☆整式的乘法讲义

整式的乘法

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1. 我们知道a ·a ·a 可以写作a ³，读作a 的三次方或a 的立方。

同样，a ·a ·a ·……·a ·a(共n 个a)可以写作n a ，读作a 的n 次方，其中a 表示底数，正整数n 表示指数，a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂。 请完成下表：

3²+43=（3×3）+（3×3×3×3）=63 4

23+=63

（-2）3

×（-2）4= = （-2）4

3+=

=+2

4a a = 24+a =

由上表左右两列的结果，你发现什么规律吗？ 一般的，如果m,n 是正整数，那么 m a ·n

a =（a·a·a……a·a）·（a·a·a……·a） m 个a n 个a = a ·a ·a ……·a (m+n)个a

= n

m a +

同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

m a ·n

a =n m a +（m,n 都是正整数）

思考：三个或三个以上同底数的幂相乘，是否也符合上述法则？

2

a ·3a ·5a = m

a ·n a ·p a =

2. 幂的乘方 35是5的三次幂，（35）²可以看做是35的2次幂，即5的3

次幂的平方，这就是幂的乘方。

请完成下表： 2

3)5(=35·35=335+=65 2

4)3(= = =

=-4

3])2([ = = 5

3)a (= = =

由上表可知，幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n

m a )(=mn a 。（m,n 是正整数）

3. 积的乘方

观察

)53()53()53(2

⨯∙⨯=⨯=（33⨯）∙（55⨯）=2253∙

按照上述计算，你能归纳出积的乘法法则吗？

积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即

n

n n b a ab ∙=)(。（n 为正整数）

4. 整式的乘法

（1） 单项式与单项式相乘

例：一长方形的长是2a,宽是3b ，它的面积是2a ·3b ，如何计算2a ·3b ？

运用乘法交换律和结合律计算可得 2a ·3b=（2×3）·（a ·b ） =6ab

同样，6a ²·4ab=(6×4)( a a ∙2)·b=243

a b 一般的，单项式与单项式相乘有如下法则：

单项式与单项式相乘，把他们的系数同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。

（2）单项式与多项式相乘

一长方形的长是a+3,宽是2b，它的面积是（a+3）·2b.如何计算（a+3）·2b？

a 3

如图，可以看到长方形能分成两个小长方形，它们的面积和为2ab+6b.

因此这个长方形的面积是

（a+3）·2b=2ab+6b

一般的，单项式与多项式相乘有如下法则：

单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

如（p+q）·b=bp+bq或b·（p+q）=bp+bq

(3)多项式与多项式相乘

小明所在学校的操场是一个长方形，长是a米，宽是b米，

如下图所示，为了使学校的体育设施更加完善，现决定长宽

b+n

大长方形的边长分别是a+m和b+n，它的总面积为（a+m）

（b+n）,

）？

如图，将大长方形分成4个小长方形，这样它的面积为四个小长方形的面积和

ab+an+bm+mn

因此操场改善后的实际面积是

（a+m）（b+n）= ab+an+bm+mn

这里的a+m,b+n 都是多项式，（a+m ）·（b+n ）是多项式与多项式相乘。

一般的，多项式与多项式相乘有如下法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以两一个多项式的每一项，再把所得积相加。字母表示即为： （a+m ）（b+n ）= ab+an+bm+mn

练习

一、用乘法公式计算

(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1)

(3) (x+6)2

（4） (y-5)2

(5) (-2x+5)2 (6) (x-y)2

(7) (y+3x)(3x-y) (8) (-2+ab)(2+ab)

(8) (2x-3)2

(9) (-2x+3y)(-2x-3y)

34

2

3

(10) (m-3)(m+3) (11) (x+6y)

2

(12)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (13)

(x+1)(x-3)-(x+2)2

+(x+2)(x-2)

(14) (a+2b-1)2

(15) (2x+y+z)(2x-y-z)

（16）2

2)2()2()2)(12(+---+-x x x x

（17）124

1221232⨯- （18）(2x ＋3)(2x －3)

－(2x-1)2

（19）(2x ＋y ＋1)(2x ＋y －1) （20）

)3)(12(--x x

二、判断正误：对的画“√”，错的画“×”.

12

12

1

3

(1)(a-b)(a+b)=a 2-b 2； （ ） (2)(b+a)(a-b)=a 2-b 2

； （ ）

(3)(b+a)(-b+a)=a 2

-b 2

；（ ） (4)(b-a)(a+b)=a 2

-b 2

； （ ）

(5)(a-b)(a-b)=a 2

-b 2

；（ ） (6)(a+b)2

=a 2

+b 2

； （ ）

(7)(a-b)2

=a 2

-b 2

； （ ） (8)(a+b)2

=(-a-b)2

； （ ）

(9)(a-b)2

=(b-a)2

. （ ） 三、 填空题 1. ____

__________)3)(32(=-+y x y x ； 2．_____

__________)

52(2

=+y x ； 3.

____

__________)23)(32(=--y x y x ；

4.

____

__________

)32)(64(=-+y x y x ；

5. ______

__________)

22

1(2

=-y x ； 6．__

__________

)9)(3)(3(2

=++-x

x x ；

7．___________1)12)(12(=+-+x x ；8. 4

))(________2(2

-=+x x ；

9．_____________

)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ；10．

__

__________

)2()12(2

2

=+--x x ；

11

．

2

2

4)__________)(__2(y

x y x -=-+；12.

____

__________

))(1)(1)(1(4

2

=++-+x a x x x

13. 如果多项式92

+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是 。

14.如果多项式k x x ++82

是一个完全平方式，则k 的值是 。

15．

()()_________

2

2=--+b a b a ；16.