函数的微分和逆矩阵求法
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函数的微分和逆矩阵求法
数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）
一、1.一元函数的高阶微分
定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，
且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量
00()()y f x x f x ∆=+∆-，
如果其增量可表示为
()y A x o x ∆=∆-∆，
其中A 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即
0|x x dy A x ==∆。
可证 A=0'()f x 即
00|'()x x dy f x dx ==。
定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量
00()()y f x x f x ∆=+∆-
如果其增量可表示为
()
2
()2!
B y A x x o x ∆=∆+
∆-∆，
其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ∆，2
()B x ∆为函数
()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2
,dy d y ，即
0|x x dy A x ==∆，0
22
|()x x d y B x ==∆。
可证
00'(),''()A f x B f x ==
即
00|'()x x dy f x dx ==，()2
2
0''d y f x dx =。
根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分
定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量
00()()y f x x f x ∆=+∆-
如果其增量可表示为
()
()
()2
212!
!
n
n
n A A y A x x x o x n ∆=∆+
∆++
∆-∆ ，
其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处n 阶可微，并称2
22
3
22
2
2
tan (tan )'tan (cos )'sec tan 3cos sin dy tdx t d y dx td x
a t t
dx td x
a t t
=--=
--=
--为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分……n 阶微分，
记作2,dy d y ，……，n d y 即
002
2
12|,|()x x x x dy A x d y A x ===∆=∆，……，0|()n
n
x x n d y A x ==∆。
又根据函数()f x 在0x x =点的泰勒公式
()
()
()
()02
000000''()()()'()()()2!
!n n
n
f
x f x f x f x f x x x x x x x o x
n =+-+
-++
-+ ，
得
()
()
()
()
02
000000''()()()'()()()2!
!
n n
n
f
x f x y f x f x f x x x x x x x o x
n ∆=-=-+
-++
-+∆
即
()()1020',''A f x A f x ==，……，()
()0n n A f
x =
所以
00|'()x x dy f x dx ==，()2
2
0''d y f x dx =，……，()
()
()00|n n n x x d
y f
x dx ==。
注：
1．在泰勒公式中0x x -与x ∆是等价的。
2．因为()n
o x ∆是()n x ∆的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个()n
o x ∆都不会影响到的精确度。
2、微分的运算法则
1．()()()()d f x g x df x dg x ±=±⎡⎤⎣⎦；
2．()()()()()()d f x g x g x df x f x dg x ∙=+⎡⎤⎣⎦；
3．()()()()()()
()
2
f x
g x df x f x dg x d g x g x ⎡⎤-=
⎢⎥⎣⎦
()()0g x ≠； 4．复合函数的微分
()()()
()()()''''dy dy du f g x g x dx
du
dx
dy f g x g x dx
=
∙
=∴=
3、参数方程的微分
在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。
解参数方程