全等三角形拓展题---尖子生专用

全等三角形拓展题---尖子生专用

全等三角形综合应用

知识点：

1、全等三角形的判定方法：

2、角平分线的性质与判定：

例题讲解

2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF

(1) ①如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数

②试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由

(2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系

解：(1) ①∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α

∵AB＝AC，AD是△ABC的中线

∴设∠BAD＝∠CAD＝β

又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60°

∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60°

∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60°

②过点C作CH⊥BE于H

∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60°

∴∠BAD＝∠HEC

可证：△ABD≌△EHC（AAS）

∴HE＝AD

易证：△CFH≌△CFD（AAS）

∴FH＝DF

∴EF－FH＝AF－DF

即EF－AF＝2DF

(3) 作图、证明的过程一样

AF－EF＝2DF

2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN

(1) 求证：AM＝BN

(2) 作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长

∴BH＝AM＝1

∴BM＝HC

∵MH⊥BC，∠MBH＝60°

∴BM＝2BH＝2

∴CH＝2

2016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F

(1) 若AF＝10，DF＝3，试求EF的长

(2) 若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论

．解：(1) 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β

在△ACE中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60°

连接BF

∴∠BFD＝∠CFD＝60°

∴BF＝CF＝2DF＝6

在EC上截取EG＝CF，连接AG

∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF

∴∠GAF＝60°

∴△AFG为等边三角形

∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16

(2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边

设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β

∴∠CAE＝180°－2β

∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60°

∴∠BAD＝∠BEF

在AF上截取AG＝EF，连接BG

可知：△ABG≌△EBF（SAS）

∴AG＝EF，BG＝BF

∴△BFG为等边三角形

∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF

武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC

(1) 如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）

(2) 如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明

(3) 在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值

例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（）A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C

（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，

画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）

A、SSS

B、SAS

C、AAS

D、ASA （3）如图2，AD平分∠BAC，BF⊥AD于D，交AC于F，DE∥AC，

∠BAD=30°，则∠BDE=______

例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。求证：AC=BD

例3、如图4，在⊿ABC中，∠B=∠C，D、E、F 分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，

∠DEF=∠B。

求证：ED=EF

例4、如图5，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF 的中点。

求证：DG⊥EF．

例5、如图6，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．

求证：EF=CE-AF．

例6、如图7，P为∠AOB平分线上一点，PC⊥OA 于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm。

求OA+OB的值。

例7、如图8，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=÷4，点E 在线段DC上。

求证：AD+BC=AB

例8、如图9，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD ⊥BC于D，AB+BC=2BD。

求证：∠BPA+∠BCP=180°

巩固：

1、如图，点P为⊿AEF外一点，PA平分∠EAF，PD⊥EF于D，DE=DF，PB⊥AE于B。

求证：AF-AB=BE