第五讲 粘性流体动力学基础

度梯度为 du/dy
y
流体任意位置处的切应力 du dy
此方程即为牛顿内摩擦定律
(u+du)dt
dy u+du
y
u
udt dα
o
x
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
1. 平行平板实验
分析流体微团的运动形式时曾得出 结论：流体在某位置处的速度梯度 即为该位置处流体微团的角变形速
流体动力学仿真
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第五讲 粘性流体动力学基础
Lecture 5 Fundamental of viscous Fluid Dynamics
粘性流体动力学基础
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律 5-2 纳维-斯托克斯方程 5-3 粘性流体的伯努利方程
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
u+u
h
u
B
U=0
x
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
1. 平行平板实验
紧贴于上板的一薄层流体将以同一速度运动，当U不太大时， 板间流体将保持成薄层流动；
而离平板越远的薄
y
层，速度越小；
F
C
U
至固定平板处，速 度降为零。
u+u
h
u
B
U=0
x
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律

vx y

yz
zy




vy z

vz y

xz
zx



vx z

vz x


pxx

p

2
vx x

pyy


p

2
vy y

pzz

p
2
vz z
5-2 纳维-斯托克斯方程
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
2. 库仑实验
三种圆板的衰减时间均相等。库仑得出结论: 衰减的原因，不是圆板与液体之间的相互摩擦 ，而
是液体内部的摩擦 。
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
2. 库仑实验
库仑实验间ຫໍສະໝຸດ Baidu地验证了壁面不滑移假设：由于流体的易变 形性，流体与固壁可实现分子量级的粘附作用。通过分子 引力使粘附在固壁上的流体质点与固壁一起运动。
根据理想流体中流体微团的受力特点，结合牛顿第二定 律可得到描述理想流体运动规律的运动微分方程：
fx

1

p x

dvx dt
fy

1

p y

dvy dt
fz

1

p z

dvz dt
理想流体的运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
该方程也可由雷诺输运方程结合动量定理得到，可看作
动量守恒定律在流体中的应用。
对粘性流体（实际流体）运用类似方法同样可以得到相 应的运动微分方程——纳维-斯托克斯方程。
5-2 纳维-斯托克斯方程
在实际流体中，流体微元表面上，既有压应力p的作用，又有切应力τ 的作用，在实际流体中取出边长为dx，dy，dz的六面体微元。
一、流体的粘滞性
粘滞性是指在运动状态下，流体具有抵抗剪切变形的 能力，它是流体的固有属性。
液体
分子间内聚力
流体团剪切变形
改变分子间距离 分子间引力阻止距离改变
内摩擦抵抗变形
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
一、流体的粘滞性
粘滞性是指在运动状态下，流体具有抵抗剪切变形的 能力，它是流体的固有属性。
气体
二、牛顿内摩擦定律
3. 广义牛顿内摩擦定律
通过某点的微元体上三个相互垂直 坐标面上的九个应力分量称为该点 的应力状态，由这九个应力分量组 成的矩阵称为应力矩阵
τyz
pxx τxz dz M τxy
z pyyτyx
dy
τzx
τzy
pzz
dx
o
y
pyxxx zx
xy
p yy
zy

1. 平行平板实验
设各薄层流体的速度按直线变化，则竖直方向的速度梯度
（速度变化率）为 U/h
y
实验发现，薄层流 F
C
U
体间的切应力
u+u
F U U
Ah h
h
u
B
U=0
x
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
1. 平行平板实验
一般情况下流体的速度并不按直线变化，则竖直方向的速
金属丝上的扭矩反映了圆板附近流体中的切应力大小，通 过测量扭矩与角速度的关系可以验证牛顿内摩擦定律，并 计算流体的粘度系数µ ——旋转粘度计原理。
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
3. 广义牛顿内摩擦定律
理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不 具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力 只有正向力，无切向力。 粘性流体在运动状态下， 流体具有抵抗剪切变形 的能力。因此，作用于 流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。
xz yz

pzz

x
对称矩阵：τxy=τyx ; τxz=τzx ; τyz=τzy
pxx+ pyy + pzz =C
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
3. 广义牛顿内摩擦定律
基于Stokes假设，可得牛顿广义内摩擦定律：
xy
yx



vy x
(u+du)dt dudt dy d
率，即
d du
udt
dt dy
牛顿内摩擦定律表明：流体中的切应力与剪切变形速度成
正比，即变形趋势越大，抵抗变形的切应力越大
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
2. 库仑实验
平板实验中的假设和结论得到进一步验证
库仑把一块薄圆板用细金属 丝平吊在液体中，将圆板绕中心 转过一角度后放开，靠金属丝的 扭转作用，圆板开始往返摆动， 由于液体的粘性作用，圆板摆动 幅度逐渐衰减，直至静止。库仑 分别测量了普通板、涂腊板和细 沙板，三种圆板的衰减时间。
分子热运动
流体层相对运动 u+u
分子热运动产生流体 层之间的动量交换
u
内摩擦抵抗相对运动
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
1. 平行平板实验
设有两个足够大，相距h 很小的平行平板。中间充满一般的
均质流体，下板固定，上板在切向力F 作用下以不大的速度
作匀速直线运动。
y
F
C
U
平板面积A足够大， 以至于可忽略平板 边缘的影响。
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律
二、牛顿内摩擦定律
3. 广义牛顿内摩擦定律
在粘性流体运动中， 由于存在切向力， 过任意一点单位面积
τyz pyy
τyx
上的表面力就不一定
垂直于作用面，且各
个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上
合应力可分解为法向应力和切向应力。
5-1 粘性流体与牛顿内摩擦定律