高考数学1几种特殊的矩阵变换专题1

高考数学1几种特殊的矩阵变换专题1

2020.03

1,圆22

1x y +=在矩阵10102⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦对应的变换作用下的结果为 ．

2,当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设： （1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%； （2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；

（3）第n 年时，兔子数量n R 用表示，狐狸数量用n F 表示；

（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有1000=R 只，狐狸数量有300=F 只。 请用所学知识解决如下问题：

（1）列出兔子与狐狸的生态模型； （2）求出n R 、n F 关于n 的关系式；

（3）讨论当n 越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。

3,在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命

中才能引爆成功，每次射击命中率都是3

2

.，每次命中与否互相独立.

(1) 求油罐被引爆的概率.

(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望

4,在空间四边形ABCD 中，

AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD

上一点，3BE ED =，以{

},,AB AC AD

u u u r u u u r u u u r 为基底，则GE =u u u r

___

5,设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的

伸压变换． 求逆矩阵1M -以及椭圆22

149x y +=在1M -的作用下的新曲线的

方程．

6,已知变换A ：平面上的点P （2，－1）、Q （－1，2）分别变换成点P 1（3，－4）、 Q 1（0，5）

（1）求变换矩阵A ；

（2）判断变换A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，说明理由．

7,两个人射击，甲射击一次中靶概率是21，乙射击一次中靶概率是31

，

（Ⅰ）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？

（Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？

（Ⅲ）两人各射击5次，是否有99％的把握断定他们至少中靶一次？

8,如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．

（Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；

（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值以及BA 1与面C 1EF 所成的角的大小．

9,设矩阵3122132M ⎤

-⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦的逆矩阵是1a b M c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a c +的值为 10,在矩阵1021⎡⎤⎢⎥

⎣

⎦变换下，点A （2，1）将会转换成 ． 11,在下列四个命题中：①已知A 、B 、C 、D 是空间的任意四点，则

=+++；

②若{,,}为空间的一组基底，则{+++,,}也构成空间的一组基底；

③|||||||)(|c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅；④对于空间的任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若OC z OB y OA x OP ++=（其中R z y x ∈,,），则P 、A 、B 、C 四点共面． 其中是真命题的有 （填序号）

12,一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为

8180

，则此射手的命中率是

13,一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则==)12(X P ____________________（只需列式，不需计算结果）．

答案

1,

2241x y +=

2, 解：⑴)1(85.01.015.01.11

11

1≥⎩⎨

⎧+=-=----n F R F F R R n n n n n n …

⑵设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n n F R α，⎢⎣⎡=1.01.1M

⎥⎦⎤

-85.015.0 ∴)(21--==n n n M M M ααα=……=∞αn

M

又矩阵M 的特征多项式

1.01.1)(--=

λλf 85.015

.0-λ

=)95.0)(1(95.095.12--=+-λλλλ

令0)(=λf 得：95.0,121==λλ

特征值11=λ对应的一个特征向量为

⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡=231α 特征值95.02=λ对应的一个特征向量为

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=1

12α

且2

101107011110237030100ααα-=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=

∴

2211011070αλαλααn

n n n M -===⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡•-•-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡•-⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n 95.011014095.01102101195.01102370

∴⎪⎩⎪⎨⎧•-=•-=n n n n F R 95.011014095.0110210

⑶当n 越来越大时，n

95.0越来越接近于0，n R ,n F 分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。 3, 解：（1）“油罐被引爆”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则

P(A )=C

5

415313132⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛