4.4正态随机变量的线性函数的分布

2 X ~ N ( , 服从正态分布： i i i ), i 1 ,2 , n , 则它们
且有 的线性组合 ci X i 也服从正态分布，
i 1
n
2 2 c X ~ N ( c , c i i i i i i ),
n
n
源自文库
n
其中 c1 , c2 , , cn 为常数.
3 1-P （ 0 ） =1 (1 0.4931) 3
0.8698.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
思考题
1.设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X 服从均值为 1 , 标准差 为 2 的正态分布， 而 Y 服从标准正态分布， 试求随机 变量 Z 2 X Y 3 的概率密度. 解： 已知 X 与Y 独立， 且 X ~ N (1 ,2) , Y ~ N (0 ,1) , 所以 W 2 X Y ~ N (2 ,9). 又因为随机变量Z W 3, 于是 Z 2 X Y 3 W 3 ~ N (5 ,9). 由此可知， Z 的概率密度为
(4.20)
对比（4.1）知Y ~ N (a b , b 2 2 ).
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布： 2 2 Y a bX ~ N (a b , b ). [推论] 设随机变量 X N ( , 2 ) 则标准化的 X * X ~ N (0 ,1). 随机变量 1 在定理1中，设 a , b 即得结论.
则它们的和也服从正态分布， 且有
Z X Y ~ N ( x y , ).
2 x 2 y
证明：见P185
定理2表明： 独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
由定理1及定理3 还可得下面更一般的结论. [定理4] 设随机变量 X1 , X 2 , , X n 相互独立， 且都
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具有概率密度 f ( x)
1
e
( x 20 ) 2 3200
,
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
设Y为三次测量中误差的绝对值不超过30m出现的次数， 则Y服从二项分布B（3,0.4931），
所以， 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率为
i 1
i 1
i 1
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例1] 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X (m)
40 2 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率. 解：按题意， 每次测量时发生的随机误差 X (m) 服从 2 正态分布 N (20 ,40 ) , 于是 P( X 30) P(30 X 30) 30 20 30 20 ( ) ( ) 40 40 (0.25) (1.25) (0.25) [1 (1.25)] 0.4931.
证： 因为X ~ N ( , 2 ), 其密度为f ( x) X
所以由P83(2.41)知Y的密度为
1 ya 1 fY ( y ) fX ( ) e b b 2 b
1 e 2
( x )2 2 2
(4.1)
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 [定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布,即 Y a bX ~ N (a b , b 2 2 ).
[定理2] 随机变量 X N ( , 2 ) 的充要条件是


X
*
X

~ N (0 ,1).
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理3] 设随机变量X 与Y 独立， 并且都服从正态分布：
2 2 X ~ N ( x , x ) , Y ~ N ( y , y ),
1 fZ ( z) e 3 2
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( z 5 ) 2 18
, z .
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