高等数学(少学时)期末复习试题4含答案

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高数期末考试题及答案解析

高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = \sin x + 2x^2 $ 在区间 $ [0,\frac{\pi}{2}] $ 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 $ f'(x) = \cos x + 4x $。

在区间$ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上，$ \cos x $ 始终大于等于0，而$ 4x $ 也是非负的，因此 $ f'(x) \geq 0 $，说明函数 $ f(x) $ 在该区间上单调递增。

所以答案是 A。

2. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $B. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 0 $C. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $D. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 1 $答案解析：根据极限的性质，如果 $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则 $ g(x) $ 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。

同时，$ f(x) $ 趋向于0。

因此，选项 A 是正确的。

3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 $ y' = 3x^2 - 3 $，将 $ x = 1 $ 代入得到 $ y' = 0 $。

因此，曲线在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 0，答案是 A。

4. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{2}{3} $答案解析：根据积分的基本公式，$ \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，所以 $ \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} $。

数学高数期末试题及答案

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

高等数学期末试卷及答案

高等数学期末试卷及答案一 .填空题（每小题3分，共21分）1．()(0,1],()1ln ,[()]y f x x x y f x ϕϕ==-=设的定义域是则复合函数的定义域是 . 2. 函数543121540y x x x =+-的极大值 .极小值 3．曲线21-=x y 在点)1,1(处的切线斜率是4.=+⎰dx x x21arctan5.1limcos 1x x →=- .6. sin 0x d dx =⎰________7. 需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k = A ．-2B ．-1C ．1 D. 22. 020020(,())()x x d yx y x y f x dx===是为曲线的拐点的A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 3. 若函数f (x )在点x 0处可导，则下列错误的是．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 4.下列函数是无穷小的是A 、2112xx +，当x →∞时，B 、25x x x + ，当0x →时，C 、12x，当 0x →时，D 、2x，当x →∞时. 5.下列反常积分收敛的是________A.11dx x +∞⎰B. 311dx x +∞⎰C. 1+∞⎰D. 2ln xdx +∞⎰三．计算题（每题8,共48）１. 2,1(),,,().,1x e x f x a b f x ax b x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩设函数取何值时为可导函数2．求极限：11202lim[(1)]34x x x x x -→+---. 3. 求⎰++x x x d )1ln(2积分4. 2sin()30()x y e x y y y x ++-==求由方程+确定的函数的导数.5. 计算定积分120(1)x xe dx x +⎰ 6.2221.4t t x e d y dx y e⎧=+⎪⎨=⎪⎩设,求四.应用题(共11分)1. 某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？(6分)2. 1,3,2,1.2y x y x y y ====求由曲线所围成的图形的面积.(5分)五.证明题(5分)设()0,(0)0f x f ''<=。

大学高数期末试题及答案

大学高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1在x=2处的导数是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B3. 曲线y = x^2 + 1在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 定积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0.5B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。

答案：12. 函数y = ln(x)的不定积分是______。

答案：xln(x) - x + C3. 微分方程dy/dx + y = e^(-x)的通解是______。

答案：y = -e^(-x) + Ce^(-x)4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是______。

答案：x = 1, x = 2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的极值。

答案：函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4。

令f'(x) = 0，解得x = 2。

将x = 2代入原函数，得到f(2) = 3，这是函数的极小值。

2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。

答案：根据定积分的性质，∫(0到π) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明函数f(x) = x^3在R上是连续的。

答案：对于任意实数x，有f(x) = x^3。

因为多项式函数在其定义域内处处连续，所以f(x) = x^3在R上是连续的。

高数的期末考试试题及答案

高数的期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1，求f'(x)。

A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 - 4x + 5C. 6x^2 + 5D. 6x^2 + 4x + 5答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：B3. 曲线y = x^2 + 3x - 2在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/4答案：B5. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A6. 级数∑(1/n^2) 从n=1到∞是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 振荡的答案：A7. 函数f(x) = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1 + x + x^2/2B. 1 + x + x^2C. 1 + x + x^2/2! + x^3/3!D. 1 + x + x^2/2 + x^3/6答案：A8. 曲线y = ln(x)在点x=1处的切线方程是：B. y = x - 1C. y = 1 - xD. y = x答案：A9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：C10. 函数f(x) = √x的原函数是：A. x^(3/2)B. x^(1/2)C. 2x^(3/2)/3D. 3x^(3/2)/2答案：C二、填空题（每题2分，共10分）11. 若f(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x + 6，则f''(x) = ____________。

答案：12x^2 + 18x - 212. 函数y = e^(-x)的导数是 __________。

高等数学同济版下册期末考四套试题及答案

高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。

6、微分方程x yx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰212sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

高等数学同济版下册期末考四套试题及答案

高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20213cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。

大学高等数学期末考试试题与答案

大学高等数学期末考试试题与答案1、已知曲线y x2bx的一条切线过点(1,2)，求b的值，并求该切线与x轴正半轴所夹的角度。

2、求函数f(x)x36x29x的最大值和最小值，并求最大值和最小值所对应的x值。

一）填空题1、x3或x 52、a 13、m04、k 25、y e(x1)6、F(x)7、ln|secx+tanx|+C8、cos2tdt(cos2t sin2t)dt t+C二）单项选择1、D2、A3、B4、C5、B6、B三）计算题1、（1）limxx2x112limxx2x1)11lim xx2x1) 1x111limxx 1x 12）limx(2arctanx)limx2XXX0xx因为当x趋近于正无穷时，arctanx趋近于/2，所以XXX也趋近于正无穷，与0相差无穷大，所以limx(/2arctanx)不存在。

2、（1）y coslnx1/x sinxdycoslnx1/x sinx dxdx2）y sinlnx1/x2cosx；y(0)sinln11/02cos0 13）2tanxdy2sec2xdx2tanx Cdxe3xxdx e3xd(lnx)dx e3xlnx3e3x/xdxe3xlnx3e3x/x C11dx x ln|x+3|+Cx(13x)xarctanxdx xd(arctanx)xarctanx arctanxdxxarctanx x ln(1x2)+C四）应用题1、设曲线的方程为y x2bx，其导数为y2x b，所以在点(1,2)处的切线方程为y2(2b)(x1)，因为该切线过点(1,2)，所以22(2b)(11)，解得b0.此时切线方程为y2，与x轴正半轴的夹角为45度。

2、f(x)3x212x9，令f(x)0，解得x1或x3，将这两个点代入f(x)得f(1)4，f(3)0，所以最大值为4，最小值为0，对应的x值分别为1和3.1.求函数 $y=x-\ln(1+x)$ 的单调区间与极值。

《高等数学》试题四(后附答案解析)

《高等高等数学数学数学》试》试》试题题四考试时间：120分钟一.选择题1.如果∫∫=)()(x dg x df ,则下述结论中不正确的是（）.A ）、()()f x g x =B ）、()()f xg x ′′=C ）、()()df x dg x =D ）、∫∫′=′)()(x g d x f d 2.2xxedx =∫()A ）、221124x xxe e c −+B ）、2224x x xe e c −+C ）、2(12)xx x e +−D ）、221124x xxe e −3.=∫（）A ）、1B ）、4C ）、4π−D ）、4π4.设bx x f sin )(=，则=′′∫dx x f x )(（）A ）、C bx bx b x+−sin cos B ）、C bx bx b x+−cos cos C ）、Cbx bx bx +−sin cos D ）、Cbx b bx bx +−cos sin 5.设x xe dt tf 20)(=∫，则=)(x f （）A ）、x e 2B ）、x xe 22C ）、xe 22D ）、122−x xe 6.23(sin )x x dx ππ−=∫()A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π7.=++∫−dx x x x )1(ln 2112()A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π8.若11(+=x xxf ，则dx x f ∫10)(为（）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1−D ）、2ln 9.设)(x f 在区间[]b a ,上连续，∫≤≤=xab x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分10.下列各式正确的是（）A ）、tan ln sin xdx x C=−+∫B ）、cot ln cos xdx x=∫C ）、2arctan 1dxdx x cx =++∫D ）、21(13)(13)2x dx x −=−∫11.若(sin )y f x =，则dy =（）．A)、(sin )sin f x xdx ′B）、(sin )cos f x xdx ′C）、(sin )f x dx′D）、(sin )cos f x d x′12.设函数22,1()1,1x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在1x =处可导，则有（）A)、1,2a b =−=B）、1,0a b ==C）、1,0a b =−=D）、1,2a b =−=−13.221x a y +=在区间],[a a −上应用罗尔定理,结论中的点ξ=().A 0B 2C23D 314.曲线y e e x x=−−的凹区间是()A ()0，∞−;B ()∞+，0;C()1，∞−;D()∞+∞−，15.函数323x x y −=在区间]3,1[上的最大值为（）A 4;B 0;C 1;D 3二.填空题1.∞→x lim =+−+−223)12)(1(12x x x x __________.2.xx x 11lim 20−+→=______.3.若∫+=C e dx e x f xx 11)(，则∫=dx x f )(4.=+∫313xx dx 5.01cos 2limsin x xx x→−=三.判断题1.xxy +−=11ln是奇函数.（）2.若函数()f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处极限存在.（）3.函数()f x 在],[b a 内连续，且)(a f 和)(b f 异号，则()0f x =在),(b a 内至少有一个实数根.（）4.2aaa π−=∫（0>a ）.（）5.2x y e −=在区间(,0)+−∞∞和（1，）内分别是单调增加，单调增加.()四.解答题1.求11022(lim +→−x x x .2.求20sin sin tan limx x x x x −→3.求cos(23)x dx −∫.4.比较大小11200,xdx x dx ∫∫.5.求曲线222333x y a +=在点,)44a a 处的切线方程和法线方程6.'y y =设求7.计算0sin .x xdx π∫8.计算dxxx xx ∫+−cos sin cos sin 9.证明∫∫=22.)(cos )(sin ππdx x f dx x f二.填空题1.412.03.C x +14.6π5.2三.判断题1.T 2.T 3.T 4.F 5.F 四.解答题1.21−e 2.21一.选择选择题题1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.C2.11.B 12.A 13.B 14.B 15.A参考答案3.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C −=−−−=−−+∫∫4.dxx dx x ∫∫121≻5.0,x y y x +==6.7.解：0sin .x xdx π∫π=8.C x x x x d x x dx x x x x ++−=++−=+−∫∫cos sin ln )cos (sin cos sin 1cos sin cos sin 9.提示：令t x =−2π，则dtdx =。

期末高数试题及答案

期末高数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的导数是：A. 3x^2 - 4x + 3B. 3x^2 - 4x + 4C. 3x^2 + 4x - 3D. 3x^2 + 4x + 3答案：A3. 曲线y = x^2在x = 2处的切线斜率是：A. 0B. 4C. -4D. 2答案：B4. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 1答案：B5. 无穷级数∑(1/n^2)的和是：A. π^2/6B. eC. ln(2)D. 1答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x) = 2x - 3，则f'(1) = 。

答案：-17. 函数y = ln(x)的原函数是：。

答案：xln(x) - x + C8. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6与x轴的交点个数是：。

答案：39. 若级数∑(-1)^n/n从n=1到无穷收敛，则其和S满足：S = 。

答案：ln(2)10. 函数y = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：y = 1 + x + 。

答案：x^2/2三、简答题（每题5分，共20分）11. 证明函数f(x) = x^3 + 2x - 5在实数范围内单调递增。

答案：首先求导f'(x) = 3x^2 + 2，由于3x^2 + 2 > 0对所有实数x成立，因此函数f(x)在实数范围内单调递增。

12. 计算定积分∫(1到2) (2x + 1) dx。

答案：首先求不定积分，得到F(x) = x^2 + x + C。

然后计算F(2) - F(1) = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) = 4 + 2 - 1 - 1 = 4。

高数期末试题及答案解析

高数期末试题及答案解析一、选择题1. 在一个三角形ABC中，已知∠C=90°，AC=4，BC=12。

则∠A 的正弦值是：A) 1/3B) 1/4C) 3/4D) 3/5解析：根据正弦定理，我们有sinA = BC/AC = 12/4 = 3。

故选项C) 3/4正确。

2. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(0))的值为：A) 7B) 5C) 3D) 1解析：首先计算g(0) = 2(0) - 1 = -1。

然后将g(0)代入f(x)中得到f(g(0)) = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0。

故选项D) 1正确。

二、填空题1. 解方程组：2x + 3y = 74x - y = 1解析：首先将第二个方程的y单独解出来，得到y = 4x - 1。

将其代入第一个方程，得到2x + 3(4x - 1) = 7，化简得到14x - 3 = 7，进一步化简得到14x = 10，解得x = 10/14 = 5/7。

将x的值代入y = 4x - 1中，得到y= 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。

所以方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。

三、计算题1. 求不定积分∫(2x + 3)dx。

解析：根据积分的线性性质，可以将不定积分拆成两个部分：∫2x dx + ∫3 dx。

对于第一部分，根据幂函数的求导公式和积分的逆运算，得到∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。

对于第二部分，由于它是一个常数函数，其积分结果为该常数与x的乘积，即∫3 dx = 3x + C'，其中C'为常数。

所以不定积分∫(2x + 3)d x的结果为(x^2 + C) + (3x + C') = x^2 + 3x + C +C'。

2. 求定积分∫(0 to π/2) sin(x)dx。

高数的期末试题及答案

高数的期末试题及答案一、选择题1. 下列各组数中哪组是等差数列？A) 1, 4, 7, 10 B) 1, 2, 3, 5 C) 1, 3, 5, 7 D) 1, 4, 8, 16答案：C2. 函数f(x) = 3x^2 + 2x -1，求f(-1)=？A) -2 B) 3 C) 6 D) -6答案：B3. 在xy平面上，直线L1的斜率为2，经过点P(3, -1)；直线L2过点Q(4, 2)并且与L1垂直，求直线L2的斜率。

A) -0.5 B) 1 C) -1 D) 2答案：A4. 若a + b = 10，a^2 + b^2 = 34，则a^3 + b^3的值为多少？A) 200 B) 250 C) 270 D) 300答案：C5. 设a是等差数列的首项，d是公差，若a1 + a2 + ... + a10 = 100，且a2 + a4 + ... + a8 = 120，则d的值为多少？A) 5 B) 10 C) 20 D) 50答案：A二、填空题1. 若f(x) = 3x + 2，则f(4)的值为______。

答案：142. 曲线y = x^2 - 3x + 2的顶点坐标为______。

答案：(3/2, -1/4)3. 设一个等差数列的首项为a，公差为d，已知a1 + a2 + ... + an = 100，an = 10，n = 10，则d的值为______。

答案：14. 函数f(x) = x^3 - 2x + 1的零点个数为______。

答案：35. 设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∪ B的元素个数为______。

答案：4三、计算题1. 计算极限lim(x→∞)[(x^3 + 2x^2 + 1) / (3x^3 + x^2 + 1)]。

答案：1/32. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的导函数f'(x)。

答案：2x - 23. 已知等差数列的首项为a，公差为d，若a1 + a2 + ... + an = 100，an = 10，n = 10，求a的值。

高等数学(少学时)期末复习试题5含答案

期末试卷1．填空（每空2分，共10分）（1）函数()⎪⎩⎪⎨⎧--+=22322x x x x x f 2211≥<<≤x x x 的极限=→)(lim 0x f x ________．（２）设x xe y =，则)10(y = ．（3）当=a _______，=b ________，点(1，3)是23bx ax y -=的拐点. （4）()='⎰dx x 2sin _____________．（５）定积分dx x ⎰+452)sin 1(ππ的取值范围是．２．选择题（每题２分，共10分）（1）若,)(lim 0A x f x x =-→,)(lim 0A x f x x =+→则下列说法种正确的是（）. A.f(x 0)=A B. A x f x x =→)(lim 0C.f(x)在点x 0有定义D.f(x)在点x 0连续(2) f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=≠003sin 1x ax xx,若使f(x)在（﹣∞,+∞）内连续，则a=（）。

A. 0B. 1C.31D. 3 （３）设函数22)4(-=x y ，则在区间2(-，)0和2(，)∞+内，y 分别为（）A ．单调增，单调增B ．单调值，单调减C ．单调减，单调增D ．单调减，单调减（4）设()x f 的导数是，x cos 则()x f 有一原函数为（）x D x C x B xA sin 1.sin 1cos 1.cos 1.-+-+（５）⎰⎰-=110),(xdy y x f dy ( ).A.⎰⎰-1010),(xdx y x f dy B.⎰⎰-xdx y x f dy 101),(C.⎰⎰-110),(ydx y x f dy D.⎰⎰-1011),(ydx y x f dy３．计算题（每题６分，共４８分）（１）()()()503020152332lim ++-∞→x x x x （２）0tan 3lim x xx→ (３) x e y x3cos 2-=，求y '．（４）z=y x ，求yz x z ∂∂∂∂,．（5）⎰-dx x x ln 4 （6）⎰xdx 3cos（7）⎰-124dx x （8）⎰3arctan xdx4．一渔艇停泊在距岸9 km 处，今需派人送信给距渔艇343km 的每岸渔站．如果送信人步行每小时5 km ，船速每小时4 km ，问应在何处登岸再走才可使到达渔站的时间最短？(8分)5.求微分方程的通解：22y x y dxdyx-+=．(8分) 6. 求由抛物线21x y -=和x 轴所围平面图形饶x 轴旋转所形成的旋转体的体积．（８分） 7.计算.,)6(2围成及直线由曲线其中x y x y D d y x D==+⎰⎰σ（８分）高等数学（少学时）试题5参考答案1、填空（每题2分，共10分）（1）-3（2）e xexx10+（3）23-，29-（4）sim x 2（5）[ππ2,]2、选择题（每题2分，共10分）（1） B （2）D （3）A （4）C （5）C3、计算题（每题6分，共54分）（1）∞∞型原式=)15()23(lim)15()32(lim 25302520+++-∞→∞→∙x x x x x x=5!253!305!252!20⨯⨯∙⨯⨯ =!25!2525!30!206⨯⨯⨯⨯ （2）xxx 3tan lim→ 00型原式=333cos 2=x（3）y=x ex3cos 2-)3s i n (3c o s2122x x y e e xx -+-='-- =x x e e x3sin 3cos 21221----（4）y xzy x ln 22∙=yx yz 122-=χ（5）⎰-dx x x ln 4=⎰⋅-x d linx ln 4=⎰⎰-x xd x d ln ln ln 4 设lnx=u 原式=⎰⎰-udu du 4=c u u +-2214 代入u =4lnx c x +-ln 221（6）⎰xdx cos 3=⎰x xd sin cos2=⎰-x xd sin 1sin2=x sin c x +-sin331323)2arcsin 44(214)7(10212π+=+-=-⎰x x x dx x （8）⎰3arctan xdx=[)1ln(21arctan 2x x x +-⋅]30=4ln 2133-⋅π=2ln 33-π 4.设：渔艇到登陆距离为X 总时间为T则T=4815)15(2++-x x4281)15(51)15(+-+='-x x T令0='T 求得)(18舍=x x=12km 距渔站距离：km 31215=- 则当距离渔站3km 时处登岸。

高数期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ . 答案：)1ln(x -解：x e u f u -==1)(2,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=.2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax xx x ,则=a . 答案：1解：a xba x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(1lim 1lim 022.3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim.答案：4解：4)]1()1([)]1()31([lim0=-+--+→x f x f f x f x4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ,)(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ,))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.5、=⎰xx 22cos sin .答案：C x x +-cot tan解：C x x xdxx dx dx x x x x x x dx +-=+=+=⎰⎰⎰⎰cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222.二、选择题(每小题3分,共15分)答案： 1、 2、 3、 4、 5、。

1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.答案：A2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x xx f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点；(C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在； (D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.答案：B4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''； (D) )()(Q C Q R '='.答案：D5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是：(A))()(x f dx x f dxd⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.答案：B三、计算题(每小题6分,共60分) 1、设x x f xx-=--422)2(,求)2(+x f . 答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f tt t tt t , (3分)于是42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f xxx xx . (6分)2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11coslim )1cos(lim (3分)11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n . (6分) 3、求极限)21(lim 222nn nn n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， (3分)而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→nn n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→nn n n n n n n . (6分) 4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.答案：1解：xx x x x x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ (4分) 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→xxx x x x . (6分)5、求函数xx y 1sin=的导数.答案：)11cos 1(21sin xx x xy x -=']1sin 1ln )1(1[cos 2ln 1sin x x x x x ex x+-=)1sin 1ln 1cos 1(21sin xx x x x x x +-=. (6分)6、求曲线12ln =-+x y y x 在点)1,1(处的法线方程. 答案：02=-+y x解：方程两边对x 求导得：02ln =-'+'+y yy xy , 将)1,1(),(=y x 代入得法线斜率1)1(1-='-=y k , (3分) 从而法线方程为：)1(11-⋅-=-x y , 即： 02=-+y x . (6分)7、求曲线12134+-=x x y 的凹凸区间和拐点. 答案：曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的．拐点为)1,0(,)34,1(．解：(1)),()(+∞-∞∈C x f ,(2)2332)(x x x f -=', )1(666)(2-=-=''x x x x x f , (3)0)(=''x f ,得01=x ,12=x . 1)0(=f ,34)1(=f ． (3分)(5) 曲线的拐点为)1,0(、)3,1(．(6) 曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的． (6分) 8、计算⎰+xx dx)1(3．答案：C x x +-66arctan 66 俞诗秋解：⎰⎰⎰+===+=+==)1(6 ])(1[)()1(2352636366t t dtt x x dx x x dx x t t x (3分) ⎰⎰⎰+=-=+-+=2221 6 611)1( 6t dtdt dt t t ． C x x C t t +-=+-=66arctan 66arctan 66． (6分)9、计算⎰xdx e x 2sin ．答案：C x x e x +-)2cos 2sin 21(104 解：⎰⎰⎰+-=-=xdx e x e x d e xdx e x x x x 2cos 212cos 212cos 212sin (3分)⎰⎰-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x 2sin 412sin 412cos 212sin 412cos 21,∴C x x e xdx e x x +-=⎰)2cos 2sin 21(1042cos ． (6分)10、设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中Q P ,分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：1)10(=η,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.俞诗秋解：总收益函数为25100)5100()(P P P P PQ P R -=-==,令010100)(=-='P P R ,得3=P ,而05)10(<-=''R ,可见, 当10=P 时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性151005)10(1010=-=-===P P P PdP dQ Q P η, (5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1. (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根. 证明：显然]1,0[1)(C xe x f x ∈-=,由于01)0(<-=f ,01)1(>-=e f ,由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξξe ； (3分) 又因0)1()(>+='x e x x f ,)1,0(∈x ,知]1,0[)(↑x f ,所以方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ. (5分)2、设)(x f 在闭区间]2,1[连续,在开区间)2,1(可导,且)1(8)2(f f =,证明在)2,1(内必存在一点ξ,使得)()(3ξξξf f '=.证明: 令3)()(x x f x F =,623)(3)()(xx f x x f x x F -'=', 显然]2,1[)(C x F ∈,)2,1()(D x F ∈,且)2(8)2()1()1(F f f F ===, 由罗尔定理知：)2,1(∈∃ξ,..t s 0)(='ξF ,所以)()(3ξξξf f '=.。

04期末考试试卷(含答案)

《高数》试卷（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65.函数22232y x xy z --=的极大值为（）.A.0B.1C.1-D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1x z（）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数∑∞=0n n ar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()n n xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na 是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.cx e y =B.x ce y =C.x e y =D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6） 1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,y z x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解.四.应用题（10分⨯2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtx d -=22.当0=t时，有0x x =，0v dtdx =）试卷4参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.x y =.三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221.四.应用题1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.。

高等数学期末复习题答案

《高等数学》期末练习题答案一、填空题：一、填空题：1、点10918M (,,)到点21715M (,,)之间的距离12M M =14 ，2、()345x xy x ¶+=¶2125x y +， 3、342dy x y y,dx +==23324x y - ，4、微分方程58dy y x dx+=分离变量,得5(8)ydy x dx =-，5、微分方程7120y y y ¢¢¢-+=的特征方程的根为123,4r r ==，6、()11A --= A ， 7、EA = A ，8、若幂级数n n n a x ¥=å的系数满足条件1lim2n n n a a +®¥=,则收敛半径R =12，9、当l= 1 时，齐次方程12120x x x x l +=ìí+=î有非零解有非零解1010、若、若()517A =,253013B æöç÷=-ç÷ç÷-èø，则AB =()046， 1111、掷一枚骰子，出现点数大于、掷一枚骰子，出现点数大于4的概率是13，1212、对甲、乙两厂检查，设、对甲、乙两厂检查，设A ={={甲厂合格甲厂合格甲厂合格}}，B ={={乙厂合格乙厂合格乙厂合格}}，则事件，则事件{{甲、乙两厂至少一个不合格}用A B 、的运算关系表示为：A B A B + 或，，1313、已知、已知()0.5,()0.8,()0.4p A p B p AB ===,则()p A B += 0.9 ，，1414、设、设()0.5,()0.3,p B p A B ==则 ()p AB = 0.15 ，，1515、设、设x 是连续性随机变量，密度函数()51p x x =-,则{5}P x == 0 。

高数4期末复习题

高数4期末复习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x^2+9x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 2B. 6C. 8D. 102. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可微C. f(x)在x=a处一定单调递增D. f(x)在x=a处不一定连续3. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标是：A. (0,0)B. (2,8)C. (-2,-8)D. (1,4)4. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π5. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的极小值点：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=46. 若f(x)=x^2+1，g(x)=2x-1，则f(g(x))的表达式是：A. 4x^2-1B. 4x^2+1C. (2x-1)^2+1D. 2x^2-4x+27. 函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在x=2处的导数是：A. -1B. 3C. 7D. 118. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 39. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在(a,b)上必有零点B. f(x)在(a,b)上必有极值点C. f(x)在(a,b)上不一定有极值点D. f(x)在(a,b)上不一定连续10. 根据泰勒公式，函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. 1+xB. 1+x+x^2/2C. 1+x+x^2/2+x^3/6D.1+x+x^2/2+x^3/6+...无穷项二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的导数f'(x)是________。

2. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。

高等数学(少学时)期末复习试题4含答案

期末试卷一二三四五六总分1．填空（每空2分，共10分）（1） =+→x x x tan 2)tan 1(lim ．（２）设x xe y =，则)10(y= ．（3）在(-∞,+∞)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . （4）曲线x xe y -=的凹区间是，凸区间是，拐点是．（５）定积分dx x ⎰+4542)sin 1(ππ的取值范围是．２．选择题（每题２分，共10分）（1）若,)(lim 0A x f x x =-→,)(lim 0A x f x x =+→则下列说法种正确的是（）. A.f(x 0)=A B. A x f x x =→)(lim 0C.f(x)在点x 0有定义D.f(x)在点x 0连续(2) 若极限 xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 0存在，则其值为（） A ．)(x f '- B. )(0x f ' C. )(x f '（３）设函数22)4(-=x y ，则在区间2(-，)0和2(，)∞+内，y 分别为（）A ．单调增，单调增B ．单调值，单调减C ．单调减，单调增D ．单调减，单调减（4）设曲线 246)1(x x y --=，则在区间 2(， )3和3(， )4内，曲线分别为（）A ．凹的、凹的B ．凹的、凸的C ．凸的、凹的D ．凸的、凸的（５）⎰⎰-=1010),(x dy y x f dy ( ). A.⎰⎰-1010),(x dx y x f dy B.⎰⎰-x dx y x f dy 1010),(C.⎰⎰-1010),(y dx y x f dy D.⎰⎰-1011),(y dx y x f dy３．计算题（每题６分，共４８分）（１）3111lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ （２）20sin 2tan lim x x x x → (３) x e y x 5sin 2=，求y '．（４）2tanln x y = ，求dy ．（5）⎰x x dx cos sin （6）⎰x x x dx ln ln ln （7）⎰-dx x x 29 （8）⎰30arctan xdx4．甲、乙两厂合用一台变压器，其位置如图所示，若两厂用相同型号相同成本线架设输电线，问变压器设在输电干线何处时，所需输电线最短？（８分）5.求微分方程的通解：21x xy dx dy +=．(8分) 6. 求由抛物线21x y -=和x 轴所围平面图形饶x 轴旋转所形成的旋转体的体积．（８分）7.计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ)23(，其中积分区域D 由两坐标轴及直线x+y=2所围成．（８分）高等数学（少学时）试题4参考答案1、填空（每题2分，共10分）(1)2e (2)x x e xe 10+ (3)),3[]1,(+∞⋃--∞,[-1,3] (4))2,2(),2,(),,2(2--∞+∞e(5)[]2,ππ2、选择题（每题2分，共10分）（1）B （2）A （3）A （4）A （5）C3、计算题（每题6分，共54分）32]1)11(11[lim )]1111(111[lim )1(221221=+++++--=++--+--=→→x x x x x x x x x x x x x x x 原式22cos cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2tan 2sin 4lim 2cos 12sin tan 2cos 2lim 00)2(422020=-++-=+=→→xxx x x x x x x x xx x x x x 原式型x e x e y x x 5cos 55sin 2)3(22'+=dx x x dxxxdy 2tan 2cos 212tan 2cos 21)4(22==dxx dx xx dxxx sin 12cos 2sin 212tan 2cos 212===cx cu u du u u du u u duu u ux x d x x dxx x +-=+--=---=--=-==-=⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222cot ln 211ln 2111121)1(121)1(121sin sin )sin 1(sin 1cos sin 1)5(设cx ct dtt u t u ud uu duxu x x xd +=+======⋅=⎰⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln )6(所以原式设设原式cx ct u t dt t x u du udxx x+--=+-=-=-==-=-⎰⎰⎰-2212122992191219)7(设设2ln 334ln 2133)]1ln(21arctan [)8(302-=-=+-=ππx x x 原式4.设变压器距甲在输电干线水平长度为x ，y 为输电线长度 049)3(3149)3(1'22'22=+--++=+-++=y x x x x y x x y 令 X=1.2所以处于1.2km 时输电线最短。

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期末试卷
一二三四五六总分
1．填空（每空2分，共10分）
（1） =+→x x x tan 2
)tan 1(lim ．（２）设x xe y =，则)10(y
= ．（3）
在(-∞,+∞)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . （4）曲线x xe y -=的凹区间是，凸区间是，拐点是．
（５）定积分dx x ⎰+454
2)sin 1(ππ的取值范围是．
２．选择题（每题２分，共10分）
（1）若,)(lim 0A x f x x =-→,)(lim 0
A x f x x =+→则下列说法种正确的是（）. A.f(x 0)=A B. A x f x x =→)(lim 0
C.f(x)在点x 0有定义
D.f(x)在点x 0连续
(2) 若极限 x
x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 0存在，则其值为（） A ．)(x f '- B. )(0x f ' C. )(x f '
（３）设函数22)4(-=x y ，则在区间2(-，)0和2(，)∞+内，y 分别为（）
A ．单调增，单调增
B ．单调值，单调减
C ．单调减，单调增
D ．单调减，单调减
（4）设曲线 246)1(x x y --=，则在区间 2(， )3和3(， )4内，曲线分别为（）
A ．凹的、凹的
B ．凹的、凸的
C ．凸的、凹的
D ．凸的、凸的
（５）⎰⎰-=10
10),(x dy y x f dy ( ). A.⎰⎰-1
010),(x dx y x f dy B.⎰⎰-x dx y x f dy 101
0),(
C.⎰⎰-1
010),(y dx y x f dy D.⎰⎰-1011),(y dx y x f dy
３．计算题（每题６分，共４８分）
（１）3111lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝
⎭ （２）20sin 2tan lim x x x x → (３) x e y x 5sin 2=，求y '．（４）2tan
ln x y = ，求dy ．（5）⎰x x dx cos sin （6）⎰x x x dx ln ln ln （7）⎰-dx x x 29 （8）⎰3
0arctan xdx
4．甲、乙两厂合用一台变压器，其位置如图所示，若两厂用相同型号相同成本线架设输电线，问变
压器设在输电干线何处时，所需输电线最短？（８分）
5.求微分方程的通解：2
1x xy dx dy +=．(8分) 6. 求由抛物线21x y -=和x 轴所围平面图形饶x 轴旋转所形成的旋转体的体积．（８分）
7.计算二重积分⎰⎰+D
d y x σ)23(，其中积分区域D 由两坐标轴及直线x+y=2所围成．
（８分）
高等数学（少学时）试题4参考答案
1、填空（每题2分，共10分）
(1)2e (2)x x e xe 10+ (3)),3[]1,(+∞⋃--∞,[-1,3] (4))2,2(),2,(),,2(2--∞+∞e
(5)[]2,ππ
2、选择题（每题2分，共10分）
（1）B （2）A （3）A （4）A （5）C
3、计算题（每题6分，共54分）
3
2
]1)1
1(11[lim )]
11
11
(111[lim )1(221221=+++++--=++--+--=→→x x x x x x x x x x x x x x x 原式
2
2
cos cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2tan 2sin 4lim 2cos 1
2sin tan 2cos 2lim 00
)2(422020=-++-=+=→→x
x
x x x x x x x x x
x x x x x 原式型
x e x e y x x 5cos 55sin 2)3(22'+=
dx x x dx
x
x
dy 2
tan 2cos 21
2
tan 2cos 21
)4(2
2==
dx
x dx x
x dx
x
x sin 1
2
cos 2sin 212
tan 2cos 212===
c
x c
u u du u u du u u du
u u u
x x d x x dx
x x +-=+-
-=---=--=-==-=⎰⎰⎰⎰⎰2222
222222
222cot ln 21
1
ln 211
11
21)1(1
21
)1(121sin sin )sin 1(sin 1
cos sin 1
)5(设
c
x c
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t u t u u
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x
u x x x
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ln ln ln ln ln ln ln ln ln )6(所以原式设设原式
c
x c
t u t dt t x u du u
dx
x x
+--=+-=-=-==-=-⎰⎰⎰-221
21
2
2992191219)7(设设
2
ln 33
4ln 2133)]1ln(21arctan [)8(3
02-=-=+-=ππx x x 原式
4.设变压器距甲在输电干线水平长度为x ，
y 为输电线长度 0
4
9
)3(314
9
)3(1'22'22=+--
++=+-++=y x x x x y x x y 令 X=1.2
所以处于1.2km 时输电线最短。

5．2
2222
2
11ln 21
ln )
1(211.5x c y c
x y x dx y dy x xdx
y dy x xy
dx dy +=++=+=+=+=两端积分得：变量的，分离变量后得
解：所给方程是可分离此微分方程的通解为21x c y +=
6.积分变量x 变化区间为[-1,1],y=1-2x
则V=ππππ1516
)5132()421()1(111153422
112=+-=+-=----⎰⎰x x x dx x x dx x
7.视D 为x-型域，则有
320
)221
31(222])23([)23(2
020202020
2
0232=---=---=+=+⎩⎨⎧≤≤-≤≤⎰⎰⎰⎰⎰-D x x x x dx x x dx dy y x d y x x x
y D δ。