公开课(分部积分法)教案
大学高数积分法的应用教案
教学目标：1. 使学生掌握积分法的基本概念和原理。
2. 理解并能够运用分部积分法、换元积分法解决实际问题。
3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学思维水平。
教学重点：1. 分部积分法的原理和应用。
2. 换元积分法的原理和应用。
教学难点：1. 分部积分法在复杂函数积分中的应用。
2. 换元积分法在不同类型函数积分中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 积分表。
3. 练习题。
教学过程：一、导入1. 复习导数和微分的概念，引出积分的概念。
2. 介绍积分法的应用领域，激发学生学习兴趣。
二、新课讲授1. 分部积分法a. 介绍分部积分法的原理，公式。
b. 通过实例讲解分部积分法的应用步骤。
c. 分析分部积分法在复杂函数积分中的应用。
d. 举例说明分部积分法在实际问题中的应用。
2. 换元积分法a. 介绍换元积分法的原理，公式。
b. 通过实例讲解换元积分法的应用步骤。
c. 分析换元积分法在不同类型函数积分中的应用。
d. 举例说明换元积分法在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 学生根据所学知识，完成以下练习题：a. 利用分部积分法计算不定积分。
b. 利用换元积分法计算不定积分。
2. 教师巡回指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结分部积分法和换元积分法的原理和应用。
2. 强调积分法在解决实际问题中的重要性。
五、课后作业1. 完成以下习题：a. 利用分部积分法计算不定积分。
b. 利用换元积分法计算不定积分。
2. 查阅资料，了解积分法在其他领域的应用。
教学反思：本节课通过讲解分部积分法和换元积分法的原理和应用，使学生掌握了积分法的基本方法。
在教学过程中，教师应注重以下方面：1. 注重理论与实践相结合，通过实例讲解积分法的应用，提高学生解决问题的能力。
2. 针对不同类型函数，引导学生运用合适的积分方法，培养学生的数学思维能力。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养合作学习的精神。
第三节 分部积分法(新编)
4.令u ln(1 x ), dv dx, 则v x
1 ln(1 x )dx x ln(1 x ) 1 x dx x ln(1 x ) ln 1 x C
2017年5月13日2时29分 18
第三节 分部积分法
本节 预备 知识 本节 目的 与要 求
小结
合理选择 分公式
u, v ，正确使用分部积
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
uvdx uv uvdx
后退
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2017年5月13日2时29分
19
第三节 分部积分法
t
2te 2 e dt 2e (t 1) C 2e ( x 1) C
2017年5月13日2时29分
13
例
13
已 知 f ( x) 的 一 个 原 函 数 是 ex
2
,
求
xf ( xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
5
第三节 分部积分法
2 x 例5 求积分 cos xdx
本节 预备 知识 本节 目的 与要 求
2 u x , cos xdx d sin x dv, 解 令
2 2 x cos xdx x sin x 2 x sin xdx
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
（再次使用分部积分法）
本节 复习 指导
x2 x2 x sin xdx 2 sin x 2 sin xdx u, v 选择不当，积分更难进行. 显然， 解（二） 令 u x , sin xdx d ( cos x ) dv
1 2 xdx dx dv 2
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计【摘要】不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，能够帮助我们解决复杂的积分问题。
本文从引言、正文和结论三个部分展开，引言部分主要介绍分部积分法则的重要性，正文部分具体阐述了分部积分法则的定义、应用场景、教学设计步骤、示例演练和练习题，通过这些内容可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
结论部分对分部积分法则的教学设计进行总结，强调了其在学习和应用中的重要性。
通过本文的讲解，读者能够深入了解分部积分法则的相关知识，并在实际的学习和应用中灵活运用。
【关键词】不定积分、分部积分法则、教学设计、重要性、定义、应用场景、步骤、示例演练、练习题、总结1. 引言1.1 分部积分法则的重要性不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，它在求解复杂函数的不定积分时起着至关重要的作用。
分部积分法则可以将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题，从而简化计算过程，提高计算效率。
通过掌握分部积分法则，学生可以更快地解决各种类型的积分问题，提高解题的准确性和速度。
在实际应用中，分部积分法则常常用于求解含有多个函数乘积的不定积分，如多项式函数、三角函数等。
通过适当地选择分部积分法则的顺序，可以有效地将原积分化简为易于计算的形式，进而求得最终的不定积分结果。
深入理解和熟练运用分部积分法则是学习不定积分的重要基础，对于提升学生的数学计算能力和解题技巧具有重要意义。
通过系统学习和实践，学生可以更好地掌握分部积分法则的运用，为进一步深入学习微积分打下坚实的基础。
2. 正文2.1 分部积分法则的定义不定积分中的分部积分法则是求解复杂积分的一种重要方法，它可以将一个复杂的积分问题分解成两个较简单的积分问题来求解。
分部积分法则的定义可以表述为：设u(x)和v(x)是可导函数，那么对于不定积分∫u(x)v'(x)dx，其积分结果为u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。
这个公式可以帮助我们将一个乘积形式的积分问题转化为两个更容易求解的积分问题，从而简化求解过程。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计分部积分法是高等数学中的一种重要而又基本的积分方法，它能解决类似，等换元积分法所不能解决的某些类型的积分.本文将对这部分内容进行教学设计，分为两个课时来讲解，主要运用启发式教学法来教学.教学过程设计为三个部分：第一部分，创设问题情境引入分部积分法的定义；第二部分，运用分部积分公式求解不定积分；第三部分，对整堂课的内容进行归纳总结.通过这节课的学习，让学生掌握求积分的一些解题方法和解题技巧。
标签：高等数学分部积分法解题方法一、教材内容分析高等数学的内容是以微积分为主体的，微积分主要包括微分和积分，且极限是微积分的基础，积分与微分互为逆运算。
从整体结构上了解微积分的内容构造，对我们学习其中的分支内容会有很大的帮助。
以华东师范大学数学系编的《数学分析》第三版（上册）为教材来分析，不定积分的分部积分法出现在第八章《不定积分》的第二节的第二部分，它起着一个承上启下的作用，在积分学中占有极其重要的地位，并为后续定积分以及重积分等内容的学习奠定了基础。
换元法和分部积分法是求积分的两种重要方法，在学习了换元积分法后，虽然能求解很多类型的不定积分，但是却不能解决被积函数为两个函数（下面我们所讨论的都是指初等函数）甚至三个函数乘积的不定积分，从而很自然地引出了另一种重要的积分法一一分部积分法，这就说明了学习分部积分法的必要性。
二、学生分析大学生已经具备了较强的分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的自主学习能力。
在教学中，应以学生为主体，让学生自主探索、亲自实践，而教师在整个教学过程中起引导作用。
通过前面换元积分法的学习，学生已经具备了一定的基础知识，如果教师再巧妙地引入新课，就能激发起学生强烈的求知欲，使得他们积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中去，充分发挥他们的主体作用。
根据这部分的教学内容和学生的知识现状，教师应采用启发诱导式的教学模式，并在教学过程中注重培养学生的逻辑思维能力和动手解题能力。
(完整版)分部积分法教案
分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
4-3 分部积分法-推荐下载
x2 2
dln
x
年月日 附注
第2页
课时授课计划副页
教学过程及授课内容
(3) eax sin bxdx ， eax cosbxdx ，可设 u sin bx ， cosbx .
说明：（1）常数也视为幂函数． （2）上述情况 xn 换成多项式时仍成立．
例 17 求 arctan xdx .
例 15 求 x2exdx .
解 x2exdx = x2dex x2ex exdx 2
x2ex 2 xexdx x2ex 2 xd e x x2ex 2xex exdx x2ex 2xex 2ex C x2 2x 2ex C.
ex
sin
xdx
1 2
ex sin
x
cos
x
C.
1 2
x2
ln
4
小结：下述几种类型积分，均可用分部积分公式求解，且 u, dv 的
设法有规律可循．
(1) xneaxdx ， xn sin axdx ， xn cos axdx ，可设 u xn ；
(2) xn ln xdx ， xn arcsin xdx ， xn arctan xdx ，
x cos xdx = xdsin x= xsin x sin xdx
注：本题若设 u cos x, dv xdx, 则有 du sin xdx 及 v 1 x2 ，代入公 2
式后，得到
x
cos
xdx
=
1 2
x2
cos
新得到积分 x2 sin xdx 反而比原积分更难，说明这样设
50不定积分的分部积分法的教案
例5求
例6求
总结上面三个例子可以知道，如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u.
例7求
例8求
例9求
作业
练习分重点：教学难点：
理解并熟练运用分部积分公式。幂函数与对数函数、幂函数与反三角函数乘积的积分。
代入分部积分公式得，
求这个积分时，如果设 ，那么
于是
上式右端的积分比原积分更不容易求出.由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键.选取u和v一般要考虑下面两点：
（1） 要容易求得：
（2） 要比 容易积出
例2求
例3求
总结上面三个例子，可以知道，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）
授课内容
分部积分法
教学方法
及教学工具
任务驱动式教学法
授课日期
授课节次
授课地点
教学过程、教学内容（含板书设计）
设函数 及 具有连续导数.由两个函数乘积的微分公式 移项得
对这个等式两边求积分 ，得
此公式称为分部积分公式.它的特点是积分 要比积分 易求，显然，分部积分公式可以起到化难为易的作用.
例1求
解设 ， ，那么 ，
解决方法：
定积分的分部积分法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1．计算
(1) d x ln(1 t2 )dt ;
dx 1
2．计算下列各定积分
x
tan tdt
(2) lim x0
0
x3
.
（1）2|1 x | dx;
2
(2) | sin x | dx;
0
0
(5) 0 3x4 3x2 1dx; 1 1 x2
(6) 4 tan2 xdx; 0
(3) 4 3 xdx; 1
x
1 1
arctan1 arctan(1)
4
( ) 4
. 2
3. 1 cos2 x
2sin2 x
2 | sin x |
2
1 cos 2xdx
2
0
0
2
2 sin xdx 2 0
2 sin xdx 2 cos x 2 cos x |02 2 2. 2
习 题 6-2
0
2
解 因为 d x sin t2dt sin x2,
dx 0
故
(0) sin 02 0;
( ) sin 2 .
2
42
例2 求下列函数旳导数：
（１）(x) x ln(1 t3)dt,（a 0); （２）(x) 1 sin d（, x 0).
a
x2
解 ⑴ (x) ln(1 x3);
ln
x)
|1e
e dx x 1x
e
e
dx e (e 1) 1.
1
例2 求 2 x cos xdx. 0
(1)分割 任取分点, 把[T1，T2 ]分成n个小区间
(2)取近似 si v(i )ti
(3)求和 (4)取极限
不定积分的分部积分法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
x
arctan
x
1
x x
2
dx
x arctan x 1
2
d (1 x2 ) 1 x2
x arctan x 1 ln(1 x2 ) c 2
第9页
练习 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
第8页
例5 求 arctan xdx
解 arctan xdx x arctan x xd (arctan x)
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2dex x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2( xe x e x ) C .
第5页
例3 求 x ln xdx
解
x
ln
xdx
1 2
ln
xd
(
x2
)
1 [x2 ln x x2d ln x] 1 [x2 ln x x2 1 dx]
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C
.
第7页
练习 求积分 sin(ln x)dx.
第七单元 分部积分法
经济数学基础 第5章 不定积分第七单元 分部积分法一、学习目标通过本节课的学习，掌握不定积分的分部积分法．二、内容讲解分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式．我们来导出分部积分公式?)(='uv对于这个问题，由导数运算法则容易得到u v v u uv '+'=')(上式两端积分，得⎰⎰'+'='x u v v u x uv d )(d )(由积分与导数运算的关系及积分的性质得到⎰⎰'+'=x u v x v u uv d d整理后得到⎰⎰'-='x u v uv x v u d d它的另一种形式是⎰⎰-=u v uv v u d d于是就得到分部积分公式：⎰⎰'-='x u v uv x v u d d⎰⎰-=u v uv v u d d分部积分的关键在于①被积函数的一个乘积项是某个函数的导函数，即⎰⎰=xug x x f d d )(⎰'x v u d 写成 g v ='（或x g v d d =），可知v 是g 的一个原函数． ②利用分部积分公式⎰⎰'-='x u v uv x v u d d经济数学基础 第5章 不定积分它的意义在于将⎰'x v u d 的计算转化为⎰'x u v d 的计算，如果后者的计算比前者简单，这种方法就获得了成功．它将一个较难的积分化为一个较简单的积分．三、例题讲解例1求⎰x x x d e ．解：令x u =，x v e ='（或x v x d e d =），1='u （或x u d d =），x v e =⎰⎰⋅-=x x x x x x x 1d e e d e c x x x +-=e e c x x +-=e )1(例2 求⎰x x x d sin ．解：令x u =，x v sin ='（或x x v d sin d =）1='u （或x u d d =），x v cos -=⎰⎰---=x x x x x x x d )cos ()cos (d sin ⎰+-=x x x x d cos cos c x x x ++-=sin cos例3求⎰x x d ln ． 解：⎰⎰⋅=x x x x d 1ln d ln令x u ln =，1='v （或x v d 1d =），x u 1='（或x x u d 1d =），x v = ⎰⎰⎰⋅-=⋅=x x x x x x x x x d 1ln d 1ln d ln c x x x +-=ln例4 求⎰x x x d ln ．解：设x u ln =，x v ='（或x x v d d =），x u 1='（或x x u d 1d =），22x v = ⎰⎰⋅-=x x x x x x x x d 12ln 2d ln 22c x x x +⋅-=221ln 222c x x x +-=4ln 222例5 求⎰-x x x d e 2．经济数学基础 第5章 不定积分解：令2x u =，x v -='e （或x v x d e d -=），x u 2='（或x x u d 2d =），x v --=e⎰⎰---+-=x x x x x x x x d e 2e d e 22⎰---+--=xx x x x x d e 2e 2e 2c x x x x x +---=---e 2e 2e 2c x x x +++-=-)22(e 2 四、课堂练习练习1 求不定积分⎰x x x d cos ． （)(sin cos '=x x ，再利用⎰⎰-=u v uv v u d d ．利用分部积分法，当被积函数是幂函数和三角函数的乘积时，用三角函数凑微分．⎰⎰⎰-==x x x x x x x x x d sin sin )(sin d d cos ） 练习2求不定积分⎰x x x d ln 2．利用分部积分法，当被积函数是幂函数和对数函数的乘积时，用幂函数凑微分．利用分部五、课后作业求下列不定积分：（1）⎰-x x x d e ；（2）⎰+x x xd e )1(；（3）⎰x x x d 2sin ； （4）⎰x x x d cos 2；（5）⎰+x x d )1ln(；（6）⎰x x x d ln 2．。
公开课(分部积分法)教案
《高职数学》公开课教案课题：§ 4。
4 分部积分法课型：讲授教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法,正确选取u 、dv ，熟练掌握分部积分法公式教学重点、难点：分部积分法及其应用，恰当选取u 、dv教学内容：一、分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为'+'='uv u (uv)v移项得 v '-'='u (uv)uv对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u ,⎰⎰-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。
二、例题例1C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cosC x x x ++=cos sin. 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv选取的一般原则:1.v 容易求得（凑微分法);2。
u vd ⎰比⎰udv 容易求。
例3求⎰dx e x x 2解： x x de x dx e x ⎰⎰=22 C e xe e x dx e xe e x dxxe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222例4求 ⎰xdx x arctan解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x [][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧(1）被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序.例6求xdx e x sin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin ⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin . 练习： (1）(2)xdx x ln 2⎰例7 求 ⎰dx e x解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此[]C x e Ce te dtte tdte dx e x t t t t x +-=+-===⎰⎰⎰)1(2 2 2 2三、小结使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv(1）原则:v 容易求得（凑微分法）; u vd ⎰比⎰udv 容易求;(2）U 的选取按 “反对幂三指”的顺序.四、作业习题4。
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《高职数学》公开课教案
课题：§ 4.4 分部积分法
课型：讲授
教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u 、dv ，熟练掌握分部
积分法公式
教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u 、dv
教学内容：
一、分部积分法
设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为
'+'='uv u (uv)v
移项得 v '-'='u (uv)uv
对这个等式两边求不定积分, 得
⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。
二、例题
例1
C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos
C x x x ++=cos sin
. 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv
选取的一般原则:1.v 容易求得(凑微分法);
2.u vd ⎰比⎰udv 容易求.
例3求
⎰dx e x x 2
解： x x de x dx e x ⎰
⎰=22 C e xe e x dx e xe e x dx
xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)
(222222
2
例4求 ⎰xdx x arctan
解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x [][]
C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 2
1)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416
x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧
(1)被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。
例6求xdx e x sin ⎰.
解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin ⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin
⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,
所以 C x x e xdx e x x +-=
⎰)cos (sin 21sin . 练习: (1)
(2)xdx x ln 2⎰
例7 求 ⎰dx e x
解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此
[]C x e C
e te dt
te tdt
e dx e x t t t t x +-=+-===⎰⎰⎰)1(2 2 2 2
三、小结
使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv
(1)原则:v 容易求得(凑微分法); u vd ⎰比⎰udv 容易求;
(2)U 的选取按 “反对幂三指”的顺序。
四、作业
习题4.3 P 109 2、（1）（4）（6）,习题4.4 P 111 1、（3）（5）（6）。