三等厚度轮盘的应力计算
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a2 A 2 (1 )a1 (1 ) 2 (1 3 ) R j 8 R j
a1
和
a2
为未知数，解上式，可得：
AR j 1 1 a1 rj tj 2E 2E 4
2
AR j 1 E 2 1 2 a2 R j tj R j rj 2E 2E 8
• 4. 安全可靠的准则： • （1）一般要求：
s :屈服极限（手册）
s k 1.8 max
k: 安全系数（行业标准）
• 5 本章最终研究对象（内容）：
max
二. 轮盘（叶轮）应力计算的微分方程
叶轮以角速度
旋转，取一微元体（见书图1-1）
不考虑热应力，则受力分析如下：
1）微元体的离心力
和 a 2 ，即可以求出应力
r
和
t
若以下标“j”表示某轮盘段的内径，则有R j 或 D j 又若已知某轮盘段内径 R j（或 D j ）处的应力 rj 和， tj 显然，他们也应满足式（1-5）， 所以则应该有：
E rj 1 2
E tj 1 2
上式只有
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) 2 (3 ) R j 8 Rj
(1-2a)
且有虎克定律：
E r ( r t ) 2 1
E t ( t r ) 2 1
将（1-2）（1-3）代入式（1-1）得：
(1-2b)
d 2 d (ln B) 1 d d (ln B) 1 2 AR 0 2 R dR RdR dR dR R
由（1-3）式可知，当B（R）=常数时，式（1-3）变为：
d 1 d 1 2 AR 2 R dR R dR
2
（1-4）
上式可整理为： d 1 d (R) AR
dR R dR
上式积分一次，得： d
A 3 (R) R 2a1 R dR 2
流体机械现代设计（二）
——强度校核
（安全）
前言
研究内容
1. 叶轮的安全——足够的强度 2. 轴承的安全——振动（临界转速） ——位移（轴向推力）
3. 轴承的承载
第一章 轮盘应力分析及强度计算
• 一. 工作与失效（叶轮） • 1. 工作情况：整个机器（系统）的心脏。靠一定的过 盈或键配在轴上，在转轴的带动下，高速运转，传递 • 能量。 • 2. 受力情况： （1） 整个叶轮：承受离心力 • （2）内孔处：挤压力 • （3）气体压力（一般可忽略） • 3. 失效情况： （1）在离心力的作用下破坏 • （2）在高速下松脱（过盈量的问题）
(1-1)
上式即为轮盘应力状态的微分方程。
又由材料力学和图1-1知，切向应变和径向应变与径向 变形 之间的关系为： （不考虑热应力）
( R )d Rd C D CD t = Rd R CD
' '
A' B ' AB dR d dR d r AB dR dR
4
解出 a1 和 a 2 后，将上式代回式（1-5）（即任一截 面半径处的应力表达式），且令：
①
Rj
Di x R D
1 x2 ② r t 2
③
1 x2 ，t r 2
(1-6）
c 27.5(3.3 2.6x 2 0.7x 4 )
c 27.5(1.9 2.6x 0.7 x )
Fr ( r d r ) ( B dB) ( R dR) d (C)
4） 夹角为 d 的微元体两侧面为切向应力 t ，其合 力为 F，方向与对应的子午面垂直，大小为：
F t B dR
这个力在径向方向的分量为： （方向向内）
百度文库
d d F sin( ) t B dR sin( ) 2 2
d 2 F sin( ) 2
2个子午面，所以有：
（D）
由平衡条件得到：
'
d （E） Fr dF Fr 2 F sin( ) 0 2
将（A）、（B）、（C）、（D）代入式（E），并因 为d 很小， sin( d ) d 同时略去高阶微量，整理 2 2 得到：
t d r dB 1 ( ) r R 2 0 dR BdR R R
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) R 2 (3 ) 8 R
（1-5）
E t 1 2
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) R 2 (1 3 ) 8 R
分析上式，可知，只要求出积分常数 a1
（1-3）
式中：
1 A E
2
2
——材料的泊松比 E ——材料的弹性模量 ——材料密度
——轮盘旋转角速度
式（1-3）是 用变形来表示的旋转轮盘的基本方程， 解方程，可以得到径向变形，再借助式（1-2a）和 （1-2b)）即可求出应力的大小。
三. 等厚度轮盘的应力计算
“厚度”即轴向宽度。等厚度，即轮盘厚度B（R）=常数。
等 厚 度 轮 盘
a A 3 再积分一次得： R a1 R 2 8 R
上式对R微分一次，得：
（A）
a2 d 3 2 AR a1 2 dR 8 R
（B）
式中：a1、a2为积分常数。
将式（A）、（B）代回式（1-2a），式（1-2a）再代入 （1-2b）得：
E r 1 2
2
dF
，方向为径向向外
2
dF dm R BR d dR R
2）在半径为R的圆柱面上均布径向应力 合力为Fr， 方向向内
r
(A)
，其 (B)
Fr r BR d
图1.1
3）在半径为（R+dR）的圆柱面上均布径向应 力
'
r d r
' ，其合力为 Fr ，方向向外：
a1
和
a2
为未知数，解上式，可得：
AR j 1 1 a1 rj tj 2E 2E 4
2
AR j 1 E 2 1 2 a2 R j tj R j rj 2E 2E 8
• 4. 安全可靠的准则： • （1）一般要求：
s :屈服极限（手册）
s k 1.8 max
k: 安全系数（行业标准）
• 5 本章最终研究对象（内容）：
max
二. 轮盘（叶轮）应力计算的微分方程
叶轮以角速度
旋转，取一微元体（见书图1-1）
不考虑热应力，则受力分析如下：
1）微元体的离心力
和 a 2 ，即可以求出应力
r
和
t
若以下标“j”表示某轮盘段的内径，则有R j 或 D j 又若已知某轮盘段内径 R j（或 D j ）处的应力 rj 和， tj 显然，他们也应满足式（1-5）， 所以则应该有：
E rj 1 2
E tj 1 2
上式只有
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) 2 (3 ) R j 8 Rj
(1-2a)
且有虎克定律：
E r ( r t ) 2 1
E t ( t r ) 2 1
将（1-2）（1-3）代入式（1-1）得：
(1-2b)
d 2 d (ln B) 1 d d (ln B) 1 2 AR 0 2 R dR RdR dR dR R
由（1-3）式可知，当B（R）=常数时，式（1-3）变为：
d 1 d 1 2 AR 2 R dR R dR
2
（1-4）
上式可整理为： d 1 d (R) AR
dR R dR
上式积分一次，得： d
A 3 (R) R 2a1 R dR 2
流体机械现代设计（二）
——强度校核
（安全）
前言
研究内容
1. 叶轮的安全——足够的强度 2. 轴承的安全——振动（临界转速） ——位移（轴向推力）
3. 轴承的承载
第一章 轮盘应力分析及强度计算
• 一. 工作与失效（叶轮） • 1. 工作情况：整个机器（系统）的心脏。靠一定的过 盈或键配在轴上，在转轴的带动下，高速运转，传递 • 能量。 • 2. 受力情况： （1） 整个叶轮：承受离心力 • （2）内孔处：挤压力 • （3）气体压力（一般可忽略） • 3. 失效情况： （1）在离心力的作用下破坏 • （2）在高速下松脱（过盈量的问题）
(1-1)
上式即为轮盘应力状态的微分方程。
又由材料力学和图1-1知，切向应变和径向应变与径向 变形 之间的关系为： （不考虑热应力）
( R )d Rd C D CD t = Rd R CD
' '
A' B ' AB dR d dR d r AB dR dR
4
解出 a1 和 a 2 后，将上式代回式（1-5）（即任一截 面半径处的应力表达式），且令：
①
Rj
Di x R D
1 x2 ② r t 2
③
1 x2 ，t r 2
(1-6）
c 27.5(3.3 2.6x 2 0.7x 4 )
c 27.5(1.9 2.6x 0.7 x )
Fr ( r d r ) ( B dB) ( R dR) d (C)
4） 夹角为 d 的微元体两侧面为切向应力 t ，其合 力为 F，方向与对应的子午面垂直，大小为：
F t B dR
这个力在径向方向的分量为： （方向向内）
百度文库
d d F sin( ) t B dR sin( ) 2 2
d 2 F sin( ) 2
2个子午面，所以有：
（D）
由平衡条件得到：
'
d （E） Fr dF Fr 2 F sin( ) 0 2
将（A）、（B）、（C）、（D）代入式（E），并因 为d 很小， sin( d ) d 同时略去高阶微量，整理 2 2 得到：
t d r dB 1 ( ) r R 2 0 dR BdR R R
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) R 2 (3 ) 8 R
（1-5）
E t 1 2
a2 A 2 (1 )a1 (1 ) R 2 (1 3 ) 8 R
分析上式，可知，只要求出积分常数 a1
（1-3）
式中：
1 A E
2
2
——材料的泊松比 E ——材料的弹性模量 ——材料密度
——轮盘旋转角速度
式（1-3）是 用变形来表示的旋转轮盘的基本方程， 解方程，可以得到径向变形，再借助式（1-2a）和 （1-2b)）即可求出应力的大小。
三. 等厚度轮盘的应力计算
“厚度”即轴向宽度。等厚度，即轮盘厚度B（R）=常数。
等 厚 度 轮 盘
a A 3 再积分一次得： R a1 R 2 8 R
上式对R微分一次，得：
（A）
a2 d 3 2 AR a1 2 dR 8 R
（B）
式中：a1、a2为积分常数。
将式（A）、（B）代回式（1-2a），式（1-2a）再代入 （1-2b）得：
E r 1 2
2
dF
，方向为径向向外
2
dF dm R BR d dR R
2）在半径为R的圆柱面上均布径向应力 合力为Fr， 方向向内
r
(A)
，其 (B)
Fr r BR d
图1.1
3）在半径为（R+dR）的圆柱面上均布径向应 力
'
r d r
' ，其合力为 Fr ，方向向外：