全等三角形拓展题---尖子生专用
专题1.5全等三角形-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【浙教版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.5全等三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•邗江区期末）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）A．30°B．35°C．40°D．50°【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．【解析】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故选：C．2．（2019秋•富阳区期末）已知△ABC≌△A1B1C1，A和A1对应，B和B1对应，∠A＝70°，∠B1＝50°，则∠C的度数为（ ）A．70°B．50°C．120°D．60°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解析】∵△ABC≌△A1B1C1，A和A1对应，B和B1对应，∠A＝70°，∠B1＝50°，∴∠B＝∠B1＝50°，则∠C的度数为：180°﹣50°﹣70°＝60°．故选：D．3．（2019秋•海曙区期末）如图，△ABC≌△AEF且点F在BC上，若AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论错误的是（ ）A．AC＝AF B．∠AFE＝∠BFE C．EF＝BC D．∠EAB＝∠FAC【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故A，C正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB，故D正确；∠AFE＝∠C，故B错误；故选：B．4．（2019秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）A．70°B．68°C．65°D．60°【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．【解析】∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE中，∠B=180°40°2=70°，∴∠AED＝70°，故选：A．5．（2020春•天桥区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）A．45°B．60°C．90°D．100°【分析】首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．【解析】∵在△ABC和△AED中AC=AD ∠A=∠A AB=AE，∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠1＝∠AED，∵∠AED+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：C．6．（2020秋•淮安区期末）如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF 的长是（ ）A．2B．3C．5D．7【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案．【解析】∵△ABC≌△DEF，BC＝7，∴EF＝BC＝7，∴CF＝EF﹣EC＝3，故选：B．7．（2020秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】利用全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，再利用三角形内角和可得∠BAC的度数，然后可得答案．【解析】∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠EAC＝∠BAD＝70°﹣35°＝35°，故选：B．8．（2020秋•南关区校级期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．【解析】∵两个三角形全等，∴∠α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：C．9．（2020秋•恩施市期末）下列说法正确的是（ ）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解析】A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．10．（2019秋•黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（ ）A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CFC．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，再利用平行线的判定定理得出答案．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，∴AB∥DE，AC∥DF，无法得出BE＝EC＝CF故选项D正确．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•台州期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠E＝60°，则∠C＝ 70° ．【分析】利用全等三角形的性质可得∠B＝∠E＝60°，再利用三角形内角和定理计算即可．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝60°，∵∠A＝50°，∴∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故答案为：70°．12．（2020秋•苍南县期中）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝ 75 °．【分析】利用全等三角形的性质可得∠C＝∠B＝22°，再利用三角形内角与外角的关系可得答案．【解析】∵△ABD≌△ACE，∴∠C＝∠B＝22°，∵∠A＝53°，∴∠BEC＝∠A+∠C＝22°+53°＝75°，故答案为：75．13．（2019秋•温岭市期末）如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ 68 °．【分析】根据全等三角形的性质求解．【解析】∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝68°．故答案为68．14．（2019秋•柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝ 5 ．【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，由题意得，AB+BC+AC＝12，∴AB＝12﹣3﹣4＝5，故答案为：5．15．如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与 （6） ；（2）与 （5）（3） ．【分析】利用全等图形的概念可得答案．【解析】（1）与（6）是全等图形，（2）与（5）（3）是全等图形，故答案为：（6），（5）（3）．16．（2019春•秦都区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，点E在BC上，若∠C＝76°，则∠DEB＝ 28° ．【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，进而解答即可．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠AED＝76°，AE＝AC，∴∠AEC＝∠C＝76°，∴∠DEB＝180°﹣∠AED﹣∠AEC＝180°﹣76°﹣76°＝28°，故答案为：28°．17．（2020秋•澄海区期末）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ 1 ．【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．【解析】∵两个三角形全等，∴x＝6，y＝5，∴x﹣y＝6﹣5＝1，故答案为：1．18．（2020秋•江宁区校级月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 95° ．【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．【解析】∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；（2）根据全等三角形的对应边相等计算．【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．20．（2020秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC ＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC=12（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．21．（2017春•黄岛区期末）如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．【分析】直接利用全等图形的定义进而分析得出答案．【解析】如图所示：．22．图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角，可得对应顶点，对应边与对应角，进而可得a，b，c，d，e，α，β各字母所表示的值．【解析】对应顶点：A和G，E和F，C和I，对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；∵两个五边形全等，∴a＝12，c＝8，b＝10，d＝5，e＝11，α＝90°，β＝115°．23．（2020春•历下区期中）如图，线段AD、BE相交于点C，且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点．求证：（1）ME＝BN； （2）ME∥BN．【分析】（1）连接BM、EN，根据全等三角形的性质、平行四边形的判定得到四边形MBNE是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；（2）根据平行四边形的性质证明即可．【解答】证明：（1）如图，连接BM、EN，∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，BC＝EC，∵点M、N分别为线段AC、CD的中点，∴CM＝CN，∴四边形MBNE是平行四边形，∴ME＝BN；（2）∵四边形MBNE是平行四边形，∴ME∥BN．24．如图，已知△ABD≌△ACE，点E在线段BD上．（1）判断△ADE的形状，并说明你的理由；（2）若∠CAB＝50°，∠AEC＝65°，求∠AED的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AD＝AE，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）根据等腰三角形的性质得出∠D＝∠AED，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠AEC，求出∠AED＝。
《全等三角形》拓展50题(含解析)
第一种情况：当∠B 是直角时，如图 1，△ABC 和△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF，∠B
＝∠E＝90°，根据“HL”定理，可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B 是锐角时，如图 2，BC＝EF，∠B＝∠E＜90°，在射线 EM 上有点
28．如图，△ABC 和△EBD 中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接 AE，CD，
AE 与 CD 交于点 M，AE 与 BC 交于点 N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接 BM，有以下两个结论：①BM 平分∠CBE；②MB 平分∠AMD．其中正确的
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判
定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”
的情形进行研究
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．
小聪的探究方法是对∠B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
．（填写序号）
13．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且 BD＝BC，E 为 BD 延长线上的一点，BE＝
BA，过 E 作 EF⊥AB，F 为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；
③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是
（填序号）
14．如图，两个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O 是正方形 ABCD 的中心，则阴影部分
P、Q（点 Q 是不同于点 F 的点），若以 O、P、Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，则符
合条件的点 P 的坐标为
2021中考数学 尖子生专项复习：全等三角形(含答案)
2021中考数学尖子生专项复习：全等三角形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知AB=AE，AC=AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是()A.∠B=∠EB.∠BAD=∠EACC.∠BAC=∠EADD.BC=ED2. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.23. 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店()A.①B.②C.③D.④4. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD5. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A ．HLB ．ASAC ．SSSD ．SAS6. (2019•临沂)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．27. 如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD.若CE＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c8. 图中的小正方形的边长都相等，若△MNP ≌△MEQ ，则点Q 可能是图中的( )A .点AB .点BC .点CD .点D9. 如图，△ACB ≌△A'CB'，∠ACA'=30°，则∠BCB'的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.40°10. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：______________，使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.13. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．14. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．15. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．17. 要测量河岸相对两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF 上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是________米．18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．三、解答题（本大题共5道小题）19. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°.(1)求∠B的度数;(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.20. (2019•苏州)如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ． (1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．21. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下．如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC 、BD 相交于O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝20米，请根据上述信息求标语CD 的长度．22. 在四边形ABCD 中，AB ＝AD .(1)如图①，若∠B ＝∠D ＝90°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD .请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：____________．(2)如图②，若∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)如图③，若∠B ＋∠ADC ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，请直接写出EF ，BE ，FD 三者的数量关系．23. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD ＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．2021中考数学尖子生专项复习：全等三角形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析]∵AB=AE，AC=AD，∴当∠BAD=∠EAC或∠BAC=∠EAD 时，依据SAS即可得到△ABC≌△AED;当BC=ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED;当∠B=∠E时，不能判定△ABC≌△AED.2. 【答案】B[解析]∵CF∥AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF=3.∵AB=4，∴DB=AB -AD=4-3=1，故选B .3. 【答案】D[解析] 第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块玻璃碎片不能配一块与原来完全一样的玻璃;第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块玻璃碎片中的任一块均不能配一块与原来完全一样的玻璃;第④块玻璃碎片不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一条完整的边，则可以根据“ASA”来配一块完全一样的玻璃.最省事的方法是带④去.4. 【答案】C[解析] A .添加BC=FD ，AC=ED ，可利用“SAS”判定△ABC ≌△EFD ;B .添加∠A=∠DEF ，AC=ED ，可利用“ASA”判定△ABC ≌△EFD ; C .添加AC=ED ，AB=EF ，不能判定△ABC ≌△EFD ;D .添加∠A=∠DEF ，BC=FD ，可利用“AAS”判定△ABC ≌△EFD.5. 【答案】A6. 【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ．7. 【答案】D[解析] ∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠AFB ＝90°，∠A ＝∠C.又∵AB ＝CD ，∴△CED ≌△AFB.∴AF ＝CE ＝a ，DE ＝BF ＝b ，DF ＝DE －EF ＝b －c.∴AD ＝AF ＋DF ＝a ＋b －c.故选D.8. 【答案】D9. 【答案】B[解析] 由△ACB ≌△A'CB'，得∠ACB=∠A'CB'.由等式的基本性质，得∠ACB-∠A'CB=∠A'CB'-∠A'CB.所以∠BCB'=∠ACA'=30°.10. 【答案】B[解析] 如图，过点F 分别作FZ ⊥AE 于点Z ，FY ⊥CB 于点Y ，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】答案不唯一，如AB＝CD[解析] 由已知AB∥CD可以得到一对角相等，还有BD＝DB，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．12. 【答案】AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．13. 【答案】2.5[解析] 设点O到AB，BC，AC的距离均为h，∴S△ABC＝12×8·h＝10，解得h＝2.5，即点O到AB的距离为2.5.14. 【答案】②[解析] ∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB，∴若添加①∠A＝∠D，则可由“AAS”判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于“SSA”，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则可由“SAS”判定△ABC≌△DCB.15. 【答案】答案不唯一，如AB＝DE[解析] ∵BF＝CE，∴BC＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS)．16. 【答案】(4，0)或(4，4)或(0，4)17. 【答案】2018. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD ＝DE.易证Rt △ACD ≌Rt △AED ，则AC ＝AE ，DE ＋DB ＝CD ＋DB ＝BC ＝AC ＝AE ，故DE ＋DB ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB.三、解答题（本大题共5道小题）19. 【答案】解:(1)∵△ABD ≌△ACD ，∴∠B=∠C. 又∵∠BAC=90°，∴∠B=45°. (2)AD ⊥BC.理由:∵△ABD ≌△ACD ，∴∠BDA=∠CDA. ∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠BDA=∠CDA=90°，即AD ⊥BC.20. 【答案】(1)∵CAF BAE ∠=∠， ∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．(2)∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒，∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．21. 【答案】解：∵AB ∥CD ，OD ⊥CD ， ∴OB ⊥AB ，∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OB ＝OD.(3分)在△ABO 与△CDO 中，⎩⎨⎧∠ABO ＝∠CDOOB ＝OD∠AOB ＝∠COD， ∴△ABO ≌△CDO(ASA )，(6分) ∴CD ＝AB ＝20(米)．(7分)22. 【答案】解：(1)EF ＝BE ＋FD(2)(1)中的结论EF ＝BE ＋FD 仍然成立．证明：如图，延长EB 到点G ，使BG ＝DF ，连接AG .∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABG ＋∠ABC ＝180°，∴∠ABG ＝∠D.在△ABG 与△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABG ＝∠D ，BG ＝DF ，∴△ABG ≌△ADF(SAS)． ∴AG ＝AF ，∠1＝∠2.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD －∠EAF. 又∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠1＋∠3＝12∠BAD ＝∠EAF ， 即∠EAG ＝∠EAF.在△AEG 和△AEF 中，⎩⎨⎧AG ＝AF ，∠EAG ＝∠EAF ，AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF.∴EG ＝EF.∵EG ＝BE ＋BG ，∴EF ＝BE ＋FD.(3)EF ＝BE －FD.23. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ，∴BP EK ＝GB GE ， ∴BP ＝261315.。
全等三角形综合拓展提升题
一、一般全等证明题1.如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：AB=AD．2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF. 给出下列四个结论:①DE=DF; ②DB=DC; ③AD⊥BC; ④AC=3BF. 其中正确的结论共有( )A.4个B.3个C.2个D.1个二、等腰三角形1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．（1）求∠BAE和∠DAE的度数；（2）若∠B-∠C-=400，求∠DAE的度数．2.在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°、∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．（1）当PN∥BC时，∠ACP=______度；（2）当α=15°时，求∠ADN的度数；（3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出夹角α的大小．3.如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．（1）如图1，∠B=______；∠C=______．（2）如图2，M为线段BC上一动点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC于点N，E，①求证：△ANE是等腰三角形②请写出BN、CE、CD之间的数量关系，并证明；三、等腰直角三角形+全等三角形1.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．求证：DF=DE；2.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F；过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
全等三角形的提高拓展训练(学生版)1he全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关DOECBAD系?【变式拓展训练】 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D E B M A F E D C B A DO ED C B A【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =， 求BDC ∠.【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.DCB A N M D CB AC EDBADA NM C【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DEADBCM CA B A CDF2 1 E∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BECDB A5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形的提高拓展训练典范题型50题(含答案解析)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑵角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，A 60 , BD、CE分别平分ABC和.ACB ,BD、CE交于点0,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.N【例2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边AB 所在直线上的任意一点 （点B 除外），作DMN 60，射线MN 与/ DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与MN 有怎样的 数量关系？ 【例4】以 ABC 的AB 、AC 为边向三角形外作等边【变式拓展训练】如图，MN DM 且与Z ABC 外角的平分线交 【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，/ FAD = /FAE 求证: B C于点0 .求证：OA 平分 DOE •【例 6】 五边形 ABCDE 中，AB = AE ,BC + DE = CD ，/ABC + ZAED = 180求证：AD 平分Z CDE 【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示， ABC 是边长为1的正三角形， BDC 是 顶角为120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60的AB 、AC 上，求 AMN 的周长.MDN ,板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC 中, 求 ABC 的度数.【例8】在等腰 ABC 中，AB AC ，顶角 A 20，在边AB 上取点D ，使AD BC ，求 BDC .【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题 ）如图所示，在 ABC 中，AC BC ， 又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足 BAN 50， ABM 60，求 NMB • 例 10】在四边形 ABCDBAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ,C A中，已知AB AC，ABD 60 ，ADB 76 ，BDC 28 ，求DBC 的度数.【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中，DAC 12 , CAB 36 ，ABD 48 ，DBC 24 ，求ACD 的度数.【例12】（河南省数学竞赛试题）在正ABC内取一点D，使DA DB，在ABC 外取一点E，使DBE DBC，且BE BA，求BED.【例13】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在ABC中，BAC BCA 44 , M为ABC 内一点，使得MCA 30 , MAC 16，求BMC的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADA延长AD到E使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数则AD=52. 已知：/ 1= Z2 , CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC 证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G贝U/DEG= Z DCA，/DGE= Z2又VCD=DE•••zADC BzGDE (AAS )•••EG=ACTEF//AB•••ZDFE= Z1•/Z1= Z2•••ZDFE= ZDGE•••EF=EG•••EF=AC3. 已知：AD 平分/ BAC, AC=AB+BD ，求证：/ B=2 ZCA证明：在AC上截取AE=AB，连接EDVAD 平分Z BAC•••ZEAD= /BAD又V AE=AB , AD=AD• zAED Bz ABD ( SAS)•••ZAED= ZB，DE=DB•/AC=AB+BDAC=AE+CE•••CE=DE•••ZC= /EDCV Z AED= ZC+ Z EDC=2 ZC•••ZB=2 Z C4. 已知：AC 平分Z BAD , CE丄AB ,Z B+ /D=180 °，求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F，使EF= EB,连接CF因为CE丄AB所以/CEB =/CEF = 90因为 EB = EF , CE = CE ,所以△ CEB ^z CEF所以/B =Z CFE因为/B +/D = 180 ° ,z CFE +/CFA = 180所以/D = /CFA因为AC 平分/BAD所以 /DAC =/FAC又因为AC = AC所以△ADC ^ZAFC (SAS )5. 如图，四边形 ABCD 中，AB //DC , BE 、CE 分别平分/ ABC 、/BCD ，且点E 在AD 上。
八年级数学上尖子生全等三角形及轴对称提优试题及详细解析
精心整理八年级数学上尖子生全等三角形及轴对称提优试题及详尽分析一．选择题（共 1 小题）1．如图， Rt△ACB中，∠ ACB=90°，△ ABC的角均分线 AD、 BE订交于点 P，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延伸线于点 F，交 AC 于点 H，则以下结论：①∠ APB=135°；② BF=BA；③ PH=PD；④连结 CP，CP均分∠ ACB，此中正确的选项是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．解答题（共8 小题）2．如图（ 1），点 O 是等边△ ABC内一点，将△ AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，连结OD．（1）求证：△ DOA是等边三角形；（2）如图（ 2），当∠ AOB=150°时，判断△ COD的形状，并说明原因；（3）如图（ 3），当∠ AOB=110°时，研究：当∠ COB为多少度时，△ COD是等腰三角形．3．以下图，∠ BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点 O 是 AD，BC的交点，点 E 是 AB 的中点．（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断 OE和 AB 的地点关系，并赐予证明．4．在△ ABC中， AB=AC，点 D 是直线 BC上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右边作△ADE，使 AD=AE，∠ DAE=∠BAC，连结 CE．（1）如图 1，当点 D 在线段 BC上时，假如∠ BAC=90°，则∠ BCE=°．（2）设∠ BAC=α，∠ BCE=β．①如图 2，当点 D 在线段 BC上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请说明原因．②当点 D 在直线 BC 上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．5．如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC， AD⊥BC，垂足是 D， AE 均分∠ BAD，交 BC 于点 E．在△ABC外有一点 F，使 FA⊥ AE，FC⊥BC．（1）求证： BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M ，使 BM=2DE，连结 MC，交 AD 于点 N，连结 ME．求证： ME⊥BC．6．如图，在四边形 ABCD中， AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速挪动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 C→B→C作匀速挪动，点 G 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速挪动，三个点同时出发，当有一个点抵达终点时，其他两点也随之停止运（1）试证明： AD∥ BC．（2）在挪动过程中，小明发现当点 G 的运动速度取某个值时，有△ DEG与△ BFG全等的状况出现，请你研究当点 G 的运动速度取哪些值时，△DEG与△ BFG全等．7．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，∠ PCQ=45°，把∠ PCQ绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 AD⊥CP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E．（1）如图①，当∠ PCQ在∠ ACB内部时，求证： AD+BE=DE；（2）如图②，当 CQ在∠ ACB外面时，求证： AD﹣BE=DE；（3）在（ 1）的条件下，若 CD=18，S△BCE=2S△ACD，求 AE的长．（直接写结果）8．已知△ ABC，分别以 AB、 AC 为边作△ ABD 和△ ACE，且 AD=AB，AC=AE，∠ DAB=∠ CAE，连结DC 与 BE，G、F 分别是 DC与 BE 的中点（1）如图 1，DG BF（用＞、＜或 =填空）（2）如图 2，连结 AG，判断△ AFG的形状，并说明原因；（3）如图 3，若∠ DAB=100°，则∠ AFG=；（4）在图 3 中，若∠ DAB=α，∠ AFG=β，直接写出α与β的关系．9．△ ABC中，射线 AD 均分∠ BAC， AD 交边 BC于 E 点．（1）如图 1，若 AB=AC，∠ BAC=90°，则；（2）如图 2，若 AB≠AC，则（ 1）中的结论能否仍建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因；（3）如图 3，若 AB＞ AC，∠ BAC=∠BDC=90°，∠ ABD 为锐角， DH⊥AB 于 H，则线段 AB、 AC、BH 之间的数目关系是，并证明．2018 年 10 月 03 日陆枳彤的初中数学组卷参照答案与试题分析一．选择题（共 1 小题）1．如图， Rt△ACB中，∠ ACB=90°，△ ABC的角均分线 AD、 BE订交于点 P，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延伸线于点 F，交 AC 于点 H，则以下结论：①∠ APB=135°；② BF=BA；③ PH=PD；④连结 CP，CP均分∠ ACB，此中正确的选项是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：在△ ABC中，∵∠ ACB=90°，∴∠ BAC+∠ABC=90°，∴∠ BAD+∠ABE= （∠ BAC+∠ABC）=45°，∴∠ APB=135°，故①正确．∴∠ BPD=45°，又∵ PF⊥AD，∴∠ FPB=90°+45°=135°，∴∠ APB=∠FPB，又∵∠ ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ ABP≌△ FBP，∴∠ BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△ APH和△ FPD中，∵∠ APH=∠FPD=90°，∠ PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△ APH≌△ FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ ABC的角均分线 AD、BE订交于点 P，∴点 P 到 AB、AC 的距离相等，点P 到 AB、BC的距离相等，∴点 P 到 BC、AC的距离相等，∴点 P 在∠ ACB的均分线上，∴CP均分∠ ACB，故④正确．应选： D．二．解答题（共8 小题）2．如图（ 1），点 O 是等边△ ABC内一点，将△ AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，连结OD．（1）求证：△ DOA是等边三角形；（2）如图（ 2），当∠ AOB=150°时，判断△ COD的形状，并说明原因；（3）如图（ 3），当∠ AOB=110°时，研究：当∠ COB为多少度时，△ COD是等腰三角形．【解答】（1）证明：∵△ AOB绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，∴AO=AD，∠ OAD=60°，∴△ DOA为等边三角形；（2）解：△ COD为直角三角形．原因以下：∵△ AOB绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，∴∠ ADC=∠AOB=150°，∵△ DOA为等边三角形，∴∠ ADO=60°，∴∠ ODC=∠ADC﹣∠ ADO=150°﹣ 60°=90°，∴△ COD为直角三角形；（3）解：∵△ DOA为等边三角形，∴∠ AOD=60°，∵∠ ADC=∠AOB=110°，∠ ADO=60°，∴∠ ODC=∠ADC﹣∠ ADO=110°﹣ 60°=50°，当 OD=OC 时，∠ OCD=∠ODC=50°，则∠ DOC=180°﹣50°﹣ 50°=80°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠AOD﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣ 60°﹣ 80°=110°；当 CO=CD时，∠ DOC=∠OCD=50°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠ AOD﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣ 60°﹣50°=140°；当 DO=DC时，∠ DOC=∠DCO，则∠ DOC= （180°﹣ 50°）=65°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠ AOD ﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣60°﹣65°=125°；综上所述，当∠ COB为 110°或 125°或 140°时，△ COD是等腰三角形．3．以下图，∠ BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点 O 是 AD，BC的交点，点 E 是 AB 的中点．（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断 OE和 AB 的地点关系，并赐予证明．【解答】解：（ 1）△ ABC≌△ BAD，△ AOE≌△ BOE，△ AOC≌△ BOD；（2）OE⊥AB．原因以下：在 Rt△ABC和 Rt△ BAD中，，∴△ ABC≌△ BAD（SAS），∴∠ DAB=∠CBA，∴OA=OB，∵点 E 是 AB 的中点，∴OE⊥AB．4．在△ ABC中， AB=AC，点 D 是直线 BC上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右边作△ADE，使 AD=AE，∠ DAE=∠BAC，连结 CE．（1）如图 1，当点 D 在线段 BC上时，假如∠ BAC=90°，则∠ BCE= 90° °．（2）设∠ BAC=α，∠ BCE=β．①如图 2，当点 D 在线段 BC上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请说明原因．②当点 D 在直线 BC 上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【解答】解：（ 1）∵∠ DAE=∠BAC，∠ BAC=∠BAD+∠ DAC=∠ EAC+∠ DAC；∴∠ CAE=∠ BAD；在△ ABD和△ ACE中，∴△ ABD≌△ ACE（SAS）；∴∠ B=∠ACE；∴∠ BCE=∠ BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°﹣∠BAC=90°；故答案为 90°；（2）①由（ 1）中可知β=180﹣°α，∴α、β存在的数目关系为α+β=180°；②当点 D 在射线 BC上时，如图 1，同（ 1）的方法即可得出，△ ABD≌△ ACE（ SAS）；∴∠ ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°﹣∠ BAC=180°﹣α，∴α+β=180；°当点 D 在射线 BC的反向延伸线上时，如图 2，同（ 1）的方法即可得出，△ ABD≌△ ACE（ SAS）；∴∠ ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACE﹣∠ ACB=∠ABD﹣∠ ACB=∠BAC=α，∴α=β．5．如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC， AD⊥BC，垂足是 D， AE 均分∠ BAD，交 BC 于点E．在△ABC外有一点 F，使 FA⊥ AE，FC⊥BC．（1）求证： BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M ，使 BM=2DE，连结 MC，交 AD 于点 N，连结 ME．求证：ME⊥BC．【解答】证明：（1）∵∠ BAC=90°，AF⊥AE，∴∠ 1+∠EAC=90°∠2+∠ EAC=90°∴∠ 1=∠2，又∵ AB=AC，∴∠ B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠ FCA=90°﹣∠ ACB=90°﹣ 45°=45°，∴∠ B=∠FCA，在△ ABE和△ ACF中，，∴△ ABE≌△ ACF（ ASA），∴BE=CF；（2）如图，过点 E 作 EH⊥ AB 于 H，则△ BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠ BEH=45°，∵AE 均分∠ BAD， AD⊥ BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△ HEM 是等腰直角三角形，∴∠ MEH=45°，∴∠ BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥ BC．6．如图，在四边形 ABCD中， AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速挪动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 C→B→C作匀速挪动，点 G 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速挪动，三个点同时出发，当有一个点抵达终点时，其他两点也随之停止运动．（1）试证明： AD∥ BC．（2）在挪动过程中，小明发现当点 G 的运动速度取某个值时，有△ DEG与△ BFG全等的状况出现，请你研究当点 G 的运动速度取哪些值时，△ DEG与△ BFG全等．【解答】（1）证明：在△ ABD和△ CDB中，∴△ ABD≌△ CDB，∴∠ ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设运动时间为t ，点 G 的运动速度为 v，当 0＜ t≤时，若△ DEG≌△ BFG，则，∴，∴，∴v=3；若△ DEG≌△ BGF，则，∴，∴（舍去）；当＜t≤时，若△ DEG≌△ BFG，则，∴，∴，∴v= ；若△ DEG≌△ BGF，则，∴，∴，∴v=1．综上，点 G 的速度为 3 或或1．7．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，∠ PCQ=45°，把∠ PCQ绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 AD⊥CP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E．（1）如图①，当∠ PCQ在∠ ACB内部时，求证： AD+BE=DE；（2）如图②，当 CQ在∠ ACB外面时，求证： AD﹣BE=DE；（3）在（ 1）的条件下，若 CD=18，S△BCE=2S△ACD，求 AE的长．（直接写结果）【解答】解：（ 1）如图①，延伸DA 到 F，使 DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ACD+∠ACF=∠DCF=45°，又∵∠ ACB=90°，∠ PCQ=45°，∴∠ ACD+∠BCE=90°﹣ 45°=45°，∴∠ ACF=∠ BCE，在△ ACF和△ BCE中，∵，∴△ ACF≌△ BCE（ SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即 AD+BE=DE；（2）如图②，在 AD 上截取 DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ECF=∠ DCE+∠ DCF=90°，∴∠ BCE+∠ BCF=∠ ECF=90°，又∵∠ ACB=90°，∴∠ ACF+∠ BCF=90°，∴∠ ACF=∠ BCE，∵在△ ACF和△ BCE中，，∴△ ACF≌△ BCE（ SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即 AD﹣ BE=DE；（3）∵∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ECF=45°+45°=90°，∴△ ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=18，∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=×18=6，∴AE=AD+DE=6+18=24．8．已知△ ABC，分别以 AB、 AC 为边作△ ABD 和△ ACE，且 AD=AB，AC=AE，∠ DAB=∠CAE，连结 DC 与 BE，G、F 分别是 DC与 BE 的中点（1）如图 1，DG =BF（用＞、＜或 =填空）（2）如图 2，连结 AG，判断△ AFG的形状，并说明原因；（3）如图 3，若∠ DAB=100°，则∠ AFG= 40°；（4）在图 3 中，若∠ DAB=α，∠ AFG=β，直接写出α与β的关系．【解答】解：（ 1）∵∠ DAB=∠CAE，∴∠ DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠ DAC=∠BAE．在△ ADC和△ ABE，∴△ ADC≌△ ABE（SAS），∴DC=BE，∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= CD， BF= BE，∴DG=BF；故答案为： =；（2）如图 2，连结 AG，∵△ ADC≌△ ABE，∴CD=BE，∠ ADC=∠ ABE，∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= CD， BF= BE，∴DG=BF，在△ ADG与△ ABF中，，∴△ ADG≌△ ABF，∴AG=AF，∴△ AFG是等腰三角形；（3）如图 3，连结 AG．∵△ ADC≌△ ABE，∴∠ ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= DC， BF= BE，∴DG=BF．在△ ADG和△ ABF中，∴△ ADG≌△ ABF（SAS），∴AG=AF，∠ DAG=∠BAF，∴∠ AGF=∠AFG，∠ DAG﹣∠ BAG=∠BAF﹣∠ BAG，∴∠ DAB=∠GAF．∵∠ DAB=100°，∴∠ GAF=100°．∵∠ GAF+∠AFG+∠AGF=180°，精心整理故答案为： 40°；（4）∵∠ DAB=a，∴∠ GAF=a．∵∠ GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴a+2β=180．°9．△ ABC中，射线 AD 均分∠ BAC， AD 交边 BC于 E 点．（1）如图 1，若 AB=AC，∠ BAC=90°，则=；（2）如图 2，若 AB≠AC，则（ 1）中的结论能否仍建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因；（3）如图 3，若 AB＞ AC，∠ BAC=∠BDC=90°，∠ ABD 为锐角， DH⊥AB 于 H，则线段 AB、 AC、BH 之间的数目关系是AB﹣ AC=2BH．，并证明．【解答】解：（ 1）∵ AB=AC， AD 均分∠ BAC，∴BE=CE．∴．∵AB=AC，∴，∴= ．故答案为： =；（2）建立，证明：作 EH⊥AB 于 H，EQ⊥AC 于 Q， AN⊥BC 于 N，则 EH=EQ，设 AB=c，AC=b，BE=m，EC=n，EH=h1， AN=h2，∵S△ABE： S△ AEC= h1c÷ h1b=c：b，S△ ABE：S△AEC= h2m÷h2n=m：n，∴c：b=m：n，即 = ；（3）AB﹣AC=2BH．原因：作 DQ⊥ AC交 AC 的延伸线于 Q，∴∠ Q=90°∵DH⊥AB，AD 均分∠ BAC，精心整理∴DH=DQ，∠ AHD=90°，∠ HAD=∠ CAD．∴∠ AHD=∠Q．在△ AHD 和△ AQD 中，，∴△ AHD≌△ AQD（AAS），∴AH=AQ．∵∠ BAC=90°，∠ AHD=∠Q=90°，∴四边形 AHDQ是矩形，∴∠ HDQ=90°．∵∠ BDC=90°，∴∠ HDQ=∠BDC，∴∠ HDQ﹣∠ HDC=∠BDC=∠HDC，∴∠ CDQ=∠BDH．在△ DHB和△ DQC中∴△ DHB≌△ DQC（AAS），∴BH=CQ，∵AB﹣BH=AH，∴AB﹣BH=AQ，∴AB﹣BH=AC+CQ，∴AB﹣AC=2BH．故答案为： AB﹣AC=2BH．。
全等三角形的提高拓展训练经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AND【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D EB M A F E DCBA O ED CBA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =， 求BDC ∠.DCB A NM D CB AC EDBADCBA NMC【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBDADBCM CA B即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，CDB ABA CDF2 1 E所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形拓展题---尖子生专用
全等三角形综合应用知识点：1、全等三角形的判定方法：2、角平分线的性质与判定：例题讲解2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF(1) ①如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数②试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由(2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系解：(1) ①∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α∵AB＝AC，AD是△ABC的中线∴设∠BAD＝∠CAD＝β又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60°∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60°∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60°②过点C作CH⊥BE于H∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60°∴∠BAD＝∠HEC可证：△ABD≌△EHC（AAS）∴HE＝AD易证：△CFH≌△CFD（AAS）∴FH＝DF∴EF－FH＝AF－DF即EF－AF＝2DF(3) 作图、证明的过程一样AF－EF＝2DF2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN(1) 求证：AM＝BN(2) 作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长证明：(1) △ACM ≌△BCN （SAS ）(2) 由(1)知：△ACM ≌△BCN∴∠CBN ＝∠MAC ＝60°∴∠MBN ＝60°＋60°＝120过点M 作MD ∥BC 交AC 于D∴△AMD 为等边三角形∴AM ＝AD ＝BN ，∠ADM ＝60°∴BM ＝CD ，∠MDC ＝120°在△BMN 和△DCM 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DMBN CDM MBN DCBM∴△BMN ≌△DCM （SAS ）∴∠BMN ＝∠DCM∵AH ∥MN∴∠BMN ＝∠BAH ＝∠DCM在△BAH 和△ACM 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠A C M BAH CA AB CAM ABH ∴△BAH ≌△ACM （ASA ）∴BH ＝AM ＝1∴BM ＝HC∵MH ⊥BC ，∠MBH ＝60°∴BM ＝2BH ＝2∴CH ＝22016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向外作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F(1) 若AF ＝10，DF ＝3，试求EF 的长(2) 若以AB 为边向内作等边△ABE ，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．解：(1) 设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β在△ACE 中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60°连接BF∴∠BFD＝∠CFD＝60°∴BF＝CF＝2DF＝6在EC上截取EG＝CF，连接AG∴△AEG≌△ACF（SAS）∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF∴∠GAF＝60°∴△AFG为等边三角形∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16(2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β∴∠CAE＝180°－2β∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60°∴∠BAD＝∠BEF在AF上截取AG＝EF，连接BG可知：△ABG≌△EBF（SAS）∴AG＝EF，BG＝BF∴△BFG为等边三角形∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC(1) 如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）(2) 如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明(3) 在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（）A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A、SSSB、SASC、AASD、ASA（3）如图2，AD平分∠BAC，BF⊥AD于D，交AC于F，DE∥AC，∠BAD=30°，则∠BDE=______例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。
全等三角形的提高拓展训练(学生版)1he全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，A 60°, BD、CE分别平分ABC和.ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.N【例2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作DMN 60，射线MN 与/ DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与MN 有怎样的 数量关系？【变式拓展训练】如图，点 M 为正方形 ABCD 的边AB 上任意一点, 于点N , MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图， ABCD 是正方形，/ FAD= / FAE.求证：BE+DF=AE.【例4】 以 ABC 的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD 、 ACE ，连结CD 、BE 相交于点0 .求证：OA 平分 DOE .EMN DM 且与Z ABC外角的平分线交【例 6】 五边形 ABCDE 中, AB=AE , BC+DE=CD ,/ ABC+ / AED=180° 求证：AD 平分/CDEBAECD板块二、全等与角度【例7】如图，在 ABC 中, 求 ABC 的度数.【例5】（北京市、 是顶角为 在AB 、天津市数学竞赛试题 ）如图所示， ABC 是边长为1的正三角形， BDC 120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60的 AC 上，求 AMN 的周长. MDN ，点M 、N 分别 i I'【例8】在等腰 ABC 中，AB AC ,顶角 求BDC .20，在边 AB 上取点D ，使 ADB BC ，BAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ,【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示，在ABC中，AC BC , C 20 又M在AC 上，N在BC上，且满足BAN 50 , ABM 60，求NMB •例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC，求DBC 的度数•ABD 60 ，ADB 76 ，BDC 28 ，例11】（日本算术奥林匹克试题）CAB 36 ，ABD 48 ，如图所示，在四边形ABCD中，DBC 24 ，求ACD 的度数•DAC 12 ，【例12】（河南省数学竞赛试题）在正ABC内取一点D，使DA DB ,在ABC 外取一点E，使DBE DBC，且BE BA，求BED .【例13】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在ABC中，BAC BCA 44，M为ABC 内一点，使得MCA 30，MAC 16，求BMC的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADD延长AD至U E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=52.已知：/ 仁/2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则/ DEG= / DCA，/ DGE= / 2又••• CD=DE•••/ ADC 6 GDE (AAS )••• EG=AC•/ EF//AB•••/ DFE= / 1•••/ 1 = / 2•••/ DFE= / DGE•EF=EG•EF=AC证明：在AC上截取AE=AB，连接ED•/ AD 平分/ BAC•••/ EAD= / BAD又••• AE=AB , AD=AD•••/ AED 6 ABD ( SAS)•••/ AED= / B , DE=DB•/ AC=AB+BDAC=AE+CE• CE=DE•••/ C=Z EDC•••/ AED= / C+ / EDC=2 / C•••/ B=2 / C 4.已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F,使EF = EB，连接CF因为CE丄AB所以/ CEB = Z CEF = 90°因为EB = EF, CE= CE,所以△ CEB ◎△ CEF所以/ B =Z CFE因为/ B +Z D = 180° / CFE + Z CFA = 180° 所以/ D =Z CFA 因为AC 平分Z BAD 所以Z DAC = Z FAC 又因为AC = AC所以△ ADC 也厶AFC ( SAS ) 所以AD = AF所以 AE = AF + FE = AD + BE5.如图，四边形 ABCD 中，AB // DC , BE 、CE 分别平分Z ABC 、Z BCD ，且点 E 在AD 上。
全等三角形拔高题(适合尖子生)
全等三角形拔高经典题(适合尖子生)1已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE垂直AB 于E，且∠B+∠D=180度，求证：AE=AD+BEABDCE122..已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，•它们交于点P，PD⊥BM 于D，PF⊥BN于F．求证：BP为∠MBN的平分线．3.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．4.在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．AB CDEFG12A BCDEGFEDCB A5.如图，已知∠BAC=90º,AD ⊥BC, ∠1=∠2,EF ⊥BC, FM ⊥AC,说明FM=FD 的理由6.如图D C B A 、、、四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明． ①D ACE ∠=∠,②CD AB =,③ ，④ FBG EAG ∠=∠7.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF BE AF -（填“>”，“<”或“=”号）；②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．8.已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
初中数学尖子生七升八暑期培训：第12课 全等三角形拓展
E G AC B E PD D BE A 初中数学尖子生暑期培训(七升八)第十二课 全等三角形拓展【例题之 夯实基础】 三角形全等基础填空题： 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为40º， 则等腰三角形的顶角为 .2、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90º，DE 是AC 的垂直平分线， E 在BC 上，且∠BAE ：∠BAC=1:5，则∠C= .3、如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A 、E 重合)， 在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ， AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点Q ，连结PQ ，以下结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ； ④DE=DP ；⑤∠AOB=60º；⑥OC 平分∠AOE. 恒成立的结论有 . 4、如图，△ABE 、△ADC 和△ABC 分别 是关于AB 、AC 边所在直线的轴对称图形， 若∠1:∠2:∠3=14:4:2，则∠α的度数为 . 5、如图，已知∠BAC=30º，G 为∠BAC 的 平分线上的一点，EG ∥AC 交AB 于E ，GD ⊥AC 于D ，则GD:GE= .6、如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16， 腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于E 、F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点， 则△CDM 周长的最小值为 . 7、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 △ABC 为等腰三角形，则点C 有 个.8、在Rt △ABC 中，已知∠C=90º，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC=32，且BD:CD=9:7，则点D 到AB 9、在△ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH=AC ，则∠ABC= .10、如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE=36º，那么∠BED=11、已知如图所示，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC=140º，∠BGC=110º，则∠A= .12、如图，△ABC 中，∠A:∠ABC:∠BCA=2:5:11，又△A ’B ’C ≌△ABC ，B ’、C 、A 三点在同一条直线上，则∠BCA ’:∠BCB ’的值为 .13、如图，△ABC 中，AB=AC ，中线BE 、CF 交于点D ，连接AD 并延长交BC 于G ，则图中全等三角形有 对. 10题图 11题图 12题图 13题图A D DBO P Q A C E A 3 α 2 1 B D C D G E F A B C A ’ B C D E F B G CA14、在△ABC 中，AB=AC ，中线BD 把这个三角形周长分成21cm 和12cm 的两部分，则这个等腰三角形底边长为 . 15、如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ， 且EF=6，BG=3，DH=4，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S 是 . 16、如图△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD=2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4k ，则△ABC 的面积是 .(用含k 的代数式表示)17、已知如图，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，OE 和AF 交于点G .若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=40º，则此时∠OGA 的度数为 .若∠GOA=n1∠BOA ，∠GAD=n1∠BAD ，∠OBA=βº，则此时∠OGA= .(用含n 、β的代数式表示) 18、如图，在正△ABC 中，P 为边AB 上的一点，Q 为边AC 上的一点，且AP=CQ ，又 M 为PQ 的中点，若AM=19cm ，则 PC= .16题图 17题图 18题图【例题之 能力提升】例1.如图1，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM(点D 与点A 重合除外)上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边△CDE ，连接BE.(1)判断AD 与BE 是否相等，请说明理由；(2)如图2，若AB=8，点P 、Q 两点在直线BE 上且CP=CQ=5，试求PQ 的长；(3)在第(2)小题的条件下，当点D 在线段AM 的延长线(或反向延长线)上时，判断PQ 的长是否为定值.若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由.例1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC 、等腰Rt △ADE ，其中∠BAC=∠DAE=90º，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE.(1)试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由；(2)延长BD 交CE 于点F ，试求∠BFC 的度数；(3)把两个等腰直角三角形按如图2放置，(1)、(2)中的结论是否仍成立？请说明理由.E D B 6 3 4 A Q C P M D B E A CFG B A D O C F E G A E B M C D P E A B Q C M A E D BF C A BE D C F变式练习：已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，BM ⊥CM 于M ，且CM ＞BM.(1) 如图1，过点A 作AF ⊥CM 于F ，直接写出线段BM 、AF 、MF 的数量关系是(2) 如图2，D 为BM 延长线上一点，连AD 以AD 为斜边向右侧作等腰Rt △ADE ，再过点E 作EN ⊥BM 于N ，求证：CM+EN=MN ；(3) 将(2)中的△ADE 绕点A 顺时针旋转任意角α后，连BD 取BD 中点P ，连CP 、EP ，作出图形，试判断CP 、EP 的数量和位置关系并说明.例3.在△ABC 中，AB=20厘米，BC=16厘米，点D 为线段AB 的中点，动点P 以2厘米/秒的速度从B 点出发在射线BC 上运动，同时点Q 以a 厘米/秒(a ＞0且a ≠2)的速度从C 点出发在线段CA 上运动，设运动时间为x 秒.(1)若AB=AC ，P 在线段BC 上，求当a 为何值时，能够使△BPD 和△CQP 全等？(2)若∠B=60º，求出发几秒后△BDP 为直角三角形？(3)若∠C=70º，当∠CPQ 的度数为多少时，△CPQ 为等腰三角形？(直接写出答案)变式练习：如图1，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点(端点除外)，点 P 从 顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ 、CP 交于点M.(1)求证：△ABQ ≌△CAP.(2)如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，∠QMC 变化吗？若变化，请说明理A B C E N A M B CD由；若不变，求出它的度数.(3)如图2，若点P 、Q 分别运动到点B 和点C 后，继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则∠QMC= 度.（直接填写度数）【例题之 挑战压轴/自招题】例4.如图1，△ABC 是等边三角形，点E 在AC 边上，点D 是BC 边上的一个动点，以DE 为边作等边△DEF ，连接CF.(1)当点D 与点B 重合时，如图2，求证：CE+CF=CD ；(2)当点D 运动到如图3的位置时，猜想CE 、CF 、CD 之间的等量关系，并说明理由；(3)只将条件“点D 是BC 边上的一个动点”改为“点D 是BC 延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE 、CF 、CD 之间的等量关系为 (不必证明).变式练习：(1)如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，连接AD 、BE 相交于点P ，求证：BE=AD ；(2)如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120º，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 、等边三角形BDF ， 连接AD 、BE 和CF 交于点P，下列结论正确的 是(只填序号即可) ①AD=BE=CF,②∠BEC=∠ADC, ③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60º；(3)如图2，在(2)的条件下， 求证：PB+PC+PD=BE.AB C Q P M D A B C E F E A B C (D) F D A B C E F D A B C E F AE B P CD AE BF C D P【课后巩固练习】1、如图1，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120º的等腰三角形，以D 为顶点作一个60º角，角的两边分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，连结MN ，完成下列各题：(1) 若MN ∥BC ，请写出线段BM 、MN 、NC 之间的数量关系，不要求证明.(2) 如图2，若MN 与BC 不平行，其他条件不变，试问(1)中线段BM 、MN 、NC 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.(3) 若点M 、N 分别是以边AB 、CA 延长线上的点，其他条件不变，请在图3中画出图形，并说明(1)中线段BM 、MN 、NC 之间的数量关系是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，说明理由.2、已知如图1，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90º.(1) 求证：△ABD ≌△ACE ；(2)求证：BD 、CE 所在直线互相垂直；(3)如图2，连接BE 、DC ，取BE 中点M ，连接AM ，试判断线段AM 与DC 有何位置关系，并加以证明.A B C M N N M A B C D A B C M A B D C A B D C E3、如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，AD 交BC 于G ，DE ∥AB 交AC 于E.(1)求证：AE=CE ；(2)作∠BCA 的平分线CF 交AD 于P ，交AB 于F ，求证：∠PCD=21∠B ；(3)在(2)的条件下，若∠B=60º，求证：AF+GC=AC. PE F A BD G。
第12章 全等三角形 人教版八年级上册数学尖子生训练题(含答案)
第十二章《全等三角形》尖子生训练题满分：100分时间：90分钟一．选择题（每题3分，共30分）1．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：22．如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（）A．EC＝FA B．DC＝BA C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF 3．下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（）A．AB＝4，BC＝5，∠C＝60°B．AB＝6，∠C＝60°，∠B＝70°C．AB＝4，BC＝5，CA＝10 D．∠C＝60°，∠B＝70°，∠A＝50°4．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BACC．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC6．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确7．如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有（）组．A．4 B．3 C．2 D．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤S△BDE ：S△ACD＝BD：AC，其中正确的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．两处C．三处D．四处10．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C ＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（每题4分，共20分）11．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是．（只需添加一个条件即可）12．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，∠BOC的平分线交BC于F，则下列说法中正确的是．①∠BOE＝60°，②∠ABD＝∠ACE，③OE＝OD④BC＝BE+CD13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若BD＝5，BD：CD＝5：3，AB＝10，则△ABD的面积是．14．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是．15．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF＝，则线段CE的长是．三．解答题（每题10分，共50分）16．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．17．如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．18．如图所示，在△ABE和△ACD中，给出以下4个论断：（1）AB＝AC；（2）AD＝AE；（3）BE＝CD；（4）∠DAM＝∠EAN．以其中3个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，1个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程．已知：；求证：．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B （n，0），且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵P为三条角平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等，∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比＝6：4：4＝3：2：2．故选：D．2．解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°，∵DE＝BF，∴当添加条件DC＝BA时，可利用“HL”证明△DEC≌△BFA．故选：B．3．解：A、若已知AB、BC与∠B的大小，则根据SAS可判定其形状和大小，故本选项错误；B、有两个角的大小，也就相当于有了三角形的三个角，又有一边的长，所以根据AAS或ASA可确定三角形的大小和形状，故本选项正确．C、由于AB＝4，BC＝5，CA＝10，所以AB+BC＜10，三角形不存在，故本选项错误；D、有三个角的大小，但又没有边长，故其形状也不确定，故本选项错误．故选：B．4．解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．5．解：A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；C、不能判断△ABD≌△BAC；D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．故选：C．6．解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE ＝PF ，∴OP 平分∠AOB （角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A ．7．解：∵AE ＝CF ，∴AE +EF ＝CF +EF ，∴AF ＝CE ，∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴若①②③为条件，不能证明△AFD ≌△CEB ，若①②④为条件，能证明△AFD ≌△CEB （AAS ），若①③④为条件，不能证明△AFD ≌△CEB ，若②③④为条件，能证明△AFD ≌△CEB （AAS ），故选：C ．8．解：①正确，∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，∴CD ＝ED ；②正确，因为由HL 可知△ADC ≌△ADE ，所以AC ＝AE ，即AC +BE ＝AB ；③正确，因为∠BDE 和∠BAC 都与∠B 互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE ＝∠BAC ；④错误，因为∠B 的度数不确定，故BE 不一定等于DE ；⑤错误，因为CD ＝ED ，△ABD 和△ACD 的高相等，所以S △BDE ：S △ACD ＝BE ：AC ． 故选：C ．9．解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE＝PF，PF＝PD，∴PE＝PF＝PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故选：D．10．解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DAE，∵AC＝AD，∴当AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED；当∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：当∠D＝∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故答案为：∠D＝∠B．（答案不唯一）12．解：①如图，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，∴∠OBC+∠OCB＝×120°＝60°，∴∠BOE＝∠OBC+∠OCB＝60°故①正确；②∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，∴∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，当AB＝AC时，∠ABC＝∠ACB，而已知AB和AC没有相等关系，故②不正确；③∵∠OBC+∠OCB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF＝∠COF＝60°，∴∠BOE＝60°，∴∠BOE＝∠BOF，在△BOE和△BOF中，∵，∴△BOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF，同理得：△CDO≌△CFO，∴OD＝OF，∴OD＝OE，故③正确；④∵△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO，∴BF＝BE，CF＝CD，∴BC＝CF+BF＝BE+CD，故④正确；则下列说法中正确的是：①③④故答案为①③④．13．解：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵BD＝5，BD：CD＝5：3，∴CD＝3，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，∴DE＝CD＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面积是：AB•DE＝×10×3＝15．故答案为：15．14．解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，∵在△MCO和△NCO中，∴△COM≌△CON（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，即OC是∠AOB的平分线．故答案为：SSS．15．解：∵AD是角平分线，∴＝＝＝2，∵CE是高，DF⊥AB，∴DF⊥CE，∴＝＝，∴CE＝DF＝×＝4．故答案为4．三．解答题（共5小题）16．（1）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD ，在△ABE 和△CBD 中，，∴△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ．（2）∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BAE ＝∠BCD ，∵∠NMC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠CNM ，∠ABC ＝180°﹣∠BAE ﹣∠ANB ， 又∠CNM ＝∠ANB ，∵∠ABC ＝90°，∴∠NMC ＝90°，∴AE ⊥CD ．（3）结论：②理由：作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ．∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，S △ABE ＝S △CDB ，∴•AE •BK ＝•CD •BJ ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．故答案为②．17．证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．18．解：已知：AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．求证：∠DAM＝∠EAN．证明：在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SSS），∴∠DAC＝∠EAB，即∠DAM+∠BAC＝∠EAN+∠BAC，则∠DAM＝∠EAN．故答案为：AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD；∠DAM＝∠EAN．19．解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案为：3；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案为：90°﹣α．20．解：（1）∵|m﹣n﹣3|+＝0，且|m﹣n﹣3|≥0，≥0∴|m﹣n﹣3|＝＝0，∴n＝3，m＝6，∴点A（0，6），点B（3，0）．∴OA＝6，OB＝3；（2）连接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝OP•OB＝|6﹣t|；（t≥0）（3）作出图形，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，∴∠OBA＝∠OPE，∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9∴t＝3或9．。
人教版八年级上册第12章《全等三角形》尖子生训练卷及答案
八年级上学期数学第十二章《全等三角形》尖子生训练卷一．选择题（共12小题）1．如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB＝AD，那么该条件不可以是（）A．BD⊥AC B．BC＝DC C．∠ACB＝∠ACD D．∠ABC＝∠ADC2．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确4．在△ABC和△DEF中，下列各组条件中，不能判定它们全等的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，CA＝FDC．∠A＝∠D，∠B＝∠E，CA＝FD D．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF5．如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的．测得AB＝BC，OA＝OC，OA⊥OC，∠ABC＝36°，则∠OAB的度数是（）A．116°B．117°C．118°D．119°6．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．687．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC＝12，∠B＝30°，则DE的长是（）A．6 B．4 C．3 D．28．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．225°9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE ＝4，则CH的长是（）A．4 B．5 C．1 D．210．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm11．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.512．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③二．填空题（共6小题）13．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝．14．在三角形ABC 中，AD ，CE 为高，两条高所在的直线相交于H 点，若CH ＝AB ，求∠ACB 的大小为或 ．15．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝ ．16．如图所示，AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ，请你添加一个适当的条件 ，使△ABC ≌△DBE ．（只需添加一个即可）17．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ⊥AC 交于点E ，DF ⊥BC 于点F ，且BC ＝4，DE ＝2，则△BCD 的面积是 ．18．如图EB 交AC 于M ，交FC 于D ，AB 交FC 于N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN ．其中正确的结论有 （填序号）．三．解答题19．如图，已知AB＝AC，延长AC到E，并作直线DE，使其与BC，AB分别交于点G，D．（1）若CE＝BD，求证：GE＝GD；（2）若CE＝m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明）20．（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF ＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF ＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．21．如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．22．（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC＝AD：AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°；乙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°；丙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°．23．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB ＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．参考答案一．选择题1．解：添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加D选项以后是ASA证明三角形全等．故选：B．2．解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC，同理：B′E′＝A′C′，∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，∴∠CAD＝∠C′A′D′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选：A．3．解：∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP＝AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS＝AR，∠RAP＝∠SAP∵AQ＝PQ∴∠QPA＝∠SAP∴∠RAP＝∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP＝∠QSP＝90°和PR＝PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP故本题仅①和②正确．故选：B．4．解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E可以利用SAS判定两个三角形全等，故此选项错误；B、AB＝DE，BC＝EF，CA＝FD，可以利用SSS判定两个三角形全等，故此选项错误；C、∠A＝∠D，∠B＝∠E，CA＝FD可以利用AAS判定两个三角形全等，故此选项错误；D、AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF，不能判定两个三角形全等，故此选项正确．故选：D．5．解：∵AB＝BC，OA＝OC，OB＝OB，∴△AOB≌△COB，∴∠OAB＝∠OCB＝（360﹣90﹣36）÷2＝117°．故选：B．6．解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°⇒∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A．7．解：由题意可得，AD平分∠BAC，∠C＝∠AED＝90°∴DE＝DC又∠B＝30°∴DE＝BD又BC＝12则3DE＝12∴DE＝4．故选：B．8．解：由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故选：B．9．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEH＝90°，∵∠AHE＝∠CHD，∴∠BAD＝∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE＝EC＝4，则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1．故选：C．10．解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥CB，又BE平分∠ABC，DE⊥AB，∴CE＝DE，∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝3cm故选：B．11．解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE＝DG，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt △DEF ≌Rt △DMN （HL ），∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，∴S △MDG ＝S △ADG ﹣S △ADM ＝50﹣39＝11，S △DNM ＝S △EDF ＝S △MDG ＝×11＝5.5．故选：B ．12．解：如图，过点P 作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，PD ⊥AC ，垂足分别为M 、N 、D ，①∵PB 平分∠ABC ，PA 平分∠EAC ，∴PM ＝PN ，PM ＝PD ，∴PM ＝PN ＝PD ，∴点P 在∠ACF 的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 故本小题正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC +90°+∠MPN +90°＝360°，∴∠ABC +∠MPN ＝180°， 很明显∠MPN ≠∠APC ，∴∠ABC +∠APC ＝180°错误，故本小题错误；③在Rt △APM 与Rt △APD 中，，∴Rt △APM ≌Rt △APD （HL ），∴AD ＝AM ，同理可得Rt △CPD ≌Rt △CPN ，∴CD ＝CN ，∴AM +CN ＝AD +CD ＝AC ，故本小题正确；④∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ，∠PCN ＝∠ACF ＝∠BPC +∠ABC ，∴∠BAC ＝2∠BPC ，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B ．二．填空题（共6小题）13．解：如图，∠A ＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵△ABC ≌△DEF ，∴EF ＝BC ＝20，即x ＝20．故答案为：20．14．解：∵AD ，CE 为高，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°，∴∠BAD +∠B ＝90°，∠DCH +∠B ＝90°，∴∠DCH ＝∠DAB ，在△ABD 和△CHD 中，，∴△ABD ≌△CHD （AAS ），∴AD ＝CD ，∵AD 是高，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠ACD ＝45°，如图1，△ABC 是锐角三角形时，∠ACB ＝∠ACD ＝45°，如图2，△ABC 是钝角三角形时，∠ACB ＝180°﹣∠ACD ＝180°﹣45°＝135°， 所以，∠ACB 的大小为45°或135°．故答案为：45°或135°．15．解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，∵OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，∴OD ＝OE ＝OF ，∵△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝（AB •OD ）：（BC •OF ）：（AC •OE ）＝AB ：BC ：AC ＝40：50：60＝4：5：6．故答案为：4：5：6．16．解：∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD +∠ABE ＝∠CBE +∠ABE ，即∠ABC ＝∠DBE ，∵AB ＝DB ，∴①用“角边角”，需添加∠BDE ＝∠BAC ， ②用“边角边”，需添加BE ＝BC ，③用“角角边”，需添加∠ACB ＝∠DEB ． 故答案为：∠BDE ＝∠BAC 或BE ＝BC 或∠ACB ＝∠DEB ．（写出一个即可）17．解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴S＝•BC×DF＝×4×2＝4故答案为：4．△BCD18．解：∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAF＝90°，∠B＝∠C∴∠1＝∠2（①正确）∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB＝AC，BE＝CF（②正确）∵∠CAN＝∠BAM，∠B＝∠C，AB＝AC∴△ACN≌△ABM（③正确）∴CN＝BM（④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．三．解答题（共5小题）19．证明：（1）过D作DF∥CE，交BC于F，则∠E＝∠GDF．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC∵DF∥CE，∴∠DFB＝∠ACB，∴∠DFB＝∠ACB＝∠ABC．∴DF＝DB．∵CE＝BD，∴DF＝CE，在△GDF和△GEC中，，∴△GDF≌△GEC（AAS）．∴GE＝GD．（2）猜想：GE＝m•GD．证明：同（1）可得，BD＝DF，∵∠E＝∠GDF，∠DGF＝∠EGC，∴△GDF∽△GEC，∴＝＝，∵CE＝m•BD，∴＝，即CE＝m•BD．20．证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．21．（1）证明：在△AOB和△DOC中∵∴△AOB≌△DOC（AAS）（2）解：∵△AOB≌△DOC，∴AO＝DO∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠AEO＝90°22．解：（1）①结论：BD＝CE，BD⊥CE；②结论：BD＝CE，BD⊥CE…1分理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE…1分在△ABD与△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE…1分延长BD交AC于F，交CE于H．在△ABF与△HCF中，∵∠ABF＝∠HCF，∠AFB＝∠HFC∴∠CHF＝∠BAF＝90°∴BD⊥CE…3分（2）结论：乙．AB：AC＝AD：AE，∠BAC＝∠DAE＝90°…2分23．证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，∵MD＝ME，∴∠MAD＝∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD＝∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM＝∠CAM，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB＝MC；（2）MB＝MC．理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，∴BD＝BE′，CE＝CF，∵M是ED的中点，B是DE′的中点，∴MB∥AE′，∴∠MBC＝∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM＝∠BAD，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠MBC＝∠BCM，∴MB＝MC；（3）MB＝MC还成立．如图4，延长BM交CE于F，∵CE∥BD，∴∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，又∵M是DE的中点，∴MD＝ME，在△MDB和△MEF中，，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB＝MF，∵∠ACE＝90°，∴∠BCF＝90°，∴MB＝MC．。
人教版八年级上册第十二章《全等三角形》尖子生训练题(含答案)
第十二章《全等三角形》尖子生训练题一．选择题1．下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠FB．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DC．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DFD．△ABC的周长等于△DEF的周长2．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC3．在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形．如图是5×5的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A．2个B．4个C．6个D．8个4．如图，请你根据所学的知识，说明作出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS5．如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论：①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E．其中错误的是（）A．①②B．②③C．③④D．只有④6．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，E为垂足，若AB＝10，AC＝6，则BE＝（）A．4 B．6 C．8 D．108．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使CE＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝7cm，则AE的长是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm9．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝14cm，BC＝16cm，则DE的长度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ＝PQ，PD＝PE，则下列结论：①AE＝AD；②∠B＝∠C；③QP∥AD；④∠BAP＝∠CAP；⑤△ABP≌△ACP．其中正确的有（）A．①③④B．①②⑤C．①②③④D．①②③④⑤二．填空题11．以下说法错误的是．（多选）A．周长相等的两个三角形全等B．有两边及一角分别相等的两个三角形全等C．两个全等三角形的面积相等D．面积相等的两个三角形全等12．如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是．13．如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE 上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是．14．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，求图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的和的度数为．15．如图，点E，F分别在x轴，y轴的正半轴上．点A（4，4）在线段EF上，过A作AB⊥EF分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段AE上任意一点（P不与A，E重合），连接CP，过E作ED⊥CP，交CP的延长线于点G，交CA的延长线于点D．有以下结论①AC＝AE②CP＝BE③OB+OF＝8④S△ABE ﹣S△BOC＝16其中正确的结论是．（写出所有正确结论的番号）三．解答题16．如图，在△ABC和△DBE中，点D在边AC上，BC与DE交于点P，AB＝DB，∠A＝∠BDE，∠ABD＝∠CBE．（1）求证：BC＝BE；（2）若AD＝DC＝2.5，BC＝4，求△CDP与△BEP的周长之和．17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？18．填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF，试说明∠C＝∠F．解：∵BC∥EF（已知）∴∠ABC＝（）在△ABC与△DEF中AB＝DE∴△ABC≌△DEF（）．∴∠C＝∠F（）．19．如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE，顶点F在BC 上，边DF经过点C，点A，E在BC同侧，DE⊥AB．（1）求证：△ABC≌△DEF（2）若AC＝10，EF＝6，CF＝4，求BD的长．20．已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD+DC＝BE．参考答案一．选择题1．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F是AAA，不能判定两三角形全等，故选项不符合题意；B、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D是SSA，不能判定两三角形全等，故选项不符合题意；C、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF符合ASA，能判定两三角形全等，故选项符合题意；D、△ABC的周长等于△DEF的周长，三边不可能相等，故选项不符合题意．故选：C．2．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，∴ED＝GD，GD＝DF，∴ED＝DF，∴AP平分∠CAB．故选：B．3．解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．故选：B．4．解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'（SSS），则∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．5．解：∵AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠B＝∠C，∠D＝∠E，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAD＝∠BAC，故①②③正确，④错误，故选：D．6．解：∵在△DAE和△CAB中，∴△DAE≌△CAB（SAS），∴∠1＝∠AED，∵∠AED+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：D．7．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ADE和△ADC中，∴Rt△ADE≌△ADC（HL），∴AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4．故选：A．8．解：∵EF⊥AC，CF⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∠F+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F，且CE＝CB＝3cm，∠ACB＝∠FEC＝90°，∴△ACB≌△FEC（AAS）∴AC＝EF＝7cm，∴AE＝4cm，故选：B．9．解：作DF⊥BC于F，如图，∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC ＝S△ABD+S△BCD，∴×DE×AB+×DF×BC＝30，即×DE×14+×DE×16＝30，∴DE＝2（cm）．故选：B．10．解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，PD＝PE，∴AP是∠BAC的角平分线，∴∠BAP＝∠CAP，故④正确；在Rt△APD和Rt△APE中，，∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），∴AE＝AD，故①正确；∵AQ＝PQ，∴∠CAP＝∠APQ，∵∠BAP＝∠CAP，∴∠APQ＝∠BAP，∴QP∥AD，故③正确；在△ABP和△ACP中，缺少全等条件，故②、⑤不正确；故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：A、周长相等的两个三角形，不一定全等，故此选项符合题意；B．两边和夹角相等的两个三角形全等，故原说法错误，符合题意；C．两个全等三角形的面积相等，正确，不合题意；D．面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项符合题意；故答案为：A、B、D．12．解：∵△ABC≌△ADE，BC＝7，∴DE＝BC＝7（cm），故答案为：7cm．13．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，∴∠DAC＝∠FAC，∠FBC＝∠EBC，在△ADC和△AFC中，∵，∴△ADC≌△AFC（AAS），∴AD＝AF，在△CBE≌△CBF中，∵，∴△CBE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF，∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，故答案为：7．14．解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠5＝∠BCA，∴∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°，在△ABD和△AEH中，，∴△ABD≌△AEH（SAS），∴∠4＝∠BDA，∴∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°，∵∠3＝45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝90°+90°+45°＝225°．故答案为：225°．15．解：如图，作AM⊥y轴于M，AN⊥OE于N．∵A（4，4），∴AM＝AN＝4，∵∠AMO＝∠ANO＝90°，∴四边形ANON是矩形，∵AM＝AN，∴四边形AMON是正方形，∴OM＝ON＝4，∴∠MAN＝90°，∵CD⊥EF，∴∠FAC＝∠MAN＝90°，∴∠CAM＝∠EAN，∵∠AEB+∠EFO＝∠EFO+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠AEN，∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AC＝AE，CM＝EN，故①正确，同法可证△AMF≌△ANB（ASA），∴FM＝BN，∴OF+OB＝OM+FM+ON﹣BN＝2OM＝8，故③正确，∵CM＝EN，AC＝AE，∵FM＝BN，∴CF＝BE，∵AC＝AE，AF＝AB，∴△AFC≌△ABE（SSS），∴S△ABE ﹣S△BOC＝S△AFC﹣S△BOC＝S四边形ABOF＝S正方形AMON＝16，故④正确，当BE为定值时，点P是动点，故PC≠BE，故②错误，故答案为①③④．三．解答题（共5小题）16．（1）证明：∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵∠A＝∠BDE，AB＝BD，∴△ABC≌△DBE（ASA），∴BC＝BE；（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE＝AC＝AD+DC＝2.5+2.5＝5，BE＝BC＝4，∴△CDP和△BEP的周长和＝DC+DP+CP+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝15.5．17．解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD ＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．18．解：∵BC∥EF（已知），∴∠ABC＝∠DEF（两直线平行，同位角相等），在△ABC与△DEF中，AB＝DE，∠ABC＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠C＝∠F（全等三角形的对应角相等）．19．证明：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠A+∠B＝90°，∠D+∠B＝90°，∴∠A＝∠D，在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，BC＝EF，若AC＝10，EF＝6，∴DF＝10，BC＝6，∵CF＝4，∴DC＝DF﹣CF＝10﹣4＝6，∴BD＝DC+BC＝6+6＝12．20．（1）解：如图1，延长AC交BN于点F，∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（AAS），∴AC＝FC，∵AC＝BC，∴BC＝AC＝FC＝AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABE＝90°；（2）证明：如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．。
全等三角形的提高拓展训练50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质S 对应角相等，对应边和等，对应边上的中线相等，对应边上的髙粕等， 对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所央的边是对应边・ (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所央的角是对应角・ (3) 有公共边的，公共边常是对应边• (4) 有公共角的，公共角常是对应角• (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角•(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对置短边(或 最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法： (1) (2) (3) (4)(5) 全等三角形的应用J 运用三角形全等可以证明线段和等、角相等、两直线垂直等问题，在证 明的过程中，注意有时会添加捕助线・拓展关a 点S 能通过判定两个三角形全等进而证明谢条线段间的位置关系和大小关系.而证 明两条线段或两个角的和.差、倍.分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知 WC 中，Z4 = 60 , BD 、CE 分别平分ZABC 和・Z4CB, BD. CE交于点0.试判断处、CD. 的数fi 关系，并加以证明•【例2】如图，点M 为正三角形的边M 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作ZDMV = 60%射线MN 与NDB4外角的平分线交于点N, DM 与M 科有怎样的 数ft 关系？边角边定理(SAS):两边和它们的央用对应相等的两个三角形全等. 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 边边边定理(SSS);三边对应相等的两个三角形全等.角角边定理(AXS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等• 斜边、直角边定理(机)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边上任意一点，MN 丄DM 且与ZMC 外角的平分线交 于点N,己知：如图，ABCD 是正方形，ZFAD=ZFAE.求证：BE+DF 二AE.以AABC 的初.4C 为边向三角形外作等边MBD. MCE,连结CD. BE 相交 于点O-求证：Q4平分ZDOE.EMD 与MN 有怎样的数fi 关系？【例3】 【例4】F C【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示，&4BC是边长为1的正三角形，SBDC 是顶角为120。
全等三角形的提高拓展训练(学生版)1he全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA平分DOE ∠．【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.D OE C B A NDNC D E B MA N MA【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠. 【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数. 【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠. 【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=ADCDB ADBCABA CDF2 1 E∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
第12章全等三角形尖子生培优(多结论问题)2023—2024学年人教版数学八年级上册
人教版八年级上册数学《全等三角形》尖子生培优（多结论问题）1.如图，∠A＝∠D＝90°，添加下列条件中的一个后，能判定△ABC与△DCB全等的有（）①∠ABC＝∠DCB；②∠ACB＝∠DBC；③AB＝DC；④AC＝DB．A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③4.如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论①∠ADC ＝∠AEB；②CD∥AB；③DE＝GE；④CD＝BE中，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．45.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连结AP，EF．有下列结论：①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF ＝S△ABC，其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④7.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM 平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．18.如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS，下面的结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③9.如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1=∠2=22.5∘．有下列结论：① ∠2=∠3；② BD=AD；③ BD+DH=AB．其中正确的结论有 .10. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分MN的长度为别交AB，BC于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于12半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论① CD=ED；② ∠ABD=1∠ABC；③ BC=BE；2④ AE=BE中，一定正确的是 .11. 如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50连接BE，CD交于点F，连接AF．下列结论：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；③AF平分∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正确的有。
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全等三角形拓展题---尖子生专用全等三角形综合应用知识点：1、全等三角形的判定方法：2、角平分线的性质与判定：例题讲解2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF(1) ①如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数②试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由(2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系解：(1) ①∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α∵AB＝AC，AD是△ABC的中线∴设∠BAD＝∠CAD＝β又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60°∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60°∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60°②过点C作CH⊥BE于H∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60°∴∠BAD＝∠HEC可证：△ABD≌△EHC（AAS）∴HE＝AD易证：△CFH≌△CFD（AAS）∴FH＝DF∴EF－FH＝AF－DF即EF－AF＝2DF(3) 作图、证明的过程一样AF－EF＝2DF2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN(1) 求证：AM＝BN(2) 作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长∴BH＝AM＝1∴BM＝HC∵MH⊥BC，∠MBH＝60°∴BM＝2BH＝2∴CH＝22016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F(1) 若AF＝10，DF＝3，试求EF的长(2) 若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．解：(1) 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β在△ACE中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60°连接BF∴∠BFD＝∠CFD＝60°∴BF＝CF＝2DF＝6在EC上截取EG＝CF，连接AG∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF∴∠GAF＝60°∴△AFG为等边三角形∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16(2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β∴∠CAE＝180°－2β∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60°∴∠BAD＝∠BEF在AF上截取AG＝EF，连接BG可知：△ABG≌△EBF（SAS）∴AG＝EF，BG＝BF∴△BFG为等边三角形∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC(1) 如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）(2) 如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明(3) 在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（）A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A、SSSB、SASC、AASD、ASA （3）如图2，AD平分∠BAC，BF⊥AD于D，交AC于F，DE∥AC，∠BAD=30°，则∠BDE=______例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。
求证：AC=BD例3、如图4，在⊿ABC中，∠B=∠C，D、E、F 分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：ED=EF例4、如图5，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF 的中点。
求证：DG⊥EF．例5、如图6，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF=CE-AF．例6、如图7，P为∠AOB平分线上一点，PC⊥OA 于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm。
求OA+OB的值。
例7、如图8，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=÷4，点E 在线段DC上。
求证：AD+BC=AB例8、如图9，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD ⊥BC于D，AB+BC=2BD。
求证：∠BPA+∠BCP=180°巩固：1、如图，点P为⊿AEF外一点，PA平分∠EAF，PD⊥EF于D，DE=DF，PB⊥AE于B。
求证：AF-AB=BE2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F．求证：BE=DF．3、如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH。
（1）求证：⊿ACD≌⊿BCE；（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）4、如图（1），在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD ＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．5、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，2），点A为y轴正半轴上一动点，过B点作BC⊥AB交x轴的正半轴于点C。
（1）求证：BA=BC；（2）当点A运动时，OA+OC的值是否发生变化，若不变，求其值；若发生变化，求变化范围7、已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．8、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；1BF；（2）求证：CE=2（3）若把题目中“BE平分∠ABC”改为“BE平分线段DC”，其他条件不变，连接HF．求证：HF=AD．9、直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF_____ |BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是________ ；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．第十一讲：全等三角形综合二知识点：1、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK∥AB．例2、如图1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AE⊥BD 于E点，交BC于F点，连DF，求证：∠ADB=∠CDF．（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．例4、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD 的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________ （直接写出结论）②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC 上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD 之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．例5、如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为直角边向△ABC外作等腰直角△CAD 和等腰直角△CBE，满足∠CAD=∠CBE=90°，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时，试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由．例6、如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足0a+-b44=-（1）求A、B两点的坐标；（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB=45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：FA=FC；（3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A 作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交x轴于点G，求G点的坐标．巩固：1、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．3、如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC。