图论和网络分析算法及Matlab实现(Graph_and_Network_Analysis)

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图论和网络分析算法及Matlab实现(Graph_and_Network_Analysis)资料共7

图论和网络分析算法及Matlab实现 (Graph_and_Network_Analysis)资
料
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

如何利用Matlab进行社交网络分析

如何利用Matlab进行社交网络分析在当今信息时代，社交网络已成为人们交流、分享和获取信息的重要平台。

社交网络的广泛使用为研究者提供了丰富的数据资源，也促使了社交网络分析的兴起。

社交网络分析旨在揭示网络中的关键节点、社群结构以及信息传播模式，为我们理解人际关系、信息扩散等问题提供了有力的工具。

而在社交网络分析领域，Matlab作为一款强大而灵活的编程工具，为我们提供了丰富的分析功能和研究方法。

本文将探讨如何利用Matlab进行社交网络分析。

一、数据预处理要进行社交网络分析，首先需要获取和预处理数据。

通常情况下，我们可以从公开可用的数据集中或自己收集的数据中获得社交网络数据。

数据可以是以节点和边（也称为链接）的形式表示，节点代表个体，边代表个体之间的关系。

在Matlab中，可以使用graph对象来表示和操作社交网络。

首先，我们需要根据节点和边的数据创建一个graph对象。

节点数据可以是一个向量或一个单元格数组，存储了节点的信息。

边数据可以是一个矩阵或一个二元组，表示节点之间的连接关系。

创建graph对象的代码如下：```MatlabG = graph(edges(:,1), edges(:,2));```其中，edges是边数据的矩阵或二元组。

在数据预处理阶段，我们还需要对数据进行清洗和处理。

这包括去除重复节点和边，处理缺失数据，以及对节点和边的属性进行适当的编码和映射。

二、度分析度（degree）是衡量节点在社交网络中的重要性的指标，代表了节点的连接数量。

在社交网络分析中，度分析是最基础也是最常用的分析方法之一。

在Matlab中，可以使用degree函数计算节点的度。

例如，要计算节点i的度，可以使用以下命令：```Matlabdegree_i = degree(G, i);```我们还可以使用histogram函数绘制节点度的分布图，以了解网络的结构特征。

例如，要绘制节点度的直方图，可以使用以下命令：```Matlabhistogram(degree(G));```直方图可以帮助我们观察节点度的分布情况，例如是否存在度为零的孤立节点，或者是否存在度较高的核心节点。

Matlab中的网络分析与复杂系统建模

Matlab中的网络分析与复杂系统建模随着科技的进步和数据的爆炸性增长，网络分析和复杂系统建模成为了解决现实世界问题的有力工具。

Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以应用于网络分析和复杂系统建模领域。

本文将探讨Matlab在这两个领域的应用。

一、网络分析网络分析是研究网络结构和节点之间关系的领域。

在现实生活中，许多复杂的系统可以被抽象成网络，如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。

Matlab为网络分析提供了丰富的函数库，可以进行网络的建模、分析和可视化。

首先，Matlab提供了一些常用的网络模型生成函数，如随机图模型、小世界网络模型和无标度网络模型。

这些函数可以根据用户的需求生成具有特定结构的网络，从而帮助用户更好地理解和研究网络的特性和行为。

其次，Matlab提供了一些网络分析的基本函数，如节点度分布、网络直径、平均最短路径等。

这些函数可以帮助用户对网络进行定量分析，了解网络的全局特征和局部特征，比如网络的连通性、紧密度和集聚系数等。

此外，Matlab还支持网络的可视化，用户可以通过绘制网络图来展示网络的结构和关系。

除了基本的网络分析函数，Matlab还提供了一些高级的网络分析工具，如社区检测、节点重要性度量和网络动力学模拟。

社区检测可以将网络分割成不同的子图，每个子图代表一个社区，帮助用户理解网络中的组织结构和功能模块；节点重要性度量可以评估网络中节点的重要程度，从而帮助用户找到关键节点和中心节点；网络动力学模拟可以模拟网络的演化和传播过程，帮助用户研究网络的时序性和动态性。

二、复杂系统建模复杂系统建模是研究复杂系统行为和性质的领域。

复杂系统往往由大量的相互作用的组件组成，如天气系统、金融市场和生态系统等。

Matlab作为一种数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以用于构建和分析复杂系统的数学模型。

在复杂系统建模中，Matlab可以用于构建系统的数学模型，包括微分方程、差分方程和代数方程等。

图论与网络优化课程设计_Matlab实现

关键字：最近邻耦合网络；ER 随机网络；WS 小世界网络；BA 无标度网络；Matlab；NodeXL。
1
四种基本网络（NCN、ER、WS、BA）的构造及其性质比较
1. 概述
1. 网络科学的概述网络科学（Network Science）是专门研究复杂网络系统的定性和定量规律的一门崭新的交叉科学，研究涉及到复杂网络的各种拓扑结构及其性质，与动力学特性（或功能）之间相互关系，包括时空斑图的涌现、动力学同步及其产生机制，网络上各种动力学行为和信息的传播、预测（搜索）与控制，以及工程实际所需的网络设计原理及其应用研究，其交叉研究内容十分广泛而丰富。网络科学中被广泛研究的基本网络主要有四种，即：规则网络之最近邻耦合网络（Nearest-neighbor coupled network） ,本文中简称 NCN； ER 随机网络 G(N,p)； WS 小世界网络；BA 无标度网络。本文着重研究这几种网络的构造算法程序。计算各种规模下（例如不同节点数、不同重连概率或者连边概率）各自的网络属性(包括边数、度分布、平均路径长度、聚类系数)，给出图、表和图示，并进行比较和分析。 2. 最近邻耦合网络的概述如果在一个网络中，每一个节点只和它周围的邻居节点相连，那么就称该网络为最近邻耦合网络。这是一个得到大量研究的稀疏的规则网络模型。常见的一种具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含围成一个环的 N 个节点，其中每个节点都与它左右各 K / 2 个邻居节点相连，这里 K 是一个偶数。这类网络的一个重要特征就是网络的拓扑结构是由节点之间的相对位置决定的，随着节点位置的变化网络拓扑结构也可能发生切换。 NCN 的 Matlab 实现： %function b = ncn(N,K) %此函数生成一个有 N 个节点，每个节点与它左右各 K/2 个节点都相连的最近邻耦合网络 %返回结果 b 为该最近邻耦合网络对应的邻接矩阵 function b = ncn(N,K) b=zeros(N); for i = 1:N for j = (i+1):(i+K/2) if j<=N b(i,j)=1; b(j,i)=1; else b(i,j-N)=1;

Matlab中的复杂网络与图论分析方法

Matlab中的复杂网络与图论分析方法在当今数字时代，数据网络正在成为各行各业的核心，这就给研究网络结构和分析网络行为提供了前所未有的机会。

而复杂网络和图论分析方法则成为了研究数据网络的一种重要手段。

本文将介绍在Matlab中应用的复杂网络和图论分析方法，探讨其原理和应用。

一、复杂网络：拓扑结构的研究复杂网络是指由大量节点和链接组成的网络，其中节点代表实体，链接代表实体之间的关系。

通过研究复杂网络的拓扑结构，我们可以揭示数据网络中的规律和性质，了解网络中节点的连接模式和信息传播机制。

1.1 网络拓扑结构的描述在复杂网络研究中，一种常用的描述方法是邻接矩阵和度矩阵。

邻接矩阵是一个由0和1组成的矩阵，其中的元素表示节点之间的连接关系，1表示连接，0表示未连接。

度矩阵是一个对角矩阵，用于描述每个节点的度数，即与该节点相连的链接数。

1.2 网络节点的度分布节点的度数是指与该节点相连的链接数，而节点的度分布则是指不同度数的节点在网络中的分布情况。

在复杂网络中，节点的度分布往往符合幂律分布，即少数节点的度数非常大，而大部分节点的度数相对较小。

通过分析节点的度分布，可以了解网络中的核心节点和边缘节点，以及网络的鲁棒性和可靠性。

1.3 网络中的社区结构社区结构是指网络中节点的聚集现象，即节点之间的连接更密集，而与其他社区的联系较弱。

通过识别和研究网络中的社区结构，可以帮助我们揭示网络中的隐含规律、发现重要节点和子网络，并理解网络的分层结构和功能。

二、图论分析：探索网络行为的机制图论是研究网络结构和图形模型的数学理论，主要关注网络中节点和链接之间的关系。

通过图论分析，我们可以量化和描述网络中的节点和链接的特性，揭示网络的演化机制和行为规律。

2.1 网络中的中心性度量中心性是衡量网络中节点重要性的指标，可以帮助我们识别重要节点和影响网络动态行为的因素。

在复杂网络中，常用的中心性度量包括度中心性、接近中心性和介数中心性等。

图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)

e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8

Matlab中的网络分析与图论算法

Matlab中的网络分析与图论算法在现代社会中，网络分析和图论算法正变得越来越重要。

随着信息技术的迅猛发展，人们对网络的研究也日益深入。

而Matlab作为一种强大的科学计算软件，其网络分析和图论算法的应用也越来越广泛。

I. 网络分析的概述网络分析是指通过研究网络中的节点（节点可以代表人、物或其他实体）之间的关系，来理解和分析网络的结构和特征。

网络分析方法主要包括节点度数分布、社区结构、中心性指标等。

1. 节点度数分布网络中的节点度数指的是与该节点相连接的其他节点的数量。

在网络分析中，研究节点度数分布可以帮助我们了解网络中节点的连接情况，进而揭示网络的结构特征。

Matlab中有丰富的函数可以用来计算节点度数分布，如hist函数和bar函数。

2. 社区结构社区结构是指网络中的节点按某种规则或特征被划分为多个聚类的情况。

社区结构分析可以帮助我们发现网络中的子群体，进一步研究节点的集聚性和节点之间的相似性。

Matlab中的图论工具箱中提供了多种算法，如谱聚类算法(Spectral Clustering)和模块度优化算法(Modularity Optimization)，可以用于社区结构的分析。

3. 中心性指标中心性指标是用来衡量网络中节点的重要性程度。

常见的中心性指标有度中心性(Degree Centrality)，介数中心性(Betweenness Centrality)和接近中心性(Closeness Centrality)等。

这些指标可以帮助我们找出网络中的核心节点，并进行节点的排序和权重的计算。

在Matlab中，我们可以使用centrality函数来计算节点的中心性指标。

II. 图论算法的应用图论算法是一类数学算法，用于研究网络的图结构和图的性质。

在Matlab中，有许多图论算法可以帮助我们解决各种实际问题。

1. 最短路径算法最短路径算法用于寻找网络中两个节点之间的最短路径。

其中一种常见的算法是迪杰斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)，它可以在网络中找到起点到终点的最短路径，并计算路径的长度。

Matlab中的社交网络分析与推荐系统技巧

Matlab中的社交网络分析与推荐系统技巧1.引言社交网络已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，而对社交网络进行分析和利用则更是引人关注。

Matlab作为一种强大的数据分析和计算工具，在社交网络分析和推荐系统的研究中也发挥了重要的作用。

本文将介绍一些在Matlab中进行社交网络分析和推荐系统研究时常用的技巧和方法。

2.数据预处理在进行社交网络分析之前，我们首先需要对原始数据进行一些预处理工作。

这包括数据清洗、去噪、特征提取等步骤。

Matlab提供了丰富的数据处理工具和函数，可以帮助我们高效地完成这些任务。

3.社交网络分析社交网络分析旨在揭示社交网络中的潜在结构和模式，以及个体之间的关系。

Matlab中的Graph和Social Network Analysis Toolbox是进行社交网络分析的有力工具。

3.1 社交网络可视化通过绘制社交网络图可以直观地了解社交网络中个体之间的联系。

Matlab提供了丰富的绘图函数，可以帮助我们实现社交网络图的可视化。

3.2 社交网络中心性度量社交网络中心性度量用于评估个体在整个网络中的重要性。

常见的中心性度量包括度中心性、接近中心性、介数中心性等。

Matlab中的Graph和Social Network Analysis Toolbox提供了一系列中心性度量算法，可以帮助我们快速计算并分析网络中个体的中心性。

3.3 社区检测社区是指在社交网络中由紧密相连的个体组成的子群体。

社区检测旨在发现社交网络中的潜在社区结构。

Matlab中的Community Detection Toolbox提供了多种社区检测算法，可以帮助我们准确地识别社交网络中的社区结构。

4.推荐系统推荐系统是通过对用户的行为和兴趣进行分析，向用户提供个性化的推荐内容。

Matlab中的Recommender Systems Toolbox提供了一系列用于构建和评估推荐系统的工具和函数。

4.1 协同过滤推荐协同过滤是一种常用的推荐算法，其基本思想是通过分析用户之间的相似性来为用户产生个性化的推荐。

应用篇-第14章-图论算法及其MATLAB实现

定理14.3握手定理)

对每个图G=(V,E),均有
d(v)=2|E|
vV

证明:根据顶点度的定义，在计算点度时每条边对于它所关联的顶点被计算了两次。因此,图G 中点度的总和恰为边数|V|的2倍。证毕。推论14.1 在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数。

定理14.4对任意有向图D=(V,A)均有

14.8 Dijkstra 算法及其MATLAB实现
14.8.1 问题描述与算法思想
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v是图中的一个顶点，记L(v) 为顶点v到源点v1的最短距离, vi , v j V 若 (vi , v j ) E ，记vi到vj的权。
① A(G)为对称矩阵；
② 若G 为无环图,则A(G)中第i行(列)的元素之和等于顶点vi的度； ③ 两图G 和H 同构的充分必要条件是存在置换矩阵P 使得A(G)=PTA(H)P。
类似地，有向图D 的邻接矩阵A(D)=(aij)n×n的元素aij定义为：元素aij表示从始点vi到终点vj的有向边的条，,其中vi和vj为D 的顶点。
14.3.2 关联矩=(V,E)，其中顶点集V={v1,v2,…,vn},边集E={e1,e2,…,eε}。用 mij表示顶点vi与边ej关联的次数，可能取值为0,1,2,称所得矩阵M(G)=(mij)n×ε为图G 的关联矩阵。类似地，有向图D 的关联矩阵M(D)=(mij)n×ε的元素mij定义为：
14.2.4 路

在图论理论中,路具有特殊的重要性,古往今来,许多学者均对它进行过深入研究。本节主要介绍简单图G=(V,E)中有关路和连通性的简单性质。定理14.1 若图G 中有一条(u,v)途径,则G 中也存在一条(u,v)路。

Matlab技术网络数据分析方法总结

Matlab技术网络数据分析方法总结一、引言随着互联网的快速发展和物联网应用的普及，海量的网络数据不断涌现。

如何从海量的网络数据中提取有效信息并进行深入分析，成为了现代数据科学领域的重点研究。

而Matlab作为一种简单易用且功能强大的数据分析工具，被广泛应用于网络数据分析领域。

本文将总结和介绍一些常用的Matlab技术在网络数据分析方面的应用方法。

二、数据获取与预处理在网络数据分析的开始阶段，首先需要获取并预处理原始数据。

Matlab提供了多种获取网络数据的方法，如通过HTTP协议获取API数据，使用网络爬虫获取网页数据等。

通过网络爬虫获取网页数据是常见的方法之一。

Matlab中可以使用爬虫工具包进行网页数据获取，然后利用正则表达式等技术对数据进行清洗和提取，以便后续分析。

另外，在数据预处理过程中，我们经常需要利用Matlab进行数据清洗、去重、填充缺失值等操作。

Matlab提供了丰富的数据处理函数和工具箱，可以方便地进行数据处理。

例如，可以使用dataclean函数对数据进行清洗处理，使用fillmissing函数填充缺失值等。

三、数据可视化分析数据可视化是网络数据分析不可或缺的一环。

通过数据可视化，我们可以更直观地了解数据的规律和特点。

Matlab提供了丰富的数据可视化函数和工具箱，可以满足各种可视化需求。

1. 折线图折线图是常用的数据可视化方式之一。

Matlab中的plot函数可以绘制折线图，我们可以利用该函数来展示网络数据的变化趋势。

例如，我们可以将时间作为横轴，网络流量作为纵轴，绘制出网络流量随时间的变化折线图，以便进行流量分析和预测。

2. 散点图散点图可以用于展示数据的分布情况和相关性。

Matlab中的scatter函数可以绘制散点图，我们可以将网络节点的属性作为横纵轴，展示节点之间的关系。

例如，我们可以将节点的度中心性作为横轴，介数中心性作为纵轴，绘制出节点度中心性和介数中心性的散点图，以便分析网络的核心节点。

MATLAB网络分析与建模工具箱的使用指南

MATLAB网络分析与建模工具箱的使用指南引言网络分析与建模是现代科学中的一个重要的研究领域，它涉及到社交网络、电力系统、交通网络等许多应用领域。

MATLAB是一个功能强大的数值计算工具，其网络分析与建模工具箱提供了一系列用于分析和建模网络的函数和工具。

本文将针对MATLAB网络分析与建模工具箱进行详细介绍和使用指南。

一、网络分析基础知识在开始学习MATLAB网络分析与建模工具箱之前，我们需要了解一些网络分析的基础知识。

网络是由节点和边组成的图形结构，其中节点表示网络中的个体，边表示节点之间的关系。

节点和边可以是任意类型的，比如人物、电力站和电缆等。

网络分析常用的概念包括节点的度、网络的直径、节点的邻居等。

节点的度指的是与该节点相连的边的数量，可以用来度量节点的重要性或者中心性。

网络的直径则是网络中任意两个节点之间最短路径的最大长度，用来度量网络的连通性。

节点的邻居是指与该节点直接相连的其他节点。

二、MATLAB网络分析与建模工具箱的安装与导入要使用MATLAB网络分析与建模工具箱，首先需要从MathWorks官方网站下载并安装MATLAB软件。

安装完成后，我们可以在MATLAB命令窗口输入以下命令导入网络分析与建模工具箱：```MATLABaddpath(genpath('toolbox/nnet'));```导入成功后，我们就可以开始使用网络分析与建模工具箱进行分析和建模了。

三、网络的创建和可视化在MATLAB中，我们可以使用网络对象来表示和操作网络。

网络对象是网络分析与建模工具箱中的一个重要数据类型，它可以包含节点和边的信息，并且提供了一系列函数来进行网络的创建和操作。

要创建一个网络对象，我们可以使用以下命令：```MATLABnet = network;```创建好网络对象后，我们可以通过添加节点和边来构建网络。

使用以下命令可以添加节点：```MATLABnet = addnode(net, numNodes);```其中，numNodes是要添加的节点数量。

图论和网络分析算法及Matlab实现(Graph_and_Network_Analysis)

2017/11/5
问题的两个共同特点
（1）目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案，数学问题称为最优化或优化问题。（2）它们都可用图形形式直观描述，数学上把这种与图相关的结构称为网络。图和网络相关的最优化问题就是网络最优化。网络优化问题是以网络流为研究的对象，常常被称为网络流或网络流规划等。
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
• 2. 方法：Dijkstra算法（Dijkstra，1959）
Dijkstra, E.W. (1959). A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik 1, 269–271.
2017/11/5
5 、旅行商问题 Traveling salesman problem
一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他设计一条最短的旅行路线？（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）
2017/11/5
6、运输问题 Transportation problem
某种原材料有 M个产地，现在需要将原材料从产地运往 N个使用这些原材料的工厂。假定 M个产地的产量和 N家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂的运费已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？
wij，i能一步到达j d ij j ，i不能一步到达
2017/11/5
Dijkstra 算法
由图G建立一步可达距离阵D=(dij)n×n
给V1(Vs)括号(l1,Vk)=(0,s)给出已标号集合 I和未标号集合J的元素

浅析图论在某地区电网规划中利用及MATLAB程序最优分析

图与网络是运筹学（ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈ）中的一个经典和重是为了寻找可增广轨，使网络的流量得到增加，直到最大为止分为要的分支，而其中的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹以下两个过程：Ａ．标号过程：通过标号过程寻找一条可增广轨。Ｂ．增配问题等都是图与网络的基本问题。而电网规划中在必须确定考虑流过程：沿着可增广轨增加网络的流量。何时、何地投建何种类型的输电线路进，考虑其各项技术指标费用其两个分析方法将可以分为以下具体步骤：最小的前提下才能对电力系统进行建设，而本文将利用图与网络的（Ａ）标号过程：特点来解决系统中的问题，比用线性规划等其他模型来求解往往要（ｉ）给发点标号为（，。ｏ）。简单、有效得多。（讧）若顶点ｘ已经标号，则对的所有未标号的邻接顶点Ｙ按以
下规则标号：
①若（而） ∈ Ａ，且＜时，令＝ｒｒｉｍ｛ｕ－Ｌ，），
则给顶点Ｙ标号为（，），若：“ ，则不给顶点Ｙ标号。
②（）Ａ，且厶０，令＝ｍｉｎ｛ｆ￣，），则给Ｙ标号为（一，），若厶＝ｏ，则不给Ｙ标号。（ｍ）不断地重复步骤（ｉｉ）直到收点ｔ被标号，或不再有顶点可以
１某地区电网的现状
某地区高压配电网以两座３３０ｋＶ￣电站为中心向全地区环状或双回线供电。供电可靠性高，运行灵活。网内运行１ｌＯｋＶ公网变电站１３座。其中３３０ｋＶ通过双回线连接两个变电站，而１ｌＯｋＶ主网架，通过８座１ｌＯｋＶ变电站受３３０ｋＶ变电站直接相连。

网络计划流程图运用MATLAB确定关键线路的方法

运用Floyd 算法及ＭＡTLAB 编程确定网络计划图关键线路的方法古雨鑫（西南科技大学四川绵阳 62１00０）摘要:关键线路的确定对工程有着重要的意义,同时也是目前常用的一种工程项目进度控制的计划方法，本文通过运用Ｆloyd 算法，以及MATL ＡB 编程对矩阵的处理能力,本文给出了两种确定关键线路的方法，可以简单方便的确定网络图中的关键线路。

关键词:ＭATLA Ｂ,网络流程图,Fl ｏyd 算法，关键线路ﻩ1 基本理论１.１基本概念工程中一项工作从开始到完成需要的时间和资源,在网络图中一般用箭线表示,箭尾表示工作的开始,而箭头表示工作的结束，工作的代号(或名称)一般写在箭线的上方，工作的所需要消耗的时间(资源)一般写在箭线的下方，除此以外,还有不消耗资源和时间的虚工作（一般用虚线表示，只与工作有逻辑关系)，紧接着前一项的工作称为紧前工作,紧接着后一项的工作称为紧后工作。

节点指紧前工作和紧后工作的交点,并附有数码（工程中箭头的数码必须大于箭尾的数码）.关键线路指的是工程中从起始节点到最后节点的所要经过的最长线路。

1。

2 确定关键线路的意义现代工程的特点是规模巨大，对时间，资源,资源都有严格的要求，而关键线路更是直接决定工程的总工期,对工程的控制起到了重要的作用，找出关键线路在工程中有着重要的实际意义,对工程的控制有着决定的影响。

ﻩ2 确定工程项目的M ＡTLAB 算法方法２.1采用Floyd 算法对关键线路的确定Ｆｌoy ｄ算法的基本思想是递推产生一个矩阵序列1k ,,,,n A A A ，其中矩阵k A 的第i 行第j 列元素k (,)A i j 表示是从顶点i V 到顶点j V 的路径上所经过的顶点序号不大于ｋ的最短路径长度。

计算时用的迭代公式111(,)min((,),(,),(,)),K k k k A i j A i j A i k A k j ---=K 是迭代次数,,,1,2,,i k j n =。

图算法的应用以及在Matlab中的实现

图算法的应用以及在Matlab中的实现图算法是图论的基础，广泛应用于各个领域。

图算法可以用来解决很多实际问题，例如社交网络分析、路网优化、数据挖掘等。

在Matlab中，图算法的实现主要依赖于图对象和图函数库。

一、图算法的应用1.社交网络分析：通过图算法可以进行社交网络的分析和挖掘，例如寻找网络中的关键节点、查找社区结构、计算网络的中心性指标等。

2.路网优化：图算法可以用来解决路网中的最短路径问题、最小生成树问题、最大流问题等，以优化交通运输和资源分配。

3.数据挖掘：图算法可以用于发现模式和关联规则，例如通过挖掘网页链接关系发现重要网页、通过分析推荐系统中用户的行为图谱进行个性化推荐等。

二、Matlab中图算法的实现在Matlab中，图算法的实现主要依赖于图对象(Graph Object)和图函数库(Graph and Network Algorithms)，Matlab提供了一套完整的图算法库供用户使用。

1. 图对象(Graph Object)Matlab中的图对象是用来存储图数据的数据结构，可以表示有向图或无向图。

可以通过创建图对象，设置节点和边的属性，以及添加节点和边来构建图。

图对象提供了很多有用的方法，用于访问和操作图数据。

2. 图函数库(Graph and Network Algorithms)Matlab提供了一系列的图函数，用于解决常见的图算法问题。

其中包括最短路径算法、最小生成树算法、最大流算法等。

这些图函数可以用来解决各种实际问题，例如计算两节点之间的最短路径、查找网络中的关键节点等。

在Matlab中，通过以下几个步骤可以实现图算法：1.创建图对象：使用图对象的构造函数可以创建一个空的图对象，并指定图的类型（有向图或无向图）。

2.添加节点和边：使用图对象的方法可以添加节点和边，设置节点和边的属性。

3.访问图数据：可以通过图对象的方法访问和操作图数据，例如获取节点数、获取边数、获取节点的邻居等。

Matlab在电信网络中的使用方法

Matlab在电信网络中的使用方法引言：电信网络是现代社会中不可或缺的重要基础设施，其复杂性和高度的技术要求使其管理和优化具有一定的挑战性。

在这样的背景下，Matlab作为一种强大的数学软件工具，成为电信网络领域的常用工具之一。

本文将探讨Matlab在电信网络中的使用方法，并举例说明其在网络规划、信号处理和性能分析等方面的应用。

一、网络规划在电信网络规划中，决策者需要根据地理环境、用户需求和资源限制等因素来设计和优化网络拓扑。

Matlab提供了丰富的功能和工具，可以帮助分析师进行网络规划和优化。

首先，Matlab可以通过使用地理信息系统（GIS）工具箱来实现地理空间数据的处理和分析。

例如，分析师可以使用Matlab绘制地理地图，并根据用户需求模拟不同网络场景，比较其在覆盖范围、网络容量和信号质量等方面的性能。

其次，Matlab还可以利用图论和网络优化算法来解决网络规划中的优化问题。

例如，利用图论工具箱可以实现网络拓扑优化，通过计算最短路径或最小生成树等方法，确定网络节点之间最佳的连接方式。

此外，通过使用网络优化算法，如遗传算法和模拟退火算法，可以求解网络布线和信号传输路径等问题，以实现网络资源的最优配置。

二、信号处理在电信网络中，信号处理是一个关键的环节，涉及到信号采集、滤波、解调和编解码等多个方面。

Matlab提供了丰富的信号处理工具箱和函数，可用于在电信网络中进行信号处理。

首先，Matlab的信号处理工具箱提供了多种滤波器设计和分析的函数，可以对信号进行去噪、滤波和频谱分析等操作。

例如，可以使用FIR滤波器设计函数对于特定噪声场景下的信号进行去噪处理，或使用IIR滤波器设计函数对于特定频率特性要求的信号进行滤波操作。

其次，Matlab还提供了大量的调制解调函数，可以模拟常见的调制和解调技术，如调幅、调频和调相等。

在电信网络中，调制解调是实现信号传输和接收的基本操作。

通过在Matlab中模拟调制解调操作，可以分析不同信道环境下的信号传输性能，并优化调制解调参数，以提高信号传输质量。

Matlab技术网络流量分析与优化

Matlab技术网络流量分析与优化导言随着互联网的迅速发展，网络已经成为了人们工作和生活的重要组成部分。

然而，随之而来的是网络流量的剧增和网络拥堵问题的日益严重。

为了更好地理解和解决这些问题，网络流量分析与优化变得尤为重要。

本文将介绍使用Matlab技术进行网络流量分析与优化的方法和技巧。

一、网络流量分析的基础1.1 网络流量的定义与分类网络流量是指在单位时间内通过网络传输的数据量。

根据传输方式和目标，网络流量可以分为内部流量和外部流量。

内部流量指的是在内部网络中传输的数据，而外部流量则是从外部网络进入或离开的数据。

1.2 网络流量分析的应用网络流量分析广泛应用于网络性能优化、网络安全和预测等领域。

通过对网络流量的监测和分析，可以识别网络拥堵、异常行为和安全漏洞，从而采取相应的措施，提高网络性能和安全性。

二、Matlab在网络流量分析中的应用2.1 数据预处理网络流量通常是大规模的、复杂的数据集。

在进行分析之前，需要对数据进行预处理，以去除噪音和异常值，并对数据进行清洗和归一化。

Matlab提供了丰富的数据处理函数和工具箱，可以轻松处理和转换网络流量数据。

2.2 可视化分析可视化分析是网络流量分析的重要环节。

Matlab具有强大的图形绘制和可视化功能，可以将网络流量数据以图形的形式展现出来，从而更直观地观察和分析数据。

通过绘制线性图、柱状图、饼图等，可以揭示网络流量的规律和趋势，为后续的分析提供基础。

2.3 数据建模与分析网络流量数据通常具有高维度、时序性和相关性等特点，需要进行建模和分析。

Matlab提供了多种建模和分析工具，如聚类分析、回归分析、时间序列分析等，可以根据实际需求选择适合的方法。

通过建立数学模型和算法，可以更深入地挖掘网络流量数据的内在规律和关联关系。

三、网络流量优化的基本步骤3.1 流量监测与识别网络流量优化的第一步是对网络流量进行监测和识别。

通过监测网络流量，可以了解网络的实时状态和负载情况。

图论算法及matlab程序的三个案例

图论算法及m a t l a b程序的三个案例-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN图论实验三个案例单源最短路径问题 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。

其基本思想是，设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。

一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

设v 是图中的一个顶点，记()l v 为顶点v 到源点v 1的最短距离，,i j v v V∀∈，若(,)i j v v E∉，记i v到j v 的权ij w =∞。

Dijkstra 算法：① 1{}S v =,1()0l v =；1{}v V v ∀∉-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-； ② S φ=，停止，否则转③；③()min{(),(,)}j l v l v d v v =，j v S∈，v S ∀∈；④ 存在1i v +，使1()min{()}i l v l v +=，v S ∈；⑤1{}i S S v +=，1{}i S S v +=-，1i i =+，转②；实际上，Dijkstra 算法也是最优化原理的应用：如果121n nv v v v -是从1v 到nv 的最短路径，则121n v v v -也必然是从1v 到1n v -的最优路径。

在下面的MATLAB 实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i 行第j 行元素表示顶点i v 到j v 的权ij w ，若i v到j v 无边，则realmax ij w =，其中realmax 是MATLAB 常量，表示最大的实数+308)。

function re=Dijkstra(ma)%用Dijkstra算法求单源最短路径%输入参量ma是距离矩阵%输出参量是一个三行n列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点n=size(ma,1);%得到距离矩阵的维数s=ones(1,n);s(1)=0;%标记集合S和S的补r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;%初始化for i=2:n;%控制循环次数mm=realmax;for j=find(s==0);%集合S中的顶点for k=find(s==1);%集合S补中的顶点if(r(2,j)+ma(j,k)<r(2,k))r(2,k)=r(2,j)+ma(j,k);r(3,k)=j;endif(mm>r(2,k))mm=r(2,k);t=k;endendends(1,t)=0;%找到最小的顶点加入集合S end re=r;动态规划求解最短路径动态规划是美国数学家Richard Bellman 在1951年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。

图论算法及其MATLAB程序代码

图论算法及其MATLAB程序代码图论算法及其MATLAB程序代码求赋权图G = (V, E , F )中任意两点间的最短路的Warshall-Floyd 算法：设A = (a ij )n×n为赋权图G = (V, E , F )的矩阵, 当v i v j∈E时a ij= F (v i v j), 否则取a ii=0, a ij = +∞(i≠j ), d ij表示从v i到v j点的距离, r ij表示从v i到v j点的最短路中一个点的编号.①赋初值. 对所有i, j, d ij = a ij, r ij = j. k = 1. 转向②②更新d ij, r ij . 对所有i, j, 若d ik + d k j＜d ij, 则令d ij = d ik + d k j, r ij = k, 转向③.③终止判断. 若d ii＜0, 则存在一条含有顶点v i的负回路, 终止; 或者k = n终止; 否则令k = k + 1, 转向②.最短路线可由r ij得到.例1求图6-4中任意两点间的最短路.图6-4解：用Warshall-Floyd算法, MA TLAB程序代码如下：n=8;A=[0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf8 6 0 7 5 1 2 Inf1 Inf 7 0 Inf Inf 9 InfInf 1 5 Inf 0 3 Inf 8Inf Inf 1 Inf 3 0 4 6Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0]; % MATLAB中, Inf表示∞D=A; %赋初值for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=j;end;end%赋路径初值for(k=1:n)for(i=1:n)for(j=1:n)if(D(i,k)+D(k,j)<=""bdsfid="85" p="">R(i,j)=R(k,j);end;end;end%更新rijk %显示迭代步数D %显示每步迭代后的路长R %显示每步迭代后的路径pd=0;for i=1:n %含有负权时if(D(i,i)<0)pd=1;break;end;end%存在一条含有顶点vi的负回路if(pd)break;end%存在一条负回路, 终止程序end%程序结束Kruskal避圈法：将图G中的边按权数从小到大逐条考察, 按不构成圈的原则加入到T 中(若有选择时, 不同的选择可能会导致最后生成树的权数不同), 直到q (T ) = p (G ) - 1为止, 即T的边数= G的顶点数- 1为止.Kruskal避圈法的MATLAB程序代码如下：n=8;A=[0 2 8 1 0 0 0 02 0 6 0 1 0 0 08 6 0 7 5 1 2 01 0 7 0 0 0 9 00 1 5 0 0 3 0 80 0 1 0 3 0 4 60 0 2 9 0 4 0 30 0 0 0 8 6 3 0];k=1; %记录A中不同正数的个数for(i=1:n-1)for(j=i+1:n) %此循环是查找A中所有不同的正数if(A(i,j)>0)x(k)=A(i,j); %数组x记录A中不同的正数kk=1; %临时变量for(s=1:k-1)if(x(k)==x(s))kk=0;break;end;end%排除相同的正数k=k+kk;end;end;endk=k-1 %显示A中所有不同正数的个数for(i=1:k-1)for(j=i+1:k) %将x中不同的正数从小到大排序if(x(j)< bdsfid="113" p=""><>T(n,n)=0; %将矩阵T中所有的元素赋值为0q=0; %记录加入到树T中的边数for(s=1:k)if(q==n)break;end%获得最小生成树T, 算法终止for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)if (A(i,j)==x(s))T(i,j)=x(s);T(j,i)=x(s); %加入边到树T中TT=T; %临时记录Twhile(1)pd=1; %砍掉TT中所有的树枝for(y=1:n)kk=0;for(z=1:n)if(TT(y,z)>0)kk=kk+1;zz=z;end;end%寻找TT中的树枝if(kk==1)TT(y,zz)=0;TT(zz,y)=0; p d=0;end;end%砍掉TT中的树枝if(pd)break;end;end%已砍掉了TT中所有的树枝pd=0; %判断TT中是否有圈for(y=1:n-1)for(z=y+1:n)if(TT(y,z)>0)pd=1;break;end;end;endif(pd)T(i,j)=0;T(j,i)=0; %假如TT中有圈else q=q+1;end;end;end;end;endT %显示近似最小生成树T, 程序结束求二部图G的最大匹配的算法(匈牙利算法), 其基本思想是：从G 的任意匹配M开始, 对X中所有M的非饱和点, 寻找M-增广路. 若不存在M-增广路, 则M为最大匹配; 若存在M-增广路P, 则将P中M与非M的边互换得到比M多一边的匹配M1 , 再对M1重复上述过程.设G = ( X, Y, E )为二部图, 其中X = {x1, x2, … , x n }, Y = { y1,y2, … , y n}. 任取G的一初始匹配M (如任取e∈E, 则M = {e}是一个匹配).①令S = φ , T = φ , 转向②.②若M饱和X \ S的所有点, 则M是二部图G的最大匹配. 否则, 任取M的非饱和点u∈X \ S , 令S = S ∪{ u }, 转向③.③记N (S ) = {v | u∈S, uv∈E}. 若N (S ) = T, 转向②. 否则取y∈N (S ) \ T. 若y是M 的饱和点, 转向④, 否则转向⑤.④设x y∈M, 则令S = S ∪{ x }, T = T ∪{ y }, 转向③.⑤u -y路是M-增广路, 设为P, 并令M = M⊕P, 转向①. 这里M⊕P = M∪P \ M∩P, 是对称差.由于计算M-增广路P比较麻烦, 因此将迭代步骤改为：①将X中M的所有非饱和点(不是M中某条边的端点)都给以标号0和标记*, 转向②.②若X中所有有标号的点都已去掉了标记*, 则M是G的最大匹配. 否则任取X中一个既有标号又有标记*的点x i , 去掉x i的标记*, 转向③.③找出在G中所有与x i邻接的点y j (即x i y j∈E ), 若所有这样的y j都已有标号, 则转向②, 否则转向④.④对与x i邻接且尚未给标号的y j都给定标号i. 若所有的y j都是M的饱和点, 则转向⑤, 否则逆向返回. 即由其中M的任一个非饱和点y j的标号i找到x i, 再由x i的标号k找到y k , …, 最后由y t的标号s 找到标号为0的x s时结束, 获得M-增广路x s y t…x i y j, 记P = {x s y t, …, x i y j }, 重新记M为M⊕P, 转向①.⑤将y j在M中与之邻接的点x k (即x k y j∈M), 给以标号j和标记*, 转向②.例1求图6-9中所示的二部图G的最大匹配.图6-9匈牙利算法的MATLAB程序代码如下：m=5;n=5;A=[0 1 1 0 01 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 0 00 0 0 1 1];M(m,n)=0;for(i=1:m)for(j=1:n)if(A(i,j))M(i,j)=1;break;end;end%求初始匹配Mif(M(i,j))break;end;end%获得仅含一条边的初始匹配Mwhile(1)for(i=1:m)x(i)=0;end%将记录X中点的标号和标记*for(i=1:n)y(i)=0;end%将记录Y中点的标号和标记*for(i=1:m)pd=1; %寻找X中M的所有非饱和点for(j=1:n)if(M(i,j))pd=0;end;endif(pd)x(i)=-n-1;end;end%将X中M的所有非饱和点都给以标号0和标记*, 程序中用n+1表示0标号, 标号为负数时表示标记* pd=0;while(1)xi=0;for(i=1:m)if(x(i)<0)xi=i;break;end;end%假如X中存在一个既有标号又有标记*的点, 则任取X中一个既有标号又有标记*的点xi if(xi==0)pd=1;break;end%假如X中所有有标号的点都已去掉了标记*, 算法终止x(xi)=x(xi)*(-1); %去掉xi的标记*k=1;for(j=1:n)if(A(xi,j)&y(j)==0)y(j)=xi;yy(k)=j;k=k+1;end;end%对与xi邻接且尚未给标号的yj都给以标号iif(k>1)k=k-1;for(j=1:k)pdd=1;for(i=1:m)if(M(i,yy(j)))x(i)=-yy(j);pdd=0;break;end;end%将yj 在M中与之邻接的点xk (即xkyj∈M), 给以标号j和标记* if(pdd)break;end;endif(pdd)k=1;j=yy(j); %yj不是M的饱和点while(1)P(k,2)=j;P(k,1)=y(j);j=abs(x(y(j))); %任取M的一个非饱和点yj, 逆向返回if(j==n+1)break;end%找到X中标号为0的点时结束, 获得M-增广路Pk=k+1;endfor(i=1:k)if(M(P(i,1),P(i,2)))M(P(i,1),P(i,2))=0; %将匹配M在增广路P中出现的边去掉else M(P(i,1),P(i,2))=1;end;end%将增广路P中没有在匹配M中出现的边加入到匹配M中break;end;end;endif(pd)break;end;end%假如X中所有有标号的点都已去掉了标记*, 算法终止M %显示最大匹配M, 程序结束利用可行点标记求最佳匹配的算法步骤如下：设G = ( X , Y , E , F )为完备的二部赋权图, L 是其一个初始可行点标记, 通常取.,,0)(},|)(max{)(Y y X x y L Y y xy F x L ∈∈=∈= M 是G L 的一个匹配. ① 若X 的每个点都是M 的饱和点, 则M 是最佳匹配. 否则取M 的非饱和点u ∈X , 令S = {u }, T = φ , 转向②.② 记N L (S ) = {v | u ∈S , uv ∈E L }. 若N L ( S ) = T , 则G L 没有完美匹配, 转向③. 否则转向④.③ 调整可行点标记, 计算a L = min { L ( x ) + L ( y ) - F (x y ) | x ∈S , y ∈Y \T }.由此得新的可行顶点标记H (v ) =,,),(,)(,)(T v S v v L a v L a v L L L ∈∈??+-令L = H , G L = G H , 重新给出G L 的一个匹配M , 转向①.④ 取y ∈N L ( S ) \T , 若y 是M 的饱和点, 转向⑤. 否则, 转向⑥.⑤ 设x y ∈M , 则令S = S ∪{ x }, T = T ∪{ y }, 转向②.⑥ 在G L 中的u - y 路是M -增广路, 记为P , 并令M = M ⊕P , 转向①.利用可行点标记求最佳匹配算法的MATLAB 程序代码如下：n=4;A=[4 5 5 12 2 4 64 2 3 35 0 2 1];for (i=1:n)L(i,1)=0;L(i,2)=0;endfor (i=1:n)for (j=1:n)if (L(i,1)<="" ;="" bdsfid="205" p="">M(i,j)=0;end ;endfor (i=1:n)for (j=1:n) %生成子图Glif (L(i,1)+L(j,2)==A(i,j))Gl(i,j)=1;else Gl(i,j)=0;end ;end ;endii=0;jj=0;for (i=1:n)for (j=1:n)if (Gl(i,j))ii=i;jj=j;break ;end ;endif (ii)break ;end ;end %获得仅含Gl 的一条边的初始匹配MM(ii,jj)=1;for (i=1:n)S(i)=0;T(i)=0;NlS(i)=0;endwhile (1)for (i=1:n)k=1;否则.for(j=1:n)if(M(i,j))k=0;break;end;endif(k)break;end;endif(k==0)break;end%获得最佳匹配M, 算法终止S(1)=i;jss=1;jst=0; %S={xi}, T=while(1)jsn=0;for(i=1:jss)for(j=1:n)if(Gl(S(i),j))jsn=jsn+1;NlS(jsn)=j; %NL(S) ={v|u∈S,uv∈EL}for(k=1:jsn-1)if(NlS(k)==j)jsn=jsn-1;end;end;end;end;endif(jsn==jst)pd=1; %判断NL(S)=T?for(j=1:jsn)if(NlS(j)~=T(j))pd=0;break;end;end;endif(jsn==jst&pd)al=Inf; %如果NL(S)=T, 计算al, Inf为∞for(i=1:jss)for(j=1:n)pd=1;for(k=1:jst)if(T(k)==j)pd=0;break;end;endif(pd&al>L(S(i),1)+L(j,2)-A(S(i),j))al=L(S(i),1)+L(j,2)-A(S(i),j);end;end;end for(i=1:jss)L(S(i),1)=L(S(i),1)-al;end%调整可行点标记for(j=1:jst)L(T(j),2)=L(T(j),2)+al;end%调整可行点标记for(i=1:n)for(j=1:n) %生成子图GLif(L(i,1)+L(j,2)==A(i,j))Gl(i,j)=1;else Gl(i,j)=0;endM(i,j)=0;k=0;end;endii=0;jj=0;for(i=1:n)for(j=1:n)if(Gl(i,j))ii=i;jj=j;break;end;endif(ii)break;end;end%获得仅含Gl的一条边的初始匹配MM(ii,jj)=1;breakelse %NL(S)≠Tfor(j=1:jsn)pd=1; %取y∈NL(S)\Tfor(k=1:jst)if(T(k)==NlS(j))pd=0;break;end;endif(pd)jj=j;break;end;endpd=0; %判断y是否为M的饱和点for(i=1:n)if(M(i,NlS(jj)))pd=1;ii=i;break;end;endif(pd)jss=jss+1;S(jss)=ii;jst=jst+1;T(jst)=NlS(jj); %S=S∪{x}, T=T∪{y}else %获得Gl的一条M-增广路, 调整匹配Mfor(k=1:jst)M(S(k),T(k))=1;M(S(k+1),T(k))=0;endif(jst==0)k=0;endM(S(k+1),NlS(jj))=1;break;end;end;end;endMaxZjpp=0;for(i=1:n)for(j=1:n)if(M(i,j))MaxZjpp=MaxZjpp+A(i,j);end;en d;endM %显示最佳匹配MMaxZjpp %显示最佳匹配M的权, 程序结束从一个可行流f开始, 求最大流的Ford--Fulkerson标号算法的基本步骤：⑴标号过程①给发点v s以标号(+, +∞) , δs = +∞.②选择一个已标号的点x, 对于x的所有未给标号的邻接点y, 按下列规则处理：当yx∈E, 且f yx ＞0时, 令δy = min { f yx , δx }, 并给y以标号( x - , δy ).当xy∈E, 且f xy＜C xy时, 令δy = min {C xy - f xy , δx }, 并给y 以标号( x + , δy ).③重复②直到收点v t被标号或不再有点可标号时为止. 若v t得到标号, 说明存在一条可增广链, 转⑵调整过程; 若v t未得到标号, 标号过程已无法进行时, 说明f已经是最大流.⑵调整过程④决定调整量δ =δv t , 令u = v t.⑤若u点标号为( v +, δu ), 则以f vu + δ代替f vu ; 若u点标号为( v-, δu ), 则以f vu -δ代替f vu.⑥若v = v s, 则去掉所有标号转⑴重新标号; 否则令u = v, 转⑤.算法终止后, 令已有标号的点集为S, 则割集(S, S c )为最小割, 从而W f = C (S, S c ).例1求图6-19所示网络的最大流.图6-19利用Ford--Fulkerson标号法求最大流算法的MATLAB程序代码如下：n=8;C=[0 5 4 3 0 0 0 00 0 0 0 5 3 0 00 0 0 0 0 3 2 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 0 0]; %弧容量for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end%取初始可行流f为零流for(i=1:n)No(i)=0;d(i)=0;end%No,d记录标号while(1)No(1)=n+1;d(1)=Inf; %给发点vs标号while(1)pd=1; %标号过程for(i=1:n)if(No(i)) %选择一个已标号的点vifor(j=1:n)if(No(j)==0&f(i,j)<="">No(j)=i;d(j)=C(i,j)-f(i,j);pd=0;if(d(j)>d(i))d(j)=d(i);endelseif(No(j)==0&f(j,i)>0) %对于未给标号的点vj, 当vjvi为非零流弧时No(j)=-i;d(j)=f(j,i);pd=0;if(d(j)>d(i))d(j)=d(i);end;end;end;end;endif(No(n)|pd)break;end;end%若收点vt得到标号或者无法标号, 终止标号过程if(pd)break;end%vt未得到标号, f已是最大流, 算法终止dvt=d(n);t=n; %进入调整过程, dvt表示调整量while(1)if(No(t)>0)f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif(No(t)<0)f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt;end%后向弧调整if(No(t)==1)for(i=1:n)No(i)=0;d(i)=0; end;break;end%当t的标号为vs时, 终止调整过程t=No(t);end;end; %继续调整前一段弧上的流fwf=0;for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end%计算最大流量f %显示最大流wf %显示最大流量No %显示标号, 由此可得最小割, 程序结束设网络G = ( V , E , C ), 取初始可行流 f 为零流, 求解最小费用流问题的迭代步骤：① 构造有向赋权图 G f = ( V , E f , F ), 对于任意的v i v j ∈E , E f , F 的定义如下：当f ij = 0时, v i v j ∈E f , F ( v i v j ) = b ij ;当f ij = C ij 时, v j v i ∈E f , F ( v j v i ) = -b ij ;当0＜ f ij ＜C ij 时, v i v j ∈E f , F ( v i v j ) = b ij , v j v i ∈E f , F ( v j v i ) = -b ij .转向②.② 求出有向赋权图G f = (V , E f , F )中发点v s 到收点v t 的最短路μ , 若最短路μ存在转向③; 否则f 是所求的最小费用最大流, 停止.③ 增流. 同求最大流的方法一样, 重述如下：令.,,,-+∈∈-=μμδj i j i ij ij ij ij v v v v f f C δ = min {δ ij | v i v j ∈μ}, 重新定义流f = { f ij }为 f ij =,,,,-+∈∈-+μμδδj i j i ij ij ij v v v v f f f如果W f 大于或等于预定的流量值, 则适当减少δ 值, 使W f 等于预定的流量值, 那么 f 是所求的最小费用流, 停止; 否则转向①.求解含有负权的有向赋权图G = ( V , E , F )中某一点到其它各点最短路的Ford 算法. 当v i v j ∈E 时记w ij = F (v i v j ), 否则取w ii =0, w ij = +∞(i ≠j ). v 1到v i 的最短路长记为π ( i ), v 1到v i 的最短路中v i 的前一个点记为θ ( i ). Ford 算法的迭代步骤：① 赋初值π (1) = 0, π ( i ) = +∞, θ ( i ) = i , i = 2, 3, … , n .② 更新π ( i ), θ ( i ). 对于i = 2, 3, … , n 和j = 1, 2, … , n , 如果π ( i )＜π ( j ) + w ji , 则令π ( i ) = π ( j ) , θ ( i ) = j .③ 终止判断：若所有的π ( i )都无变化, 停止; 否则转向②.在算法的每一步中, π ( i )都是从v 1到v i 的最短路长度的上界. 若不存在负长回路, 则从v 1到v i 的最短路长度是π ( i )的下界, 经过n -1次迭代后π ( i )将保持不变. 若在第n 次迭代后π ( i )仍在变化时, 说明存在负长回路.其它.例2在图6-22所示运输网络上, 求s到t的最小费用最大流, 括号内为(C ij , b ij ).图6-22求最小费用最大流算法的MATLAB程序代码如下：n=5;C=[0 15 16 0 00 0 0 13 140 11 0 17 00 0 0 0 80 0 0 0 0]; %弧容量b=[0 4 1 0 00 0 0 6 10 2 0 3 00 0 0 0 20 0 0 0 0]; %弧上单位流量的费用wf=0;wf0=Inf; %wf表示最大流量, wf0表示预定的流量值for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end%取初始可行流f为零流while(1)for(i=1:n)for(j=1:n)if(j~=i)a(i,j)=Inf;end;end;end%构造有向赋权图for(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j);elseif(C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)=-b(i,j);elseif(C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;endfor(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford算法求最短路, 赋初值for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs到vt的最短路for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd =0;end;end;endif(pd)break;end;end %求最短路的Ford算法结束if(p(n)==Inf)break;end %不存在vs到vt的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含负权回路, 所以不会出现k=ndvt=Inf;t=n; %进入调整过程, dvt表示调整量while(1) %计算调整量if(a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量elseif(a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t));end %后向弧调整量if(dvt>dvtt)dvt=dvtt;endif(s(t)==1)break;end %当t的标号为vs时, 终止计算调整量t=s(t);end %继续调整前一段弧上的流fpd=0;if(wf+dvt>=wf0)dvt=wf0-wf;pd=1;end %如果最大流量大于或等于预定的流量值t=n;while(1) %调整过程if(a(s(t),t)>0)f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif(a(s(t),t)<0)f(t,s(t))=f(t,s(t))-dvt;end %后向弧调整if(s(t)==1)break;end %当t的标号为vs时, 终止调整过程t=s(t);endif(pd)break;end %如果最大流量达到预定的流量值wf=0; for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end;end %计算最大流量zwf=0;for(i=1:n)for(j=1:n)zwf=zwf+b(i,j)*f(i,j);end;end %计算最小费用f %显示最小费用最大流wf %显示最小费用最大流量zwf %显示最小费用, 程序结束。

图论在matlab中的实现

用 index2×n 存放各边端点的信息，当选中某一边之后，就将此边对应的顶点序号中较大序号改记为此边的另一序号，同时把后面边中所有序号为的改记为。此方法的几何意义是：将序号的这个顶点收缩到顶点，顶点不复存在。后面继续寻查时，发现某边的两个顶点序号相同时，认为已被收缩掉，失去了被选取的资格。
while length(result)<loop temp=min(data(3,:)); flag=find(data(3,:)==temp); flag=flag(1); v1=data(1,flag);v2=data(2,flag); if index(1,flag)~=index(2,flag) result=[result,data(:,flag)]; end if v1>v2 index(find(index==v1))=v2; else index(find(index==v2))=v1; end data(:,flag)=[]; index(:,flag)=[]; end result
Kruskal算法如下 Kruskal算法如下： clc;clear; M=1000; a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40; a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70; [i,j]=find((a~=0)&(a~=M)); b=a(find((a~=0)&(a~=M))); data=[i';j';b'];index=data(1:2,:); loop=max(size(a))loop=max(size(a))-1; result=[];