3波的能量

在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等 I1S1T I2S2T ,
S1 S2 S
1 2
u 2 A12 S1T
1 2
u 2 A22 S2T
A1 A2 平面波振幅相等，波的强度相同。
分析平面波和球面波的振幅
证明： 对球面波：
在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
ห้องสมุดไป่ตู้
I1S1T I2S2T,
一、波的能量的定量表达
以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能 量的传播作简单说明。 y Acos(t x )
u
波动媒质中一体积元 V ，长为 x ，横截面为S
t时刻
t+ t 时刻
y x y S
.Y mi V
x
x
x y y
u
质元在传播纵波的过程中被拉伸或者压缩。设经过 t ，
平衡位置在x处的质元 V 偏移平衡位置的位移为y
→ 行波：既传播振动形式又传播振动能量 （与驻波区别）
问题：如何描述波的能量
把波的传播看成能量的传播，就可以不妨把波动过程
看成一种能量的流动
水的流动
描述能量流动的物理量
描述水流动的物理量
能量密度：单位体积中所具有的能量（水量）
平均能量密度
能流
平均能流
能流密度（波强）
二、能量密度
能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。
动能达到最大时势能为零，势能达到最大时动能为零，两者互相转化， 使得系统的总机械能保持守恒。
在波动过程中，每个质点尽管也是处在振动状态，但是这个振动系统 并不是孤立系统。每个质元动能和势能的变化是同相位的。同时达到 最大，同时达到最小，当此体积元的机械能达到零时，表明它已经把 全部机械能传递给邻近的下一个体积元。接下来它又要从上一个体积 元接收机械能，此能量由波源提供。质元随时和外界作能量的交换和 传递。
S1 4r12
S2 4r22
1 2
u 2 A12r12T
1 2
u 2 A22r22T
波面
A1 r2 A2 r1
球面波振幅与距离成反比。
波线
p wuS wuS
能流密度
通过垂直波传播方向的单位面积的平均能 流
——称作能流密度
能流密度（波的强度）： 即单位时间内通过垂直于波动传播的方向的单位面 积中的平均能量。即在单位面积上波动的功率。
I p wu
S
I 1 A2 2u 单位：瓦 • 米2
2
物理意义: I 越大，单位时间通过单位面积的能量
sin 2 (t
x)
u
讨论：
（A）波动过程中，体元中的动能与势能“同相”： 同时达到最大，同时达到最小。
以横波为例定性说明 (注意与振动能量相区别) 动能、势能 同时达到最大值、最小值。
形变最小 →0，
y
振动速度最小 →0
u
b
x
a
形变最大，振动 速度最大
从能量的角度看波动和振动的区别
在简谐振动系统（孤立的系统）中，动能和势能有 2 的相位差，即
所以 dt 时间通过面积 ΔS 的能量 wsudt
●
●
o
x
u
S
x
udt
dt 时间通过面积 ΔS 的能量 wsudt
单位时间通过面积 ΔS 的能量——能流
p wuS
w 讨论：1. 能流P 和能量密度 一样，是随时间周期性地
变化
2.能流越大，单位时间传播过横截面的能量越大
平均能流：在一个周期内能流的平均值。
据杨氏模量定义和胡克定律, 经数学推导可以得到：
Ep
1 2
u2 (V ) A2
2
u2
sin 2
t
x u
1 (V ) A2 2 sin2 t x
2
u
3）体积元的总能量
Ek
1 2
VA2 2
sin 2 (t
x) u
EP
1 2
VA2 2 sin 2 (t
x) u
E
EK EP
VA2 2
被拉伸 y
t时刻
t+ t 时刻
y x y S
.Y mi V
x
x
x y y
u
1）体积元的动能 y Acos
(t
x
)
v y A sin(t x )
u
t
u
Ek
1 2
mi v 2
1 2
VA2 2
sin2 (t
x) u
2）体积元的势能 体积元因长变而具有 弹性势能
E p
1 2
k (y) 2
k为劲度系数
沿着波动的传播方向，该体积元不断从后面的介质获得能量，又不断 地把能量传递给前面的介质。随着波的行进，从介质的这一部分传向 另一部分，所以，波动是能量传递的一种方式。
判断
u
y
B
PQ
x
A
质元A 质元P 质元B 质元Q
（填吸收、释放）能量 （填吸收、释放） 能量 （填吸收、释放） 能量 （填吸收、释放）能量
就越多，表示波动越强烈。描述波的能量强弱.
注意：定义中出现了对方向的要求，即能量密度 是个矢量。有时称为波的强度，则是只取其大小， 也就是说成了一个标量。
分析平面波和球面波的振幅
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向 上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。
证明： 对平面波：
讨论：
(B)
E
A2 2
sin 2[(t
x u
)
0
]
与弹簧振子能量不同，总机械能并不是常量，它随时
间周期变化的。在波传动过程中，任意体积元（非孤立系
统）的能量不守恒。
在有波传播的细棒中有能量在传播。能量以速度 u 传
播。能量的传播速度和传播方向与波的传播速度和传播方 向总相同。
(C) 波的传播过程也是能量的传播过程。
2
三、波的能流和能流密度
能量密度表示某一时刻质元所具有的机械能的大小 但并没有反映能量是如何传播的 或者质元能量是如何变化的 为此引入能流密度来说明能量在媒质中的传播
当媒质中有波传播时，任取一截面， 单位时间通过该截面的能量
——称作通过该面积的能流
u
S
记作 P
u
能流的计算
以平面简谐波为例
设一平面简谐波沿 x 方向传播，如图 u
●
●
o
x
S
x
在媒质中垂直波传播方向距离原点 x 处
取一面积 ΔS ，考虑 dt 时间通过面积 ΔS 的能量
●
●
o
x
u
S
x
udt
在面积 ΔS 后做一方体，侧面积为 ΔS，宽为 udt
dt时间通过面积 ΔS 的能量就等于方体中的能量
w 设能量密度为 ，方体的体积为 Δs udt
w 方体中的能量 ΔSudt，
w
E V
2
A2
sin
2 [ (t
x u
)
0
]
物理意义：能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布
平均能量密度 能量是周期函数，一个周期内能量密度的
平均值。
1 T
1
w wdt
T0
T
T 0
A2
2
sin2[ (
t
x u
) 0 ]dt
T 2
sin2 d 2
0
w 1 A2 2