量子力学第二章2

形式上和前面不同，皆因坐标原点选取不同，
坐标原点在左边，
实质一样。
对应能量本征值为
En

n2 22 2ma2
-a/2
0
a/2
-a/2ห้องสมุดไป่ตู้
0
a/2
能量本征方程的例子
2.谐振子
一维谐振子(质量m)
V (x) 1 kx2 2
自然频率 k
m
能量本征函数为{ n (x)}n0
能量本征值为E n
i
(x,
t
t)


2 2m
2 x2

( x, t )
一维谐振子
V (x) 1 kx2
2
i

(r ,
t)
t

[
2 2m
2 x 2

1 2
kx2 ]
(r , t)
不同的方程，不同在哪里？不同在于势。
总的进攻路线
S. Eq.
(r,0)

(r ,
t
)

概率分布 力学量平均值
具体的进攻路线
局部图-能量本征方程
局部图-含时部分
局部图-初始条件及展开
局部图-总装
具体的进攻路线
n
具体详解
请记住：这里唯一重要的就是前面的 路线图。 我们唯一的目标就是把这路子走通。
研究一种简单的情况
波函数含有坐标和时间。 简单情形： 条件： 如果V(r)不显含时间，则波函数可以分开
已知的函数。
将要的： 依然是用“本征函数族”来展开咱们的
初始波函数。
初始条件的展开
两个问题：
1.能不能？ 2.能了，那该咋整？
初始条件的展开
能展开。
展开定理：任意波函数，都可以用本征函数 族来展开。

(r )


cn n (r ),
{cn}n叫作展开系数
n
所以，
(r，0)也可以用{
n
(r)。
Hˆ
n
(r )

En
n
(r )
给图添点东西
除了基本概念， 要记忆总共3个 具体案例。
下面是另外一步
展开初始条件（就是t=0时刻波函数）的 问题。
初始条件的展开
关于“展开”的回忆。 泰勒展开
初始条件的展开
关于展开的回忆 傅里叶展开
初始条件的展开
以前的： 都是用某一个函数的“族”来展开一个

初始条件
哲学名词：决定论
普遍存在因果联系和规律性 未来可以据此预测。
量子力学是不是决定论的？
虽然粒子出现的地点不是，概率是 完全决定的。
量子力学中的算命：初值问题
两个要素→任何时刻的预测（初值问题）
Schrodinger方程(S. Eq.)
（规律）
初始条件
(r ,
t
第二章 一维势场
我们的目标是-算命
“三岁看老”
行星的运动-微分方程的胜利 海王星—“从笔尖下发现的行星”
微分方程的简单例子
斜抛运动

1.方程
ma
G, 就是m
d
2
r
dt 2

G
2.初始条件
给定v(t 0)
预测的两个要素
一、普遍规律
微分方程
二、具体条件
数）有不止一对（两对、三对，甚至无数对）
能量本征方程
E (r)由方程
Hˆ
E
(r )

E
E
(r（) 能量本征方程）求出
一般而言，求得的本征函数都是一个族
{ n (r)}n0 (或者{ n (r)}n1) 对应一个n，有一个本征值En和一个对应的本征函数
n
(r)。
Hˆ

(n

1 )
2
(n 0,1,2,...)
能量本征方程的求解
实质是求解常微分方程 数学问题，不应该成为障碍。
能量本征方程，再总结一下
E (r)由方程
Hˆ
E
(r )

E
E
(r（) 能量本征方程）求出
一般而言，求得的本征函数都是一个族
{ n (r)}n0 (或者{ n (r)}n1) 对应一个n，有一个本征值En和一个对应的本征函数
为两个独立部分。
简单情况的结论
坐标空间中的S.Eq.
i

(r ,
t)
[
2
2

V
(r)]
(r ,
t
)
t
其解为：
(r ,
E (r)由方程
2m
t)
E
(r
)
f
(t
)
Hˆ
E
(r )

E
E
(r（) 能量本征方程）求出
i Et
f (t) e
上述结论的推导
n
(r )

En
n
(r )
Luckily...
有些事情不需要做。 只需要记忆。 需要记忆的只有寥寥几个而已。
能量本征方程的例子
1.无限深势阱
2 nx

n
(
x)



cos( ) aa 2 sin(nx ) aa
0, 其它地方
n 1,3,5,...
下面开始重要的另外一步
搞定能量本征方程
最为关键的任务：能量本征方程
要求解能量本征方程 Hˆ E (r) E E (r) 顾名思义，就是解方程。 和线性代数中的求解本征方程类似，最后的解
有配对的两个部分： 1.能量本征值 2.本征函数族 需要注意的是： 一般而言，这样的配对（能量本征值、本征函
-a x a
2
2
n 2,4,6,...
形式上和书上不同，实质一样。
坐标原点在中心。
对应能量本征值为
En

n2 22 2ma2
-a/2
0
a/2
-a/2
0
a/2
能量本征方程的例子
1.无限深势阱


n
(
x)


2 sin( nx ),0 x a aa
0, elsewhere
t 动量空间中的S.Eq.
( p,t) p2
i
[ V (i
)]( p,t)
t
2m
p
就是：i ( p,t) Hˆ ( p,t)
t
Schrodinger方程
一维情况
i
(x,t)
t
[
2 2m
2 x2
V (x)]
( x, t )
自由粒子
V (x) 0
n
(r )}n
来展开。
展开：能了，咋个实现？
即展开系数怎么求？
利用能量本征函数的正交归一性。
{ l
(nr(r),)}nm是(r一)是族本已征经函归数一（化也了叫的本能征量态本）征函数。

0)


得到对波函数的命运
(r , t)

（具体的出发点）

力学量平均值
概率|
(r , t)
|
dv
Schrodinger方程
坐标空间中的S.Eq.
i
(r ,t) [
2
2 V (r )] (r ,t)
t
2m
引入记号Hˆ Tˆ Vˆ
就是：i (r ,t) Hˆ (r ,t)