函数的微分和逆矩阵求法
矩阵求逆方法大全
矩阵求逆方法大全
矩阵的逆是一个重要的数学概念，它在很多领域中都得到了广泛的应用，如线性代数、微积分、概率论等。
求解矩阵的逆可以用于解线性方程组、计算行列式、计算特征值和特征向量等。
本文将介绍几种常见的矩阵求逆方法，包括伴随矩阵法、高斯消元法、LU分解法和特征值分解法。
1.伴随矩阵法：
伴随矩阵法是求解逆矩阵最常用的方法之一、首先，计算出矩阵的伴
随矩阵，然后将其除以矩阵的行列式即可得到逆矩阵。
2.高斯消元法：
高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，也可以用来求解矩阵
的逆。
通过将待求逆矩阵与单位矩阵连接起来，然后进行初等行变换，直
至左边的矩阵变为单位矩阵，右边的矩阵即为所求逆矩阵。
3.LU分解法：
LU分解法将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，然后
通过求解两个三角矩阵的逆矩阵，进而求得原矩阵的逆。
LU分解法是一
种常用的数值计算方法，应用广泛。
4.特征值分解法：
特征值分解法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来求解矩阵的逆的
方法。
首先，根据特征值定理求解矩阵的特征值和特征向量，然后利用这
些特征值和特征向量构建一个对角矩阵，最后通过对角矩阵求逆得到原矩
阵的逆。
除了上述方法外，还有其他一些方法可以用来求解矩阵的逆，如迭代法、SVD分解法等。
这些方法在不同的应用场景下有不同的优势。
总之，求解矩阵的逆是一个重要的数学问题，在实际应用中有着广泛的应用。
以上介绍的几种方法是常用的求解逆矩阵的方法，读者可以根据自己的需求选择合适的方法进行求解。
矩阵微积分规则
矩阵微积分规则
矩阵微积分是对矩阵进行微积分运算的一种方法，它包括了一系列的规则和定理。
以下是一些常见的矩阵微积分规则：
1. 矩阵加法规则：对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的
和用A + B表示，其中每个对应位置上的元素相加。
2. 矩阵标量乘法规则：给定一个矩阵A和一个实数k，矩阵A 乘以k表示每个元素都乘以k。
3. 矩阵乘法规则：对于两个矩阵A和B，它们的乘积用A × B
表示，其中结果矩阵的每个元素都是A的对应行与B的对应
列的乘积之和。
4. 转置规则：给定一个矩阵A，它的转置用A^T表示，即将
A的行和列互换。
5. 矩阵求导规则：对于一个矩阵函数f(X)（其中X是一个矩阵），它的导数用∂f(X)/∂X表示，是一个与X相同维度的矩阵，其中每个元素都是f关于X中对应元素的导数。
6. 行列式规则：对于一个n×n的矩阵A，它的行列式用|A|表示，表示一个数字，它的计算涉及矩阵的元素和它们的代数运算。
7. 逆矩阵规则：对于一个n×n的可逆矩阵A，它的逆矩阵用
A^(-1)表示，满足AA^(-1) = A^(-1)A = I，其中I是单位矩阵。
这些规则是矩阵微积分中常用的一些基本规则，可以用于求导、解方程、计算行列式等各种问题。
线性代数矩阵的分解与微分方程应用
线性代数矩阵的分解与微分方程应用线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是线性空间以及其上的线性变换。
线性代数在不同领域中都有广泛的应用，比如说在计算机图形学、物理学、经济学等领域中都起着非常重要的作用。
其中，矩阵的分解和微分方程的应用是线性代数的两大重要内容。
一、矩阵的分解矩阵的定义是一个由数字排成的矩形表格。
在线性代数中，矩阵是一个重要的工具，矩阵的分解是矩阵理论中的一个基本问题。
矩阵的分解通常是指将一个矩阵分解成几个特定形式的矩阵的乘积。
常见的矩阵分解包括LU分解、QR分解、SVD分解等。
1、LU分解LU分解是线性代数中的一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解可以用于求解线性方程组、求矩阵的逆以及计算矩阵的行列式等问题。
在实际应用中，使用LU分解求解线性方程组比直接求解更加高效和准确。
2、QR分解QR分解是一个将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积的方法。
QR分解在求解最小二乘问题、特征值问题以及解非线性方程组等问题中都有广泛的应用。
3、SVD分解SVD分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积的方法，包括一个左奇异矩阵、一个右奇异矩阵和一个奇异值矩阵。
SVD分解可以用于降维、信号处理、图像处理等方面。
二、微分方程的应用微分方程是研究变化的数学分支，它研究的是变量与其变化率的关系。
微分方程在科学、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
微分方程的解法中涵盖了矩阵分解的知识。
1、矩阵微分方程矩阵微分方程指的是方程中包含了一个矩阵与它的导数。
矩阵微分方程在控制系统、差分方程的研究中都有广泛的应用。
解矩阵微分方程时，可以使用矩阵指数函数或拉普拉斯变换等方法。
2、级数解法级数解法是一种用级数求微分方程解的方法。
在级数解法中，将未知函数表示为级数的形式，将其代入微分方程中，然后通过逐项比较系数来求解微分方程。
级数解法在近似计算和数值解法方面都有重要应用。
逆矩阵的计算
逆矩阵的计算在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要且有用的概念。
对于一个给定的方阵A，如果其存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵的计算可以通过多种方法实现，下面将介绍两种常见的计算逆矩阵的方法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种用于计算逆矩阵的方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 首先计算A的伴随矩阵Adj(A)。
- 伴随矩阵Adj(A)是由矩阵A的代数余子式按一定规律排列得到的矩阵。
其中，第i行第j列的元素是(-1)^(i+j)乘以矩阵A的代数余子式M(ij)。
- 矩阵A的代数余子式M(ij)是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，即去掉第i行和第j列后剩余元素的行列式值。
2. 计算矩阵A的行列式|A|。
- 矩阵A的行列式|A|可以通过对矩阵A的某一行（或某一列）进行按行或按列展开得到。
3. 判断矩阵A是否可逆。
- 如果矩阵A的行列式|A|不等于0，则矩阵A可逆。
- 如果矩阵A可逆，则继续进行下一步；否则，矩阵A不存在逆矩阵。
4. 计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)。
- 逆矩阵A^(-1)等于伴随矩阵Adj(A)除以矩阵A的行列式|A|。
方法二：初等变换法初等变换法是另一种计算逆矩阵的常见方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 将矩阵A与单位矩阵I拼接在一起，形成一个(2n)阶的矩阵[A|I]。
2. 利用初等变换将矩阵[A|I]化简为[I|B]的形式。
- 初等变换包括：- 互换两行或两列；- 用非零常数乘以某一行或某一列；- 用非零常数乘以某一行或某一列，并加到另一行或另一列上。
3. 如果矩阵A的左半部分变成了单位矩阵I，则矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
否则，矩阵A不存在逆矩阵。
需要注意的是，上述两种方法并不是适用于所有情况的。
在实际计算中，我们需要综合考虑矩阵的性质和规模，选择最适合的方法来计算逆矩阵。
逆矩阵的计算在线性代数和相关领域中具有广泛的应用。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
微积分与矩阵
微积分学（Calculus，拉丁语意为用来计数的小石头）是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。
在更深的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是现代数学的主要分支之一。
早在古代，人们就会积分思想，如阿基米德用积分法算出了球的表面积，中国古代数学家刘微运用割元法求出圆周率3.1416，这也是用正多边形逼近圆，任何求出近似圆周率。
割圆法也是积分思想。
我们最伟大的古代数学家（现在是华罗庚）祖冲之也是利用积分算出了圆周率后7位数。
和球的体积。
但是正正系统提出微积分的是牛顿和莱布尼茨，他们为谁先发明微积分挣得头破血流。
牛顿是三大数学家之一，也是第一位划时代的物理学家，晚年从事神学和炼金学，它创立了整个经典力学体系和几何光学，这几乎成为了整个中学的必修部分，初中的力学和光学默认为几何光学，力学默认为简单的经典力学。
高中开始正式学习经典力学。
这里有一个非常之大的错误就是初中里为了方便或简单，用平均速率来代替平均速度，也就是速度公式v=x/t在初中里用速率公式v=s/t代替。
速度和速率一个是矢量，一个是标量，这里差距巨大，不知道编写初中课本（人教版是这样）的编者是学历太低，还是别有用心?这里我们讲微积分，之所以提起这个事情，就是为了突出一个名词——平均速度。
牛顿发明微积分（暂且认为是他和莱布尼茨共同发明的）的目的是为了研究物理学，因为微积分能解决很多普通数学不能解决的物体，如求曲边梯形面积。
实际上，我们初中是速度公式是速率公式，即v=s/t高中的速度公式实际上是平均速度公式，即v=△x/△t这里的△念德耳塔，表示变化率，这里当然不是用△去乘x了，△x是一个整体，就像汉字一样。
矩阵微分法
矩 阵 微 分 法在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分（导数），如对表达式d d AB来说，由于A 和B 都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。
除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。
下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。
一、 相对于数量变量的微分（自变量是数量变量，如时间t ）定义1 对于n 维向量函数[]12()()()......()Tn t a t a t a t = a定义它对t 的导数为12()()()()Tn d a t d a t d a t d t dt dtdt dt ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a ……… （1－1）定义2 对于n × m 维矩阵函数1112112()()()()()()()()n i j nm n n nn a t a t a t t a t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤= =⎢⎥⎣⎦⎢⎥ ⎣⎦A定义它对t 的导数为1111212()()()()()()()()Tn i j n m n nn n da t da t da t dt dt dt da t d t dt dt da t da t da t dt dt dt ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ A ………（1－2）我们不难看出，上述两个定义是一致的。
当矩阵A (t) 退化为向量a (t)时，定义2就变为定义1。
再退一步讲，当向量a (t) 退化为数量函数a (t)时，定义1就变为一般的导数定义。
这说明这样定义是合理的，是统一的。
根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式{}()()()()d d t d t t t dt dt dt ±=±A B A B ………（1－3） {}()()()()()()d d t d t t t t t dt dt dt⋅=⋅+⋅A A A λλλ ………（1－4） (t )λ——为变量t 的数量函数{}()()()()()()d d t d t t t t t dt dt dt⋅=⋅+⋅A B A B B A ………（1－5） 这些公式都很容易证明，现证明最后一式（1－5），设矩阵A (t) 和B (t) 分别为n ×m 和m ×l 矩阵证：11121112()()()()()()()()()T n T n n nm n a t a t a t t t a t a t a t t ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a A a[]111211212()()()()()()()()()()m m m b t b t b t t t t t b t b t b t ⎡⎤ ⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦B b b b1111()()()()()()()()()()()()T TTi j n T T n n t t t t t t t t t t t t ⎡⎤ ⎢⎥⎡⎤⋅= =⋅⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦a b a b A B a b a b a b从而根据矩阵导数定义2，有[]()()()()()()()()()()()()Ti j n T j Ti j i n d d t t t t dt dtd t d t d t d t t t t t dtdt dt dt ⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎡⎤ =⋅+⋅=⋅+⋅⎢⎥⎣⎦A B a b b a A B b a B A证毕例1：求T X A X 对t 的导数，其中1()()n x t x t ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ X 1111n n n n a a a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦A —— 对称常系数矩阵 解()[]()2d d d dt dt dtd d d dt dt dt ⋅⋅⋅=⋅+⋅ =⋅+⋅⋅ =⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ =+ = T X A X X A X A X X X A XA X X X A XA X X A X X A X X A X X AXX AX X AX T TT T T T T T T T T T +=()即2T T d ()dt=X A X X A X ………（1－6） 注：T XA X 和T X A X 都是数量函数且A 为对称阵，它们等于自己的转置。
线性微分方程组的解法和矩阵法
线性微分方程组的解法和矩阵法线性微分方程组和矩阵法是高等数学课程中非常重要的主题，也是应用数学研究中的基础。
本篇文章就线性微分方程组的解法和矩阵法进行探讨。
1. 线性微分方程组的基本概念线性微分方程组是由一系列的线性微分方程组成的方程组，可以用矩阵的形式表示。
例如：$$x^{'}=Ax$$其中，$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是一个 $n$ 元向量，$A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，$x^{'}=(x_1^{'},x_2^{'},\cdots,x_n^{'})$ 是 $x$ 的导数。
2. 线性微分方程组的解法对于线性微分方程组，其解法可以分为两种：一种是齐次线性微分方程组，即 $Ax=\textbf{0}$ 的解法，另一种是非齐次线性微分方程组，即 $Ax=b$ 的解法。
2.1 齐次线性微分方程组的解法对于齐次线性微分方程组 $Ax=\textbf{0}$，我们可以先求出其通解 $x=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n$。
其中，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是该方程的基础解系，$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是任意常数。
求基础解系 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的方法可以分为两种：一种是代数法，使用高斯消元法将矩阵 $A$ 化为最简形，然后就可以求出基础解系；另一种是矩阵法，使用矩阵的特征根和特征向量来求解基础解系。
2.2 非齐次线性微分方程组的解法对于非齐次线性微分方程组 $Ax=b$，其解法可以分为两步：第一步是求出其通解 $x_h=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n$，其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是 $Ax=\textbf{0}$ 的基础解系，$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是任意常数；第二步是求出特解 $x_p$，将特解和通解相加即可得到非齐次线性微分方程组的一般解。
逆矩阵的求法
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1方法总结 (1)1.1定义法 (2)1.2伴随矩阵法 (2)1.3初等变换法 (3)1.4分块矩阵法 (5)1.4.1分块矩阵的一般求法 (5)1.4.2 准对角线型矩阵的求逆 (5)1.4.3准三角型矩阵求逆 (6)1.4.4上三角形矩阵求逆 (7)1.5等价标准型法 (8)1.6恒等变形法 (9)1.7线性方程组法 (9)1.8克莱姆法则法 (10)1.9 Hamiton-Caley定理法 (13)1.10分解矩阵法 (14)1.11多项式互素法 (15)1.12行列式法 (15)1.13公式法 (15)1.13.1二阶矩阵求逆法 (16)1.13.2初等矩阵求逆法 (16)1.13.3对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的求逆法 (16)1.13.4正交矩阵求逆法 (16)1.13.5其他矩阵求逆法 (16)1.14递推法求矩阵的逆 (17)2结论 (17)致谢 (17)参考文献 (17)逆矩阵的求法数学科学学院学生刘文竹指导教师郭英新摘要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的典型例题.关键字：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵Methods of Finding Inverse MatrixStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Liu WenzhuTutor Guo YingxinAbstract: Matrix theory is a main content of linear algebra and an important tool dealing with practical problem. Inverse matrix has a very important position in matrix theory. In order to solve the inverse matrix more easily, we introduce several simple inverse matrix methods according to different characteristics. This paper also gives brief demonstration to part of the methods and corresponding typical examples for all of the approaches.Key words:Inverse matrix; Block matrix; Elementary transformation; Adjoint matrix.引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而求逆矩阵在矩阵中占有重要地位．所以，本文详细归纳了一系列的求解方法，并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法．本文在已有的几种常见方法的基础上对其进行深入探索研究，并对已经学过的知识进行了更深层次的研究，找到了多种解决逆矩阵求解的方法.早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵．而在且逆矩阵的方法中经常利用对角矩阵为过渡过程，在本文中就运用了此法．1方法总结1.1 定义法[1]n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ,使得E A B B A =⋅=⋅ ()1 这里E 是单位矩阵，那么我们可以将矩阵A 的逆矩阵表示如下：1-A B =. 例1.设A 为n 阶矩阵，并且满足0242=+⋅-⋅E A A ,求1-A . 解： 0242=+⋅-⋅E A A ∴ E A A 2242-=⋅+⋅ ∴ E A A =-⋅-22 ∴()E E A A =--⋅ ∴由定义可知1-A E A --= 1.2 伴随矩阵法设A 是n 阶实矩阵，若0≠A ,那么*11A A A⋅=-证明: 设()1>n 阶矩阵111212212212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220i j i j in jn A i ja A a A a A i j⎧=+++=⎨≠⎩ ，若，若1220i ij i j ni nj A i ja A a A a A i j⎧=+++=⎨≠⎩ ，若，若 这里的代数余子式，中元素是行列式ij ij a A A 由此可知，若令1121121222*12,n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么=⋅=⋅A A A A **⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛A A A A 000000000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=E E E E A 0000000000000≠A ,由此可得，E A A A A A A =⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅**11由矩阵定义可知：*11A A A⋅=- 证毕.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过E AA =-1来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例2.矩阵=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ,且1=⋅-⋅c b d a ，求1-A . 解：==dc b a A 1=⋅-⋅c bd a 0≠ A ∴可逆，并且*11A AA ⋅=- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22122111*A AA A A *d b A c a -⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭∴*11A A A ⋅=-⋅⋅-⋅=c b d a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d ⋅=1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d 证毕. 1.3 初等变换法[1]求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使s p p p 21A ⋅E = ()1用-A 右乘上式两端，得：s p p p 211-=A ()2比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵1-A .用矩阵表示()A E −−−→−初等变化()1E A - 这是求逆矩阵的初等行变换法，或者⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例3.已知矩阵A ,求1-A ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101011100A()231100125001125001E 013010013010013010125001231100006112113410066312500112500113013010013010010122019102111111001001663663A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛--⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪--⎝⎭⎝ 解：⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭1113410066313010122111001663-⎛⎫--⎪⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪--⎪⎝⎭故A 证毕. 1.4 分块矩阵法1.4.1 分块矩阵的一般求法设A 、B 、C 、D 均可逆，求证()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------1111111111B ACD A C B A C D B A C D B A B A C D B A A D C B A 成立. 证:设A 、D 分别为r 阶、s 阶的方阵，则：()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111000B A C D A C B A C D EB ACD B A BA C DB A A E E DC E B A s r ∴()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------1111111111B ACD A C B A C D B A C D B A B A C D B A A D C B A 证毕. 由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.1.4.2 准对角线型矩阵的求逆设A 、B 都是非奇异矩阵,且A 为n 阶方阵，B 为m 阶方阵，若矩阵=C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00，则1-C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--110B A . 证明： A 、B 均为非奇异矩阵，则00≠≠B A 且 ∴000≠⋅==B A BA C A ∴可逆 设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=W ZY X,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴m nI I B A W Z Y X 0000 其中00nmX A E Y B Z A W B E ⋅=⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩， 又 A 、B 均为可逆矩阵，∴1100X A Y Z W B--⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴---11100B A C 证毕. 可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111110000000000000000000000A A A A A A A A1.4.3 准三角型矩阵求逆设A 、C 为非奇异矩阵，则10-⎪⎪⎭⎫⎝⎛C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110C BC A A .证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-C A E B A E C B A 0001两边求逆得： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111110000C A C B A E B A E ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1111111100000C BC A A C A E B A E C B A 证毕. 同理可证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1111100C BC A A C B A .此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例4.已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求1-A . 解：将A 分块如下：120052002112001100O A A A O ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭， 其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求的1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭从而1121112003311003312002500OA A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭1.4.4 上三角形矩阵求逆[2]如果n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n n n n a a a a a a a a A ,,21,222,11,11211000可逆，那么他的逆矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------------1,,21,21,211,2122,11111,11111211111110000n n n n n n n n a a a a a a a a A ααααα 其中：()()111,1,111,,,1,2,,1,1,2,2;3,4,i i i i i j j j i j k j i k k k i k jt t i n t t t t i n j n ααα-++++--⋅⋅<<=-⨯=-=--=-=∑ 例5：求上三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2000520031102131A 的逆矩阵. 解:根据上述定理可知：2,21,312211223131331323133231212212-=⨯⨯-⨯-=-=⨯-==⨯-=-----t t t t t t t t αααα 41,23133233424144243414434-=⨯⨯-⨯-=-=⨯-=---t t t t t t ααα()21133133412212241414414-=⨯⨯+⨯⨯-⨯-=---t t t t t t ααα 因此，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-210004*********10212311A 1.5 由等价标准行求可逆矩阵[3]设A 施n 阶可逆矩阵，A 的秩等于n ，存在可逆矩阵B 和C ，使得E CBA =，11--=B C A ，故BC A =-1.证：首先构造矩阵nn E E A D 220⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛=然后对D 进行如下的初等变换： (1)对D 的前几行()E A 进行初等行变换(2)对D 的前几列⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 进行初等列变换则经过有限次的上述变换后，D 可变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B C E E E A D 初等行及列变化由此可得BC A =-1.此方法在一般教材中很少提到，到若同时采用初等行、列变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，有时候会起到事半功倍的效果.这实质上是从等价标准形的角度给出了矩阵的一种新的求解方法.例6.求可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152131A 的逆矩阵.解：构造矩阵得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000100000010000001100100010*********⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000100000010000131100100112010001001 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴-1001122351001120011000101311A1.6 恒等变形法恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例6.已知,6E A =试求11-A ,其中13223122A ⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证：由E A =6 等式两边同时乘以6A 则E A A ==612E A A =⋅∴11111-=∴A A ,又 13223122A ⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∴11113223122A A -⎛⎫-⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭证毕. 1.7 利用线性方程组来来求矩阵的逆[4]定理：若n 阶矩阵A 可逆，线性方程组B AX =,其中()Tn n b b b b B 121-= 的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-+-nn i n ni n n n n i i n i i i a a b a a a a a b a a a a a b a a a A x1,1,2,1,21,221,2222111,111,112111，于是1-A 的第i 行是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=+-+-+-nn i n ni n n n n i i n i i i a a e a a a a a e a a a a a e a a a a y1,1,2,1,21,221,2222111,111,112111，其中i e 是第i 个分量为1的单位向量.例7.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3000013000013000013000013A 的逆矩阵 解：设()()1212,TTn n X x x x B b b b == ,解线性方程组B AX =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+5545434323212133333b x bx x b x x b x x b x x()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=+-+-=-----5155424543233543223425432231451333333333333333b x b b x b b b x b b b b x b b b b b x将上式中的54321,,,,b b b b b 用54321,,,,e e e e e 代替便可得到⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=----------------1213214321543211333333333333333A 1.8 克莱姆法则求解逆矩阵对于n 阶矩阵()n n ij a A ⨯=的逆矩阵1-A ，大多数教材上教材上通过1*1A A A-=⋅给出的（对于该定理的证明，已经在第二种解法中给出），现在我们用克莱姆法则来验证矩阵A 的逆矩阵1*1A A A-=⋅. 我们只当A 可逆时，A 的逆矩阵1-A 是与A 同阶的矩阵.不妨设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-nn n n n n x x x x x x x x x A2122221112111根据逆矩阵的定义可知E A A =⋅-1,即：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001212222111211nn n n n n a a a a a a a a a将左边两个矩阵相乘确定出所得矩阵的各个位置上的元素，再利用矩阵相等的条件，由左右两边两个矩阵的第一列对应元素相等可以得到如下方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++001121211112212211211121121111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 当A 时非奇异矩阵时，就有0≠A ，从而根据克莱姆法则有：A Aa a a a a a a a a a a a a a a x nnn n n n nn n n n 112122*********22211211001==，A Aa a a a a a a a a a a a a a a x nnn n n n nn n n n 12212222111211122111121001==A A a a a a a a a a a a a a a a a x n nnn n n n n n n 121222211121121222112111001==同理，由左右两边两个矩阵的第二列对应元素相等可以得到如下的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++010222212122222212212122121211n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ，从而根据克莱姆法则可知：A Aa a a a a a a a a a a a a a a x nn n n n n nn n n n 21212222111211222211212010==，A Aa a a a a a a a a a a a a a a x nnn n n n nn n n n 22212222111211122111122010==A A a a a a a a a a a a a a a a a x n nnn n n n n n n 221222211121121222112112010==再依次从左右两边两个矩阵的第3、4 n 列对应元素相等可以得到类似的方程组，同样由克莱姆法则得：()n i AAx A A x A A x in ni i i i i 4,3;2211====，这样1-A 中的每一个元素都已经求出了，全部代入既得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A A AA A A A A A A AA A A A A A A A nn n n n n2122212121111*21222121211111A AA A AA A A A A A A nn n n n n ⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=这就是用克莱姆法则验证了矩阵A 的逆矩阵1*1A A A-=⋅. 例8.求可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201013121A 的逆矩阵.解： 矩阵A 的行向量为32,1,ααα，由标准基321,,εεε表示为：3132123211232εεαεεαεεεα--=+=-+=解以321,,εεε为未知量的方程组得：112321233123241999211333125999εαααεαααεααα=-++=--=--1241999211333125999A -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪∴=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭1.9 利用Hamiton-Caley 定理法求逆矩阵[5]Hamiton-Caley 定理: 设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A A f n n nn n . 如果A 可逆，则A 的特征多项式的常数项0)1(≠-=A a n n ，由定理知 0)(111=++++=--E A A A A f n n n n ααα 于是 E A E A A n n n n=⨯+++----)(11211ααα因此得 )(112111E A A A n n n n----+++-=ααα )1(此式给出了1-A 的多项式计算方法.例9.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，求1-A .解：矩阵A 的特征多项式为： 254)(23-+-=-=λλλλλA E f因023≠-=α，所以矩阵A 可逆，由)1(式知 )54(2121E A A A +-=-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---113028026211.10 分解矩阵法求逆矩阵[2]设A 为n 阶可逆矩阵，且XCY B A +=,其中1-B 已知，C 是r r ⨯可逆矩阵，n r ≤，又设X YB C 11--+可逆，则()1111111-------+-=YB XYB C X B B A (1将已知的矩阵分解成两个或两个以上矩阵的和（一般以分解为两个最佳），然后再求解其逆.例10.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5543264432653326542265431A 的逆矩阵.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=654326543265432654326543211111A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=5432111111111111111111111 由XCY B A +=公式得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-135432614432651532654162654371911A 证毕.1.11 利用多项式互素的充要条件求矩阵的逆[6]设A 为一个n 阶方阵，C 为复数域，()f x ，()[]g x P x ∈，且()0f A =则()g A 可逆的充分条件为()()(),1f xg x =；此时有()()(),u x v x P x ∈，使得()()()()1u x f x v x g x +=，且()()()1g A v A -=.证明:设()f x 与()g x 互素，∴()f x 与()g x 在C 上无公共根．()0f A =，∴()f x 的特征值均为0，又 ()i f λ为()f A 之特征值，∴()()01,2,,i f i n λ== .()0i g λ≠,即()g A 无零特征值，从而()g A 可逆．∴当()()(),1f x g x =时，必有()()[],u x v x C x ∈,使得()()()()1u x f x v x g x +=,∴()()v A g A E =,即()()()1g A v A -=.例11.已知n 阶方阵A 满足2A A =，证明A E +可逆，并求()1A E -+.证：令()()2,1f x x x g x x =-=+ ()()(),1f x g x =且()0f A =∴()g A A E =+可逆，又 ()()()22f x x g x +-=∴()()22g A E A E -=,从而()112g A E A -=-⋅()A E E A ⋅-=+∴-211证毕.1.12 用行列式求逆矩阵设A ()n n ij a ⨯=为n 阶矩阵，且A 为满秩矩阵,则A 可逆，且()1111i 111i+11n 121i 12i+12n21n1n i 1n n i+1nnn i 1n T T Tn T A a a a a A a a a a A A A a a a a A εεε-----⎛⎫ ⎪⎪=⋅== ⎪⎪⎝⎭，，2，2，，， 其中，2，， 11n εεε ，，，为n R 的初始单位向量组，即()()i 00,00i 12n ε== ，，，1，，，，，例12.设 1.2 3.1 2.46.1 5.4 4.74.10.20.1A ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，求A 的逆矩阵.()()1121233122123313212333.1 2.45.4 4.70.4+0.17+1.610.4.0.171.610.20.11.22.46.1 4.718.669.72+918.669.7294.10.11.2 3.16.1 5.422.018+12.4712.0722.01812.47124.10.2T TTA A A εεεεεεεεεεεεεεεεεε==-=-==-=-==--=--解：，，，，，，().071.2 3.1 2.46.1 5.4 4.77.1584.10.20.1A ==11211n 0.40.17 1.6118.669.7297.15822.01812.4712.070.0560.0240.2252.607 1.358 1.2583.076 1.742 1.686T T T A AA A A ---⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅=-⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-⎪--⎝⎭1.13 公式法求逆矩阵1.13.1 二阶矩阵求逆公式：若a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则11d b A c a A --⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭ 1.13.2 初等矩阵求逆公式：1ij ij E E -=11i i E E k -⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1i j i j E k E k -=-1.13.3 对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的逆矩阵111101110001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的逆矩阵为：111000011000001100001A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭1.13.4 正交矩阵的求逆公式：若A 为正交矩阵，则1T AA -=1.13.5 其他常用的求逆公式：()()()()()111111**11TTAB B A A A A A A A-------=⋅===⋅123,,s A A A A 可逆，则()()111112321,,,s s A A A A A A A ----= 例13.已知100010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,111011001B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求()1AB -. 解：由于A 是初等矩阵，由公式得：1AA -=而B 为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：1111011001B --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 再由公式得：()1111100101011010011001001010AB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1.14 用递推法求矩阵的逆高等代数中求逆矩阵的两种基本方法——行列式法和初等变换法.行列式法以公式()1adj A A A-=(()adj A 表示A 的伴随矩阵)求逆；初等变换法通过(,A E 行初等变换()()1,,A E E A -−−−−→行初等变换计算逆，其中E 为与A 同阶的单位矩阵. 张贤科[6]阐述了Moore-Penrose 逆以及Hamilton-Caylay 矩阵逆的递推计算法，徐仲等[7]给出了加边矩阵逆矩阵的计算定理.在他们的基础上考虑一般可逆方阵的逆矩阵递推求法，给出了逆矩阵的递推计算公式.1.14.1 1m A +，m A ，m β，m α，m a ，m c 如引理及推论所述，又令1m m m A γβ-=-，1m m mA δα-=-，则11101100m m m m m mm A Ac γδγδ--=⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1011100m m mm A c γδ-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中，11111A a -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 1.14.2 设()()1121,,,0,1,2,,1m m i A diag a a a a i m ++=≠=+ ，则()11111121,,,m m A diag a a a ----=+= .1.14.3 设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0ad bc -≠，则11d b A c a ad bc --⎛⎫= ⎪--⎝⎭.1.14.4 设1+m 阶方阵()1mm m ij mm aA a A βα+⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中m A 为m 阶方阵，m β为1m ⨯矩阵，m α为1m ⨯矩阵，11m a a =，则当m A ，1m A +皆可逆时，有1111111100110m mm m m m m m m m m m m m A A A a A A A A ββαααβ--+-----⎛⎫-⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其中，111,11m m A a -++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 例14. 求矩阵A 的逆矩阵，其中141382561A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭. 解:()111A -= ，且2144038A ==-≠，于是，()13δ=-，()14γ=-，14c =-，∴1210124841100313144A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又 ()2158,264δ=--，20114γ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，212c =-，∴()121000021031291311310234488422000291322913122A -⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.2讨论以上各种求逆方法只是我的一些粗浅认识，也有不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮我们更快跟准确的解决好繁琐的求逆矩阵的问题.同时，它还是我们更好地学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面的深造打下坚实的基础.但是我很希望给位老师和同学给予指导，能使我的这篇文章更加完善和实用.致谢四年的读书生活在这个季节即将画上一个句号，而我的人生却只是一个逗号，我将面对又一个征程的开始.四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走的辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静.伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切的要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师，我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师，您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围.授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，是我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨再经思考后的领悟，常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”.感谢我的爸爸妈妈，焉得塧草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境.最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者. 参考文献：[1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:177-193.[2] 高明．逆矩阵的求法[J]．阴山学刊．2006,2(20):14-16．[3] 苏敏．逆矩阵求法的进一步研究[J]．2004,2(16):28-30．[4] 连文星,刘爱荣. 求逆矩阵最简新方法[J]. 河南教育学院学报(自然科学版),1997, (03):8-10[5] 杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4(17):18-20．[6]张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2(22):71-73．[7] 高尔雄，高坤敏，吴景艰.线性代数[M].北京:人民教育出版社，1978.8，P463-479。
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、微积分、概率统计等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对矩阵进行逆运算，以便求解方程组、进行线性变换等。
那么，如何求逆矩阵呢？下面我们将介绍几种常用的方法。
1. 初等变换法。
初等变换法是求逆矩阵的一种常用方法。
首先，我们将待求逆的矩阵写成增广矩阵的形式，即将单位矩阵拼接在原矩阵的右侧，然后通过一系列的初等行变换，将原矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右侧就是所求的逆矩阵。
这种方法简单直观，适用于小规模矩阵的求逆运算。
2. 初等矩阵法。
初等矩阵法是另一种常用的求逆矩阵的方法。
我们知道，对一个矩阵进行一系列的初等行变换，实质上可以看作是左乘一个初等矩阵，因此，如果我们能够找到一系列的初等矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵，那么这些初等矩阵的逆矩阵的乘积就是原矩阵的逆矩阵。
这种方法适用于大规模矩阵的求逆运算，因为可以通过计算初等矩阵的逆矩阵，避免直接进行行变换。
3. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种求逆矩阵的方法，它适用于方阵且可逆的情况。
根据克拉默法则，一个矩阵的逆矩阵可以通过它的伴随矩阵来求解，具体的求解过程可以通过矩阵的代数余子式和行列式来完成。
这种方法在理论上很有意义，但在实际计算中往往效率较低，因此一般不适用于大规模矩阵的求逆运算。
4. 特征值和特征向量法。
特征值和特征向量法是一种更加高级的求逆矩阵的方法。
通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，从而进一步求得矩阵的逆矩阵。
这种方法在理论上非常有深度和广泛的适用性，但在实际计算中往往较为复杂，因此一般适用于特定的矩阵结构和特定的求逆问题。
综上所述，求逆矩阵的方法有很多种，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
在实际应用中，我们往往会结合多种方法，以求得更加高效和精确的结果。
希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
2.2-函数矩阵的微分与积分
A(z)dz
b
a
a ij
(
z
)dz
mn
类似定义 A(z) 的不定积分:
A(z)dz
a ij
(
z
)dz
mn
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2. 性质
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J. G. Liu
例3
设
A(t
)
sin t cos t
cos t
sin t
,
求
A(t )dt
解
A(t )dt
sin tdt cos tdt
i1
1j
i2
2j
is
sj
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5
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所以 A(z)B(z)
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(a (z)b (z) a (z)b (z) a (z)b (z)
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§2.矩阵的微分与积分
一、函数矩阵的微分 二、函数矩阵的积分 三、向量对向量的微分
逆矩阵计算方法
逆矩阵计算方法
逆矩阵是一种非常重要的数学工具，在线性代数、微积分、统计学、物理学等领域都有广泛的应用。
逆矩阵的概念很简单：对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，那么B就是A的逆矩阵，记为A^-1。
逆矩阵的计算方法有很多种，下面列举其中几种常用的方法： 1. 初等行列变换法
这是最常用的一种方法。
对于一个n阶方阵A，我们可以构造一个n阶的单位矩阵I，通过一系列的初等行列变换，把A变成I，同时对应地对I进行相同的变换，最终得到的矩阵就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法
对于一个n阶方阵A，我们可以构造一个n阶方阵B，使得B中的每个元素都是A的代数余子式（即A中去掉某行某列后的行列式乘以(-1)^(i+j)）的转置。
这个矩阵B就是A的伴随矩阵。
然后我们就可以用A的伴随矩阵来计算A的逆矩阵，公式为A^-1=(1/|A|)B，其中|A|表示A的行列式。
3. LU分解法
对于一个n阶方阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
然后我们可以通过求解两个三角矩阵的逆矩阵来计算A的逆矩阵。
具体地，设L的逆矩阵为L^-1，U的逆矩阵为U^-1，则有A^-1=(U^-1)(L^-1)。
4. 特征值法
对于一个n阶方阵A，我们可以求出其特征值和特征向量，并且假设A的所有特征值都不为0，则A的逆矩阵可以表示为A^-1=QΛ^-1Q^-1，其中Q是由A的所有特征向量组成的矩阵，Λ是由A的特征值组成的对角矩阵。
以上就是逆矩阵的几种计算方法。
不同的方法适用于不同类型的矩阵，具体选择哪种方法需要根据实际情况来判断。
使用矩阵函数方法求解矩阵方程
要使用矩阵函数方法求解矩阵方程，您需要首先确定所给方程的形式，然后选择适当的矩阵函数来解决它。
以下是一些常见的矩阵方程以及相应的解决方法：
1. **线性方程Ax = b**，其中A 和b 是已知的矩阵和向量。
要求解x，可以使用逆矩阵方法：
```
x = A^(-1) * b
```
其中A^(-1) 表示A 的逆矩阵。
请注意，前提是A 必须是可逆的。
2. **特征值方程A*x = λ*x**，其中A 是已知的矩阵，λ是特征值，x 是特征向量。
要找到特征值和特征向量，可以使用矩阵的特征值分解。
3. **矩阵微分方程dX/dt = A*X**，其中X 是未知的矩阵函数，A 是已知的矩阵。
要解这个方程，可以使用矩阵指数函数。
```
X(t) = e^(A*t) * X(0)
```
其中e^(A*t) 是矩阵A 的指数函数，X(0) 是初始条件。
4. **矩阵常微分方程组**：对于包含多个未知矩阵函数的矩阵常微分方程组，可以使用类似的方法来求解，通常涉及到矩阵指数函数和矩阵常数。
这只是一些基本的例子，实际问题可能会更复杂。
对于具体的矩阵方程，您需要了解所涉及的矩阵性质和相关数学方法，以选择合适的解决方法。
如果您面临特定问题，可以提供更多的上下文信息，我可以提供更具体的帮助。
矩阵求逆方法
矩阵求逆方法矩阵求逆是线性代数中的一个重要概念，对于解决线性方程组、计算线性变换的逆等问题具有重要意义。
在实际应用中，矩阵求逆方法被广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵求逆的基本概念、方法和应用。
1. 矩阵求逆的基本概念。
矩阵求逆是指对于一个给定的矩阵A，寻找一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
若这样的矩阵B存在，则称矩阵A是可逆的，否则称矩阵A是奇异的或不可逆的。
对于一个n阶矩阵而言，若其行列式不为0，则该矩阵是可逆的。
2. 矩阵求逆的方法。
矩阵求逆的方法有多种，其中比较常用的有以下几种：（1）伴随矩阵法，对于n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，则A的逆矩阵可以表示为A的伴随矩阵除以A的行列式的值，即A^(-1)=adj(A)/|A|。
（2）初等变换法，通过初等行变换将原矩阵化为单位矩阵，此时原矩阵经过相同的变换即为逆矩阵。
（3）Gauss-Jordan消元法，通过对原矩阵进行增广，将其化为单位矩阵形式，此时增广矩阵的右半部分即为原矩阵的逆矩阵。
3. 矩阵求逆的应用。
矩阵求逆在实际应用中具有广泛的应用，其中包括但不限于以下几个方面：（1）线性方程组的求解，对于形如Ax=b的线性方程组，若矩阵A是可逆的，则可以通过矩阵求逆的方法直接求得方程组的解x=A^(-1)b。
（2）线性变换的逆求解，在线性变换的研究中，矩阵求逆可以用来求解线性变换的逆变换，从而实现对原变换的逆操作。
（3）误差分析和数据处理，在科学计算和工程领域，矩阵求逆常常用于误差分析和数据处理，例如拟合曲线、参数估计等问题。
4. 总结。
矩阵求逆是线性代数中的重要概念，其方法多样，应用广泛。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解矩阵的逆，以便更好地解决实际问题。
希望本文对矩阵求逆的基本概念、方法和应用有所帮助，欢迎交流和讨论。
至此，关于矩阵求逆的基本内容已经介绍完毕。
希望读者通过本文的阅读，对矩阵求逆有了更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用所学知识。
数三需掌握的内容
数三需掌握的内容微积分一、函数、连续、极限：1.函数的表示法：2.基本初等函数的性质及其图形：3.极限的四则运算法则：4.两个重要的极限：5.无穷小量的比较方法：6.会判别函数间断点的类型：7.会应用闭区间上连续函数的性质（有界性、最大和最小值定理、介值定理）：二、一元函数微分学：1.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数、会求反函数与隐函数的导数；会求简单函数的高阶导数；会求函数的微分；2.掌握洛尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理、柯西中值定理的应用；3.会求平面曲线的切线方程和法线方程；4.掌握函数单调性的判别方法、掌握函数极值、最大值、最小值的求法及其应用；5.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点、渐进线；6.会描绘简单函数的图形。
三、一元函数积分学：1.不定积分的基本性质和基本积分公式、不定积分的换元积分法和分部积分法：2.牛顿——莱布尼兹公式：3.用定积分求平面图形的面积旋转体的体积4.会计算反常积分四、多元函数积分学：1.会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数。
2.多元函数极值存在的必要条件会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值3.二重积分的计算方法（直角坐标和极坐标）：五、无穷级数：1.几何级数的收敛与发散条件：2.p级数的收敛与发散条件：3.正项级数收敛性的比较判别法：正项级数收敛性的比值判别法：4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5.会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数：六、常微分方程与差分方程：1.变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法：2.会解二阶常系数齐次线性微分方程；3.会解自由项为多项式、指数函数、正玄函数、余玄函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。
线性代数一、行列式：1.行列式的性质：2.会用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
行列式与逆矩阵的计算
在计算行列式时，可以将某一行或某一列去掉，然后求剩下的子矩阵的行列式，这个子 矩阵的行列式就是原行列式的代数余子式。利用代数余子式，可以更方便地计算行列式。
利用逆矩阵的性质简化计算
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A的逆矩阵存在，那么 这个逆矩阵乘以原矩阵A会得到单位 矩阵。利用这个定义，可以更方便地 计算逆矩阵。
逆矩阵与转置矩阵互为转置：$(A^{-1})'=(A')^{-1}$。
03
逆矩阵的计算方法
高斯消元法
通过消元法求解线性方程组，然后利 用求解结果构造逆矩阵。
伴随矩阵法
利用伴随矩阵和行列式的性质计算逆 矩阵。
迭代法
利用迭代公式不断逼近逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将原矩阵分块， 然后分别求出各块的逆矩阵，再组合 成整体的逆矩阵。
02
逆矩阵的定义与性质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得$AB=BA=I$，则称A是可 逆的，并称B是A的逆矩阵。
逆矩阵的唯一性
一个n阶方阵A的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的性质
01
逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵：$AB=I$，其中I为单位矩阵。
02
逆矩阵的逆也是原矩阵：$B^{-1}A^{-1}=I$。
行列式的计算方法
总结词
行列式的计算方法包括展开法、递推法、化简法等。
详细描述
展开法是最基本的计算方法，通过将行列式按照某一行或某一列展开，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算。 递推法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式，再利用已知的低阶行列式的值计算高阶行列式的值。化简法是通 过数学变换将行列式化简为易于计算的形式，再进行计算。
求逆矩阵的简化方法
求逆矩阵的简化方法【原创版3篇】目录（篇1）I.求逆矩阵的简化方法1.矩阵的逆矩阵的概念2.逆矩阵的简化方法3.简化方法的应用正文（篇1）求逆矩阵的简化方法是一个重要的数学问题，它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和应用。
下面我们来介绍几种常见的求逆矩阵的简化方法。
1.矩阵的逆矩阵的概念逆矩阵是指一个矩阵与另一个矩阵相乘得到单位矩阵，即A^(-1) * A = E，其中E为单位矩阵。
逆矩阵是一个重要的概念，它在许多数学领域中都有广泛的应用，如线性代数、微积分等。
2.逆矩阵的简化方法逆矩阵的简化方法是指通过一些数学技巧和公式来快速计算逆矩阵的方法。
常见的逆矩阵的简化方法包括：- 伴随矩阵法：通过计算矩阵的伴随矩阵，然后利用伴随矩阵的性质来计算逆矩阵。
- 初等变换法：通过初等变换来将原矩阵转化为单位矩阵，从而得到逆矩阵。
- 特征值分解法：通过特征值分解来计算逆矩阵。
3.简化方法的应用逆矩阵的简化方法在许多实际问题中都有应用，如线性代数、控制系统理论、信号处理等。
目录（篇2）I.求逆矩阵的简化方法1.介绍逆矩阵的概念和重要性2.传统求逆矩阵的方法3.简化求逆矩阵的方法4.结论正文（篇2）求逆矩阵的简化方法在数学中是一个重要的概念。
逆矩阵是指一个矩阵A的逆矩阵，即A与A-1相乘等于单位矩阵I。
逆矩阵在许多领域中都有重要的应用，例如线性代数、控制系统理论等。
传统的方法是通过直接计算来求解逆矩阵，但这种方法对于大型矩阵来说是非常困难的。
因此，一些简化方法被提出，以便更快更准确地求解逆矩阵。
1.介绍逆矩阵的概念和重要性逆矩阵是指一个矩阵A的逆矩阵，即A与A-1相乘等于单位矩阵I。
逆矩阵在许多领域中都有重要的应用，例如线性代数、控制系统理论等。
2.传统求逆矩阵的方法传统的方法是通过直接计算来求解逆矩阵，但这种方法对于大型矩阵来说是非常困难的。
因此，一些简化方法被提出，以便更快更准确地求解逆矩阵。
3.简化求逆矩阵的方法简化求逆矩阵的方法包括高斯-约旦消元法、高斯-赛德尔法、LU分解法等。
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函数的微分和逆矩阵求法数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）一、1.一元函数的高阶微分定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-，如果其增量可表示为()y A x o x ∆=∆-∆，其中A 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即0|x x dy A x ==∆。
可证 A=0'()f x 即00|'()x x dy f x dx ==。
定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果其增量可表示为()2()2!B y A x x o x ∆=∆+∆-∆，其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ∆，2()B x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2,dy d y ，即0|x x dy A x ==∆，022|()x x d y B x ==∆。
可证00'(),''()A f x B f x ==即00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =。
根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果其增量可表示为()()()2212!!nnn A A y A x x x o x n ∆=∆+∆++∆-∆ ，其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处n 阶可微，并称22232222tan (tan )'tan (cos )'sec tan 3cos sin dy tdx t d y dx td xa t tdx td xa t t=--=--=--为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分……n 阶微分，记作2,dy d y ，……，n d y 即002212|,|()x x x x dy A x d y A x ===∆=∆，……，0|()nnx x n d y A x ==∆。
又根据函数()f x 在0x x =点的泰勒公式()()()()02000000''()()()'()()()2!!n nnfx f x f x f x f x x x x x x x o xn =+-+-++-+ ，得()()()()02000000''()()()'()()()2!!n nnfx f x y f x f x f x x x x x x x o xn ∆=-=-+-++-+∆即()()1020',''A f x A f x ==，……，()()0n n A fx =所以00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =，……，()()()00|n n n x x dy fx dx ==。
注：1．在泰勒公式中0x x -与x ∆是等价的。
2．因为()no x ∆是()n x ∆的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个()no x ∆都不会影响到的精确度。
2、微分的运算法则1．()()()()d f x g x df x dg x ±=±⎡⎤⎣⎦；2．()()()()()()d f x g x g x df x f x dg x ∙=+⎡⎤⎣⎦；3．()()()()()()()2f xg x df x f x dg x d g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦()()0g x ≠； 4．复合函数的微分()()()()()()''''dy dy du f g x g x dxdudxdy f g x g x dx=∙=∴=3、参数方程的微分在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。
解参数方程{()(),x t y t ϕψ==的二阶微分。
解：因为，()()'''t dy y dxt ψϕ==，所以，'dy y dx = ()1()()''t dx t ψϕ=，22(')'''()d y d y dx y dx y d dx ==+ ()2()()()()()223'''''''()(')'()t t t t t dx d x x t ψϕψϕψϕϕ-=+。
利用矩阵可逆的定义求逆矩阵引理：设F 是一数域，对于n n A F ⨯∈，如果存在n n B F ⨯∈，使得A B B A =，则A 可逆且1AB -=。
证明 由逆矩阵的定义可得利用伴随矩阵求逆矩阵引理：设n n A F ⨯∈，若det()0A ≠,那么()11*.det AA A -=例： 设5218A ⎛⎫=⎪-⎝⎭求A 的逆矩阵． 解 因为()d e t 420A =≠，所以A 是可逆的，又*8215A -⎛⎫=⎪⎝⎭，由()1*1.det A A A -=可得1412121154242A-⎛⎫-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭利用分块矩阵求逆矩阵引理 1 如果方阵A 、D 可逆，那么分块矩阵1AO T OD ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为1111.A O T OD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理2 如果方阵B 、C 可逆，那么分块矩阵可逆，且其逆矩阵为1121.O CT BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理3 如果r 方阵A 和s 阶方阵B 都是可逆，且r s n +=，那么n 阶方阵AC P OB ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为11111.A A C BPOB-----⎛⎫-= ⎪⎝⎭例 求矩阵2 -1 31 -23-3 2 -19 140 0 3 -4 0 0 -2 3 A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵． 解 将矩阵A 进行分块得1A B A OC ⎛⎫=⎪⎝⎭其中121312334,,.32191423A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()()d e t 10,de t 10,AC =≠=≠所以矩阵1A 、C 都是可逆的，且1112134,.3223A C --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有111213123346576.321914238397A B C -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么矩阵A 可逆，且1111112 1 -65 -763 2 -83 -97. 0 0 34 0 0 2 3 A A BC A OC ----⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭利用初等变换求逆矩阵引理4在通过行（列）初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵1A -引理5如果用有限次行、列初等变换可以将可逆矩阵A 化为单位矩阵I ，且设用其中的行变换将单位矩阵I 化成C ，用其中的列变换将单位矩阵化成B ，那么1.ABC -=例 设001110,101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设求1.A -解 ()0 0 1|1 0 01 0 1|00 11 0 1|0 0 1,1 1 0|0 1 01 1 0|0 1 0 1 -1|0 1 -11 0 1|0 0 10 0 1|1 0 00 0 1|1 0 0A I ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪ =→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪→⎪⎪⎭1 0 1|0 0 1 1 0 0|-1 0 10 1 0|0 1 -10 1 0|1 1 -1.0 0 0|1 0 00 0 0|1 0 0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是，1-1 0 1 1 1 -1. 1 0 0A-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵多项式的逆的方法引理 设A 为一个n 阶方阵，C 为复数域，()f x ，[]()g x P x ∈，且()0.f A =则()g A 可逆的充分条件为()()(),1;f x g x =此时有()()[],u x v x Px ∈使得()()()()1,u x f x v x g x +=且1())().g A v A -=例 已知n 阶方阵A 满足2A A =，证明A E +可逆，并求1().A E -+证明 令2(),()1,f x x x g x x =-=+由于((),())1f x g x =且()0f A =，故()g A A E =+可逆，又因1*()(2)()2,f x x g x +-=故()(2)2,g A E A E -=从而11().2g A E A -=-参考文献：1 陈传璋 金福临 朱学炎.数学分析（上册）.高等教育出版社，1983，72 吴良森 毛羽辉 韩士安.数学分析学习指导书.高等教育出版社，2004,83 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005，54 杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4．5 张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2．。