三等厚度轮盘的应力计算
力学专业课程毕业论文高速回转圆盘的应力与应变理论分析
高速回转圆盘的应力与应变理论分析由于结构在真空环境下进行髙速的回转运动，在支撑、阻力的影响都忽略的情况下，首先想到结构是由于离心力的作用而发生的破坏。
目前工程上常用的计算髙速回转圆盘的方法有两种：一种是二次应力法，它是将圆盘简化为平面应力问题来求解，列出力平衡的微分方程;另一种方法是采用有限元法。
一、轮盘应力分析的一般理论回转圆盘的应力应该是三向应力，即径向应力周向应力轴向应力但由于轴向应力通常较径向应力和周向应力小得多，可认为回转圆盘仅受两向应力而把轴向应力 O■。
略去不计。
对于轴向厚度小于外直径1/4的薄圆盘是比较合适的。
图所示圆盘，盘的内半径为心，外半径为尺°,厚度y比外半径要小得多，且随半径r 而变化。
当该盘以角速度回转①在回转圆盘上切岀一个微块，当圆盘以角速度血旋转时，该微块的离心力为dp = dm・厂ar = pdV ・ rco" = pyrco^drdO图x・x变厚度圆盘在离心力作用下受力分析 a）对微元体进行受力分析：微元体所受到的载荷：①上表而径向力小②下表面径向力碍：③轴向载荷久④离心力dpb)对微元体列写平衡方程：de dy d0 7 ?(er,. + —— Jr)(y +—Jr)(r + dr)dO一a r yrdO一2(r&ydrsin ——+ pyrco^drdO = 0 dr dr 2由于是一个微量，所以sin —2 2 整理上式，并略去髙阶微量得E / x E (du咕口7(6*＞刁乔七 刃=(% + 〃£)=__r —+“1 一“1一〃 "经化简，并令如得即为任意不等厚回转圆盘在离心力作用下产生变形的微分方程。
二.几种特殊情况2.1等厚度盘对于等厚度盘，尸常量，因此—=0,叫翌=0 dr dr 于是d^it 1 du u一 + ------ -- — = -Ardr r dr 厂几何方程: 物理方程:(2,2)(2,4)f 1 丄〃(In y)) du 'M(ln y) _ 1 L lrdr ) drk rdrr 2 丿(2,5)(2,6)将上式代入式d 2u= -Ar或者1 cl(ur)= -Ar积分得“ =—d/+c/+£i,式中G G为积分常数。
旋转圆盘应力计算
旋转圆盘应力计算一、几何模型及计算相关参数本题用全三维模型计算旋转等温等厚空心圆盘周向应力和径向应力随半径变化规律。
圆盘的计算参数如下：圆盘外半径Ra=0.27m内半径R0=0.1m圆盘厚度2mm材料密度7800kg/m3弹性模量E=2e5泊松比υ =0.3转速盘缘无外载，无温度载荷二、有限元模型有限元全三维模型如下图定义的单元类型为solid186，单元数为121，节点数为972，位移边界条件为：两个关键点施加X方向约束，两个关键点施加Y方向约束，三个节点施加Z方向约束，网格信息如下图：三、计算结果计算后的周向应力和径向应力分布云图如下：设置一条路径，均分20段，XG从0.1变化到0.27。
径向应力SX和轴向应力SY变化如下计算数据XG 0.1 0.1085 0.117 0.1255 0.134 0.1425 0.151 SX 0.00E+00 1.43E+07 3.63E+07 5.82E+07 7.63E+07 8.01E+07 8.39E+07 SY 4.85E+08 4.56E+08 4.25E+08 3.93E+08 3.65E+08 3.48E+08 3.31E+080.1595 0.168 0.1765 0.185 0.1935 0.202 0.21058.77E+07 9.14E+07 9.24E+07 8.68E+07 8.12E+07 7.57E+07 7.02E+073.15E+08 2.98E+08 2.84E+08 2.73E+08 2.61E+08 2.50E+08 2.39E+080.219 0.2275 0.236 0.2445 0.253 0.2615 0.276.47E+07 5.57E+07 4.49E+07 3.40E+07 2.30E+07 1.21E+07 1.04E+062.27E+08 2.17E+08 2.06E+08 1.96E+08 1.86E+08 1.75E+08 1.65E+08四、网格加密收敛性检验加密后网格模型如下定义的单元类型为solid186，单元数为2295，节点数为16650，网格信息如下图：应力随半径变化计算结果如下：同样和上次一样，计算数据如下：XG 9.95E-02 0.10803 0.11655 0.12506 0.13358 0.14209 0.15061 0.15912 SX 83899 2.92E+07 5.07E+07 6.67E+07 7.79E+07 8.54E+07 9.02E+07 9.26E+07 SY 4.83E+08 4.45E+08 4.13E+08 3.87E+08 3.65E+08 3.45E+08 3.28E+08 3.12E+08 0.16764 0.17615 0.18467 0.19318 0.2017 0.21021 0.21873 0.22724 9.28E+07 9.12E+07 8.80E+07 8.36E+07 7.79E+07 7.12E+07 6.35E+07 5.49E+07 2.98E+08 2.84E+08 2.72E+08 2.60E+08 2.49E+08 2.38E+08 2.27E+08 2.16E+08 0.23576 0.24427 0.25279 0.2613 0.26982 4.54E+07 3.52E+07 2.41E+07 1.24E+07 35907 2.06E+08 1.95E+08 1.85E+08 1.74E+08 1.64E+08加密后的网格计算结果在图线上看来更加精确，可以判断出随着网格划分的越精细，有限元计算机误差会更小，故收敛性检验成功。
ANSYS关于等厚旋转圆盘的模拟与验证
ANSYS关于等厚旋转圆盘的模拟与验证
下图引自->弹性力学--第四版--上册--徐芝纶，关于等厚旋转圆盘的径向及环向应力计算公式（第70页），采用ANSYS对其进行模拟与验证以说明等厚旋转圆盘的径向及环向应力计算公式的合理及ANSYS处理问题的强力，图中， 为密度（ANSYS实例取7.85e-9t/mm3）， 为角速度（ANSYS实例取10rad/s）， 为圆盘外径（ANSYS实例取100mm）， 为泊松比（ANSYS实例取0.29）。
图1 等厚旋转圆盘应力计算公式
采用plane183单元，材料为钢材，属性：弹性模量E=2.06E5MPa，泊松比μ=0.29，密度ρ=7.85e-9t/mm3，圆盘有限元模型示意图见图2。
图2 有限元模型示意图
图3为圆盘径向应力图，图4为圆盘环向应力图，选取圆盘中心及边缘位置应力数值模拟值及理论公式计算值进行对比，见表1，二者相差比较小，表明理论公式与数值模拟具有很好的一致性，不得不惊叹于前人的理论功底与ANSYS的强力！
图3 圆盘径向应力云图
图4 圆盘环向应力云图
表1 旋转圆盘有限元模拟及理论计算对比
圆盘中心径向及环向应力值/MPa 圆盘边缘径向
应力值/MPa
圆盘边缘环向
应力值/MPa
理论值0.003228 0 0.001393 模拟值0.003229 -4.756e-6 0.001393。
第6章 高速回转元件的强度和转轴的临界转速讲诉
2 Ra2
R02
Ra2 R02 R2
1 3 3
R2 当R
R0时，内孔处周向应力为最大
t0
27
t0
3
8
2
Ra2
R02
Ra2 R02 R0 2
1 3 3
R0 2
2
4 3600
3
1
8
2、受力分析
1）作用在内表面的径向应力 r
N2 r Rd y 2）作用在外表面的径向应力 r d r
径向力 N1 ( r d r )(R dR)d ( y dy)
3）作用在两侧面的周向应力 t
周向力在垂直方向的分力
F
sin
2
t
(3
) Ra2
(1
) R02
在轮盘外径R＝Ra处，
( r )Ra 0
( t )Ra
2 4
(3 )R02 (1 )Ra2
(v)Ra
2 4E
Ra
(3
) R02
(1
) Ra2
r
3 8
2 Ra2
R02 R2
Ra2 R02
ra
R02
Ra2 R2
Ra2
1 R02
r
0
3
8
2 Ra2
R02
Ra2 R02 R2
R2
t
某航空发动机涡轮盘和叶片的强度分析与寿命计算
西北工业人学硕士学位论文第三章（２）采用大枞树形榫头榫槽；（３）涡轮盘的前后端面还有轴向凸边，凸边外缘车有封严蓖齿，在涡轮盘的前面有加装平衡块的径向凸缘，凸缘上钻有小孔。
３．３．２涡轮盘的有限元计算模型１．实体模型的建立为了减少计算时间，提高效率，切去封严蓖齿及凸缘上的小孔。
涡轮盘在结构上呈现旋转周期性（捌，即绕其转轴转动口＝２ｎ，／Ｎ（Ｎ为叶片数）角度后，结构的几何形状和转动前完全一样。
取５．２９。
的扇形对称体进行三维有限元计算，这样在该扇区沿周向拷贝６８份之后，恰好为整个涡轮盘。
涡轮盘的计算模型在ＵＧ中建立，整体轮盘模型如图３．１所示；取其１／６８扇形区域如图３．２所示。
计算坐标系采用柱坐标系，其中ｘ轴表示涡轮盘的径向，Ｙ轴表示周向，ｚ轴表示轴向，坐标原点位于轮盘形心。
图３．１整体涡轮盘模型图３．２１／６８扇形区模型２．有限元网格的划分由于涡轮盘的形状不规则，因而使得对模型进行的有限元划分变得十分困难。
在圆角过渡等区域经常出现包含奇异角的单元，在计算过程中会在造成刚度矩阵奇异．使计算失败，这就需要手工划分来避免奇异单元的产生。
而且，在划分时，容易产生应力集中的区域采用较密的网格，同时为了减少单元的数量，需要进行疏密过渡。
在模型划分好后，仔细检查模型是否有缺陷存在，若塑！！三些查兰堡主兰堡堕塞堑三童模型中包含了不为人知的单元空洞、重合节点等缺陷，会造成计算结果不准确，严重的还会使计算根本偏离了预期方向，甚至使计算进行不下去。
对于涡轮盘的有限元网格均采用六面体八节点单元。
考虑到轮盘比较复杂，为了能够划分六面体单元，对涡轮盘的实体几何模型进行了分割，其中涡轮盘轮缘以Ｅ榫槽部分分割为１８个体，划分为５４６个单元，１１４３个节点，如图３．３所示；轮缘以下部分分割为２０个体，划分了１０７０个单元，１６０３个节点，如图３．４所示。
（ａ）儿何模型（ｂ）有限元模型幽３．３涡轮盘榫槽部分有限元模型（ａ）儿何模型（ｂ）有限元模型图３．４涡轮柱扇区有限元模型３．４涡轮盘的材料参数该型发动机涡轮盘采用ＧＨ４１６９合金材料，它是以体心四方的广和面心立方的／相沉淀强化的镍基高温合金，在一２５３～７００。
滚动轴承的受力分析、载荷计算、失效和计算准则
Fr /(2Y)
角接触轴承附加轴向力的方向是由轴承外圈的宽边指向窄边，通过内圈作用于轴上。角接触轴承一般应成对使用。
图9角接触轴承所受的轴向载荷
计算角接触轴承所受的轴向载荷Fa1、Fa2时，要同时考虑附加轴向力FSl、FS2和作用于轴上的其他工作轴向力FA。如图9，若FSl＋FA＞FS2，由于轴承Ⅱ的右端已固定，轴不能向右移动，根据轴系轴向力的平衡关系，则Fa2= FSl＋FA；同理，若FS2＞FSl＋FA，则Fa2 = FS2。因此，轴承Ⅱ所受的轴向力必然是下列两值中较大者
Fa2 = FS2（2)
Fa2= FSl＋FA(-3)
用同样方法分析，可得轴承Ⅰ所受的轴向力是下列两值中较大者
Fa1= FSl(4)
Fa1 = FS2－FA(5)
当轴上轴向力FA与图示方向相反时，FA应取负值。
3.滚动轴承的失效和计算准则
滚动轴承的主要失效形式有：
（1）滚道和滚动体表的疲劳点蚀滚动轴承工作时内、外套圈间有相对运动，滚动体既自转又围绕轴承中心公转，滚动体和套圈分别受到不同的脉动接触应力。工作若干时间后，各元件接触表面上都可能发生接触疲劳点蚀。点蚀会使轴承工作时振动、噪声和发热急剧增大。
计算各种角接触轴承附加轴向力的公式可查表5。表中Fr为轴承的径向载荷；e为判断系数，查表6；Y为圆锥滚子轴承的轴向动载荷系数，查表7。
表-5角接触轴承附加轴向力公式
轴承类型
角接触球轴承
圆锥滚子轴承
70000C(α=15°)
70000AC(α=25°)
70000B(α=40°)
30000
FS
eFr
0.68Fr
角接触轴承受径向载荷Fr时，会产生附加轴向力FS。图8所示轴承下半圈第i个球受径向力Fri。由于轴承外圈接触点法线与轴承中心平面有接触角α，通过接触点法线对轴承内圈和轴的法向反力Fi将产生径向分力Fri；和轴向分力FSi。各球的轴向分力之和即为轴承的附加轴向力FS。按一半滚动体受力进行分析，有
4-72-11 №10 叶轮后盘切应力计算
据
1.2.05 050301-5 4-72-11 №10 风机叶轮后盘最大切应力计算 ( 参考《风机手册》第2版 第五章第三节第一小节 例 (5-5)) 专利代号：ZL 02 2 14256 .8 （安装软件：Excel 2003） 第五章 风机的用途、结构、材料、强度
（ 黑三角 ▲ 置换法 ）
第三节 风机强度计算
一、通风机的强度计算
例 (5-5) 4-72-11 №10 离心通风机叶轮后盘为钢板制成的等厚圆盘。
在已知圆盘厚度、内外径、叶轮最大转速、单个叶片质量、叶轮中心至
叶片重心的半径、叶片数量等条件下，求叶轮后盘的最大切应力。
（见正文图5-51 图5-52 图5-53）
解 4-72-11 №10 风机叶轮后盘最大切应力计算见下表
( 续 )
（ 续 ）
ψ
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ψ
警示：在上述表中的 ▲ 表示 :
1) 在右侧单元格中用新的数值置换上一次试验时用过的数值
2) 或者默认在右侧单元格中保留了上一次试验时用过的数值，而不需作任何工作。
以下全同。
3) 必须确认上述两项确实实现
4) 一定要重新置换、默认，否则你所见到的是上一次试验时采用过的（这一次应置换）数值残留。
材料
σ
]130
s σ=]180
s σ=
图5-51 等厚圆盘
a）后（中盘）、平前盘 b） 圆锥前盘 c） 圆弧前盘
图5-52 圆盘重心示意图
图5-53 叶片离心力示意图
编写人员：
青岛大学程利荣
大连海事大学袁川广
南方航空樊斌
沈阳鼓风机研究所续魁昌
临沂市风机厂盖京方魏如彬路新艳张京亮孔祥飞。
滚动轴承的校核计算及公式
滚动轴承的校核计算及公式1 基本概念1．轴承寿命：轴承中任一元件出现疲劳剥落扩展迹象前运转的总转数或一定转速下的工作小时数。
批量生产的元件，由于材料的不均匀性，导致轴承的寿命有很大的离散性，最长和最短的寿命可达几十倍，必须采用统计的方法进行处理。
2．基本额定寿命：是指90%可靠度、常用材料和加工质量、常规运转条件下的寿命，以符号L10（r）或L10h（h）表示。
3．基本额定动载荷（C）：基本额定寿命为一百万转（106）时轴承所能承受的恒定载荷。
即在基本额定动载荷作用下，轴承可以工作106 转而不发生点蚀失效，其可靠度为90%。
基本额定动载荷大，轴承抗疲劳的承载能力相应较强。
4．基本额定静载荷（径向C0r，轴向C0a）：是指轴承最大载荷滚动体与滚道接触中心处引起以下接触应力时所相当的假象径向载荷或中心轴向静载荷。
在设计中常用到滚动轴承的三个基本参数：满足一定疲劳寿命要求的基本额定动载荷Cr（径向）或Ca（轴向），满足一定静强度要求的基本额定静强度C0r（径向）或C0a（轴向）和控制轴承磨损的极限转速N0。
各种轴承性能指标值C、C0、N0等可查有关手册。
2 寿命校核计算公式图17-6滚动轴承的寿命随载荷的增大而降低，寿命与载荷的关系曲线如图17-6，其曲线方程为PεL10=常数其中 P-当量动载荷，N；L10-基本额定寿命，常以106r为单位（当寿命为一百万转时，L10=1）；ε-寿命指数，球轴承ε=3，滚子轴承ε=10/3。
由手册查得的基本额定动载荷C是以L10=1、可靠度为90%为依据的。
由此可得当轴承的当量动载荷为P时以转速为单位的基本额定寿命L10为Cε×1=Pε×L10L10=(C/P)ε 106r (17.6)若轴承工作转速为n r/min，可求出以小时数为单位的基本额定寿命h （17.7）应取L10≥L h'。
L h '为轴承的预期使用寿命。
通常参照机器大修期限的预期使用寿命。
变厚度等速旋转圆环的应力计算
变厚度等速旋转圆环的应力计算一、前言本文对旋转变厚度圆环的应力进行了计算，利用变厚度圆环可以分成若干个等厚度圆环，当等厚度圆环趋于无穷多时可以逼近变厚度圆环的思想，通过对旋转变厚度圆环单元细分建立微分方程，同时用程序进行求解，最后与其精确解进行比较。
二、旋转变厚度圆环的平衡方程及其解析解1、平衡方程对于内半径为r a 外半径为r b 且以角速度ω旋转的变厚度h （h 是坐标r 的函数）圆环，在环中取出微元体，将所有力在半径方向投影，由平衡条件得出平衡方程 ()022=+-r h h hr drdr ρωσσθ （1） 2、求解析解为满足（1）式，取ϕσ=r hr ，22r h drd h ρωϕσθ+=()2 式中ϕ为应力函数，将以应力函数表示的应力分量代入协调方程得()0332222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-+μϕϕρωμϕϕϕdr d r dr dh h r hr dr d r dr d r (3)由上式求得应力函数ϕ后，即可求得应力分量本文以双曲线剖面的旋转圆盘为例，其厚度与半径的关系为n Cr h =式中C 为常数，n 为任意数。
将h 的表达式代入到()3式积分可得βαϕBr Ar mr n ++=+3式中()8332+++=n n Cm μρωμα和β是方程012=++-n nx x μ的根，A 和B 由边界条件确定。
由以上应力函数便可以求得该旋转圆盘的应力分量。
22,r hrd hr r ρωϕσϕσθ+==三、旋转变厚度圆环的应力分段计算将旋转圆盘分成若干个等厚度圆环，这些圆环的厚度均不相等，对于每个等厚度圆环其应力分量都可以给出，即3132222,228282A B A B i i i i r r ri i r r θμμσρωσρω++=-++=-+- 将最外面的等厚度圆环视为第一个，应力分量表示为11,r θσσ，以此类推，采用由外面的圆环向中心逐个计算的方法。
对于第1+i 个圆环（厚度为1+i h ），其内径是第i 个圆环（厚度为i h ）的外径，根据同一界面处总径向应力相等和同一截面处环向应变只有一个可得11,1,2,1i i i i N h h i r i ri θθσσεε++=⋯⋯==+ 整理得()()i ii i B ia Na N A B ia Na N A 2121121121⎪⎭⎫⎝⎛-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--++μμμμ ()i i i i i i i i i i h h N ia Na B ia Na N h A h B ia Na N h A h -⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++++12222121118322ρωμ其中()1,1,2.......nN i a h C i N i N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭+-== 联立求解后写成矩阵形式，即()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++i i i i i i i i i i i i i i B A h h h h h N ia Na h h h ia Na N h h B A 212141121211112112111μμμμμμ ()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++114211221613813i i i i i i h h h N ia Na h h h N ia Na μμρωμμρω 对应于圆环而言，在圆环的内外边缘上都不作用力，所以根据边界条件，在内边界1r =以及外边界5r =时径向应力为零，可得322101()82A N B ri r i N N μσρω+=-++===232211505(1)582A B ri r i μσρω+=-++===四、编程求解并与精确解做对比例：一实心旋转变厚度圆环，其厚度 1t r -=，3.0=μ，划分单元数5N =，内半径为mm a 10=，外半径为50mm ，转速min /150r =ω，圆盘的密度1=ρ在matlab 中编程求解，程序及运行结果如下：计算出各点的r θσσ、如下表所示将应力写成如下形式22221,r a a θσβρωσβρω==/r aαβ 1β精确解 本文解 精确解 本文解 精确解 本文解0.2 0.01730.0173 0.1836 0.1584 0.1415 0.1322 0.4 0.0508 0.0506 0.2424 0.2270 0.1996 0.1841 0.6 0.0863 0.0861 0.2271 0.2177 0.2120 0.2087 0.8 0.1125 0.1125 0.1425 0.1407 0.1842 0.1826 1.00.11880.11880.11880.1187本文将变厚度匀速旋转的圆环离散为若干个等厚度圆环，利用简单圆盘的应力计算系数和变厚度环的边界条件，建立待定常数之间的传递矩阵，进而求得旋转变厚度环的应力解。
发动机强度习题6.
发动机强度习题（西工大动力与能源学院 陆山）2008年6月10日第一章习题1-3：已知单位叶长上的气体力]/[5755m N p y =,]/[102.833m kg ⨯＝ρ 叶片等截面A=700mm 2叶片长L=140mm 叶根半径mm R 4600=绕x 轴转速n=4500rpm叶片在Y-Z 平面内罩量角 ][56.0Deg ＝α采用一段的数值积分公式求：1）叶根截面气体力弯矩气,X M ； 2）叶根截面离心力弯矩离,X M ；3) 叶根截面合成弯矩合,X M 。
参考答案: 合,X M =0.24[N •m] 思考题：1-1．转子叶片上作用有哪些载荷形式，它们分别产生何种应力? 1-2．发动机的工作包线与叶片的气体力有何关系? 1-3．转子叶片的总体坐标系和截面坐标系是如何定义的?1-4．应用动量定理计算叶片的轴向气体力和周向气体力有什么区别? 1-5．什么是罩量？为什么要做罩量调整?1-6．罩量调整的方向有什么规律？对压气机叶片和涡轮叶片有什么不同? 1-7. 带罩量叶片在真空箱内进行旋转状态强度试验，其叶根截面叶背的径向应力与外场同转速条件下的相应应力相比哪个大？1-8．什么是t T σ、t T a /σ？其中各上下标参数代表何意义？它们主要用于哪些零件强度校核？1-9．带扭向叶片的截面应力分布有什么特点? 1-10. 转子叶片的危险截面？截面弯曲应力的位置？1-11. 转子叶片叶根截面平均离心拉伸应力与哪些参数有关？第二章习题2-1：讨论式（2－16）－(2－17)的适用范围。
习题2-2：讨论求解盘—轴过盈连接问题的公式及边界条件。
习题2-3: 等厚圆盘应力计算公式如下（其中A=2ρω）： ⎰-+--=rr r trdr r E Ar r K K 02222183αμσ t E trdr r E Ar r K K rr ααμσθ-++-+=⎰022221831 已知一常温等厚空心旋转圆盘试验器，铝制材料密度]/[108.233m kg ⨯=ρ，弹性模量E=70Gpa ，泊松比3.0=ν1，转速n=3000[转/分]，盘外径mm r k 300=，如在盘外缘一周等距切割36径向裂纹，裂纹根部半径a r =270mm ，盘中心孔半径mm r 300=。
球形厚壁容器应力分析
球形厚壁容器应力分析球形厚壁容器应力分析是指对球形厚壁容器内部和外部的应力分布进行分析。
下面是详细的步骤：1. 假设球形厚壁容器的内径为D，壁厚为t，内外压力分别为P1和P2。
2. 计算球形厚壁容器的平均半径R = D/2。
3. 计算球形厚壁容器的应力分布。
根据材料力学理论，球形厚壁容器的应力分布可分为径向应力和周向应力。
(1) 径向应力σr：径向应力是指与球心连线方向相切的应力，其大小由压力和容器几何形状决定。
径向应力的计算公式为：σr = (P1*R1 - P2*R2)/(R2 - R1)(2) 周向应力σθ：周向应力是指与径向垂直的应力，其大小由压力和容器几何形状决定。
周向应力的计算公式为：σθ = (P1*R1^2 - P2*R2^2)/(R2^2 - R1^2)4. 计算最大主应力和最小主应力。
最大主应力和最小主应力是指在球形厚壁容器内部和外部的应力中，沿着某一方向上的最大和最小值。
(1) 最大主应力σ1：最大主应力是指在球形厚壁容器内部和外部的应力中，沿着某一方向上的最大值。
最大主应力的计算公式为：σ1 = (σr + σθ)/2 + √((σr - σθ)/2)^2 + τ^2(2) 最小主应力σ2：最小主应力是指在球形厚壁容器内部和外部的应力中，沿着某一方向上的最小值。
最小主应力的计算公式为：σ2 = (σr + σθ)/2 - √((σr - σθ)/2)^2 + τ^2其中，τ为剪应力，可根据具体情况进行计算。
5. 根据最大主应力和最小主应力的大小关系，判断球形厚壁容器的破坏类型。
如果最大主应力大于材料的屈服强度，则容器可能发生塑性破坏；如果最小主应力小于材料的断裂强度，则容器可能发生断裂破坏。
根据具体情况进行判断和分析。
需要注意的是，以上是一个简化的球形厚壁容器应力分析的步骤，实际分析中还需要考虑材料的弹性性质、应力集中等因素。
为了得到更准确的结果，建议使用专业的有限元软件进行模拟分析。
旋转环状部件应力简便计算方法
- 65 -工 业 技 术0 引言旋转机械是指蒸汽透平、燃气轮机透平、水力透平、通风机、鼓风机、离心压缩机、发电机组、电动机、航空发动机以及各种有减速、增速作用的齿轮传动装置等设备[1]。
目前，旋转机械广泛应用于各个领域，其强度保证是旋转机械安全工作的前提。
环状旋转部件是旋转机械中重要的组成部分。
利用传统经验公式进行强度校核可以解决简单的工程问题，对复杂工程只能进行估算。
而随着计算机应用及CAE 技术的日益成熟，有限元成为一种快速有效的数值计算方法。
该文对鼠笼异步电动机端环等旋转部件理论计算方法进行收集整理[2-3]，并对端环仿真数据及不同工况、不同机型应用数据进行收集和总结，为鼠笼异步电动机端环等旋转环状部件提供了一种简单可靠的应力计算方法。
然后通过其与有限元、试验结果进行对比，论证了该文应力计算方法的可行性及偏差值，为旋转环状部件应力计算提供了理论依据。
1 理论分析鼠笼型异步电动机凭借其效率高、结构简单、维护方便和种类繁多等优点在现代工业领域占据了极其重要的位置。
其中大部分鼠笼型异步电动机转子采用铜条结构，并通过冷缩笼条、热胀转子叠片、敲击和涨紧等方式嵌入转子叠片中。
鼠笼转子结构如图1所示。
转子两端的端环是鼠笼转子的重要组成部分，作为转子短路环，其具有连接转子铜条的作用；作为简单的风扇，它还具有散热作用。
电机运行时，由于受本身及端部铜条的扭转力、电磁力、离心力、弯曲应力、热胀力等的叠加作用，端环很容易出现断裂情况，引发质量事故。
出于对电机整体稳定性及运行安全性的综合考虑，目前常见的转子结构的端环处常会辅以护环进行保护，以避免端环及端环与笼条之间焊缝的损伤。
端环、护环等环状旋转部件的应力设计成为高速鼠笼异步电动机的难点。
该文忽略鼠笼异步电动机运行时温升带来的影响和转子旋转时铜条对端环的影响，仅考虑电机运转时的端环离心力的情况，并在此种情况下计算端环的应力。
假设端环是单独的、厚度均匀的环状结构，当电机运转时端环内部产生轴向力、径向力和切向力，其中切向力最大，径向力和切向力幅值较小，切向力与Von Mises 合应力相近。
2.3_厚壁圆筒应力分析
轴向应力
pi R p0 R z A 2 R Ri
2 i 2 0 2 0
称Lamè （拉美）公式
（2-34）
14
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
当仅有内压或外压作用时，拉美公式可以简化，此时，厚壁圆筒 应力值和应力分布分别如表2－1和图2－17 表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
to
厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， Et Pt 表中 21 厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。
28
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续） 表2-2 厚壁圆筒中的热应力
过程设备设计
热应 力
rt
r 任意半径 处
圆筒内壁K r K 处 0
圆筒外壁 K r 1 处 0
＝A
（2-25）
6
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
2. 周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体
b. 平衡方程
c. 几何方程 ：微元体位移与应变之间的关系。（用位移法求解） d. 物理方程：弹性范围内，微元体的应变与应力的关系 e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
z
1 pi 2 K 1
K2 po 2 K 1
15
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
z
K2 1 m ax pi K2 1
m in pi
2、压力容器应力分析
矩理论，必须采用有力矩理论。
26
无力矩理论应用条件
压力容器应力分析
（1）壳体的厚度、中面曲率和载荷均应连续、没有突变， 材料物理性能相同
（2）壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭矩作用
（3）壳体的边界处的约束沿经线的切向方向，不得限制边 界处的转角与挠度。
实际中同时满足这三个条件非常困难，即理想的无矩 状态并不存在。应对的方法是按无力矩理论计算壳体应力， 同时对弯矩较大的区域再用有力矩理论修正。
（圆柱壳的边缘应力σx、σθ） 一般回转壳受边缘功和边缘功矩作用的弯曲解 （一般回转壳的边缘应力） 组合壳不连续应力的计算举例
一般了解
（组合壳边缘应力的计算举例）
30
边缘应力的特性
压力容器应力分析
1、局部性——边缘应力只存在于不同几何形状壳体的连 接处附近，影响范围很小。
当x 2.5 R（R、δ为壳
一次应力——按无矩理论计算的径向应力σφ与环向应 力σθ，又称为薄膜应力。
二次应力——不连续应力，又称为边缘应力、
如果将薄膜应力和边缘应力一并考虑，会使计算过程很 复杂，可将其分开计算，用无矩理论计算薄膜应力，用有矩 理论计算边缘应力，然后将它们叠加。
29
压力容器应力分析
圆柱壳受边缘和边缘力矩作用的弯曲解
22 22
则： Nφ dφ+Nθdθ=pdA，将前式代入：
σφtR2dφdθ+σθtR1dφdθ=pR1R2dφdθ，
σφtR2+σθrR1=pR1R2，各项除以R1R2t：
p ——微元平衡方程，即拉普拉斯方程
R1 R2 t
12
压力容器应力分析
13
区域平衡方程
压力容器应力分析
三向应力状态求主应力和最大切应力
三向应力状态求主应力和最大切应力咱们来一起了解一个特别有趣的东西，就像在玩一个超级有挑战性的游戏一样。
这个东西就是三向应力状态下求主应力和最大切应力。
先来说说应力是什么吧。
想象一下，你有一块小橡皮，你用手捏它、拉它或者压它，橡皮里面就会有那种抵抗你用力的感觉，这个就是应力啦。
就像你拉一个弹簧，弹簧会有一股劲儿想恢复原来的样子，这个劲儿就有点像应力。
那三向应力状态呢？咱们把这个小橡皮放在一个小盒子里，这个盒子从三个方向都对橡皮有作用，就好像上下左右前后都在给它压力或者拉力，这就是三向应力状态啦。
现在咱们来求主应力。
主应力就像是一群小伙伴里的小队长。
比如说在一个班级里，大家做游戏分组的时候，每个小组都有一个组长。
主应力就是在应力这个大家庭里比较特殊的“组长”。
怎么找到这个“组长”呢？咱们可以想象一个小正方体的泥巴块，这个泥巴块各个面都受到不同的力。
我们要找到这样的力，当这个泥巴块按照这个力的方向变形的时候，它不会歪着变形，而是直直地变形。
这个时候的力就是主应力啦。
我给你们讲个小故事哦。
有一个小木偶，它的身体就像我们说的那个泥巴块。
小木偶的胳膊、腿和身体各个部分都被不同的小绳子拉着或者推着，就像泥巴块各个面受力一样。
小木偶想要直直地站着或者动起来，它就需要找到那些主要的力量方向，就像我们找主应力一样。
再来说最大切应力。
切应力就像是你拿一把小刀去切一块软软的蛋糕时，蛋糕抵抗你切它的那种力。
最大切应力呢，就是这些切应力里最大的那个。
还是说那个小泥巴块，在它受到不同方向的力的时候，它的里面就会有切应力。
就像你把泥巴块想象成是一个装满水的小盒子，你要是扭这个盒子，水就会晃来晃去，这个晃的感觉就有点像切应力。
比如说，咱们有一块软软的豆腐，你用不同的板子从不同的方向去压豆腐，豆腐里面就会有应力。
豆腐可能会被压得变形，这个变形就和应力有关系。
而在这些应力里，我们就能找到主应力和最大切应力。
知道了三向应力状态下的主应力和最大切应力有什么用呢？这就像我们知道了怎么让小木偶更好地动起来，或者怎么让豆腐被压的时候按照我们想要的方式变形一样。
金属轮盘 残余应力测量 轮廓法cstm标准
金属轮盘残余应力测量轮廓法cstm标准金属轮盘是一种常见的零件，它通常由金属材料制成。
在制造金属轮盘的过程中，常常会产生一定的残余应力。
残余应力是指在零件内部或表面存在的一种力，它是由于制造过程中的热处理、加工等因素所导致的。
残余应力不仅会对零件的性能和寿命产生影响，还可能导致零件在使用过程中出现失效。
因此，对金属轮盘的残余应力进行测量是非常重要的。
在测量金属轮盘的残余应力时，轮廓法是一种常用的方法。
它基于轮盘形状的变形特征，结合数学模型和实验测量，可以非常准确地测量出金属轮盘的残余应力。
轮廓法的测量步骤如下：1.选择合适的测量样品。
样品应具有代表性，可以代表整个批次的金属轮盘。
2.测量样品的初始几何轮廓。
使用光学仪器或三维扫描仪等设备，对样品的几何形状进行测量，获取初始几何轮廓信息。
3.对样品施加外力。
通过机械装置或压力设备，对样品施加一定的外力，使其产生轮廓形状的变形。
4.再次测量样品的几何轮廓。
在施加外力后，再次使用光学仪器或三维扫描仪等设备，测量样品的几何形状，获取受力后的几何轮廓信息。
5.数据处理和计算。
将测量得到的几何轮廓数据进行处理和计算，得到金属轮盘在施加外力后的变形量。
6.根据数学模型计算残余应力。
根据轮廓法的数学模型，将变形量与材料属性进行计算，得到金属轮盘的残余应力。
在使用轮廓法进行金属轮盘残余应力测量时，需要注意以下几点：1.测量设备的选择和校准。
选择合适的光学仪器或三维扫描仪等设备，并进行准确的校准，以确保测量结果的准确性和可靠性。
2.样品的准备和处理。
样品应进行适当的清洁和处理，以消除表面的影响因素。
此外，样品的尺寸和形状应符合测量要求，以确保测量的可行性。
3.受力方式的选择和控制。
根据金属轮盘的实际情况，选择合适的受力方式，并对施加的外力进行控制，以保证测量的准确性和可重复性。
4.数据处理和计算的准确性。
在进行数据处理和计算时，应确保使用准确的数学模型和正确的计算方法，以获得准确的残余应力结果。
三等厚度轮盘的应力计算
）
(2) 也要用到与计算截面尺寸有关的参数 （
t 、 c c 、 r 、 t 、 r 、
'
'
）且
c
'
和
c
'
也是除与尺寸比有关外，还与材料密度有关，但也要
注意到与“等厚度”轮盘系数的不同之处： 1.这6个系数不是内外径比的函数（等厚度的是），而
是
t
和
t i 的函数
t i Di / d
图3
一． 划分截面：
这是一个形状较复杂的离心叶轮后盘，我们将其简 化为由4断组成： 第Ⅰ段：从 R0---R1 ，为“等厚度”，厚度为 B0=B1 ； （从R1到RA，我们视具体形状将其简化为由3段组成） 第Ⅱ段：从 R1——R2 ，为“锥形截面”， R1 处的宽 度 为B1*，R2处的宽度为B2。第Ⅱ段与第Ⅰ段的公共 半径为 R1 处，存在“截面突变”，对第Ⅰ段，此处 宽 度为B1，对第Ⅱ段，此处宽度为B1*； 第Ⅲ段：从R2——R3，为“锥形截面”，R2处宽度 为B2*（=B2），R3处宽度为B3； 第Ⅳ段：从R3——Ra，为“等厚度”截面，R3处宽
高速旋转的流体机械轮盘内孔与转轴的联接一般采用过盈配合即轮盘孔径小于转轴外径根据其过盈量由其他途径方法是可以事先计算出轮盘内孔处的径向应力的后面的章节中将具体介绍如何由过盈量事先计算轮盘内孔处的
流体机械现代设计（二）
——强度校核
（安全）
前言
研究内容
1. 叶轮的安全——足够的强度 2. 轴承的安全——振动（临界转速） ——位移（轴向推力）
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) 2 (1 3 ) R j 8 R j
单元八 内压薄壁容器应力分析及公式推导
） 式1各项均除以 ，并对各项均除以
整理得 ，整理得
m
R1
R2
p
6
五、薄膜理论的适用条件 无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩 的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又 称薄膜理论。
• 回转壳体曲面在几何上是轴对称,壳体厚度无突变；曲 率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能 （主要是E和μ）应当是相同的 • 载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的 • 壳体边界的固定形式应该是自由支承的 • 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界 上无横剪力和弯矩 • δ/Di≤0.1
Pn pdl1 dl2
N mn d 1 2 m Sdl2 sin 2
Nn
d 2 2 Sdl1 sin 2
5
根据法线n方向上力的平衡条 件，得到
Pn
N mn
Nn = 0
= 代入式（3-8） sin ，并对各项均除以 ，整理得 2R2 2 d 2 d 2 dl 2 2 Sdl sin = 1 dl 2 ，整理得 式（3-8） ，并对各项均除以 2 2R 2 2
1
2、回转壳体的经向应力分析
⒈Z轴上的合力为Pz
Pz
4
D2 p
图3-5 回转壳体上的径向应力分析
⒉作用在截面上应力的合力 在Z轴上的投影为Nz ⒊在Z 方向的平衡方程
4 D 2 p mD sin 0 D R2 2 sin D 2 R2 sin
N z mD sin
图3-6 确定环向应力微元体的取法
3
微元体abcd 的受力
上下面： m
内表面：p
《流体机械强度计算》课后练习题
《流体机械强度计算》课后练习题
1、在泵内开展强度计算的意义何在；对泵开展强度计算的任
务主要有哪些。
2、分析离心叶轮和轴流叶轮的受力特征。
3、立式泵和卧式泵的轴向力产生原因和平衡方法。
4、解释泵轴的临界转速，分析影响临界转速的因素。
5、分析随着泵轴转速增加，轴的不同变形特性。
（跨第一临界转速前后）
6、分析转子偏心距对泵轴旋转状态的影响。
7、简述近似计算轴第一固有振动频率的方法。
8、解释平面应力问题和平面应变问题。
9、试推导离心叶轮近似作为等厚度轮盘强度计算的应力应变函数。
10、简述一次计算法近似计算离心叶轮的思路。
11、试推导等环量与非等环量设计下，液流绕流轴流叶轮叶片产生的力和力矩表达式。
12、简述蜗壳强度计算的方法及各方法的优缺点。
13、简述采用有限元软件(如ANSYS)对泵叶轮进行强度分析的
步骤。
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2个子午面，所以有：
（D）
由平衡条件得到：
'
d （E） Fr dF Fr 2 F sin( ) 0 2
将（A）、（B）、（C）、（D）代入式（E），并因 为d 很小， sin( d ) d 同时略去高阶微量，整理 2 2 得到：
t d r dB 1 ( ) r R 2 0 dR BdR R R
流体机械现代设计（二）
——强度校核
（安全）
前言
研究内容
1. 叶轮的安全——足够的强度 2. 轴承的安全——振动（临界转速） ——位移（轴向推力）
3. 轴承的承载
第一章 轮盘应力分析及强度计算
• 一. 工作与失效（叶轮） • 1. 工作情况：整个机器（系统）的心脏。靠一定的过 盈或键配在轴上，在转轴的带动下，高速运转，传递 • 能量。 • 2. 受力情况： （1） 整个叶轮：承受离心力 • （2）内孔处：挤压力 • （3）气体压力（一般可忽略） • 3. 失效情况： （1）在离心力的作用下破坏 • （2）在高速下松脱（过盈量的问题）
(1-2a)
且有虎克定律：
E r ( r t ) 2 1
E t ( t r ) 2 1
将（1-2）（1-3）代入式（1-1）得：
(1-2b)
d 2 d (ln B) 1 d d (ln B) 1 2 AR 0 2 R dR RdR dR dR R
(1-1)
上式即为轮盘应力状态的微分方程。
又由材料力学和图1-1知，切向应变和径向应变与径向 变形 之间的关系为： （不考虑热应力）
( R )d Rd C D CD t = Rd R CD
' '
A' B ' AB dR d dR d r AB dR dR
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) 2 (1 3 ) R j 8 R j
a1
和
a2
为未知数，解上式，可得：
AR j 1 1 a1 rj tj 2E 2E 4
2
AR j 1 E 2 1 2 a2 R j tj R j rj 2E 2E 8
• 4. 安全可靠的准则： • （1）一般要求：
s :屈服极限（手册）
s k 1.8 max
k: 安全系数（行业标准）
• 5 本章最终研究对象（内容）：
max
二. 轮盘（叶轮）应力计算的微分方程
叶轮以角速度
旋转，取一微元体（见书图1-1）
不考虑热应力，则受力分析如下：
1）微元体的离心力
和 a 2 ，即可以求出应力
r
和
t
若以下标“j”表示某轮盘段的内径，则有R j 或 D j 又若已知某轮盘段内径 R j（或 D j ）处的应力 rj 和， tj 显然，他们也应满足式（1-5）， 所以则应该有：
E rj 1 2
E tj 1 2
上式只有
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) 2 (3 ) R j 8 Rj
（1-3）
式中：
1 A E
2
2
——材料的泊松比 E ——材料的弹性模量 ——材料密度
——轮盘旋转角速度
式（1-3）是 用变形来表示的旋转轮盘的基本方程， 解方程，可以得到径向变形，再借助式（1-2a）和 （1-2b)）即可求出应力的大小。
三. 等厚度轮盘的应力计算
“厚度”即轴向宽度。等厚度，即轮盘厚度B（R）=常数。
由（1-3）式可知，当B（R）=常数时，式（1-3）变为：
d 1 d 1 2 AR 2 R dR R dR
2
（1-4）
上式可整理为： d 1 d (R) AR
dR R dR
上式积分一次，得： d
A 3 (R) R 2a1 R dR 2
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) R 2 (3 ) 8 R
（1-5）
E t 1 2
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) R 2 (1 3 ) 8 R
分析上式，可知，只要求出积分常数 a1
2
dF
，方向为径向向外
2
dF dm R BR d dR R
2）在半径为R的圆柱面上均布径向应力 合力为Fr， 方向向内
r
(A)
，其 (B)
Fr r BR d
图1.1
3）在半径为（R+dR）的圆柱面上均布径向应 力
'
r d r
' ，其合力为 Fr ，方向向外：
等 厚 度 轮 盘
a A 3 再积分一次得： R a1 R 2 8 R
上式对R微分一次，得：
（A）
a2 d 3 2 AR a1 2 dR 8 R
（B）
式中：a1、a2为积分常数。
将式（A）、（B）代回式（1-2a），式（1-2a）再代入 （1-2b）得：
E r 1 2
4
解出 a1 和 a 2 后，将上式代回式（1-5）（即任一截 面半径处的应力表达式），且令：
①
Rj
Di x R D
1 x2 ② r t 2
③
1 x2 ，t r 2
(1-6）
c 27.5(3.3 2.6x 2 0.7x 4 )
c 27.5(1.9 2.6x 0.7 x )
Fr ( r d r ) ( B dB) ( R dR) d (C)
4） 夹角为 d 的微元体两侧面为切向应力 t ，其合 力为 F，方向与对应的子午面垂直，大小为：
F t 向向内）
d d F sin( ) t B dR sin( ) 2 2