1992考研数学三真题及解析

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1) 设商品的需求函数为1005Q P =-,其中,Q P 分别表示为需求量和价格,如果商品需

求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.

(2) 级数21

(2)4n

n

n x n ∞

=-∑的收敛域为_________. (3)

交换积分次序

1

(,)dy f x y dx =⎰_________.

(4) 设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,且0

,,0A A a B b C B ⎛⎫

===

⎪⎝⎭

,则C =________. (5) 将,,,,,,C C E E I N S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE 的

概率为__________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设2()()x

a

x F x f t dt x a =

-⎰,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →等于 ( ) (A) 2

a (B) 2

()a f a

(C) 0 (D) 不存在

(2) 当0x →时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )

(A) 2

x (B) 1cos x -

1 (D) tan x x -

(3) 设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是 ( )

(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关

(4) 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则 ( )

(A) ()()()1P C P A P B ≤+- (B) ()()()1P C P A P B ≥+- (C) ()()P C P AB = (D) ()()P C P A B =U

(5) 设n 个随机变量12,,,n X X X L 独立同分布,2

11

1(),,n

i i D X X X n σ===∑

2

21

1()1n

i i S X X n ==--∑,则 ( ) (A) S 是σ的无偏估计量 (B) S 是σ的最大似然估计量 (C) S 是σ的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立

三、(本题满分5分)

设函数ln cos(1)

,1,1sin ()21, 1.x x x f x x π-⎧≠⎪⎪

-=⎨⎪

=⎪⎩

问函数()f x 在1x =处是否连续?若不连续,修

改函数在1x =处的定义使之连续.

四、(本题满分5分)

计算arccot .x

x

e I dx e =⎰

五、(本题满分5分)

设sin()(,)x

z xy x y

ϕ=+,求2z x y ∂∂∂,其中(,)u v ϕ有二阶偏导数.

六、(本题满分5分)

求连续函数()f x ,使它满足20

()2()x

f x f t dt x +=⎰

.

七、(本题满分6分)

求证:当1x ≥时,2

12arctan arccos 214

x x x π

-=+.

八、(本题满分9分)

设曲线方程(0)x

y e x -=≥.

(1) 把曲线x y e -=,x 轴,y 轴和直线(0)x ξξ=>所围成平面图形绕x 轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积()V ξ;求满足1

()lim ()2V a V ξξ→+∞

=

的a . (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求

出该面积.

九、(本题满分7分)

设矩阵A 与B 相似,其中

20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

.

(1) 求x 和y 的值.

(2) 求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.

十、(本题满分6分)

已知三阶矩阵0B ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解:

123123123

220,20,30.x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩ (1) 求λ的值; (2) 证明0B =.

十一、(本题满分6分)

设A B 、分别为m n 、阶正定矩阵,试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

是否是正定矩阵.

十二、(本题满分7分)

假设测量的随机误差2

(0,10)X N :,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数

字). [附表]

十三、(本题满分5分)

一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望EX 和方差DX .

十四、(本题满分4分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

,0,

(,)0,

y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他,

(1) 求随机变量X 的密度()X f x ; (2) 求概率{1}P X Y +≤.