-概率统计简明教程-第一章-随机事件
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
随 机
基本事件 复合事件
事 件
必然事件
不可能事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
集合论
样本空间，必然事件
{ NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }.
实例3 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
{t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实例4
记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.
{0, 1, 2, }.
试验可以在相同的条件下重复地进行
k 1
A A A, A , A A A, A A,
A A, A .
AA B
B
Ω
7. 事件 A 与 B 的差
B A AB Ω
例10 用事件的交和并区别对立事件与互斥事件
A、B 互斥
A、B 对立
A
B
Ω
AB
A Ω
A B S 且 AB
互斥
对立
例7 有两门火炮同时向一架飞机射击,考察事件 A= ｛击落飞机｝, B i= ｛击中 第i个发动机｝, i=1,2 , C = ｛击中驾驶员｝. 根据常识 “击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者 “同 时击中2个发动机”.试描述事件A,Bi ,C之间的关系.
A= C发生 或 B1和B2同时发生, A= C ∪ (B1∩B2)= C∪B1B2
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结引言《概率论与数理统计》是考研数学中的一个重要分支，它不仅要求学生掌握理论知识，还要求能够运用这些知识解决实际问题。
本文档旨在对《概率论与数理统计》的核心知识点进行总结，帮助考生系统复习。
第一部分：概率论基础1. 随机事件与样本空间随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
样本空间：所有可能结果的集合。
2. 概率的定义古典定义：适用于有限样本空间，每个样本点等可能发生。
频率定义：长期频率的极限。
主观定义：基于个人信念或偏好。
3. 概率的性质非负性：概率值非负。
归一性：所有事件的概率之和为1。
加法定理：互斥事件概率的和。
4. 条件概率与独立性条件概率：已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
独立性：两个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
5. 随机变量及其分布离散型随机变量：可能取有限个或可数无限个值。
连续型随机变量：可能取无限连续区间内的任何值。
分布函数：随机变量取值小于或等于某个值的概率。
第二部分：随机变量及其分布1. 离散型随机变量的分布概率质量函数：描述离散型随机变量取特定值的概率。
常见分布：二项分布、泊松分布、几何分布等。
2. 连续型随机变量的分布概率密度函数：描述连续型随机变量在某区间的概率密度。
常见分布：均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 多维随机变量及其分布联合分布：描述多个随机变量联合取值的概率。
边缘分布：从联合分布中得到的单一随机变量的分布。
条件分布：给定一个随机变量的条件下，另一个随机变量的分布。
第三部分：数理统计基础1. 数理统计的基本概念总体与样本：总体是研究对象的全体，样本是总体中所抽取的一部分。
统计量：根据样本数据计算得到的量。
2. 参数估计点估计：用样本统计量估计总体参数的单个值。
区间估计：在一定概率下，总体参数落在某个区间的估计。
3. 假设检验原假设与备择假设：研究问题中的两个对立假设。
检验统计量：用于决定是否拒绝原假设的量。
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4， 5 4， 6
5， 6
第一节 样本空间与随机事件
12
例4
从上午8 : 00～9 : 00观察通过某交通路口 的汽车数．
令：n 在该时间间隔内通过n 辆车
则该试验的样本空间为
n ： n 0， 1， 2， ，
第一节 样本空间与随机事件
13
例5
记 2个白球分别为1号球和2号球；
记 4个黑球分别为3号球至6号球．
令i， j表示取出i 号球和 j 号球，则该试验的
样本空间为
1， 2 1， 3 1， 4 1， 5 1， 6
2， 3
2， 4 3， 4
2， 5 3， 5
2， 3，
66
• 试验的所有可能结果是明确可知的， 并且不止一个；
• 每次试验总是恰好出现这些可能结 果中的一个，但在一次试验之前却 不能肯定会出现哪一个结果．
第一节 样本空间与随机事件
7
样本点与样本空间
• 随机试验的每一个可能结果称为样本 点，或为基本事件，样本点常用字母ω 来表示．
• 样本点的全体所成集合称为样本空间， 或称为基本事件空间，通常用字母Ω来 表示．
第一节 样本空间与随机事件
16
二．随机事件
第一节 样本空间与随机事件
17
随机事件
• 定义了样本空间与样本点，我们 可以把随机事件看作是某些样本 点组成的集合．
• 我们称一个随机事件发生当且仅 当它所包含的一个样本点在试验 中出现．
第一节 样本空间与随机事件
18
随机事件的表示
•我们常用大写的英文字 母 A、B、C、… 等来 表示随机事件．
A B
第一节 样本空间与随机事件
25
事件包含关系的例子
• 在本节例4中，若定义 A={ 至少通过200辆汽车 } B={ 至少通过100辆汽车 } 则： A B
第一节 样本空间与随机事件
26
注意此结论 ! • 对任何随机事件A，都有
A
第一节 样本空间与随机事件
27
2．随机事件的相等关系
• 若随机事件A与B满足
AB 且 B A
则称随机事件A与B相等，记作：
A B
第一节 样本空间与随机事件
28
随机事件相等关系的例子
• 在本节例2中，若定义
A 出现偶数点
B 2, 4, 6
则
A B
第一节 样本空间与随机事件
第一节 样本空间与随机事件
8
说明
• 由于随机试验的所有结果是明确的， 从而样本点也是明确的；
• 样本空间与随机试验有关，即不同 的随机试验有不同的样本空间；
• 刻画一个随机试验的样本空间是学 好概率论的基础．
第一节 样本空间与随机事件
9
例1
掷一枚硬币，令：
1 出现正面 ，2 出现反面
第一节 样本空间与随机事件
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随机事件的例子
• 在本节例2中，我们定义了掷一颗骰子这一 随机试验的样本空间，若定义 A={ 出现偶数点 } 则A就是一个随机事件． 事件A发生当且仅当在试验中或者出现2点， 或者出现4点，或者出现6点．
第一节 样本空间与随机事件
20
随机事件的例子
• 在本节例4中，我们定义了在某一时间 间隔内观察通过某交通路口的车辆数这 一随机试验的样本空间，若定义 A={ 至少通过50辆汽车 } B={至多通过200辆汽车} 则A、B都是随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
15
可列无穷与不可列无穷
如果无穷多个元素 an 可以按照某种顺序排成一排：
a1, a2 , , an ,
则称元素 an 是可列无穷多个；否则称元素 an 为不可列无穷多 个．
例如，自然数是可列无穷多个；整数是可列无穷多个；有理 数是可列无穷多个．但是无理数是不可列无穷多个，实数也是 不可列无穷多个．
观察某元件的使用寿命（单位：小 时），令：
t 使用寿命为 t 小时
则该试验的样本空间为： t : t 0．
第一节 样本空间与随机事件
14
注意
• 在上述例题中，例1～例3中样本空间中的 样本点的个数都是有限个；而例4与例5中 样本空间中的样本点的个数为无限个．
• 例4中的样本空间中的样本点的个数为可 列无穷个；而例5中样本空间中的样本点 的个数为不可列的．
则该随机试验的样本空间为： 1, 2 ．
第一节 样本空间与随机事件
10
例2
掷一枚骰子，令：
ω i出现 i 点
i 1， 2， ， 6
则该试验的样本空间为
Ω ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6
第一节 样本空间与随机事件
11
例3
袋中有2 个白球，4 个黑球，从中任意取出2 球．
我们把必然事件与不可能事件看 作是随机事件的两种极端情形．
第一节 样本空间与随机事件
23
三．随机事件间的 关系与运算
第一节 样本空间与随机事件
24
1．事件的包含关系
• 若随机事件A的所有样点都包 含在随机事件B中，这时随机事 件A发生必然导致随机事件B发 生，我们称随机事件A包含在随 机事件B中，或者称随机事件B 包含随机事件A，记作：
第一节 样本空间与随机事件
4
随机试验
•对随机现象的 观察和试验称为 随机试验．
第一节 样本空间与随机事件
5
随机试验的例子
• 掷一枚硬币； • 掷一颗骰子； • 观察某交通路口在某时间间隔内
通过的汽车数； • 观察某电子元件的使用寿命；
•……
第一节 样本空间与随机事件
6
随机试验的特点
• 试验可以在相同条件下重复进行；
第一节 样本空间与随机事件
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随机事件的例子
• 在本节例5中，我们定义了观察某一电 子元件使用寿命这一随机试验的样本空 间，若定义
A={ 该元件的使用寿命介于1000～2000 小时之间 }
则A是随机事件．
第一节 样本空间与随机事件
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注意
为方便起见，我们把必然事件 与不可能事件 也看作是随机事 件．
第一章
随机事件及其概率
第一节 样本空间与随机事件
1
目录
• §1.1 样本空间与随机事件 • §1.2 频率与概率 • §1.3 古典概型与几何概型 • §1.4 条件概率 • §1.5 随机事件的独立性
第一节 样本空间与随机事件
2
§1.1 样本空间和随机事件
第一节 样本空间与随机事件
3
一．随机试验与样本 空间