量子力学第二章2
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量子力学第二章
C (P ,t)(21)1/2
iP x
(x,t)e dx
2021/7/10
27
态叠加原理复习
若 1,2, ,n 是体系的可能状态，则它们
的线性迭加态
c 11 c 22 c nn
也是体系的可能态
物理意义：处在Ψ态上的粒子体系，则仍部
分处在Ψ1、Ψ2…..Ψn上
与经典态叠加原理的区别：经典的叠加态和
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (r,t)来描述，函数 (r,t) — 称为波函数。
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
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4
i(PrEt)
P(r,t)Ae
de Broglie 波
★如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U r,t 中 运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常 量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较 复杂的波描写，一般记为：(r,t)
d
可电能子处从在晶体P 表(r面,t)出、射P 后(，r ,t既) 可, 能等处状在态 ，P 按(r,态t)态迭，加也原
理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成 P
取各种可能值的平面波的线性叠加，即
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24
(r ,t) C (P )P (r ,t)
衍射图样正是这些平面波 叠加干涉的结果
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21
1.电子双缝衍射实验
1
1
P1
P
用缝到 1达表屏示B的粒状子态穿，过用上面 狭2
表示粒子通过下面狭缝到
达屏B的状态，再用 表
S•
D 2
2
示粒子穿过两个狭缝到达B 的状态，则有
P2
c11c22
第二章 第二节 原子磁矩
PJ H mJ
总磁量子数：mJ = J, J-1, …… -J共2J+1个可能值
按原子矢量模型，角动量PL与PS绕PJ 进动。故μL与μS也绕 PJ 进动。
第二节 原子磁矩
二、原子磁矩表达式的推导
μL与μS在垂直于PJ 方向的分量(μL)┴与(μS)┴在一个进动周期中平 均值为零。 ∴原子的有效磁矩等于μL与μS平行于PJ的分量和，即：
J gJ J J 1B
J 6.7B
如果已知原子基态光谱基项
L 2S 1 J
，则可以直接得到S、L、J
三个量子数，从而算出原子基态的磁矩。
第二节 原子磁矩 四、随堂练习 1、试计算自由原子Fe (3d6) 、Co (3d7) 、Ni (3d8) 、Gd (4f75d1) 、 Dy (4f10)等的基态具有的原子磁距μ各为多少？并写出基态光谱 基项。（课后习题1）当堂交作业
S1113
L 210 3
222 2
基态光谱基项的表示方法： 2S 1 LJ
J LS 3 2
轨道量 子数L
0
1
2
3
4
5
6
大写英 文字母
S
P
D
F
G
H
I
所以， Cr3+的基态光谱基项表示为：4 F3 2
第二节 原子磁矩
三、计算原子磁矩实例
2、Dy3+，4f9电子组态 f 电子，l = 3，磁量子数m = +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3
2、原子磁矩μJ在磁场中的取向是量子化的 μJ 在H方向的分量为：
J
mJ
J J 1
gJ mJ B
J gJ J J 1B
第二章量子力学
原子的总角动量 总角动量量子数 J 原子的总角动量 PJ = J ( J + 1) h 总角动量z分量量子数 mJ = − J , − J + 1,L, J − 1, J 原子总角动量的z分量 PJz = mJ h 角动量及其z分量与量子数之间关系的一般规律性： ⎯⎯角动量与量子数的关系为
PJ = J ( J + 1) h
远远不够。如： 四个量子数的物理含义是什么？ 固体中电子态与孤立原子相比有何差别？ ——结合成键过程中电子态如何改变
各类材料的电导率σ与载流子
材料类 超导体 导体 107～105 半导体 105～10-5 绝缘体 10-9～10-18
σ (Ω-1m-1) ≥1015
载流子
电子对 自由电子 电子、空穴 电子和/或离子
量子力学基础
1. De Broglie假设——微观粒子的波动性
（1） De Broglie假设(1924)
自由粒子 (E 、 p )∼平 面 波 (ν 、λ ) ，其中：
E = hν = hω
p = hk
间的关系为：
h = 2 π h = 6.623 × 10 −34 Js 为普朗克常数，k为粒子的波矢，它与波长之
PS = 6h
PJ = 2 5h
PSz = −2h, − h, 0, h, 2h
PJ Z = −4h, − 3h,L, 3h, 4h
亚电子层未达或超过半满时： 轨道角动量与自旋角动量分别为反平行 和平行。
氢分子中的电子态与原子结合能 固体中原子结合能一般可用下面 公式表达：
a b U (r) = − m + n r r
三、孤立原子中电子的排布与角动量合成 例：基态Fe原子(Z=26)的核外电子排布及角动量 全满的亚电子层—如3p6：L＝S＝J＝0，各角动量都为0； 未满的亚电子层为3d6：电子的排布情况
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子力学 第二章 算符理论
第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。
接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。
之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。
最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。
在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =⇔=αβ。
总之，方阵与线性变换一一对应。
由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
②微分算子：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df ∂∂∂∂ 也可简写成f f f D Df 22,,,∇∇。
前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。
简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f Dmixμ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ˆ，它的本征方程是ψ=ψλQˆ或λψψ=Q ˆ，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ˆ作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ˆ的本征值iλ。
量子力学课件第二章
2 dW ( p, t ) | c( p, t ) | dp t时刻粒子出现在动量 点附近 p dp体积元内的几率。
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
平面波归一化以后讨论
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第二章
RETURN
16
三、 波函数的统计解释
1.粒子和波关系
两种错误观点： ①电子波是电子的某种实际结构，即电子是三
维空间连续分布的某种物质的波包。 ②波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的
疏密波。
电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念 中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波 动性中最本质的东西——波的“叠加性”。电 子是具有波粒二象性的物质客体。
13
电子的双缝衍射实验
P
s1
dq
q
S
电子源 s2 Q
D
B
以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S2到达P点的 电子波振幅
E1 E0 cost,
E2
E0
cos(t
2πd
sinq )
上图中光程差S2 Q=d sinq ,在P 点电子波振幅为
E
E1
E2
2E0
cos( πd
sinq ) cos(t
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
q Bh mc
(n 0,1, 2,L )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年）
电子枪
探测器
q
q
↕d
2d sinq k
11
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
量子力学_第二章_薛定谔方程
（2）量子力学情况 1．t = t0 时刻，已知初态ψ ( r,t0) 且只知道这样一个初 条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ 对时间 的一阶导数
2．另一方面，ψ 要满足态叠加原理，即，若ψ 1( r, t ) 和 ψ 2( r, t )是方程的解，那末。 ψ ( r, t)= C1ψ 1( r, t ) + C2ψ 2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程 中只能包含ψ , ψ 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次 项，不能含它们的平方或开方项
得到了圆满解决。
（二）引进方程的基本考虑 先回顾经典粒子运动方程 （1）经典情况
dr t t 0时刻，已知初态：0 , p0 m r dt
t t 0
2 d r 粒子满足的方程是牛顿方程：F m 2 dt
• 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程
满足上述构造方程 的三个条件
所以
2 2 i t 2
由引出自由粒子波动方程知 若能量关系式 E = p2/2μ
E p 2 p
（3 ）
讨论：
写成如下方程形式：
i t
p2 (E ) 0 2
做算符替换（4）即得自由 粒子满足的方程（3）
而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：
Ze2 U i (ห้องสมุดไป่ตู้ri ) ri
假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。
2
py
2
pz 2 2 2 z
2
（三）
量子力学答案 苏汝铿 第二章课后答案2#02
d 2W dV ( ) 0 ， 相 应 的 必 有 )， 则 若 满 足 W ( 0) 0， 且 dx 2 dx
d ( ) 0. dx
(1) 证 决定 2 P 和 3D 态能级的 Schondinger 方程是 (2m
1)
批注 [JL1]:
u "
g2 2 u 2 u V u r r g2 6 v 2 v V v r r
u 2 v2 dr r r
(5)
d r
0
r
u r v 2 r dr r r
2
u 2 v 2 dr 0
0
而在 r 很大时 , 由 I r 的特性知 I r 0 , 所以 J r I r dr 0 , 综合上述可知在
U ( x) ( x d ) U ( x) 0 ( x d )
中运动，求：
（i）当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值。并据此说明“远离”的意义； （ii）至少存在一个束缚态时， U 0 和 d 应满足的条件。 解： （1） x d 时，势为无穷大，波函数 0
则 U ( x) 的束缚态不超过 V2 ( x) 的束缚态个数，而后者的束缚态个数为 [
2m a 2
] 1，
则所给的势 U ( x) 对应的束缚态个数在 [
2m a 2 m a 2 ] 和[ ] 1 之间 2
v 无节点，且满足
u(0) v(0) 0 ？
uv ' vu ' (
0
r
4 E2 P E3 D )uvdr ' F (r ) ， r '2
量子力学 第二章
当 m = 2n, k′a = nπ 时，R = 0, T =1 无反全 透。——共振透射 这正是经典的结论
2
当 m = 2n +1, k′a = (2n +1)π / 2 时，反射率取极大 值 经典认为，此时没有反射 V02 2
R = (2E −V0 )2 E−
共振透射是各透射波产生 相长干涉
2π 2a = nλ = n, k′a = nπ k′
规则势场 定
理 7 定 理 4 4
B=F=0 i. 偶宇称态 Aeβx , x < −a / 2 ψ (x) = 2C cos kx, x ≤ a / 2 Ae−βx , x >a/ 2
a / 2处 ′ /ψ连 ψ 续
k tan(ka / 2) = β
ii. 奇宇称态Aeβx , x < −a / 2 ψ (x) = 2iC sin kx, x ≤ a / 2 − k cot(ka / 2) = β
定理6 定理 若 ψ1(x),ψ2 (x) 是 Eq. S对应同一E 的解， 对应同一 的解，
ψ1 ψ2 则 =c ′ ′ ψ1 ψ2
证明： ψ ψ ′′ + (2m/ h2 )[E −V(x)] ψ = 0 证明： ψ2 1 1 2
′ - ψ2ψ1′+ (2m/ h )[E −V(x)]ψ1ψ2 = 0
对于低能入射，E 较小
ex −e−x shx ≡ 2
16E(V0 − E) 16k κ e T≈ 2 = e 2 2 2 (k +κ ) V0
2 2 −2κa
−
2a 2m(V0 −E) h
16E(V0 − E) = e 2 V0
2 − h
∫
量子力学 第2章_634109567
2
r ˆ = − h ∇ 2 + U (r , t ) ， 引入哈密顿算符 引入哈密顿算符 H 2m (Hamiltonian Operator)
2
它对应于粒子的总能量, 它对应于粒子的总能量,有： ∂ r r ˆ Ψ(r, t ) ih Ψ(r , t ) = H ∂t 非相对论情况下、 是非相对论情况下、不发生实物粒子产生和湮灭 粒子波函数满足的方程。 时, 粒子波函数满足的方程。 它是非相对论量子力学的基本方程。 它是非相对论量子力学的基本方程。 r r 给定 U ( r , t )， 解该方程就能给出 Ψ ( r , t ) 。 10
其解为
Φ( x ) = B0 e
i 2 mE ⋅ x h
p = 2mE
= B0 e
Ψ ( x , t ) = Φ( x ) ⋅ T ( t )
i p⋅ x h
i p⋅ x h
T ( t ) = Ce
i − Et h
i − Et h
= B0 e
⋅ Ce
= Ψ0 e
i − ( Et − p⋅ x ) h
5
二. 力学量的算符的引入 由以上对波函数的微分操作得到物理启示： 由以上对波函数的微分操作得到物理启示： 某一微分算符作用在自由粒子波函数上， 某一微分算符作用在自由粒子波函数上， 微分算符作用在自由粒子波函数上 相当于对该波函数乘以某一物理量 某一物理量。 相当于对该波函数乘以某一物理量。即： 对自由粒子波函数而言，某些算符和某 对自由粒子波函数而言，某些算符和某 波函数而言 些物理量是一一对应的。 些物理量是一一对应的。 可以用算符来代替相应的物理量。 可以用算符来代替相应的物理量。
ˆ （ x Ψ x , t ) = xΨ ( x , t )
r ˆ = − h ∇ 2 + U (r , t ) ， 引入哈密顿算符 引入哈密顿算符 H 2m (Hamiltonian Operator)
2
它对应于粒子的总能量, 它对应于粒子的总能量,有： ∂ r r ˆ Ψ(r, t ) ih Ψ(r , t ) = H ∂t 非相对论情况下、 是非相对论情况下、不发生实物粒子产生和湮灭 粒子波函数满足的方程。 时, 粒子波函数满足的方程。 它是非相对论量子力学的基本方程。 它是非相对论量子力学的基本方程。 r r 给定 U ( r , t )， 解该方程就能给出 Ψ ( r , t ) 。 10
其解为
Φ( x ) = B0 e
i 2 mE ⋅ x h
p = 2mE
= B0 e
Ψ ( x , t ) = Φ( x ) ⋅ T ( t )
i p⋅ x h
i p⋅ x h
T ( t ) = Ce
i − Et h
i − Et h
= B0 e
⋅ Ce
= Ψ0 e
i − ( Et − p⋅ x ) h
5
二. 力学量的算符的引入 由以上对波函数的微分操作得到物理启示： 由以上对波函数的微分操作得到物理启示： 某一微分算符作用在自由粒子波函数上， 某一微分算符作用在自由粒子波函数上， 微分算符作用在自由粒子波函数上 相当于对该波函数乘以某一物理量 某一物理量。 相当于对该波函数乘以某一物理量。即： 对自由粒子波函数而言，某些算符和某 对自由粒子波函数而言，某些算符和某 波函数而言 些物理量是一一对应的。 些物理量是一一对应的。 可以用算符来代替相应的物理量。 可以用算符来代替相应的物理量。
ˆ （ x Ψ x , t ) = xΨ ( x , t )
量子力学答案 苏汝铿 第二章2.1-2.3#03
2.1一维运动的粒子处在0() 0 0x A xe x x x λψ-⎧≥=⎨<⎩（当）（当）的态，求：(1)粒子的动量分布函数； (2)动量的平均值。
解：(1)先确定归一化常数，由 ⎰⎰∞-∞∞-==02222)(1dx ex A dx x xλψ2341Aλ=∴2/32λ=Ax xe x λλψ22/32)(-= )0(≥x 0)(=x ψ )0(<x1/23/2()(,)()1()2()2i k xi k x c p t e x d xx ex d xλψλψπ∞--∞∞-+-∞==⎰⎰31/2()()021()[]ik xik xxeedx ikikλλλπλλ∞∞-+-+-∞=-+++⎰331/21/222221()()()()xp ik iλλπλπλ==++=(2) *3ˆ()()4()xxd p x px dx i xeedx dxλλψψλ∞∞---∞-∞==-⎰⎰⎰∞∞----=dx ex x i xλλλ23)1(4⎰∞∞----=dx e x x i x λλλ223)(4 )4141(4223λλλ--= i0=2.2 设在t=0时，粒子的状态为212[s i n c o s ]A k xk xψ=+ 求粒子动量的平均值。
解：]cos )2cos 1([]cos [sin)(2121212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ]c o s 2c o s 1[2kx kx A +-=)]()(1[2212221ikxikxkxi kxi eeeeA --++--=ππ21][2221212212210⋅++--=--i k xi k xkxi kxi xi eeeeeA可见，动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2 0 动能μ22np 的可能值为μμμμ2222022222222k k k k对应的几率n ω应为 π2)161616164(22222⋅AAAAAπ2)81 81 81 81 21(A ⋅ 上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得ππω222)1644(1222⋅=⋅⨯+==∑A AA nn∴ π/1=A ∴ 动量p 的平均值为n nnp p ω=∑2222022222216161616AAAAk k k k ππππ=+-+-0=2.3粒子在势能为12(0)0 (0)()U x U x aU x a ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩当当当的场中运动，证明对于能量21U U E <<的状态，其能量由关系式11sin sinka n π--=--决定，其中k =。
量子力学-第二章-定态薛定谔方程
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt / * nm
nm
n
m
cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
（三）求解定态问题的步骤
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
n
(r ,
t
)
nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]
n
n
(erx)p(inE(rn)t
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x
量子力学第二章
注意：自由粒子波函数
i ( r , t ) A exp ( p r Et )
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是 相同的，这里的C是常数。因为在 t 时刻，空 间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之 2 2 比是： C ( r1 , t ) ( r1 , t )
波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 1 d 2 d 2 k k0 k k0 2 k k0 dk k 2 dk k
电子衍射实验
1、戴维逊-革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释， 从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获 得Nobel物理学奖。
实验装置：
入射电子注
θ
法拉第园 筒
镍单晶
实验现象：实验发现，单
( r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) (2) 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
(3)
描写的是什么样的波呢？
经典概念中
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
经典概念中 波意味着
我们再看一下电子的衍射实验
i ( r , t ) A exp ( p r Et )
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是 相同的，这里的C是常数。因为在 t 时刻，空 间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之 2 2 比是： C ( r1 , t ) ( r1 , t )
波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 1 d 2 d 2 k k0 k k0 2 k k0 dk k 2 dk k
电子衍射实验
1、戴维逊-革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释， 从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获 得Nobel物理学奖。
实验装置：
入射电子注
θ
法拉第园 筒
镍单晶
实验现象：实验发现，单
( r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) (2) 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
(3)
描写的是什么样的波呢？
经典概念中
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
经典概念中 波意味着
我们再看一下电子的衍射实验
量子力学 第二章
1 V0 k ( x a )2 2
0
V0
xa
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标 准谐振子势的形式：
1 2 V(x) = kx 2
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往 往可以用线性谐振动来近似描述。
（二）一维线性谐振子
• （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论
1 2 2 1 constant.
定理7：设V(x)是规则场（ V(x)无奇点 ）, 则方程（3）的束缚态必定不间併。
(13)
证明：对束缚态（∞）→ 0,所以（13）式中的常数=0
1 2 2 1
1 1 2 2
Ln 2 ) Ln 1 )
（三）实 例
（一）引言
（1）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx 作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d2x 2 kx x 2 x 0 其中 dt 其解为 x = Asin(ωt + δ)。这种运动称 为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。
2
n a n , a
2 又因 2 E
n 2 2 n2 2 所以 E En a 2 2 2 2 a ( n 0, 1, 2,)
2 2 2
n En 2 2 a
2 2
2
II n
n En = , 2 2 a
2 2 2 I III
n 1, 2, 3,
ψ = ψ = 0 ψ n = II 2 n sin x, n 1, 2, 3, ψ = a a
量子力学第2章
第二章：函数与波动方程P69 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?(解)设原来的薛定谔方程式是0)]([2222=-+ψψx V E m dxd将方程式左边加减相等的量ψC 得:0]})([]{[2222=+-++ψψC x V C E m dxd这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(x ψ, 从能量本征值来说,后者比前者增加了C 。
设粒子势能的极小值是V min 证明>E n Vmin(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量Ex d r V mE 322*)](2[⎰⎰⎰+∇-=υψψ其中动能平均值一定为正:x d mT 322*)2(⎰⎰⎰∇-=ψψ=⎰⎰⎰∇∇-∇∇-τψψψψd m }][{2**2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇∇+∇⋅∇-τψψτψψd md m*2*22)(2用高斯定理:τψψψψd ms d mT B∇∇+⋅∇-=⎰⎰⎰⎰⎰*2*22)(2=⎰⎰⎰∇⋅∇ττψψd m*22中间一式的第一项是零,因为ψ假定满足平方可积条件,因而0>T 因此 V V T E >+=,能让能量平均值 VV min>因此VE min>令ψψn=(本征态)则EnE =而VE n min>得证2.1设一维自由粒子的初态()/00,x ip ex =ψ， 求()t x ,ψ。
解： () /2200,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t m p x p i et x ψ2.2对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2),(t x ψ。
（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p ，能量是E ，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： p d e p t x i E px ip )()(21),(-∞-∞=⎰=φπψ （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0=t 应有 p d e p x pxip⎰∞-∞==)(21)0,(φπψ （2）但按题意，此式等于)(x δ。
量子力学讲义 第二章(2)
•
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后
， 进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概 率将 怎样随时间变化。
设描写粒子状态的波函数是： (r , t ) 在时刻t 在r点周围单位体积内粒子出现的概率（概 2 率密度）： ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | （1）
将（2）代入 （1）式中：
一、定态薛定谔方程
i [ 2 U r ] 2m t
（2）
2
2
（1）
i (r )
d f (t ) f (t )[ 2 U r ] 2 m dt 上式两边除以 ( r ) f (t )
（3）
2 i df 1 [ 2 U r ] f dt 2m
j k 其中 i x y z
（称为动量算符）
（向量算符）
问：p x
?
p x i
x
利用关系式(8)、(9)来建立在力场 中粒子波函数所满足的微分方程。 设粒子在力场中的势能为 U r ，则：
2、薛定谔方程：
三、薛定谔方程
2 p 两边乘以 p U r （10） E E U r 2m r , t 2m 2 E i t 代入上式得 i 2 U r 将 t 2m p i （11）
定态的特点 1）粒子的概率密度和概率流密度
与时间无关 因为
2 Et ( r , t ) ( r )e
t
i 2
一、定态薛定谔方程
2 (r )
显然， 0
2）能量具有确定的值 3）各力学量的平均值不随时间变化
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已知的函数。
将要的： 依然是用“本征函数族”来展开咱们的
初始波函数。
初始条件的展开
两个问题：
1.能不能？ 2.能了，那该咋整？
初始条件的展开
能展开。
展开定理：任意波函数，都可以用本征函数 族来展开。
(r )
cn n (r ),
{cn}n叫作展开系数
n
所以，
(r，0)也可以用{
第二章 一维势场
我们的目标是-算命
“三岁看老”
行星的运动-微分方程的胜利 海王星—“从笔尖下发现的行星”
微分方程的简单例子
斜抛运动
1.方程
ma
G, 就是m
d
2
r
dt 2
G
2.初始条件
给定v(t 0)
预测的两个要素
一、普遍规律
微分方程
二、具体条件
-a x a
2
2
n 2,4,6,...
形式上和书上不同，实质一样。
坐标原点在中心。
对应能量本征值为
En
n2 22 2ma2
-a/2
0
a/2
-a/2
0
a/2
能量本征方程的例子
1.无限深势阱
n
(
x)
2 sin( nx ),0 x a aa
0, elsewhere
n
(r )
En
n
(r )
Luckily...
有些事情不需要做。 只需要记忆。 需要记忆的只有寥寥几个而已。
能量本征方程的例子
1.无限深势阱
2 nx
n
(
x)
cos( ) aa 2 sin(nx ) aa
0, 其它地方
n 1,3,5,...
为两个独立部分。
简单情况的结论
坐标空间中的S.Eq.
i
(r ,
t)
[
2
2
V
(r)]
(r ,
t
)
t
其解为：
(r ,
E (r)由方程
2m
t)
E
(r
)
f
(t
)
Hˆ
E
(r )
E
E
(r（) 能量本征方程）求出
i Et
f (t) e
上述结论的推导
i
(x,
t
t)
2 2m
2 x2
( x, t )
一维谐振子
V (x) 1 kx2
2
i
(r ,
t)
t
[
2 2m
2 x 2
1 2
kx2 ]
(r , t)
不同的方程，不同在哪里？不同在于势。
总的进攻路线
S. Eq.
(r,0)
(r ,
t 动量空间中的S.Eq.
( p,t) p2
i
[ V (i
)]( p,t)
t
2m
p
就是：i ( p,t) Hˆ ( p,t)
t
Schrodinger方程
一维情况
i
(x,t)
t
[
2 2m
2 x2
V (x)]
( x, t )
自由粒子
V (x) 0
(n
1 )
2
(n 0,1,2,...)
能量本征方程的求解
实质是求解常微分方程 数学问题，不应该成为障碍。
能量本征方程，再总结一下
E (r)由方程
Hˆ
E
(r )
E
E
(r（) 能量本征方程）求出
一般而言，求得的本征函数都是一个族
{ n (r)}n0 (或者{ n (r)}n1) 对应一个n，有一个本征值En和一个对应的本征函数
下面开始重要的另外一步
搞定能量本征方程
最为关键的任务：能量本征方程
要求解能量本征方程 Hˆ E (r) E E (r) 顾名思义，就是解方程。 和线性代数中的求解本征方程类似，最后的解
有配对的两个部分： 1.能量本征值 2.本征函数族 需要注意的是： 一般而言，这样的配对（能量本征值、本征函
0)
得到对波函数的命运
(r , t)
（具体的出发点）
力学量平均值
概率|
(r , t)
|
dv
Schrodinger方程
坐标空间中的S.Eq.
i
(r ,t) [
2
2 V (r )] (r Fra bibliotekt)t
2m
引入记号Hˆ Tˆ Vˆ
就是：i (r ,t) Hˆ (r ,t)
t
)
概率分布 力学量平均值
具体的进攻路线
局部图-能量本征方程
局部图-含时部分
局部图-初始条件及展开
局部图-总装
具体的进攻路线
n
具体详解
请记住：这里唯一重要的就是前面的 路线图。 我们唯一的目标就是把这路子走通。
研究一种简单的情况
波函数含有坐标和时间。 简单情形： 条件： 如果V(r)不显含时间，则波函数可以分开
初始条件
哲学名词：决定论
普遍存在因果联系和规律性 未来可以据此预测。
量子力学是不是决定论的？
虽然粒子出现的地点不是，概率是 完全决定的。
量子力学中的算命：初值问题
两个要素→任何时刻的预测（初值问题）
Schrodinger方程(S. Eq.)
（规律）
初始条件
(r ,
t
数）有不止一对（两对、三对，甚至无数对）
能量本征方程
E (r)由方程
Hˆ
E
(r )
E
E
(r（) 能量本征方程）求出
一般而言，求得的本征函数都是一个族
{ n (r)}n0 (或者{ n (r)}n1) 对应一个n，有一个本征值En和一个对应的本征函数
n
(r)。
Hˆ
n
(r)。
Hˆ
n
(r )
En
n
(r )
给图添点东西
除了基本概念， 要记忆总共3个 具体案例。
下面是另外一步
展开初始条件（就是t=0时刻波函数）的 问题。
初始条件的展开
关于“展开”的回忆。 泰勒展开
初始条件的展开
关于展开的回忆 傅里叶展开
初始条件的展开
以前的： 都是用某一个函数的“族”来展开一个
n
(r )}n
来展开。
展开：能了，咋个实现？
即展开系数怎么求？
利用能量本征函数的正交归一性。
{ l
(nr(r),)}nm是(r一)是族本已征经函归数一（化也了叫的本能征量态本）征函数。
形式上和前面不同，皆因坐标原点选取不同，
坐标原点在左边，
实质一样。
对应能量本征值为
En
n2 22 2ma2
-a/2
0
a/2
-a/2
0
a/2
能量本征方程的例子
2.谐振子
一维谐振子(质量m)
V (x) 1 kx2 2
自然频率 k
m
能量本征函数为{ n (x)}n0
能量本征值为E n
将要的： 依然是用“本征函数族”来展开咱们的
初始波函数。
初始条件的展开
两个问题：
1.能不能？ 2.能了，那该咋整？
初始条件的展开
能展开。
展开定理：任意波函数，都可以用本征函数 族来展开。
(r )
cn n (r ),
{cn}n叫作展开系数
n
所以，
(r，0)也可以用{
第二章 一维势场
我们的目标是-算命
“三岁看老”
行星的运动-微分方程的胜利 海王星—“从笔尖下发现的行星”
微分方程的简单例子
斜抛运动
1.方程
ma
G, 就是m
d
2
r
dt 2
G
2.初始条件
给定v(t 0)
预测的两个要素
一、普遍规律
微分方程
二、具体条件
-a x a
2
2
n 2,4,6,...
形式上和书上不同，实质一样。
坐标原点在中心。
对应能量本征值为
En
n2 22 2ma2
-a/2
0
a/2
-a/2
0
a/2
能量本征方程的例子
1.无限深势阱
n
(
x)
2 sin( nx ),0 x a aa
0, elsewhere
n
(r )
En
n
(r )
Luckily...
有些事情不需要做。 只需要记忆。 需要记忆的只有寥寥几个而已。
能量本征方程的例子
1.无限深势阱
2 nx
n
(
x)
cos( ) aa 2 sin(nx ) aa
0, 其它地方
n 1,3,5,...
为两个独立部分。
简单情况的结论
坐标空间中的S.Eq.
i
(r ,
t)
[
2
2
V
(r)]
(r ,
t
)
t
其解为：
(r ,
E (r)由方程
2m
t)
E
(r
)
f
(t
)
Hˆ
E
(r )
E
E
(r（) 能量本征方程）求出
i Et
f (t) e
上述结论的推导
i
(x,
t
t)
2 2m
2 x2
( x, t )
一维谐振子
V (x) 1 kx2
2
i
(r ,
t)
t
[
2 2m
2 x 2
1 2
kx2 ]
(r , t)
不同的方程，不同在哪里？不同在于势。
总的进攻路线
S. Eq.
(r,0)
(r ,
t 动量空间中的S.Eq.
( p,t) p2
i
[ V (i
)]( p,t)
t
2m
p
就是：i ( p,t) Hˆ ( p,t)
t
Schrodinger方程
一维情况
i
(x,t)
t
[
2 2m
2 x2
V (x)]
( x, t )
自由粒子
V (x) 0
(n
1 )
2
(n 0,1,2,...)
能量本征方程的求解
实质是求解常微分方程 数学问题，不应该成为障碍。
能量本征方程，再总结一下
E (r)由方程
Hˆ
E
(r )
E
E
(r（) 能量本征方程）求出
一般而言，求得的本征函数都是一个族
{ n (r)}n0 (或者{ n (r)}n1) 对应一个n，有一个本征值En和一个对应的本征函数
下面开始重要的另外一步
搞定能量本征方程
最为关键的任务：能量本征方程
要求解能量本征方程 Hˆ E (r) E E (r) 顾名思义，就是解方程。 和线性代数中的求解本征方程类似，最后的解
有配对的两个部分： 1.能量本征值 2.本征函数族 需要注意的是： 一般而言，这样的配对（能量本征值、本征函
0)
得到对波函数的命运
(r , t)
（具体的出发点）
力学量平均值
概率|
(r , t)
|
dv
Schrodinger方程
坐标空间中的S.Eq.
i
(r ,t) [
2
2 V (r )] (r Fra bibliotekt)t
2m
引入记号Hˆ Tˆ Vˆ
就是：i (r ,t) Hˆ (r ,t)
t
)
概率分布 力学量平均值
具体的进攻路线
局部图-能量本征方程
局部图-含时部分
局部图-初始条件及展开
局部图-总装
具体的进攻路线
n
具体详解
请记住：这里唯一重要的就是前面的 路线图。 我们唯一的目标就是把这路子走通。
研究一种简单的情况
波函数含有坐标和时间。 简单情形： 条件： 如果V(r)不显含时间，则波函数可以分开
初始条件
哲学名词：决定论
普遍存在因果联系和规律性 未来可以据此预测。
量子力学是不是决定论的？
虽然粒子出现的地点不是，概率是 完全决定的。
量子力学中的算命：初值问题
两个要素→任何时刻的预测（初值问题）
Schrodinger方程(S. Eq.)
（规律）
初始条件
(r ,
t
数）有不止一对（两对、三对，甚至无数对）
能量本征方程
E (r)由方程
Hˆ
E
(r )
E
E
(r（) 能量本征方程）求出
一般而言，求得的本征函数都是一个族
{ n (r)}n0 (或者{ n (r)}n1) 对应一个n，有一个本征值En和一个对应的本征函数
n
(r)。
Hˆ
n
(r)。
Hˆ
n
(r )
En
n
(r )
给图添点东西
除了基本概念， 要记忆总共3个 具体案例。
下面是另外一步
展开初始条件（就是t=0时刻波函数）的 问题。
初始条件的展开
关于“展开”的回忆。 泰勒展开
初始条件的展开
关于展开的回忆 傅里叶展开
初始条件的展开
以前的： 都是用某一个函数的“族”来展开一个
n
(r )}n
来展开。
展开：能了，咋个实现？
即展开系数怎么求？
利用能量本征函数的正交归一性。
{ l
(nr(r),)}nm是(r一)是族本已征经函归数一（化也了叫的本能征量态本）征函数。
形式上和前面不同，皆因坐标原点选取不同，
坐标原点在左边，
实质一样。
对应能量本征值为
En
n2 22 2ma2
-a/2
0
a/2
-a/2
0
a/2
能量本征方程的例子
2.谐振子
一维谐振子(质量m)
V (x) 1 kx2 2
自然频率 k
m
能量本征函数为{ n (x)}n0
能量本征值为E n