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高
考专栏
一、曲线关于点或直线的对称
1、曲线f (x，y)＝0关于原点对称的曲线方程为f (－x，－y)＝0。
2、曲线f (x,y)＝0关于直线x轴的对称轴或方程为f (x，-y)＝0
3、曲线f
(x,y)＝0关于
y轴对称的曲
线方程为
f(-x,y)＝0
4、曲线f (x,y)＝0关于直线x＝a 的对称曲线方程为f(2a－x,y)＝0
5、曲线f (x,y)＝0关于直线y＝b 对称的曲线方程为f(x,2b－y)＝0
6、曲线f (x,y)＝0关于直线x+y+c ＝0对称的曲线方程为f(-y－c,-x－c)＝0
7、曲线f (x,y)＝0关于直线x－y+c＝0对称的曲线方程为f(y－c,x+c)＝0
观察其本质，只需对原方程中x，y的位置用相应的式子代即可，如关于直线x＝a对称，当且仅当2a－x代替x，y不变。
二、应用时应确定的几个问题
1、确定自身对称还是他对称
例1：f(x)的定义域为R，则y＝f(x－1)与y＝f(1－x) 的图像关于______对称。
分析：注意到y＝f(x－1)可由y ＝f(1－x)中用2－x代替x，y 不变得到，所以两曲线关于直线x＝1对称。
2、确定x，y的位置
例2：设函数y＝f (x)的定义域为R，且满足f (1－x)＝f(x+1)，则函数y ＝f(x+1)的图像关于___________对称，函数y＝f(x) 的图像关于__________对称。
分析：对函数y＝f(x+1)而言，y ＝f(1－x)为y＝f(x+1)中用-x代x而得，而f(1－x)＝f(x+1)则表明y＝f(x+1)与y＝f(1－x)为同一个函数，故y＝f(x+1)的图像关于y轴对称。
对函数y＝f(x)而言，应先把f (1－x)＝f (x+1)转化为f(2－x) ＝f(x)，故能确定x的位置用2－x代，而y不变，
故y＝f(x)的图像关于直线x=1对称。
其实y＝f(x+1)可由y＝f (x)的图像
向左平移1个单位而得。
3、确定点对称与轴对称
例3：已知函数y＝f(x)，x∈R，且
对任意x值总有
f(x)－f(2－x)=0，
则y=f(x)的图象
关于______对称。
分析：已知等式化为y＝f(2－x)，
所以y=f (x) 的图像关于直线x=1对称。
三、对称条件的挖掘和运用
对一些对称问题的隐含条件应善于
挖掘和应用，往往起到简化解题过程之
效。
例4：已知定义在(-2,2)上的偶函数
f(x)，当x≥0时f(x)是减函数，如果f(1
－a) < f(a)，求a的取值范围。
分析：f(x)为偶函数，其图像关于y
轴对称，而x ≤0时f(x) 为减函数，故
离对称轴越近函数值越大，反之亦然，故
由f (1－a) < f (a)可得|1－a| > | a |，结合定
义域-2<1－a<2，-2 < a < 2解得：-1 < a <
1/2
。
只要明确了点、曲线对称变换的原理
及题型特点，熟练掌握基本方法，对高考
中的容易题或中等题就会迎刃而解，较难
的题也能理清思路，抓住要点。
例1、已知(x+2)2+
4
2
y
=1,求x2+y2的取
值范围。
错解由已知得y2=-4x2-16x-12，因此
x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+
3
8
)2+
3
28
∴当x=-
3
8
时，x2+y2有最大值
3
28
即x2+y2的取值范围是(-∞,
3
28
]。
分析：没有注意x的取值范围要受已知
条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由
(x+2)2+
4
2
y
=1得(x+2)2=1-
4
2
y
≤1，∴-3
≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。
x2+y2的取值范围是[1,
3
28
]
忽视不等式中等号成立的条件，导致结果
错误。
例2、求函数y=
6
3
4
2
2
-
+
+
+
x
x
x
x
的值域。
错解将原函数变形得：
(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 ①
当y=1时，①式化为–3x=9,有解x=3;
当y≠1时，∵①式中x∈R
∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0 ，故
25y2-20y+4≥0, 解这个不等式得y∈R
综上：原函数值域为：y∈R
分析：没有注意定义域对值域的影响，
扩大了y的取值范围。
事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-6
≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函
数可化为：
y=
)3
)(
2
(
)3
)(
1
(
+
-
+
+
x
x
x
x
=
2
1
-
+
x
x
得(y-1)x=2y+1
∴y≠1 且x=
1
1
2
-
+
y
y
≠-3
解得y≠1且y≠
5
2
∴原函数值域为：y∈(-∞,
5
2
)∪(
5
2
,1)
∪(1,+∞)。
大沥高中数学科组编 2003-10-8 第1期
第四版