高中数学排列组合基本原理和几种类型

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高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

1思维的开掘能力的飞跃1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2．排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．〔其中被取的对象叫做元素〕排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型12 思维的开掘能力的飞跃⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．〔规定0C 1n =〕⑴排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题〔分成几堆，无序〕．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆〔组〕，必须除以n ！，如果有m 堆〔组〕元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，防止“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑴其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？3思维的开掘能力的飞跃【例3】7名同学排队照相．⑴假设分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵假设排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶假设排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷假设排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑴假设甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶假设甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，假设ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法〔用数字作答〕．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个〔用数字作答〕．4 思维的开掘能力的飞跃5思维的开掘能力的飞跃【例7】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是〔〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例9】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例10】在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是〔〕A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．6 思维的开掘能力的飞跃【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法〔用数字作答〕．【例13】一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔〕A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种〔结果用数值表示〕．【例16】在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有〔〕种．A ．288B ．576C ．864D ．11527思维的开掘能力的飞跃【例17】从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例18】从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例19】6个人坐在一排10个座位上，问 ⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔〕A ．360B ．288C ．216D ．968 思维的开掘能力的飞跃【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有〔〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例22】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有〔〕A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题【例24】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？【例25】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？9思维的开掘能力的飞跃【例26】在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，假设千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个〔用数学作答〕．【例30】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这810 思维的开掘能力的飞跃张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有种．432；【例31】有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有〔〕 A ．1344种 B ．1248种 C ．1056种 D ．960种【例32】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种〔用数字作答〕．【例33】用1，2，3，4，5，6组成六位数〔没有重复数字〕，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________〔用数字作答〕．【例34】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有〔〕A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例35】从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到个这样的不同偶数？高中数学讲义 11思维的开掘能力的飞跃【例36】求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例37】用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个〔用数学作答〕．【例38】从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例39】从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？高中数学讲义 12 思维的开掘能力的飞跃⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种〔用数字作答〕．【例43】在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有〔〕个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430高中数学讲义 13 思维的开掘能力的飞跃【例45】从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例46】从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。

高中数学排列组合知识点

排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的xx,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同的排法乙甲丁丙三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。

如何进行高中数学排列组合计算

如何进行高中数学排列组合计算高中数学排列组合计算是高中数学的重要内容之一。

在这一领域，需要掌握一些基本的知识和技巧，才能在考试中获得好成绩。

本文将介绍如何进行高中数学排列组合计算，帮助考生提高成绩。

一、排列组合的基本概念排列组合是高中数学中的一个重要概念，属于离散数学的范畴。

排列指的是从 n 个不同元素中取出 m 个元素排成一列的可能性，记作 P(n,m)。

组合指的是从 n 个不同元素中取出 m 个元素不考虑顺序的可能性，记作 C(n,m)。

其中，n 和 m 必须满足n≥m。

二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法在计算排列 P(n,m) 时，需要使用基本原理。

基本原理指的是将不同的步骤列出来，然后计算各个步骤的可能性，最后将各个步骤的可能性相乘。

对于 P(n,m) 的计算，步骤就是选择 m 个元素然后进行排列，因此有：P(n,m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)例如，从 5 个元素中取出 3 个元素进行排列，有：P(5,3) = 5×4×3 = 602. 组合的计算方法在计算组合 C(n,m) 时，同样需要使用基本原理。

但是，组合需要注意的是，不考虑顺序的情况下，有些排列是等价的，例如ABC 和 BAC。

因此，在计算组合 C(n,m) 时，还需要除以重复的排列数。

具体来说，有：C(n,m) = P(n,m)/m!例如，从 5 个元素中取出 3 个元素进行组合，有：C(5,3) = P(5,3)/3! = 60/6 = 10三、排列组合的应用排列组合是高中数学中的一个广泛应用领域，涉及到许多实际问题。

例如，在一个小区有 5 栋楼房，每栋楼房有 10 个住户，在进行调查时，需要任选3 栋楼房，然后再随机选取一户进行调查。

这个问题涉及到从 5 个不同元素中取出 3 个元素进行组合，然后又需要从每个组合中选择一个元素进行排列，最后得到的结果就是总的调查可能性。

根据排列组合的原理，可得：C(5,3)×P(10,1) = 10×1 = 10因此，总的调查可能性为 10 种。

高中数学中的排列组合问题解析

高中数学中的排列组合问题解析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具，用于解决各种实际问题和数学题目。

排列组合问题涉及到对一组元素进行选择、排列或组合的方式和方法。

在本文中，我们将对排列组合问题进行详细解析，包括排列、组合、二项式定理等内容。

一、排列排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。

排列问题可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。

有放回排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，选取的元素在排列过程中可以重复使用。

例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行排列，可以得到以下六种排列：12、21、13、31、23、32。

无放回排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，选取的元素在排列过程中不可重复使用。

例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行排列，可以得到以下两种排列：12、21。

二、组合组合是指从一组元素中选取一部分元素按照任意的顺序进行组合的方式。

组合问题也可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。

有放回组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，选取的元素在组合过程中可以重复使用。

例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行组合，可以得到以下三种组合：11、12、22。

无放回组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，选取的元素在组合过程中不可重复使用。

例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行组合，可以得到以下三种组合：12、13、23。

三、二项式定理二项式定理是排列组合问题中的一个重要定理，它描述了两个数的幂次展开的规律。

二项式定理可以用于计算排列组合问题中的各种情况。

二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素进行组合的方式数，也称为组合数。

排列组合的基本原理

排列组合的基本原理尊敬的读者：在数学中，排列组合是一种重要的概念，它用于计算可能性和确定事件发生的方式。

本文将介绍排列组合的基本原理，包括排列和组合的定义、计算方法以及应用。

希望通过本文的阐述，您能够更好地理解和运用排列组合的基本原理。

1. 排列的定义和计算方法在数学中，排列指的是从一个集合中选取若干个元素，按照一定顺序排列的方式。

排列通常用P(n,m)表示，其中n为集合的元素个数，m 为选取的元素个数。

排列的计算方法可分为两种情况：1.1 当选取的元素个数m小于或等于集合的元素个数n时，排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!1.2 当选取的元素个数m大于集合的元素个数n时，排列的计算公式为0，即不存在这种情况。

2. 组合的定义和计算方法组合指的是从一个集合中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。

组合通常用C(n,m)表示，其计算方法可分为两种情况：2.1 当选取的元素个数m小于或等于集合的元素个数n时，组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)2.2 当选取的元素个数m大于集合的元素个数n时，组合的计算公式为0，即不存在这种情况。

3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中的应用非常广泛，下面举几个例子来说明：3.1 生日排列问题：假设有5个人，每个人的生日在一年中任意选择。

我们可以用排列来计算不考虑年份的情况下，5个人生日的所有可能排列数量。

根据排列的计算公式，可知P(365,5)即为所求。

3.2 钥匙排列问题：某人有5把钥匙，但只有其中一把能打开家门。

每次进门都尝试一把钥匙，直到能够打开为止。

这个过程中，我们可以用排列来计算需要尝试的所有可能方式的数量。

根据排列的计算公式，可知P(5,5)即为所求。

3.3 选课组合问题：某学校的学生需要选择4门选修课，而学校提供了8门选修课供选择。

我们可以用组合来计算学生选择的所有可能组合的数量。

根据组合的计算公式，可知C(8,4)即为所求。

高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用

高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m L.分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m L.2 排列数公式：m nA =)1()1(m n n n =！！)(m nn .(n ，m ∈N *，且mn )．规定1!0.3 组合数公式：mn C=m n m mA A =m m n n n 21)1()1(=！！！)(m n m n (n ∈N *，m N ，且m n ).组合数的两个性质:(1)mn C=m n nC;(2) m n C+1m nC=mn C1.规定10nC.4 二项式定理nn nrrn r nn nn nnnnbC ba C baC ba C a Cb a222110)(;二项展开式的通项公式rrn r nrb a C T 1)210(n r ，，，.2012()()nnn f x ax b a a xa xa x L 的展开式的系数关系：012(1)na a a a f L；012(1)(1)nna a a a f L；0(0)a f 。

5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B).n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1·A 2·…·A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n )．7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).kk n kn nP k C P P 8 数学期望：1122n nEx P x P x P LL数学期望的性质（1）()()E a b aE b . （2）若～(,)B n p ,则E np .(3)若服从几何分布,且1()(,)k P k g k p qp ，则1E p .9方差：2221122n nDx Ep x Ep x Ep LL标准差：=D .方差的性质：(1)2D a ba D ；(2）若～(,)B n p ，则(1)D np p .(3)若服从几何分布,且1()(,)k P k g k p qp ，则2q Dp.方差与期望的关系：22DE E.10正态分布密度函数：22261,,26xf x ex ，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.对于2(,)N ，取值小于x 的概率：xF x .12201x x P x xP x x x P 11)(x f 在0x 处的导数（或变化率）：0000()()()limlimx x xxf x x f x yf x yx x .瞬时速度：00()()()limlimttss tt s t s t t t .瞬时加速度：()()()limlimttvv tt v t av t tt.12函数)(x f y 在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y在点0x 处的导数是曲线)(x f y在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ，相应的切线方程是))((000x x x f y y.13 几种常见函数的导数：(1)0C （C 为常数）.(2) 1()()nn x nx nQ .(3) x x cos )(sin .(4) x x sin )(cos . (5) xx 1)(ln ；1(log )log a a x e x .(6) xxe e )(; a a a xxln )(.14 导数的运算法则：（1）'''()uv uv .（2）'''()uv u vuv .（3）'''2()(0)uu v uvv vv.15 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(x f ，右侧0)(x f ，则)(0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧0)(x f ，右侧0)(x f ，则)(0x f 是极小值.16 复数的相等：,a bi c di ac bd .（,,,a b c dR ）17 复数za bi 的模（或绝对值）||z =||a bi =22ab .18 复平面上的两点间的距离公式：22122121||()()d z z x x y y （111z x y i ，222z x y i ）.19实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20axbxc，①若240b ac ,则21,242bbacx a ;②若240b ac ,则122bx x a;③若240bac，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b bac ixbac a.20解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．21解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？22排列数公式是：组合数公式是：排列数与组合数的关系是：m nm nCm P ！组合数性质：m nC =m n nCm nC+1m nC=m n C1nr r nC=n21121r n r n r r r r r rCC CCC二项式定理：nn nrrn r nn nn nnnnbC baC b aC b a C a C b a 222110)(二项展开式的通项公式：rrn r nrb aC T 1)210(n r，，，概率统计23有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。

高中数学排列组合总结及例题解析

高中数学排列组合总结及例题解析内容总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n mn m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C典例分类讲解：一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

高中数学排列组合与组合

高中数学排列组合与组合排列组合和组合是高中数学中重要的概念和方法。

在解决实际问题时，排列组合和组合可以帮助我们进行正确的计数和计算。

本文将详细介绍高中数学中的排列组合和组合，包括相关定义、基本原理、计算方法以及实际应用。

一、排列组合的定义和基本原理排列指的是从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的方式，可以记作P(n,r)。

排列的基本原理是乘法原理，即每个元素在选择过程中只能使用一次，因此排列的总数为n乘以n-1乘以n-2...直到乘以n-r+1，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘。

组合指的是从n个元素中无序选择r个元素的方式，可以记作C(n,r)或者nCr。

组合的基本原理是除法原理，即在计算过程中忽略元素的顺序，因此组合的总数为排列的总数除以r的阶乘。

二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且每个元素只能使用一次，计算排列数的公式为P(n,r)=n!/(n-r)!2. 组合的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且忽略元素的顺序，计算组合数的公式为C(n,r)=P(n,r)/r!三、排列组合的实际应用排列组合和组合在实际问题中有广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、统计学等领域。

1. 概率计算：(1) 在抽奖、赌博、随机事件中，排列组合可以帮助我们计算不同情况出现的概率，从而更好地进行决策。

2. 空间排列：(1) 在桌面布局、家居摆放等情况下，排列组合可以帮助我们计算不同物体摆放的方式和数量，从而使空间更加美观和合理。

3. 信息编码：(1) 在计算机科学、通信工程等领域，排列组合可以帮助我们计算不同编码形式的总数，从而提高信息传输的效率和安全性。

4. 运输和配送：(1) 在物流、配送等领域，排列组合可以帮助我们计算不同运输方式和路径的总数，从而优化运输方案和节约成本。

四、排列组合的实例分析为了更好地理解排列组合和组合的应用，下面以实际问题为例进行分析：问题：某个班级有10个学生，其中3个学生将参加篮球比赛，请问从这10个学生中选择3个学生参赛的方式有多少种？解答：根据组合的计算方法，C(10,3) = 10!/(3!(10-3)!) = 10!/(3!7!) = 120 种。

高中数学排列组合知识讲解

模块九排列与组合、二项式定理第一部分：排列、组合一。

计数原理加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m 类，每一类的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1+N 2+N 3+…..+N m 种方法。

（又称分类计数原理）乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m 步，每一步的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1⨯N 2⨯N 3⨯…..⨯N m 种方法。

（又称分类计数原理）分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。

正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。

排列数、组合数的定义①排列数：从n 个元素中取出m 个排成一列（即排入m 个位置），共有mn A 种排法。

A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）.特别的：!n A nn = ②组合数：从n 个元素中取出m 个形成一个组合，共有mn C 种取法。

C m n =!)!(!m m n n -特别地：1,10==nn n C C组合数的两个性质：（1）C m n =C mn n-；（2）C m n 1+=C m n +C 1-m n. 三。

解决排列、组合问题的四大原则及基本方法1. 特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．范例甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（）Ａ．90种Ｂ．89种Ｃ．60种Ｄ．59种解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有25C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有24C 种；③仅剩2天安排丙有22C 种．由分步乘法计数原理可得一共有22254260C C C =··种，即选Ｃ．评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则该原则充分体现了mmmn m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要的重复与遗漏．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）．Ａ．12种Ｂ．24种Ｃ．36种Ｄ．48种解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有24C 种分法，再将这三组分配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有234336C A =·种不同分配方案．评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有34372A =·种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则．3.正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到１件次品的不同取法的种数是（）Ａ．12694C CＢ．12699C CＣ．3310094C C -Ｄ．3310094A C -解析：从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，即从94件正品中取3件正品有394C 种取法，所以满足条件的不同取法是3310094C C -，故选Ｃ．如果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本例最易迷惑人的是Ｂ：12699C C ，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次品为ABCDEF ，正品为甲乙丙丁戊…则12699C C 可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复．评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则． 4.策略针对原则不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．①相邻问题捆绑法（整体法），不相邻问题插空法人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中数学排列组合必懂方法

高中数学排列组合必懂方法.doc高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类nm1办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么nmm2n完成这件事共有:Nmmm,，，，12n种不同的方法(2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步nm1有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共nmm2n有:Nmmm,，，，12n种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件( 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.1C 先排末位共有 31C 然后排首位共有 41313CACA 最后排其它位置共有 4434 113CCA,288 由分步计数原理得 434位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 1练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中数学排列组合知识点总结

高中数学排列组合知识点总结排列组合是高中数学中的一个重要概念，涉及到数学中的选择、排列和组合等问题。

在解决实际问题中，排列组合常常能够提供有效的理论框架和计算方法。

本文将对高中数学中的排列组合知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这一内容。

一、基本概念在开始讨论排列组合知识点之前，先来明确一些基本概念。

1.排列（Permutation）指的是从给定的一组元素中选出若干个元素按照一定的顺序进行排列。

2.组合（Combination）指的是从给定的一组元素中选出若干个元素进行组合，不考虑其顺序。

二、排列计算1.排列定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素进行排列，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列。

记作A(n,m)或P(n,m)。

2.排列计算公式：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1到n的所有正整数相乘。

三、组合计算1.组合定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素进行组合，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合。

记作C(n,m)。

2.组合计算公式：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)四、问题求解1.排列问题求解步骤：a.明确问题的条件和要求；b.根据问题的条件和要求确定排列的范围和规模；c.根据排列计算公式进行计算；d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。

2.组合问题求解步骤：a.明确问题的条件和要求；b.根据问题的条件和要求确定组合的范围和规模；c.根据组合计算公式进行计算；d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。

五、常见问题类型1.选择问题：从给定的选项中选择若干个进行排列或组合。

2.分组问题：将一组元素进行分组排列或组合。

3.座位问题：将若干个人或物品按不同的排列规则安排座位。

4.商业问题：涉及到商品的排列和组合。

5.应用问题：将排列组合运用到实际生活和科学研究中。

六、应用示例1.案例一：某队伍有7名运动员，其中需要选出3名队员参加比赛，有多少种不同的选择方式？解答：根据组合计算公式C(7,3)，可以得到答案为35种。

第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)

第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)第十三章排列组合与概率一、基础知识．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有1种不同的方法，在第2类办法中有2种不同的方法，……，在第n类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事一共有N=1+2+…+n种不同的方法。

．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有1种不同的方法，第2步有2种不同的方法，……，第n步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=1×2×…×n种不同的方法。

．排列与排列数：从n个不同元素中，任取个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个排列，从n个不同元素中取出个元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的排列数，用表示，=n…=,其中,n∈N,≤n,注：一般地=1，0！=1，=n!。

．N个不同元素的圆周排列数为=!。

．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出个构成原集合的一个子集。

从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的组合数，用表示：．组合数的基本性质：；；；；；。

．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。

[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。

反之B中每一个解,将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。

故定理得证。

推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为推论2从n个不同元素中任取个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的可重组合，其组合数为．二项式定理：若n∈N+,则n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。

高中数学-排列组合13种方法精讲

排列组合1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

3、排列及排列数：（1）排列：排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的个数，（2）排列数公式()()1.nnA mn=m-⋅⋅⋅-1+n全排列：4、组合及组合数：（1）组合：组合数：（2）\计算公式：.5、组合数的性质：1、捆绑与插空法：例1．8位同学排成一队，问：⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？⑵甲乙不相邻，有多少种排法？⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）2、定序问题缩倍法：例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。

现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）例2．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A,B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?3、标号排位问题分步法：例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种例2．将标有1, 2,… 10的10个小球投入同样标有1, 2,… 10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?4、有序分配问题逐分法：例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）种A. 1260B. 2025C. 2520D. 5040例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）种A 、4448412C C C B 、44484123C C C C 、3348412A C C D 、334448412A C C C例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本.5、隔板法：例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?6、多元问题分类法：例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A. 210个B. 300个C. 464个D. 600个例2．（1）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（2）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）共有多少种？7、至少问题间接法：例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种A. 140B. 80C. 70D. 35例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。

高中数学概率与统计( 排列组合)

排列组合一、分类、分步原理（一）分类原理：12n N m m m =+++.分类原理题型比较杂乱，须累积现象。

几种常见的现象有：1．开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类.2．数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数. 3．球赛得分：根据胜或负场次进行分类. （二）分步原理：12n N m m m =⨯⨯⨯.两种典型现象： 1．涂颜色(1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块(2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举. 2．映射按步骤用A 集合的每一个元素到B 集合里选一个元素，可以重复选.二、排列、组合（一）常规题型求情况数1.直接法：先排(选)特殊元素，再排(选)一般元素。

捆绑法，插空法.2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数. （二）七种常考非常规现象1．小数量事件需要分类列举：凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举 2．相同元素的排列：用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序 3．有序元素的排列:用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序 4．剩余元素分配：有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。

5．迈步与网格现象:要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况. 6．立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数 7．平均分组现象:先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n 组，就除以nn A ，有几套平均分组就除几个xx A .（三）排列数，组合数公式运算的考察1.排列数公式mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 2. 组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 3. 组合数的两个性质(1)mn C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .4. 排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 【题型体系】一、分类计数原理与分步计数原理（一）选（排）人选（排）物1.某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法有（）Ａ．14 Ｂ．24 Ｃ．28 Ｄ．482.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种3.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）（A ）280种（B ）240种（C ）180种（D ）96种（二）.染色1.用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，如果每一个涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么涂色的方法有__________种。

高中数学中的排列组合详细分析

高中数学中的排列组合详细分析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具。

它不仅在数学中有广泛的应用，还在实际生活中起着重要的作用。

本文将对排列组合进行详细的分析，包括定义、性质和应用等方面。

一、排列组合的定义排列和组合是两个不同的概念，但它们都属于离散数学中的组合数学。

在讨论排列组合之前，我们先来了解一下它们的定义。

1. 排列排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式。

在排列中，元素的顺序是重要的。

假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，那么排列的总数记作P(n,r)。

排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。

2. 组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的方式。

在组合中，元素的顺序是不重要的。

假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，那么组合的总数记作C(n,r)。

组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!*(n-r)!)二、排列组合的性质排列组合具有一些重要的性质，这些性质在解决问题时起到了关键的作用。

1. 乘法原理乘法原理是指，如果一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件同时发生的方式有m*n种。

在排列组合中，乘法原理可以用来计算多个事件同时发生的方式数。

2. 加法原理加法原理是指，如果一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件不可能同时发生，那么这两个事件发生的方式总数为m+n种。

在排列组合中，加法原理可以用来计算两个事件发生的方式总数。

3. 组合恒等式组合恒等式是指，对于任意的非负整数n和r，有以下恒等式成立：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)这个恒等式的意义在于，将n个元素中的一个元素作为特殊元素，分为两种情况：特殊元素被选中，和特殊元素不被选中。

这样就可以将原问题转化为两个子问题，通过加法原理求解。

高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

一．基本原理1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。

四．处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法：②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：分类不重复不遗漏。

即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。

在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48．例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

高中数学-排列组合21种模型

高中数学-排列组合21种模型1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.)1()2)(1(+---=m n n n n A m n )!(!m n n -=2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m nm n +---== )!(!!m n m n -=1、特殊元素和特殊位置优先策略：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

（转化思想，转特殊选排为任意，便能用排列数，减少分步次数）例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =2.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.（同样是转化思想）例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中数学排列组合的性质及相关题目解析

高中数学排列组合的性质及相关题目解析在高中数学中，排列组合是一个重要且常见的概念。

它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也有着实际的意义。

本文将从排列组合的性质出发，结合具体的题目进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握排列组合的知识。

一、排列的性质及相关题目解析排列是从给定的元素中选取若干个进行排列，它的性质主要包括全排列和部分排列两种情况。

1. 全排列全排列是指从给定的n个元素中选取n个进行排列，排列的顺序不同即视为不同的排列。

全排列的个数可以通过n!（n的阶乘）来计算。

例如，有4个元素A、B、C、D，它们的全排列个数为4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

2. 部分排列部分排列是指从给定的n个元素中选取m个进行排列，排列的顺序不同即视为不同的排列。

部分排列的个数可以通过A(n, m)来计算，其中A代表排列数。

例如，有4个元素A、B、C、D，从中选取2个进行部分排列，部分排列的个数为A(4, 2) = 4 × 3 = 12。

下面通过具体的题目来进一步说明排列的性质。

题目1：某班有5名学生，要从中选取3名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可知，从5名学生中选取3名学生进行排列。

由于顺序不同即视为不同的排列，因此这是一个部分排列问题。

根据部分排列的计算公式A(n, m)= n × (n-1) × ... × (n-m+1)，可得部分排列的个数为A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60。

所以，有60种不同的选取方式。

题目2：某班有5名学生，要从中选取3名学生参加数学竞赛，如果其中一名学生必须参加，请问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可知，从5名学生中选取3名学生进行排列，并且其中一名学生必须参加。

这个问题可以转化为从剩下的4名学生中选取2名学生进行排列。