正弦量及其相量表示(1)
正弦量与相量法的基本概念
目
CONTENCT
录
• 正弦量定义与性质 • 相量法基础 • 正弦量与相量法的转换 • 交流电路中的相量法应用 • 相量法在电机控制中的应用 • 正弦量与相量法的实验验证
01
正弦量定义与性质
定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化的量 ，通常用复数表示。
详细描述
正弦量是随时间变化的物理量，如交 流电电压、电流等。在数学上，正弦 量通常用复数表示，其实部表示幅值 大小，虚部表示相位。
THANK YOU
感谢聆听
相量法在电机控制中的应用
利用相量法可以简化电机控制中的数学模型，方便分析和 设计控制策略。通过将交流电机等效为直流电机，可以使 用成熟的直流电机控制方法进行控制。
控制算法
利用相量法，可以设计出各种控制算法，如PI控制器、模 糊控制器等，实现对电机的精确控制。
案例分析：无刷直流电机控制
无刷直流电机
无刷直流电机是一种采用电子换向器的直流电机，具有高效、调速范围宽、维护方便等优 点。
乘法运算
两个正弦量的乘法运算可以通 过复数乘法实现，即对应相量 直接相乘。
除法运算
两个正弦量的除法运算可以通 过复数除法实现，即对应相量 直接相除。
运算规则
在进行相量运算时，应遵循复 数的运算法则和运算顺序。
03
正弦量与相量法的转换
转换公式
正弦量与相量法转换公式
$I = I_m angle theta$，其中 $I$ 是 正弦量，$I_m$ 是相量，$theta$ 是 初相角。
信号处理
在信号处理领域，相量法可用 于分析信号的频谱和滤波器的 设计。
04
交流电路中的相量法应用
正弦量与相量法的基本概念
解：
•
U 1 = 220
0 ,
•
U 2 = 220
120
+ •
•
U 1 + U2 = 220
0
220 120
-120o
•
U2
•
•
U1+ U2
= 220 (cos0 + j sin 0 ) + 220[cos(120 ) + j sin(120 )] = 110 j190.5 = 1102 + (190.5)2 arctan 190.5 = 220 60
复常数
A(t)包含了三要素：I， ， 复常数包含了I , 。
•
称 I = I 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
13
•
i(t) = 2I cos(t + ) I = I
正弦量的有效值相量表示:
以正弦量的有效值作为相量的模 正弦量的初相位作为相量的幅角
•
u(t) = 2U cos(t + ) U = U
注意:只适用正弦量
Im = 2I
i(t) = Im cos(t + ) = 2I cos(t + )
同理: u(t ) = Um cos(t + ) = 2U cos(t + )
★ 正弦量的有效值与最大值之间有固定的 2 关系，即
Im = 2I U m = 2U
10
二、 相 量 法 的 基 本 概 念
110
u1(t ) + u2 (t ) = 2 220cos(t 60 )
19
•
•
U 1 U2 = 220
0
220 120
03-正弦量的相量表示法知识点
正弦量相量表示1、基本概念（1）正弦电路相量表示方法。
正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。
为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。
正弦量的相量表示如表1所示。
表1正弦量的相量式三角函数式相量的极坐标式相量的直角坐标式电压tU u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。
相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。
正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。
2、正弦交流电路的相量分析方法正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。
（1）相量式法1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示；2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。
一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。
（2）相量图法1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定；2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图；3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。
2、注意事项（1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。
（2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。
（3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。
正弦量的相量表现法[会要]
![正弦量的相量表现法[会要]](https://img.taocdn.com/s3/m/d3d82d06f08583d049649b6648d7c1c709a10b56.png)
4－１ 正弦交流电路的分析方法一、用向量表示正弦量表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。
一、正弦量的旋转矢量表示1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量，称为相量。
如：∙m I 、∙m U 、∙m E 。
有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。
如：∙I 、∙U 、∙E 。
2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。
二、同频率正弦量的加、减确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。
１、 相量作图法的步骤：先用出相量1∙I 和2∙I ，而后以1∙I 和2∙I 为邻边作一平行四边形，其对角线即为合成电流i 的相量∙I 。
∙I的长度为有效值，∙I 与横轴正方向的夹角即为初相ψ。
２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。
例如： ∙∙∙∙∙-+=-=)(2121I I I I I ３、三角形法求矢量加、减两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。
两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。
多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。
三、相量的复数表示式把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。
jb a I +=∙其中，a----实部，b----虚部ψψsin ,cos I b I a ==则： ()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=∙，式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角ab tg b a I =+=ψ,22复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：ψψ∠==∙I Ie I j复数和正弦量之间也是一一对应的关系，表示正弦量的复数称为相量表示式，也简称相量，以后述及相量，若进行运算指复数运算，若作图指位置在初始时间的相量图。
电工学第8章正弦量与相量
例1.
547 10 25 ?
5 47 10 25 ( 3 . 41 j 3 . 657 ) ( 9 . 063 j 4 . 226 ) 解
12.47 j 0.569 12.48 2.61
例2.
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
无物理意义
j( wt Y )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt Y ) j 2Isin( wt Ψ )
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
例
100 50
i
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解 i ( t ) 100 cos(103 t y )
0
t 0 50 100 cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i ( t ) 100 cos(103 t
A | A | e
j
A | A | e j
| A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
复数也是矢量 直角坐标表示 极坐标表示
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 相量形式（同频率的正弦量） ： I
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0
第五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
电工电子技术基础知识点详解2-1-正弦量的相量表示法(1)
电压的有效值相量
注意:
(1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关系。
？ i Imsin(ωt ψ) = Imejψ Im ψ
正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两者不 能划等号！
(2) 只有正弦周期量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。
三角式
r a2 b2b ψ arctan
复数的模 复数的辐角
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量。
+j
b
A
r
(1) 复数表示形式
O
a +1
由欧拉公式:
ej ψ ej ψ
cos ψ
,
2
可得: ej ψ cosψ jsin ψ
1.正弦量的表示方法
u
波形图
O
t
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ V
必须
重点
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦量的相量表示法
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 (1) 复数表示形式
设A为复数
代数式 A =a + jb
+j b
r
O
A a +1
式中: a r cos ψ b r sinψ
正弦量的相量表示法
3. 相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ Uψ U(cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量在复平面中用有向线段表示出来
U1 220 20V U2 110 45V
电工电子技术基础知识点详解2-3正弦量的相量表示
正弦量的相量表示正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外，还可以用相量来表示。
相量表示法的基础是复数，即用复数表示正弦量。
要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算简便而又形象。
1. 复数复数的表示形式及相互关系设复平面有一复数A ，其模为r ，幅角为ψ ，如图1所示。
它可以用以下几种形式表示；(1) 复数的代数式: b a A j +=22b a r += 复数的模ab arctan =ψ 复数的辐角(2) 复数的三角式：)sin j (cos sin j cos ψψψψ+=+=A A A A(3) 复数的指数式: ψj re A =(4) 复数的极坐标式: ψ∠=r A上述复数的四种表达形式，可以互相转换。
ψψψψ∠==+=+=r re r b a A j )sin j (cos j复数的加减运算可用代数式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。
说明：数学中虚数用i 表示。
电工中在相量表示时，为了不与电流i 相混淆，改用j 表示虚数。
2．正弦量的相量表示由上可知：复数由模和幅角两个特征来确定，而正弦量由幅值、角频率、初相角三个特征来确定。
在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量，频率是已知的，可以不考虑。
因此，一个正弦量由幅值(或有效值)何初相位就可确定。
比照复数，正弦量可用复数表示。
复数的模即为正弦量的幅值(或有效值)复数的辐角即为正弦量的初相角为了与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称相量。
用大写字母加“·”表示。
若已知正弦电压为)sin(m ψω+=t U u ，相量式可写为ψψψψ∠==+=mj m m m )sin j (cos U e U U U 最大值相量 相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角或:ψψψψ∠==+=U e U U Uj )sin j (cos 有效值相量相量的模=正弦量的有效值相量辐角=正弦量的初相角综上所述，正弦量的相量表示，其实质是将同频率的正弦量变换成它的复数形式，这样就把正弦稳态交流电路中繁琐的三角函数运算变换成复数运算，从而简化了运算过程。
2.2正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法一、正弦量的表示方法1、波形图表示法下图给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
2、瞬时值表达式 i (t ) = I m sin(ω t + ϕi 0)u (t ) = U m sin(ω t + ϕu 0)e (t ) = E m sin(ω t + ϕe 0)3、相量表示实质：用复数表示正弦量①正弦量用旋转有向线段表示相量法就是用相量来表示正弦量。
相量的数学基础是复数。
采用这种表示方法使得描述正弦交流电路由原来的微(积)分方程转化为代数形式的方程，大大地简化了正弦交流电路的分析与计算。
我们知道一个带有方向的线段可以表示一个矢量，下面先来看一个例子，讨论旋转有向线段与正弦量的关系。
图 正弦交流电的波形图举例 ψU U ∠=设正弦量U= U m sin(ωt +ψ)若: 有向线段长度 = Um有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ有向线段以速度ω按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
例如：在t =t 0时，U 0=U m sin(ωt 0+ψ)在t=t l 时，U 1=U m sin ；(ωt 1+ψ)正弦量可用有向线段表示，而有向线段又可用复数表示，所以正弦量可用复数来表示。
② 复数的几种表示形式在一个直角坐标系中，设：横轴为实轴，单位用+1表示；纵轴为虚轴，单位用+j 表示，则构成复数平面(又称复平面)。
图所示的有向线段A ，其复数表示式为：a ．代数式 A=α+ jba=rcosψ ，b=rsinψb ． 三角式根据欧拉公式：c ．指数式 A= re j ψd ． 极坐标式一个复数可用代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，四者可以互相 ψr A =ψψψsin j cos e j +=可得:ab ψarctan =22b a r +=复数的模 复数的辐角 )sin j (cos sin j cos ψψr ψr ψr A +=+=,e e 2cos j j ψψψ-+=2j sin j j ψψψ--=e e转换。
正弦量的相量表示及运算
蒸发操作的类型
1. 按二次蒸气的利用情况分：单效蒸发和多效蒸发
单效蒸发：将二次蒸气不在利用而直接送到冷凝器冷凝以除去的蒸发 操作。 多效蒸发：若将二次蒸气通到另一压力较低的蒸发器作为加热蒸气， 则可提高加热蒸气（生蒸气）的利用率，这种串联蒸发操作称为多效 蒸发。
一、正弦量的相量表示
1. 复数的表示形式 用相量来表示相对应的正弦量的方法称为相量表示法。 相量本身就是复数。 一个复数可用下面4种形式来表示： 设A为复数 (1) 代数式A =a + jb
式中:
r a2 b2
arctan b
a
a r cos
复数的模 复数的辐角
b r sin
一、正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
2．复数的四则运算 设有两个复数分别为：A1 r1a a1 jb1 A2 r2b a2 jb2
A1、A2加、减、乘、除时运算公式如下： A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 • A2 r1r2a b
A1 A2 1030 845 (10cos30 10 j sin 30) (8cos45 8 j sin 45) (8.66 j5) (5.656 j5.656) 3.004 j0.6156A
A1 A2 1030845 108(30 45) 8075A
A1 1030 10 (30 45) 1.25 15A A2 845 8
A1 A2
r1 r2
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相
乘、除时用极坐标形式比较方便。
一、正弦量的相量表示
例题： 有两个复数分别为A1 1030，A2 845 试分别 对它们做加、减、乘、除运算。
电工学第8章正弦量与相量
u
j= /2：
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2；
i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
i 0
u
iw t
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) i2(t) 10cos(100 t 2)
•
I
u(t)
2Ucos(w t θ ) U Uθ
Y
注： 正弦交流电压和正弦交流电流在用相量表示时
有幅值相量（如 的不同表示.
I
m
,
U
）和有效值相量（如
m
I
,
U
）
返回 上页 下页
4. 相量法 把正弦量的加减、微积分计算转换为复数代数运算
(1) 同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
8.1 正弦量的基本概念
1. 正弦量
i
T
瞬时值表达式：
波形：
O
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w
t
正弦量为周期函数y(t)=y(t+kT )
周期T (period)和频率f (frequency) :
电工学第十二次课
3.正弦量的相量表示(1)极坐标式111sin()m i I t ωϕ=+表示为极坐标式，可表示为最大值极坐标式或有效值极坐标式(电压的表示也相同)。
最大值极坐标式：m mI I ϕ=∠ 。
有效值极坐标式：II ϕ=∠ 。
极坐标式便于乘除运算。
例：05sin(30)i t A ω=+，010sin(45)u t V ω=+，计算?u z i==解：第一：先将正弦量转换为相量的极坐标式：0530m m I I A ϕ=∠=∠ (或030I I A ϕ=∠= )01045m m U U V ϕ=∠=∠ (或045U U V ϕ=∠= )第二：用相量运算(复数运算)0000010454530215530m m U Z I ∠===∠-=∠Ω∠或：0004530215U Z I ===∠-=∠Ω 第三：必要时将相量转换为正弦量0215Z =∠Ω→02sin(15)z t ω=+Ω乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。
(2)代数式由相量图可知cos sin Ua jb U jU ϕϕ=+=+ 代数式便于进行加减法运算，当然乘除运算也可以。
例：015sin(45)u t V ω=+；0210sin(30)u t V ω=+，12?u u +=。
解：第一：先将正弦量转换为相量的代数式：0015(cos 45sin 45)m U j V =+ (或001(cos 45sin 45)2U j V =+ )00210(cos30sin 30)m U j V =+ (或002(cos30sin 30)2U j V =+ )第二：用相量运算(复数运算)12m m m U U U =+ 加减运算：实部与实部相加(相减)，虚部与虚部相加(相减)。
乘除运算：2()()()()a jbc jd ac jad jbc j bd ac bd j ad bc ++=+++=-++22()()()()()()a jb a jb c jd ac bd j bc ad c jd c jd c jd c d ++-++-==++-+注意：1j =-；21j =-；3j j=-第三：必要时将相量转换为正弦量(3)指数式据欧拉变换有：cos sin j Ua jb U jU Ue ϕϕϕ=+=+= 指数式便于进行乘除运算。
正弦量的基本特征及相量表示法KCLCVL及元件伏安关系的-精选文档
3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
i I sin( t ) m i
代数型
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
三角函数型
指数型
极坐标型
跳转到第一页
复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
1 T 2 0 i dt T
跳转到第一页
对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I
3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系 的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
跳转到第一页
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
3.1 正弦量的基本概 念及其相量表示法
第3章 正弦交流电路 学习要点
正弦量的相量表示法正弦量的相量表示方法
正弦量的相量表示法正
弦量的相量表示方法
（1）正弦量的表示法
波形图、瞬时值表达式和相量的表示方法，如图1-15所示。
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
（2）正弦量的旋转矢量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示称为旋转矢量。
正弦量在各时刻的瞬时值与旋转矢量在对应时刻在纵轴上的投影一一对应。
由于矢量具有了正弦量的三要素，因而正弦量可以用矢量来表示。
只有正弦量才能用矢量表示，非正弦量不可以。
只有同频率的正弦量才能画在一张矢量图上，不同频率不行。
正弦量用矢量表示时，有两种方式：若其幅度用最大值表示，则用符号
；若其幅度用有效值表示，则用符号：
正弦量矢量作图方式，如图1-16所示。
（3）正弦量的复数表示法
正弦量的复数表示方法有四种表达形式：代数形式、三角函数形式、指数形式、极坐标形式。
复数的图示，如图1-17所示。
a，b都是实数，a称为A的实部，b称为A的虚部，j=称为虚数单位（数学中用i表示，电工技术中i已用来表示电流，故改用j表示）。
②三角函数形式：
A=r（cosφ+jsinφ）
式中
③指数形式：
更多：正弦交流电的电压和电流值
百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆。
正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元件
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ωt+φi)为正旋量的瞬时值。 Imsinφi为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
0
2T
I
Im 2
0.707Im
U
Um 2
0.707Um
Um 220 2 311V
例 3-4 一个正弦电流的初相角为60°,在T/4 时 电流的值为5A，试求该电流的有效值。
解 该正弦电流的解析式为
it I m sin wt 60 A
代入已知量有：5
Im
sin wT 4
60 A
5
Im
sin
2
3
A
则有：I
＝
m
5
sin5
/ 6
5 1
10A
2
I I m 7.07A 2
3.2 正弦量的相量表示法
复数及四则运算
1.复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部,
i 1 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符
号, 虚单位常用j表示。 ＋j
3
A
O
确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点
i i1＝Imsint
i i2＝Imsin(t＋ 2)
i i3＝Imsin(t＋ 6)
i
i4＝Imsin(t－
6)
0
t 0
t 0
t 0
t
2
6
6
3.2 正弦量的相量表示法
所以：i sin(t 30 ) sin(t 150 )
3、 = 2–1=90°正交
(1)用相量图叠加
如： i1 =3sin(ωt +30°) i2 =4sin(ωt +120°)
求和
则： Im= Im12 + Im22 = 5
θ =arctan(对边/邻边) = 53°
(本例）=1+θ =83° i=5sin(ωt+83°)
现有复数A =|A| e j
相量图
A
+1
若令：A• j =|A| e j ·e j 90° 则有：A• j = |A|e j ( + 90°)
由此知，A j使A逆时针旋转90°
相量图 Aj
90°
A
同理， A（- j）使A顺时针旋转90° 故：复平面中，j 是旋转90°的算子符。
+1
接3.3
4.复数的极坐标形式 A = A
复数的四种表示形式，是相量表示法的基础。
3.2.2 正弦量的相量表示法 +j
一、正弦量的相量表示法
b(t)
若，令复数A绕原点， 以ω的角速度、 逆时针方向旋转，
A
ω
A ωt
+1
则，任何时刻(t)，其虚部的表达式为：
b(t)=|A|sin(ωt +)
形式完全相同
i(t)=Imsin(ωt +)
但当由相量式写解析式时，必须将频率写入。
三、相量表示法举例 例1. i=5 2 sin(ωt+30 °) 极大值相量式： Im=5 2∠30° 有效值相量式： I =5∠30°
相量图
5 Iω
30°
+1
电路原理6.1.1正弦量及其相量表示 - 正弦量及其相量表示1
=
Im 2
= 0.707Im
第6章 正弦交流电路的稳态分析
四、复数的运算 1.复数的表示形式
1)代数形式 F = a jb
(j = 1)
在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi，但由于在电路
中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。
实部 虚部
Re[F ] a
Im[F ] = b
复数可用复平面上的向量表示：
imax imin=2Im 称为正弦量的峰－峰值。
第6章 正弦交流电路的稳态分析
i = Imcos(ωt + i )
2.角频率
随时间变化的角度(ωt ψi)为正弦量的相位(或相角)。ω
为正弦量的角频率，是正弦量的相位随时间变化的角速度，
即
d
ω = dt (ωt + ψi )
角频率的单位为rad/s。它与正弦量的周期 T 和频率 f 之 间的关系为：
F1 F2
j
2 |F2 | F1
F1
1 F2 2 0
+1
j F1
F1
|F2 | 2FF12
0
1 2 F2 +1
第6章 正弦交流电路的稳态分析
4.1正弦量及其描述
我国的照明用电的电压为220V就是指交流电
压的有效值，其最大值： U 2 220 311V m
交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值。
4.1 正弦量及其描述
二、正弦量的频域（相量）表示
——研究在频率ω域如何表示一个正弦量
正弦量表示方法：
瞬时值表达式 正弦波形
➢ 频率：周期信号每秒钟变化的循环个数，用 f
表示，单位为赫[兹]（Hz）。
角频率：
2
f
2
T
f 1 T
4.1 正弦量及其描述
i
一、正弦量的时域表示
Im
2、函数形式
0
i
t 2
（3）周期和频率
小常识：
i Imcos( t i )
* 电网频率： 中国 50 Hz
美国 、日本 60 Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
4.1 正弦量及其描述
二、正弦量的频域（相量）表示 1.复数（复习）
1）代数形式（直角坐标形式）
A a jb a : A的实部,即：Re[A] a
b : A的虚部,即：Im[A] b
a,b 均为实数，是复矢量A在实轴和虚轴上的投影
j
可将其在复平面上表示为： b
A
a 1
2）三角形式
j
A a jb | A | cos j | A | sin
则 45 - 30 15
错误！不同频率！
2.若 i1 10sin314 t 45 i2 20cos314 t 30
则 45-30 15 错误！应同cos或sin表示！
3.若 u1 10sin314 t 30 u2 10sin314t 15
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| |
(θ1
θ2 )
可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
第6章 正弦交流电路的稳态分析
两个复数的乘法也可以在复平面上进行计算，即复数的模 相乘，辐角在θ1的基础上逆时针旋转θ2角度，即为复数乘积的 辐角。
两个复数的除法也可以在复平面上进行计算，即复数的模 相除，辐角在θ1的基础上顺时针旋转θ2角度。
ωT 2， = 2πf， f = 1/T
频率 f 的单位为1/s，称为Hz(赫兹)。我国工业用电的频 率为50Hz。
第6章 正弦交流电路的稳态分析
i = Imcos(ωt + i )
3.初相(位) ψi
正弦量在 t = 0 时刻的相位，称为正弦量的初相位，简称
初相。即
(t + i ) t=0 = i
若j 0，则称 u 超前 i (或称 i 滞后 u )； 若j 0，则称 u 滞后 i (或称 i 超前 u )； 若j 0，则称 u 和 i 同相； 若 j ，则称 u 和 i 反相； 若 j 2，则称 u 和 i 正交。 同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定，在同一个周 期内两个波形的极大值(或极小值)间的角度值( 180°)，即为 两者的相位差。超前者先达到极值点。相位差与计时零点的 选取、变动无关。
1 2
Im2
=
Im 2
= 0.707Im
第6章 正弦交流电路的稳态分析
四、复数的运算 1.复数的表示形式
1)代数形式 F = a jb
(j = 1)
在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi，但由于在电路
中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。
实部 虚部
Re[F ] a
Im[F ] = b
复数可用复平面上的向量表示：
第6章 正弦交流电路的稳态分析
u, i 试分析图中各量 的相位关系。
0
u 超前 i
j
u, i
u 和 i 同相
0
u i
t
u i
t
第6章 正弦交流电路的稳态分析
三、正弦量的有效值
正弦量的有效值用来表示正弦交流电的大小。 有效值定义：设两个相同的电阻，分别流过周期电流和直 流电流。如果在周期信号的一个周期内，两个电阻消耗的能 量相等，则该直流电流的数值为周期电流的有效值，表明两 者在能量消耗方面具有相同的效果。
ReF F cos(t ψ)
从而，正弦交流电流 i 2Icos(t ψi ) Re[ 2Iejψi ejt ]
第6章 正弦交流电路的稳态分析
可以看出， I是ejψ以i 正弦量的有效值为模，以初相为辐角的 一个复数，定义其为正弦量 i 的相量，记为 。 I
I = Iejψi = I ψi
正弦量的有效值相量
(b)指数形式
F1F2 =| F1 | ejθ1 | F2 | ejθ2 =| F1 || F2 | ej(θ1+θ2 )
| F1F2 || F1 || F2 | arg(F1F2 ) arg(F1 ) arg(F2 ) 1 2
即复数乘积的模等于各复数模的积；其辐角等于各复数辐 角的和。
(c)极坐标形式 F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
j
b
|F |
θ 0
F a +1
第6章 正弦交流电路的稳态分析
2)三角形式 F =| F | (cosθ jsinθ)
F = a + jb
| F | 为复数的模， 为复数的幅角， argF 。则
F = a2 + b2
θ = arctan(b/a)
且 a =| F | cosθ
b = | F | sinθ
imax imin=2Im 称为正弦量的峰－峰值。
第6章 正弦交流电路的稳态分析
i = Imcos(ωt + i )
2.角频率
随时间变化的角度(ωt ψi)为正弦量的相位(或相角)。ω
为正弦量的角频率，是正弦量的相位随时间变化的角速度，
即
d
ω = dt (ωt + ψi )
角频率的单位为rad/s。它与正弦量的周期 T 和频率 f 之 间的关系为：
应的函数表达式。
U = 100 60o V u = 100 2cos(100t 60o )V
ω = 100 rad/s 相量是个复数，它在复平面上的图形称为相量图。
第6章 正弦交流电路的稳态分析
2.旋转相量 与正弦量相对应的复指数函数在复平 j
面上可以用旋转相量表示出来。其中复
常数 2称I为ψ旋i 转相量的复振幅，ejωt 是
两个同频率正弦量之间的相位差等于它们相位相减的结果，
在主值范围内取值。设j 表示电压 u 和电流 i 之间的相位差。
则
第6章 正弦交流电路的稳态分析
u = 2Ucos(ωt +u ), i = 2Icos(ωt +i )
j (ωt + u ) (ωt + i ) u i 上式表明，同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差， 为一个与时间无关的常数。电路中常采用“超前”和“滞后” 来说明两个同频率正弦量相位比较的结果。
对正弦量的数学描述，可以采用正弦函数，也可采用余弦
函数。但在用相量法进行分析时，要注意采用的是哪一种
形式，不要两者同时混用。本书采用余弦函数。
设右图中正弦电流 i 的数学表达式为 i
i = Imcos(ωt + i )
+
u
_
1.振幅Im
Im称为正弦量的振幅，亦即正弦量的最大值imax。
当cos(ωt ψi ) 1 正弦量有最小值imin= Im。
i = Imcosωt
Im
i = Imcos(ωt + i )
Im
2
i = Imcos(ωt + i ) Im 2
0 2
t
( i 0)
0 2 i
t ( i 0)
0 2 i
t ( i 0)
二、 两个同频率正弦量之间的相位差
设两个同频率正弦量 u 和 i 分别为：
u = 2Ucos(ωt +u )，i = 2Icos(ωt +i )
根据欧拉公式可得e jπ/2j，e jπ/2= j，e jπ= 1。因此 “±j ”和“－1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j， 等于在复平面上把该复数逆时针旋转/2。若一个复数除以
j ，等于把该复数乘以j ，则等于在复平面上把该复数顺时
针旋转π/2。
第6章 正弦交流电路的稳态分析
5)相等运算 在复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数相
等必须满足两个条件：复数的实部、虚部分别对应相等； 或者复数的模和辐角分别对应相等。即若
F1 F2
则必须有：ReF1 ReF2 ImF1 ImF2
或必须有： F1 F2 arg(F1 ) arg(F2 )
第6章 正弦交流电路的稳态分析
五、正弦量的相量表示 在线性电路中，如果电路中的所有电源均为同一频率的正
弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应也将是同频 率的正弦量。处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路， 又称正弦电流电路。相量法是分析求解正弦电流电路稳态响 应的一种有效工具。
1.相量的概念 如果复数 F F ejθ中的辐角 θ ωt ψ，则F就是一个 复指数函数。利用欧拉公式可展开为
F F ej(tψ) F cos(t ψ) j F sin(t ψ)
第6章 正弦交流电路的稳态分析
第6章 正弦稳态电路的分析
§6.1 正弦量及其相量表示 §6.2 电路定律的相量形式 §6.3 阻抗和导纳 §6.4 正弦稳态电路的分析
§6.5 正弦稳态电路的功率
第6章 正弦交流电路的稳态分析
§6.1 正弦量及其相量表示
一、 正弦量的三要素
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。
F1 F2
j
2 |F2 | F1
F1
1 F2 2 0
+1
j F1
F1
|F2 | 2FF12
0
1 2 F2 +1
第6章 正弦交流电路的稳态分析
4) 旋转因子
复数的乘、除运算表示为模的放大或缩小，辐角表示 为逆时针旋转或顺时针旋转。复数ejθ =1∠θ是一个模等于1， 辐角为θ的复数。任意复数F1=∣F1∣ejθ1乘以ejθ等于把复 数F1逆时针旋转一个角度θ ，而F1的模值不变，所以ejθ称 为旋转因子。
F1 F2 = (a1 + jb1 ) (a2 + jb2 ) = (a1 a2 ) + j(b1 b2 )
平行四边形法则：
j F1 +F2 F1
F2 0
+1
j F1
F2 0
F1－F2 +1
第6章 正弦交流电路的稳态分析
2)乘法运算
(a)代数形式
F1F2 = (a1 + jb1 )(a2 + jb2 ) = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 a2b1 )
周期电流i(t)在一个周期T 时间内在电阻R上消耗的电能为
W1
T i 2 Rdt
0
直流电流I在一个周期T 时间内在电阻R上消耗的电能为
W2 I 2RT
第6章 正弦交流电路的稳态分析
按照有效值的定义，若 W1 = W2
则 T i2 Rdt I 2 RT 即 I = 1 T i 2dt
0
T0
3)指数形式 ejθ cosθ jsinθ 欧拉公式
F =| F | ejθ
4)极坐标形式 F | F |
j
b |F |