1.6利用三角函数测高
北师大版九年级数学下册：1.6《利用三角函数测高》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.6《利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析《利用三角函数测高》是北师大版九年级数学下册第1.6节的内容，主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。
这一节内容是学生在学习了三角函数基础知识后的进一步应用，对于培养学生的实际问题解决能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的三角函数基础知识，能够理解并运用三角函数解决一些实际问题。
但是，对于如何运用三角函数测量物体高度，可能还比较陌生，需要通过实例讲解和操作练习来进一步掌握。
三. 教学目标1.理解利用三角函数测量物体高度的原理和方法。
2.能够运用三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.利用三角函数测量物体高度的原理理解。
2.如何根据实际情况选择合适的测量方法和计算公式。
五. 教学方法1.实例讲解：通过具体案例，讲解利用三角函数测量物体高度的方法和步骤。
2.小组讨论：学生分组讨论，总结测量物体高度的原理和注意事项。
3.操作练习：学生分组进行实际操作，巩固所学知识。
4.问题解决：引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，内容包括知识点、案例、练习题等。
2.测量工具：准备一些测量工具，如测高仪、绳子等，用于实际操作。
3.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量旗杆高度、树木高度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现三角函数测量物体高度的原理和方法，结合具体案例进行讲解，让学生理解并掌握相关知识。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用测量工具（如测高仪、绳子等）进行测量，巩固所学知识。
教师巡回指导，解答学生在操作过程中遇到的问题。
4.巩固（5分钟）学生分组讨论，总结测量物体高度的原理和注意事项。
1.6利用三角函数测高
6 3 海里（不作近似计算）. 行过程中距灯塔S的最近距离是_____
ME ME b, MN ME a tan tan
【探究二】测量底部不可以到达的物体的高度 例2，河对岸的高层建筑AB，为测量其高，在C处由D点用测量 仪测得顶端A的仰角为30º ，向高层建筑物前进50m到达C´处， 由D´测得顶端A的仰角为45º ，已知测量仪CD=C´D´=1.2m， 求建筑物AB的高度(结果保留根号）。
【探究一】测量底部可以到达的物体的高度
例1，如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗,经 测量，得到大门AB的高度是5m，大门距主楼的距离BC是30m，在 大门处测得主楼顶部的仰角是 ，而当时测倾器BE离地面1.4m， 18.7 米. （ 3 ≈1.732，结果精确到0.1米） 则学校主楼的高度CD=______
D
A E
30º
M
【探究二】测量底部不可以到达的物体的高度
M
C
a
α
a
D
β
a
E N
A ----b---- B
1、在C处测得此时M的仰角∠MCE=α ；
前进到D处测得此时M 的仰角∠MDE=β
2、量出测倾器的高度AC=BD=a米，以及测点A,B之间的距离AB=b米. 根据测量数据,怎样求出物体MN的高度？.
A
D C
D´ C´
E B
1.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同 一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的 仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°， 两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为_______米(结果保留根号）
2．某校数学兴趣小组要测量贵阳某电视塔的高度． 如图1－6－3，他们在点A处测得电视塔最高点C的仰角为45°， 再往电视塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°， AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据， 186 则电视塔的高度CD约为________ m. (sin56°≈0.8，tan56°≈1.5，结果保留整数)
【北师大版】九年级数学下册优秀教案：1.6 利用三角函数测高1
1.6 利用三角函数测高1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析；(重点)2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．(难点)一、情境导入如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节要探究的内容．二、合作探究探究点：利用三角函数测高【类型一】测量底部可以到达的物体的高度如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1米，3≈1.732)．解析：由题意可得四边形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根据tan∠AEC＝ACEC，即可求出AC的长．解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3≈6×1.732≈10.4(米)，∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)．所以，旗杆AB的高度约为11.9米．方法总结：本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】测量底部不可到达的物体的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少厘米(结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G.∴四边形BFDG矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×12＝10(cm)．在Rt△ABG 中，∠BAG＝60°，∴BG ＝AB·sin60°＝30×32＝153(cm)．∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋153＋2＝12＋153≈37.98≈38.0(cm)．所以，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用三角板测量物体的高度如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度(参考数据：3≈1.7，结果保留整数)．解析：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，设AE＝ME＝x m，根据三角函数列方程求出x的值即可求解．解：过点A作AE⊥MN于点E，过点C 作CF⊥MN于点F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM ＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE ＝ME＝x m，则MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝33(28－x)，解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．所以，旗杆MN的高度约为12米．方法总结：解决问题的关键是作出辅助线构造直角三角形，设出未知数列出方程．三、板书设计利用三角函数测高1．测量底部可以到达的物体的高度2．测量底部不可到达的物体的高度3．利用三角板测量物体的高度本节课为了充分发挥学生的主观能动性，学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形，并通过解直角三角形解决实际问题，这本身是一个质的飞跃．在教学过程中，注重引导学生运用方程思想解决实际问题，数学思想方法的渗透使学生的能力发展先于知识能力，从而促进学生知识能力的提高.。
1.6 利用三角函数测高(教案)-北师大版数九年级下册
第6节利用三角函数测高1.经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2.能够对得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正,进而得出所要求的结果.3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.让学生经历设计活动方案、自制仪器的过程,通过综合运用直角三角形边角关系的知识,利用数形结合思想解决实际问题,提高学生解决实际问题的能力.通过积极参与数学活动过程,培养学生不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.【重点】综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.【难点】设计活动方案、运用仪器的过程及学生学习品质的培养.【教师准备】测倾器、皮尺等测量工具;多媒体课件.【学生准备】复习三角函数的概念和解直角三角形的相关知识.导入一:一天课外活动课,数学兴趣小组的同学想去操场上测量学校旗杆的高度(如图所示).以下是两位同学设计的测量方案:方案1:用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.方案2:用皮尺和小平面镜能测出旗杆的高度.【问题】你认为这两位同学提出的方案可行吗?如果是阴天没有太阳光怎么办?[设计意图]通过生活中的实际问题引入课题,使学生认识到数学源于生活,增加学生学习数学的兴趣,并让学生带着问题走进今天的学习.导入二:如图所示展示的是山东省青岛市电视塔夜晚的美丽景色,青岛电视塔坐落于市中心榉林公园内116m高的太平山上.由上海同济大学马人乐先生设计.由于其创意新、选点好、功能布局合理、色调协调及综合规模宏大等,1995年被国务院发展研究中心选入《中华之最大荣誉》,认为是“中国第一钢塔”.某数学兴趣小组的同学想测量该电视塔的高度.【问题】测量电视塔的高度和测量旗杆的高度的方法一样吗?两者有什么区别?[设计意图]通过青岛市电视塔的介绍,既让学生增长了课外知识,又引出了新的疑问——测量方法的区别,激发了学生的学习兴趣,为新知的探究奠定了良好的基础.课件出示:(一)测倾器的认识:如图所示的是一个测倾器的外观图,它是测量倾斜角的仪器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.【教师活动】制作测倾器时应注意什么?【学生活动】学生观察、交流后得出:支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要重合,否则测出的角度不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要互相垂直,并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时,铅垂线始终垂直向下.(二)测倾器的使用方法和步骤:【教师活动】用测倾器如何测仰角?【师生活动】学生思考后,师生共同总结:使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.(三)测倾器的运用:课件出示:【做一做】根据刚才测量的数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由.【师生活动】根据操作步骤:当度盘的直径对准目标M时,铅垂线指向一个度数,即∠BOA的度数.根据图形我们不难发现:∵∠BOA+∠NOA=90°,∠MON+∠NOA=90°,∴∠BOA=∠MON.因此读出∠BOA的度数也就读出了仰角∠MON的度数.∴测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数.【思考】根据上面的做法,如何用测倾器测量一个低处物体的俯角呢?【学生活动】生类比操作:和测量仰角的步骤是一样的,只不过测量俯角时,转动度盘,使度盘的直径对准低处的目标,记下此时铅垂线所指的度数,同样根据“同角的余角相等”,铅垂线所指的度数就是低处的俯角.[设计意图]了解测倾器的构造,学习其使用方法.目的是在测量时能正确地使用,特别注意测量【教师提示】所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师引导学生观察并思考下面的问题:1.如图所示,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据?2.请说出测量物体MN的高度的一般步骤,需要测得的数据用字母表示.【学生活动】学生思考后与同伴交流,统一答案:1.测量A点到物体底部N点的距离AN、测倾器的高度AC的长以及测量仰角∠MCE的度数.2.测量底部可以到达的物体的高度的步骤:(1)在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l.(3)量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时,它与地面的距离).【做一做】根据上面测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.【学生活动】生独立解答后,代表展示:解:在Rt△MCE中,ME=EC·tanα=AN·tanα=l·tanα,∴MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+a.[设计意图]通过小组合作设计方案,培养学生科学的思维方式及归纳总结的能力,并积累“做数学”经验.【活动三】测量底部不可以到达的物体的高度【教师提示】所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师引导学生观察,小组交流,思考下面的问题:1.要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗?2.如图所示,你能类比活动二的方法得出测量底部不可以到达的物体的高度的一般步骤吗?需要测得的数据用字母表示.【师生活动】学生交流后代表发言,师生共同订正:1.要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.2.测量底部不可以到达的物体的高度的步骤:(1)在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N都在同一条直线上),测得此时M的仰角∠MDE=β.(3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.【做一做】根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.【学生活动】生独立解答后,代表展示:解:∵在Rt△MDE中,ED=,在Rt△MCE中,EC=,∴EC-ED=b,∴=b,∴ME=,∴MN=+a.【议一议】同学们知道了底部不可以到达的物体高度的测量方案,利用这种方案你们可以测量哪些物体的高度?【学生活动】生发挥想象力,并分组讨论这些高度的测量方案和计算方法.【议一议】问题(1):到目前为止,有哪些测量物体高度的方法?【师生小结】测量物体的高度的方法:(1)利用三角函数;(2)利用三角形相似;(3)利用全等三角形.问题(2):如果一个物体的高度已知或容易测量,那么如何测量某测点到该物体的水平距离?【师生小结】以活动三中的图为例,可以测得M的仰角∠MCE=α,以及测倾器的高AC=a,然后根据AN=EC即可求出测点A到物体MN的水平距离AN.[设计意图]引导学生设计测量底部不可以到达的物体的高度,在交流、展示自己设计的方案的过程中完善方案,判断其可行性,为下面的实际操作做准备,同时培养学生科学、严谨的做事态度.【活动四】设计测量方案,撰写活动报告你能根据我们学过的测量物体高度的方法完成下面的问题吗?课件出示:某校学生去春游,在风景区看到一棵汉柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对话:小明:我站在此处看树顶仰角为45°.小华:我站在此处看树顶仰角为30°.小明:我们的身高都是1.6m.小华:我们相距20m.请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高度.(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果保留三个有效数字)【教师活动】引导学生判断是测量底部可以到达的物体的高度还是测量底部不可以到达的物体的高度,然后从两名学生的对话中分析得到的信息:∠ABE=30°,∠ACE=45°,ED=1.6m,BC=20m.【师生活动】生独立解答后,同伴交流.代表展示,师生共同订正.解:如图所示,延长BC交DA于E.设AE的长为x m.在Rt△ACE中,∠ACE=45°,∠AEB=90°,则∠CAE=45°,∴CE=AE=x.在Rt△ABE中,∠B=30°,AE=x,tan B=,即tan30°=,∴BE=x.∵BE-CE=BC,BC=20m,∴x-x=20,解得x=10+10,∴AD=AE+DE=10+10+1.6≈28.9(m).答:这棵汉柏树的高度约为28.9m.【学生活动】撰写活动报告.[设计意图]在解决问题的过程中再一次验证测量方案的可行性,巩固新知的同时,利用生活情境设计问题,培养学生的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:(1)测量倾斜角的方法.(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.2.测量物体的高度的方法:(1)利用三角函数;(2)利用三角形相似;(3)利用全等三角形.1.(2015·长沙中考)如图所示,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30m的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为()A.mB.30sinαmC.30tanαmD.30cosαm解析:在Rt△ABO中,∵BO=30m,∠ABO为α,∴AO=BO tanα=30tanα(m).故选C.2.某市进行城区规划,工程师需测某楼AB的高度,工程师在D点用高2m的测角仪CD,测得楼顶端A的仰角为30°,然后向楼前进30m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60°,则楼AB的高为.解析:在Rt△AFG中,∠AFG=60°,∠AGC=90°,tan∠AFG=,∴FG==.在Rt△ACG中,∠ACG=30°,tan ∠ACG=,∴CG==AG.∵CG-FG=30m,∴AG-=30,解得AG=15,∴AB=(15+2)m.故填(15+2)m.3.在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度,如图所示,已知塔基AB的高为4m,他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°,然后沿AC方向走5m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求AC的距离;(结果保留根号)(2)求塔高AE.(结果保留整数)解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=4,tan∠ACB=,∴AC===4(m).答:AC的距离为4m.(2)在Rt△ADE中,∠ADE=50°,AD=5+4,tan∠ADE=,∴AE=AD·tan∠ADE=(5+4)×tan50°≈14(m).答:塔高AE约为14m.6利用三角函数测高1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:(1)测量倾斜角的方法.(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.2.利用三角形相似的知识可以测量物体的高度.3.利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.一、教材作业【必做题】教材第23页习题1.7第1,2题.【选做题】教材第23页习题1.7第3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知A,B两点,如果A对B的俯角为α,那么B对A的仰角为()A.αB.90°-αC.90°+αD.180°-α2.如图所示,为了测量电线杆AB的高度,小明将测倾器放在与电线杆的水平距离为9m的D处.若测倾器CD的高度为1.5m,在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°,则电线杆AB的高度约为m(精确到0.1m).(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)3.如图所示,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为m.(结果不作近似计算)4.(2014·云南中考)如图所示,小明在M处用高1m(DM=1m)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再向旗杆方向前进10m到F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高度.(取≈1.73,结果保留整数)【能力提升】5.(2015·衡阳中考)如图所示,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100m达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:m)为()A.50B.51C.50+1D.1016.在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下的方案(如图(1)所示):(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山(如图(2)所示)高度的方案:(1)在图(2)中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当的字母);(2)写出你的设计方案.【拓展探究】7.如图所示,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3m,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).【答案与解析】1.A2.8.1(解析:在Rt△ACE中,AE=CE·tan36°=BD·tan36°=9×tan36°≈6.57,∴AB=AE+EB=AE+CD ≈6.57+1.5≈8.1(m).故填8.1.)3.12(解析:首先过点D作DE⊥AB于点E,可得四边形BCDE是矩形,然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE 中,利用正切函数的知识,求得AB与AE的长,进而可求得答案.)4.解:∵∠BDE=30°,∠BCE=60°,∴∠CBD=60°-∠BDE=30°=∠BDE,∴BC=CD=10m,在Rt△BCE中,sin 60°=,即=,∴BE=5,AB=BE+AE=5+1≈10(m).答:旗杆AB的高度大约是10m.5.C(解析:设AG=x,在Rt△AEG中,∵tan∠AEG=,∴EG==x.在Rt△ACG中,∵tan∠ACG=,∴CG==x,∵CG-EG=100,∴x-x=100,解得x=50,则AB=50+1(m).故选C.)6.解:(1)画出示意图如图所示.(2)①在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.②在测点B处安置测倾器(A,B与N在同一条直线上),测得此时山顶M的仰角∠MDE=β.③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及测点A,B之间的距离AB=m.根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.7.解:如图所示,过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形,∴AF=BE,EF=AB=3.设DE=x,在Rt△CDE 中,∠DCE=60°,∴CE==x.在Rt△ABC中,∵=,AB=3,∴BC=3.在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-3,∠DAF=30°,∴AF==(x-3).∵AF=BE=BC+CE,∴(x-3)=3+x,解得x=9.∴DE=9m.答:树的高度为9m.这节课采用了学生分组活动与全班交流研讨相结合的方法探究测量物体高度的方案,并利用探索出的方案解决生活问题.本节课给了学生足够多的活动空间,通过师生互动、生生互动等活动,让学生积极参与到活动中来,激发学生学习的兴趣,让学生自主探究利用三角函数测高的步骤和方法,并会对测量物体的高度的方案进行设计.让学生用已有的知识解决生活实际问题,体验数学来源于生活,应用于生活,进一步掌握从实际问题到解直角三角形的建模过程.另外,通过小组合作交流形式,让学生积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,并在数学活动中获得成功的体验,建立自信心.在探究时给学生充分的自主讨论交流时间,导致后面的当堂检测题处理得比较仓促,部分学生接受起来可能有些困难.针对每种测量方案都给出具体的事例让学生去实践,以检验自己所设计方案的可行性.复习题(教材第24页)1.解:(1).(2)0.(3).2.解:(1)0.7841.(2)0.0374.(3)0.7566.3.解:(1)∠A=45°.(2)a=4,∠A=60°.(3)a=b=4.4.sin A=,tan A=.5.(1)∠A≈42°27'15″.(2)∠B≈85°28'29″.(3)∠C≈88°23'28″.6.解:(1)==1.(2)原式=+2×+1-+=++1-+=2.(3)原式=-tan60°=tan60°-1-tan60°=-1.7.解:AC=2,BC=2,sin A=,cos A=.9.解:(1)tan∠ABC=tan∠ADC.(2)tan∠ABC=tan∠ADC.(3)tan∠ABC=·tan∠ADC.10.CD≈5.82m[提示:CD=BD-BC=20tan56°-20tan50°≈5.82(m).]11.船与观测者之间的水平距离约为173.2m.[提示:水平距离=≈173.2(m).]12.解:(1)如图所示,由两直线平行,内错角相等得∠ABD=60°.∵∠CBE=30°,∴∠ABC=90°.∵AB=BC=10km,∴AC==10≈14.1(km).(2)∵AB=BC,∴∠CAB=∠C=45°,∴C港在A港北偏东60°-45°=15°的方向上.13.解:依题意知PQ=180m,∠PTQ=50°,∴∠PQT=40°.∵tan∠PQT=,∴PT=PQ·tan40°≈180×0.839≈151(m).14.解:在Rt△ABC中,AC=6.3,BC=9.8,∴tan B==.∴∠B≈32°44'7″.因此射线与皮肤的夹角为32°44'7″.15.解:(1)在Rt△ACB中,∵AB=4m,∠ABC=60°,cos∠ABC=,∴BC=AB·cos60°=4×=2(m).(2)在Rt △DCE中,∵CD=2.3m,ED=4m,∴sin∠DEC===0.575,∴∠DEC≈35°5'58.68″.16.解:如图所示,在Rt△ACB中,∵AC=30m,∠BAC=30°,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan30°=30×=10≈17.3(m).∵CE=AD=40m,∴BE=BC+CE=17.3+40≈57(m),∴乙楼高约57m.17.解:在Rt△BED 中,tan∠BDE =.在Rt△ACB 中,tan∠BAC =.∵∠BDE =30°,∠BAC =60°,DE =AC ,EC =AD =30m ,∴tan 30°=,即BC -30=AC ·tan 30°.又tan 60°=,即BC =AC ·tan 60°,∴AC -30=AC ,∴AC =30,∴AC ==15≈25.98(m ),∴BC ≈25.98×≈45.00(m ).18.解:设渔船到海岛A 的最近距离为x n mile ,由题意得(x -12)=x ,解得x =6>8,所以渔船没有触礁的危险.19.解:过点C 作CF ⊥AB 于F ,则△ADE ∽△ACF ,∴=,即=,∴CF =2.7m .∵BC =2.8m ,∴sin α==≈0.9643,∴α≈74°38'39.14″.20.解:如图所示,连接BD ,过点B 作BE ⊥CD 于E ,过点D 作DF ⊥AB 于F ,在Rt△BEC 中,sin C =,∴BE =BC ·sin 60°=20×=10(m ).在Rt△AFD 中,sin A =,∴DF =AD ·sin 60°=30×=15(m ),∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB ·DF +CD ·BE =×50×15+×50×10=625≈1082.53(m 2).21.解:(1)如图所示,过A 作AG ⊥CD 于G ,过E 作EF ⊥CD 于F ,依题意知AB =5m ,BC =30m ,∠DEF =30°,EB =1.4m .在Rt△DFE 中,∵tan∠DEF =,∴DF =BC ·tan30°=30×=10(m ),∴DC =DF +FC =DF +EB =10+1.4≈18.72(m ).(2)∵GC =AB =5m ,∴DG =DC -GC ≈18.72-5=13.72(m ).∵AG =BC =30m ,∴AD =≈≈32.99(m ).22.提示:各边长约为0.34m ,0.34m ,0.66m .23.解:(1)由勾股定理可知OA 1=,OA 2=,OA 3=,…,OA n =.∵tan∠A 0OA 1==,∴∠A 0OA 1=45°.∵tan∠A 1OA 2==,∴∠A 1OA 2≈35°15'51.8″.∵tan ∠A 2OA 3==,∴∠A 2OA 3=30°.(2)∵tan 20°≈0.3640,tan∠A n -1OA n ==<tan 20°,∴>≈2.7473,∴n >7.5477,∴n 的值为8.本节课探究学习的主要任务是掌握利用测倾器测倾斜角和测量物体高度的方法,所以前提条件是要对测倾器有足够的了解,学生在课前可以自己制作一个简单的测倾器,这样就会非常熟悉其操作原理,对于活动一,测量倾斜角就会感觉非常容易;对于活动二、三的探究,分组讨论和全班的交流讨论就显得尤为重要,要积极投身其中,区分测量底部可以到达的物体的高度和底部不可以到达的物体的高度的方法,熟练掌握各种方案的步骤,并利用所学知识解决实际问题,达到学以致用.测量物体的高度时容易漏掉测倾器的高度.李明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动,在离电线杆21m 的D 点,用高1.2m 的测角仪CD 测得电线杆顶端A 的仰角α=30°,则电线杆AB 的高为m .【错解】7【错解分析】在利用三角函数计算出AE 的长度后,忽略测倾器的高度,漏加CD ,造成错误.【正解】7+1.2【正解分析】CE =DB =21m ,BE =CD =1.2m .在Rt△ACE 中,∠α=30°,CE =21m ,∴AE =CE ·tan 30°=7(m ),∴AB =AE +BE =(7+1.2)m .(2014·绍兴中考)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图(1)所示,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到∠CDB=38°,求护墙与地面的倾斜角α的度数.(2)如图(2)所示,第二小组用皮尺量得EF为16m(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9m,请你求出E点离地面FB的高度.(3)如图(3)所示,第三小组利用第一、第二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度,在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°,向前走4m到达Q点,测得A的仰角为60°,求旗杆AE的高度(精确到0.1 m).备用数据:tan60°≈1.732,tan30°≈0.577,≈1.732,≈1.414.〔解析〕(1)根据∠α=2∠CDB即可得出答案.(2)设EF的中点为M,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,如图所示,根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度.(3)延长AE,交PB的延长线于点C,设AE=x,则AC=x+3.8,CQ=x-0.2,根据=得出=,求出x即可.解:(1)∵BD=BC,∴∠CDB=∠DCB,∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°.(2)设EF的中点为M,如图所示,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,∵MN∥EH,MN=1.9,∴EH=2MN=3.8(m),∴E点离地面FB的高度是3.8m.(3)延长AE,交PB于点C,如图所示,设AE=x,则AC=x+3.8,∵∠APB=45°,∴PC=AC=x+3.8.∵PQ=4,∴CQ=x+3.8-4=x-0.2,∴tan∠AQC==tan60°=,∴=,解得x=≈5.7,∴AE≈5.7m.答:旗杆的高度约是5.7m.[解题策略]此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是仰角的定义,能作出辅助线并借助仰角构造直角三角形是解本题的关键.。
北师大版九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计
为了巩固学生对三角函数测高知识点的掌握，提高其运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，思考并完成以下问题：
（1）如何利用三角函数测量学校附近某建筑物的高度？
（2）在实际测量过程中，可能会遇到哪些困难？如何克服？
（3）计算器在三角函数计算中起到了什么作用？如何正确使用计算器进行三角函数的计算？
4.通过讲解、示范、指导等方法，帮助学生掌握计算器在三角函数计算中的应用，提高计算速度和准确性。
5.引导学生运用已学的几何知识，结合三角函数解决测高问题，培养其综合运用知识的能力。
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣，认识到数学知识在解决实际问题中的价值。
2.形成主动探究、合作学习的良好习惯，培养勇于挑战、积极进取的精神风貌。
2.鼓励学生积极参与小组合作，培养团队合作精神和沟通能力。
3.关注学生的个体差异，作业布置要有梯度，使每个学生都能在完成作业的过程中得到提高。
4.引导学生关注作业的完成质量，培养良好的学习习惯和责任感。
（二）讲授新知
在导入新课之后，我会系统地讲授三角函数的相关知识。首先，回顾正弦、余弦和正切函数的定义，并通过图示和实例让学生理解这些函数的几何意义。接着，我会详细解释三角函数在测高问题中的应用原理，即如何通过测量角度和已知距离来计算未知高度。我会用生动的语言和直观的教具，比如三角板、直角三角形模型等，来帮助学生形象地理解这些概念。此外，我还会指导学生如何使用计算器来快速准确地计算出三角函数的值，并应用于解决实际问题。
2.完成课后习题：请同学们完成教材第1.6节后的练习题，巩固三角函数测高的相关知识点。
3.小组合作实践作业：
（1）分组进行实际测量，测量学校旗杆的高度，并记录测量过程和结果。
九年级数学-1.6 利用三角函数测高--精选练习
1.6 利用三角函数测高1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为A. 40mmD. 1602.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．为米α的代数式表示）．4.如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=米．第4题图第5题图第6题图5.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300，底部D处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根）6.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．8.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？9.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;（3）量出测倾器的高度AC＝h。
北师大版九年级下册1.6利用三角函数测高说课稿
3.实践性教学：组织学生进行实地测量，将理论知识应用于实际。理论依据是体验式学习理论，认为通过亲身体验，学生能更好地理解和掌握知识。
（二）媒体资源
3.开展小组合作，鼓励学生互相交流、分享经验，提高团队协作能力；
4.对学生的点滴进步给予及时表扬和鼓励，增强学生的自信心；
5.引导学生总结学习心得，使其在学习过程中获得成就感。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学、探究式教学和实践性教学。
1.启发式教学：通过提问、讨论等方式引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣。理论依据是建构主义学习理论，认为学生是主动建构知识的主体，教师应起到引导和促进作用。
3.课堂时间安排可能紧张，影响教学效果。
应对措施：
1.对于操作误差，我会提前讲解注意事项，并在课堂上及时指导；
2.对于理解不足的问题，我将通过实例分析和重复讲解来加深学生理解；
3.对于时间安排，我会合理安排教学环节，确保重点内容得到充分讲解。
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
1.学生作业完成情况；
北师大版九年级下册1.6利用三角函数测高说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课的教学内容选自北师大版九年级下册1.6节，主题为“利用三角函数测高”。这一节内容在整个课程体系中具有承上启下的作用，既是前面学习的三角形、三角函数等知识的运用，也为后续学习解直角三角形、相似三角形等知识打下基础。
本节课的主要知识点包括：1.掌握用正切函数测量高度的方法；2.学会使用三角板和测角器测量角度；3.能够运用三角函数解决实际问题，如测量建筑物、树木的高度等。
北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案
北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解和掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
通过前面的学习，学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质，本节内容是在此基础上进一步应用三角函数解决实际问题。
利用三角函数测高是初中数学中重要的应用题类型，也是中考的热点题型，对于培养学生的数学应用能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的基本概念和性质，对于运用三角函数解决实际问题有一定的基础。
但学生在解决实际问题时，往往因为对实际情况理解不深，而导致解题思路不清晰。
因此，在教学本节内容时，要注重让学生理解实际问题的背景，引导学生运用三角函数解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生了解和掌握利用三角函数测高的方法。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测高的方法。
2.难点：如何引导学生运用三角函数解决实际问题，特别是对于复杂问题的解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，合作交流法，引导发现法等。
通过设置具体的问题情境，引导学生运用已学的三角函数知识解决实际问题，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的问题情境和案例，用于引导学生进行实际问题的解决。
2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的三角函数知识，如：什么是锐角三角函数？它们之间有什么关系？然后提出本节课的主题：如何利用三角函数测高？2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示一些实际问题，如：如何测量电视塔的高度？如何测量树的高度？让学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
3.操练（20分钟）教师学生进行小组合作，让学生通过实际操作，运用三角函数解决呈现的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
1.6 利用三角函数测高
1.6 利用锐角三角函数测高一、新知储备在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做________．二、合作探究，发现新知例1：（2017•山西）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，则这棵树的高度为米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°=0.8090，cos54°=0.5878，tan54°=1.3764）例2：（2017•丽水）如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，（参考数据：sin70°≈0.94，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）例3：（2017•内江）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）三、当堂检测，巩固新知 1．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD 的坡比为2 ：3，背水坡BC 的坡比为4 ：3，大坝高DE 为20m ．坝顶宽CD 为45m ．求大坝的横截面积．2．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边去两点B 、C 测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC 长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．四、课后作业1．（2017•乐山）如图，在水平地面上有一幢房屋BC 与一棵树DE ，在地面观测点A 处测得屋顶C 与树梢D 的仰角分别是︒45与︒60，︒=∠60CAD ，在屋顶C 处测得︒=∠90DCA .若房屋的高6=BC 米.求树高DE 的长度.2．（2017•衡阳）衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图，为了测量来雁塔的高度，在E 处用高为1.5米的测角仪AE ，测得塔顶C 的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶C 的仰角为60°，求来雁塔的高度．（结果精确到0.1米）3．（2017•海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）4．（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）5．（2017•成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．。
1.6 利用三角函数测高 课件 初中数学北师大版九年级下册
2.(2022 达州期末)如图所示,某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD,小明
在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60°.沿坡面 AB 向上走
到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45°,已知山坡 AB 的坡度 i=1∶
,AB=16 m,AE=24 m,则点 B 距水平面 AE 的高度 BH 的长为 8 m
由题意,得∠CDF=45°,AB=100 m,DE=60 m,∠DAB=37°.
在 Rt△ADE 中,tan∠DAE=
,∴AE=
=
∠ °
≈
∴BE=AB-AE=100-80=20(m).∵CB⊥BE,CF⊥EF,FE⊥BE,
∴四边形 BCFE 为矩形.∴CF=BE=20 m.在 Rt△DFC 中,
处的俯角是30°,已知楼房高AB约是45 m,则观光塔的高CD是
135 m .
测量底部不可以到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上 不能 直接测得测点与
被测物体的底部之间的距离.
[例 2] 如图所示的是某海岛的一个岛礁,若某测量船在海面上的点 D
处测得与斜坡 AC 坡脚点 C 的距离为 140 m,测得岛礁顶端 A 的仰角为
∵DC=140 m,∴DB=DC+BC=(140+6x)m.在 Rt△ADB 中,
∠ADB=30.96°,∴tan 30.96°=
=
+
解得 x≈60.经检验 x≈60 是原方程的根,
∴AB=5x=300(m).
∴该岛礁的高约为 300 m.
≈0.60,
新知应用
1.如图所示,在某滑雪场滑雪,需从山脚下乘缆车上山,缆车索道与水
1.6 利用三角函数测高(练习)(解析版)
第一章直角三角形的边角关系
第六节利用三角函数测高
精选练习
参考答案与试题解析
基础篇
一．选择题（共8小题）
1．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）
A．俯角67°方向B．俯角23°方向
C．仰角67°方向D．仰角23°方向
【答案】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、仰角；熟记仰角定义，求出∠BAC＝23°是解题的关键．2．（2020•徐汇区一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．。
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计(北师大版)
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计（北师大版）一、教学目标1.了解三角函数的定义和性质。
2.学会使用正弦、余弦、正切函数测量高度。
3.掌握解决与高度和角度相关的实际问题的方法和步骤。
二、教学内容1.三角函数的定义和性质。
2.正弦、余弦、正切函数的用法。
3.利用三角函数测量高度的实际问题。
三、教学重点1.理解三角函数的定义和性质。
2.掌握正弦、余弦、正切函数的用法。
3.运用三角函数解决实际问题。
四、教学难点1.学习如何应用三角函数测量高度。
2.解决与高度和角度相关的实际问题。
五、教学方法1.讲解与演示相结合的教学方法。
2.视频和实物模型展示三角函数测高的应用。
3.组织学生进行实际操作和练习。
六、教学过程1. 导入新知识通过提问和引导，导入三角函数的概念和性质，引起学生的兴趣，并激发学生对测量高度的需求。
2. 讲解三角函数的定义和性质利用教材和课件，详细讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，并与实际问题联系起来，解释三角函数与高度的关系。
3. 演示三角函数测高的方法通过播放视频或展示实物模型，演示如何使用三角函数测量高度的方法和步骤，并让学生观察和思考。
4. 实际操作和练习将学生分成小组，配备测量工具，进行实际操作和练习，例如利用三角函数测量树木高度、建筑物高度等。
教师和助教进行指导和解答疑惑。
5. 总结与归纳让学生整理笔记，总结三角函数测高的方法和步骤，并与实际问题进行对比，并解答学生的问题。
七、教学评价1.在实际操作中，观察学生是否能正确使用三角函数测量高度。
2.组织小组讨论，评价学生对三角函数测高方法的理解和应用能力。
3.布置练习题，检查学生对三角函数测高的掌握情况。
八、教学延伸利用三角函数测高的方法，引出其他与高度和角度相关的实际问题，如建筑物的倾斜角度、塔吊的工作范围等。
并鼓励学生进行独立思考和解答。
九、板书设计1.6 利用三角函数测高- 三角函数的定义和性质- 正弦、余弦、正切函数的用法- 测量高度的实际问题十、教学反思本节课将数学知识与实际问题相结合，培养了学生的测量和解决问题的能力。
北师大版九年级数学下册：1.6利用三角函数测高(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与利用三角函数测高相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室的天花板高度。这个操作将演示三角函数的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
此外，小组讨论环节让我看到了学生们的积极性和创造力。他们能够在小组内部分享观点，共同解决问题，这是非常宝贵的经验。不过，我也观察到一些小组在讨论过程中可能会偏离主题，未来我需要提供更明确的讨论指导，确保讨论内容紧扣教学目标。
在总结回顾环节，我觉得可以更加注重学生对知识点的内化。可能通过设置一些快速问答或小测试，来检验学生对三角函数测高知识点的掌握情况。这样不仅能够帮助我了解学生的学习进度，也能促使学生主动复习和巩固知识。
1.理论介绍：首先，我们要了解三角函数的基本概念。三角函数是描述直角三角形中角度与边长比例关系的数学函数。它们在解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量旗杆的高度，展示正弦函数在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，如构建直角三角形和计算器使用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
1.6利用三角函数测高
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之 间的距离AB=b.
根据测量数据, 你能求出物体 MN的高度吗?说 说你的理由.
想一想
(p19)
M
E N
β
D B
α
b
C
a
A
根据测量数据,物体MN的高度计算过程：
在Rt△MDE中，
ME ED= tan
M
在Rt△MCE中，
ME EC = tan a
1.6 利用三角函数测高 1.6 利用三角函数测高
枣庄市峄城区阴平中学 苏增产
温故而知新
1、仰角、俯角： 2、直角三角的边角关系：
铅 垂 线 仰角
视线
俯角
水平线
视线
3、利用三角函数解决实际问题的计算原则： “有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），
c
B
a
无斜（斜边）用切（正切）”
A
b
┌ C
“宁乘勿除，取原（原始数据）避中（中间数据）”
≈ 在Rt MCE中，ME = ECtanα= ANtanα=20.6× tan30° 2′ 20.6× 0.578=11.60m, MN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22=12.82m
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接
测得测点与被测物体底部之间的距离.（如图） 要测量物体
议一议
☞
相信你能行！
大家要认 真思考吆
（1）到目前为止，你有哪些 测量物体高度的方法？ （2）如果一个物体的高度已 知或容易测量，那么如何测量 某测点到该物体的水平距离？
讨 与同伴交流一下，谈谈你的想法？ 论 ：
1.6利用三角函数测高
在观测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α
Cα
m
LE
量出观测点A到物体底部N的水平距离AN=L
A
N
量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。MN=ME+EN=L·tanα +m
随堂练习
1．如图，小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间
的水平距离 BE 为 5 m，AB 为 1.5 m(即小颖的眼睛距地面的高度)，那么这棵树高
探究新知
探究二：（测量底部可以到达的物体的高度）
M
C 32
E
1.6米
19米
A
N
ME 19 tan32（ m） MN ME EN
MN (19 tan 32 1.6) 13.4（7 m）
归纳总结 （测量底部可以到达的物体的高度）
测量底部可以直接到达的物体的高度
M
5 A.
3
3＋32m
( A)
B.5
3＋32m
C.5
3 3
m
D．4 m
2．如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直的树 CD， EF.一天，他在 A 处测得树顶 D 的仰角∠DAC＝30°，在 B 处测得树顶 F 的仰角∠FBE＝45°，线段 BF 恰好经过 树顶 D.已知 A，B 两处的距离为 2 m，两棵树之间的距 离 CE＝3 m，A，B，C，E 四点在一条直线上，则树 EF 的高度约为___5_.7___ m．(参考数据： 3≈1.7， 2 ≈1.4，结果精确到 0.1 m)
CE h a
tan
DE h a
tan
归纳总结 （测量底部不可以到达的物体的高度）
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会利用三角函数测量物体的高度。
通过这一节的学习，学生能够理解直角三角形的性质，掌握正弦、余弦函数的定义，并能运用它们解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，他们可能还没有真正意识到三角函数在实际生活中的应用，对于如何利用三角函数测量物体的高度可能比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法，理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决问题的能力，提高他们的实际动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让他们感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置实际问题，引导学生运用三角函数进行解答，培养他们的实践能力。
同时，学生进行小组合作，让学生在讨论中巩固知识，提高他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解和引导学生实践。
2.准备测量工具，如尺子、测量仪等，供学生实际操作使用。
3.准备多媒体教学资源，如PPT、视频等，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：如何测量旗杆的高度？引导学生思考如何解决这个问题，激发他们的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测量物体高度的方法，引导学生理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
以旗杆测量为例，讲解步骤：（1）建立直角坐标系，确定观测点和旗杆的位置。
（2）测量观测点到旗杆的距离（底边长度）。
北师大版数学九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计
-教师在学生探究过程中进行巡回指导，及时解答学生疑问，帮助学生突破难点。
3.例题解析：选择具有代表性的例题，展示解题思路和步骤，强化学生对三学生关注解题过程中的关键步骤和易错点。
-鼓励学生多角度思考问题，培养思维的灵活性和创新性。
-提醒学生关注作业的完成质量，鼓励学生在实际操作中运用所学知识。
五、作业布置
为了巩固本章节所学知识，特布置以下作业：
1.完成课本第1.6节后的练习题，包括基础题和拓展题，基础题要求全体学生完成，拓展题鼓励学有余力的学生尝试。
-基础题主要涉及三角函数的定义、计算和应用，帮助学生巩固课堂所学知识。
-拓展题则侧重于提高学生运用三角函数解决实际问题的能力，激发学生的思维潜能。
2.教学内容：小组展示讨论成果，分享解决问题的方法和经验。
教学过程：
-各小组派代表展示讨论成果，讲解解题过程和关键步骤。
-教师点评，强调正确性和创新性，引导学生相互学习、交流。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有代表性的课堂练习题，让学生独立完成。
教学过程：
-提供不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生巩固所学知识。
4.学会使用计算器计算三角函数值，并运用到实际测量中。
5.能够运用三角函数知识，分析和解决生活中的高度测量问题，如测量建筑物、树木等的高度。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，采用以下过程与方法：
1.通过情境导入，激发学生的学习兴趣，引导学生从实际问题中发现三角函数的应用价值。
2.采用探究式教学方法，让学生在小组合作中，通过实际操作、讨论、分析，掌握三角函数测高的方法。
北师大版数学九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计
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讨 论 ：
1 2 3
水平线
4
活动二: 测量底部可以到达的物体的高度.
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障 碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？ 可按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器, 测得M的仰角∠MCE=α. 2.量出测点A到物体底部 N的水平距离AN=L. 3.量出测倾器的高度AC=a
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之 间的距离AB=b.
根据测量数据, 你能求出物体 MN的高度吗?说 说你的理由.
想一想
(p19)
M
E N
β
D B
α
bCBiblioteka aA根据测量数据,物体MN的高度计算过程：
在Rt△MDE中，
ME ED= tan
M
在Rt△MCE中，
ME EC = tan a
B
A
D A 图 1-18
E C
B 图 1-19
D C
B组：
5.如图，某中学在主楼的顶部D和大门的上方A 之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是５ m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼 顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求： 学校主楼的高度(精确到0.01m)；
M
作业布置
必做题：
助学P199 第8、9两题 .
选做题：
习题1.7 第 1、 2、 3题 .
A
C D 图 1-16 B
3.如图1-18，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°， 沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D处，在D处测得山顶B 的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到0.1米）（ ）； A. 1 366.0米 B. 1 482.1米 C. 1 295.9米 D. 1 508.2米 4.如图1-19，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的 俯角为α，测得C点的俯角为β. 则较低建筑物CD的高度为（ ）. a a D. a (tanβ- tanα) A. a米 B. tan C. tan
M
E N
α
L
a
C A 大家要认 真思考吆
根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高 度吗?说说你的理由. 在Rt△MCE中， ME=EC tanα=AN tanα =L tanα MN=ME+EN=ME+AC=L tanα+ a
M
E N L
α
C a A
和同伴交流一下，你的发现？
课题
测量学校旗杆MN的高度(底部可以到达)
加油，你是最棒的！
下表是小明所填实习报告的部分内容：
课题
在平面上测量某大厦的高AB
A
测量示意图 E
α
F
β
∠α ∠β
44° 35’ 45° 25’
G
B
C 测量项目 测得数据
第一次 第二次 平均值
D CD的长
60.11m 59.89m
30° 16’ 29° 44’
做一做
☞
相信你能行！
1.请根据小明测得的数据,填写表中的空格; 2.已知测倾器的高CE=DF=1m，通过计算 求得，该大厦的高为______m (精确到1m). 1. 30°， 45°， 60m 2. 在Rt△AEG中，EG=AG/tan30°=1.732AG 在Rt△AFG中，FG=AG/tan45°=AG EG-FG=C D 1.732AG-AG=60 AG=60÷0.732≈81.96 AB=AG+1≈83(m)
≈ 在Rt MCE中，ME = ECtanα= ANtanα=20.6× tan30° 2′ 20.6× 0.578=11.60m, MN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22=12.82m
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接
测得测点与被测物体底部之间的距离.（如图） 要测量物体
M
测 量 示 意 图
测 得 数 据
MN=Ltanα+ a
α
L
E
N
C a A
测量项目 测倾器高a
第一次
a ＝1.23m
第二次 α＝19°49 ′
a ＝1.21 m
平均值
倾斜角α α＝30°15′
AN的长L
L＝20.15m
α＝30°2 ′
a ＝1.22m
L＝19.97m
L＝20.06m
计 算 过 程 活 动 感 受
使用测倾器测
量倾斜角的步骤 如下: 1.把支杆竖直插 入地面,使支杆的 中心线、铅锤线 和度盘的00刻度 线重合,这时度盘 的顶线PQ在水平 位置. 2.转动度盘,使度 盘的直径对准目 标M,记下此时铅 锤线所指的度数.
水平线
90°
90°
60° 30° 30°
60°
0°
活动一:测量倾斜角.
M
根据刚才测量 数据,你能求出 目标M的仰角或 俯角吗?说说你 的理由.
M
MN的高度,使 用侧倾器测一 次仰角够吗？
α
E N
C
a
A
活动三: 测量底部不可以到达的物体的高度.
要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的. 还需哪些条件，测量哪些数据？
想一想
(p19)
M
E N 大家要认真 思考吆
β
D
α
b
C
a
A
B
如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一 条直线上),测得M的仰角∠MDE=β.
1.6 利用三角函数测高 1.6 利用三角函数测高
枣庄市峄城区阴平中学 苏增产
温故而知新
1、仰角、俯角： 2、直角三角的边角关系：
a tan A b
a b tan A
c
铅 垂 线 仰角
视线
俯角
水平线
视线
B
a b tan A
a A b ┌ C
1.经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地 测量以及撰写活动报告的过程. 2.能够对所得数据进行分析，对仪器进行调整和对测 量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果. 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题，提高解决问题的能力.
活动课题:利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. 活动方式:分组活动或全班交流研讨. 活动工具:测倾器(或经纬仪,测角仪等),皮尺等测量工具.
活动一: 测量倾斜角（仰角或俯角）.
测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器 由度盘、铅锤和支杆组成(如图).
P
Q
度盘
9 0
0
90
铅锤
支杆
M
活动一：测量倾斜角.
议一议
☞
相信你能行！
大家要认 真思考吆
（1）到目前为止，你有哪些 测量物体高度的方法？ （2）如果一个物体的高度已 知或容易测量，那么如何测量 某测点到该物体的水平距离？
讨 与同伴交流一下，谈谈你的想法？ 论 ：
通过本节课的学习，你有哪些收 获？有何感想？你有那些测量物体高 度的方法？需要注意什么？
E
β
D
α
b
C a A
ME ME N EC-ED= tan a －tan =b
B
ME tan ME tan a b tan a tan
ME(tan tan a) b tan a tan b tan a tan ME tan tan a
MN
b tan a tan a tan tan a
一、学习侧倾器的使用 二、学习测量物体的高度的方法：
1.测量底部可以到达的物体的高度.
2.测量底部不可以到达的物体的高度. 三、目前我们学习的测量物体高度的方法有相似 法、全等法、三角函数法. 需要特别注意的是：误差的解决办法---用平均值.
达标检测 提升自我
A组：
1.如图1-16，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角 为60° ，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米； 2.如图1-17，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影 子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米， 则电线杆的高度为 米.