正弦函数图像及简单应用
简单易懂的三角函数正弦余弦和正切
简单易懂的三角函数正弦余弦和正切三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学和三角测量中发挥着至关重要的作用。
本文将详细介绍三角函数中的正弦、余弦和正切，并解释它们的定义、性质和应用。
一、正弦函数（sin）正弦函数是以圆的弧长和半径的比值定义的。
给定一个角度θ（单位为弧度），我们可以通过以下公式来计算它的正弦值：sin(θ) = 对边 / 斜边其中，对边表示角θ对应的直角三角形中与θ相对的边的长度，斜边表示直角三角形中斜边的长度。
正弦函数的定义域是所有实数，其值域在-1到1之间。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0到2π之间重复。
正弦函数在数学和物理学中有广泛的应用，比如描绘波动、震动和周期性现象等。
二、余弦函数（cos）余弦函数也是以圆的弧长和半径的比值定义的。
给定一个角度θ，我们可以通过以下公式来计算它的余弦值：cos(θ) = 邻边 / 斜边其中，邻边表示角θ对应的直角三角形中与θ相邻的边的长度。
余弦函数的定义域是所有实数，其值域也在-1到1之间。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，它在0到2π之间同样重复。
余弦函数同样在数学和物理学中有广泛的应用，比如计算力的分解、描述周期性变化等。
三、正切函数（tan）正切函数是以正弦和余弦的比值定义的。
给定一个角度θ，我们可以通过以下公式来计算它的正切值：tan(θ) = 正弦 / 余弦 = 对边 / 邻边正切函数的定义域是所有不等于(2n + 1)π/2的实数，其中n是任意整数。
其值域是所有实数。
正切函数的图像有一些特殊的性质，比如在某些角度上取无穷大的值。
正切函数在解决直角三角形问题、物体运动中的速度和加速度等方面有着重要的应用。
综上所述，三角函数中的正弦、余弦和正切是数学中重要的概念，它们不仅在几何学和三角测量中起到关键作用，而且在物理学、工程学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
通过理解和熟练运用这些函数，我们可以更好地理解和解决与角度有关的各种问题。
正弦函数、余弦函数的图像和性质
正弦函数、余弦函数的图像一、 知识梳理1、 正弦曲线：正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像余弦曲线：余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像 2、 正弦曲线的画法：（1） 利用单位圆和正弦线作图；（2） 五点作图法（简图），五个点为：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-3、 余弦曲线的画法：（1） 通过正弦曲线平移，讲R x x y ∈=,sin 向左平移2π个单位（诱导公式六：sin()cos 2παα+=）； （2） 五点作图法，五个点为：)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-.4、正弦函数、余弦函数的性质二、 例题讲解(一)、正弦函数、余弦函数的图像【例1】作出下列函数的图像(1)1sin ,[0,2];(2)23cos ,[0,2].y x x y x x ππ=+∈=+∈变式训练1： 作出下列函数的图像5(1)(2)sin(),[2,2].2y y x x πππ==+∈-（二）、正弦函数、余弦函数的图像的简单应用【例2】1sin [,]222y x y x x ππ==∈-函数与在内有多少个交点？变式训练2：1、求下列函数的定义域(1)12cos y x =-(2)y=lg()2、sin y x y x x R ==∈函数与在内有多少个交点？（三）、正弦函数、余弦函数的性质【例3】若函数17()()1()236f x f f πππ=-是以为周期的奇函数，且，求的值。
【例4】判断下列函数的奇偶性 2(1)3sin ;1sin cos (2);1sin (3)lg(1sin )lg(1sin ).y x x xy xy x x =+-=+=+--【例5】求下列函数的单调区间(1)()sin();(2)()cos(2).46f x x f x x ππ=-=+变式训练3：1、 判断下列函数的周期2(1)2sin 1;(2)3sin(2);(3)cos().436y x y x y x ππ=+=-=+2、 函数()R (2)()[0,1](),f x f x f x x f x x +=∈=是定义在上的奇函数，且，当时，则(47.5)___.f =3、函数()____________.f x =定义域为4、 函数()sin(2)____________.3f x x π=-+的单调递增区间是（四）、正弦函数、余弦函数的性质的应用【例6】求下列函数的值域2(1)2sin(2)1;(2)22sin sin .4y x y x x π=-+=-+变式训练4：1、 比较下列各组数的大小33(1)sinsin;(2)sin 2cos1;(3)sin(sin ),sin(co s ).101888ππππ，，2、函数y =－x ·cos x 的部分图象是()3、2cos sin 1,[,].44y x x x ππ=-+∈-求函数的值域三、归纳总结1、“五点法”画正弦、余弦函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2、求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；3、求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；4、三角函数的周期问题一般利用sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的周期为2||T πω=即可。
正弦函数的图象和性质
正弦函数的图象和性质（一）一、 本节的重点与难点重点：正弦函数x y sin =的图象；难点：理解弧度制到x 轴上点的对应以及正弦函数的图象及其应用；二、预习达标：正弦函数x y sin =的图象的画法:1. 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）2. 用五点法做正弦函数的简图（描点法）在要求不太高的情况下可采用五点法作图，五点是 , , , , 3. 正弦曲线：正弦函数 的图象叫做正弦曲线.三、典例解析例1（用五点法作与正弦函数有关的函数的图象） 用“五点法”作函数,sin 1x y +=在[]π2,0上的简图.变训1：用五点法分别作出下列函数在[]ππ2,2-上的简图，并指出各图象与x y sin =，∈x []ππ2,2-的图象的位置关系：（1）x y sin -=； （2）)sin(x y -=.例2 (正弦函数的简单应用) 利用正弦函数的图象，求满足23sin ≥x 的x 的集合.变训2：利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin ≤x .四、当堂小结： 五、当堂达标：1.在[0，2π]上，满足sinx ≥21的x 取值范围是（） A.]6,0[πB.[65,6ππ]C.[32,6ππ]D.[ππ,65]2.从函数x y sin =，[]π2,0∈x 的图象来看，对应21sin =x 的x 有（ ）A ．1个值 B.2个值 C ．3个值 D.4个值 3.x y sin -=的图象可由x y sin =的图象作如下对称得到（ ） A ．x 轴对称 B.y 轴对称 C ．原点对称 D.直线x y =对称4.在同一坐标系中，函数x y sin =，[]π2,0∈x 与x y sin =，[]ππ4,2∈x 的图象（ ） A ．重合 B.形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D.形状不同，位置不同5.用五点法作x y 2sin =的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．ππππ2,23,,2,0 B ．ππππ,43,2,4,0 C ．ππππ4,3,2,,0 D ．32,2,3,6,0ππππ正弦函数的图象和性质（二）一、本节的重点与难点重点：正弦函数x y sin =的图象和性质； 难点：正弦函数图象与性质的应用；二、预习达标：1. 正弦函数x y sin =的图象：2. 正弦函数x y sin =的性质： （1）定义域： （2）值域正弦函数x y sin =，R x ∈，当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时，正弦函数取得最大值 ；当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时，正弦函数取得最小值（3）周期性：x y sin =的周期是 （0,≠∈k Z k ），最小正周期为（4）奇偶性：R x x y ∈=,sin 是 函数，图象关于 对称.正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为 也是轴对称图形，对称轴方程是（5）单调性：单调增区间 ；单调减区间三、典例解析例1(正弦函数值域和最值的应用)设3sin -=t x ，R x ∈，求t 的取值范围.变训1：设m x -=4sin 2，R x ∈，求m 的取值范围例2 求使下列函数取得最大值和最小值的x 地取值范围，并说出最大值和最小值是什么： （1）x y 2sin =； （2）2sin +=x y ； （3）2)1(sin 2+-=x y变训2：（1）x y 2sin -=，R x ∈（2）2)23(sin 2--=x y ；（3）45sin 3sin2++-=x x y例3（正弦函数周期性的应用）求下列函数的周期： (1) x y 2sin =; (2))621sin(π+=x y变训3：（1）x y 3sin =； （2）4sin3x y =； （3）)62sin(2π-=x y例4（正弦函数单调性的应用）求下列函数的单调区间： （1）R x x y ∈-=,sin 1； （2）R x x y ∈-=),42sin(2π变训4： 求下列函数的单调区间： （1）R x x y ∈=,2sin ； （2） )32sin(π+-=x y四、当堂小结 五、当堂达标：1. 下列函数最小正周期为π4的是（ ） A ．x y 4sin = B.x y 2si n = C.x y 21sin= D.x y 41si n =2.比较大小：︒︒165sin __105sin ； )10sin(__)18sin(ππ--； )417sin(__)523sin(ππ--3.已知函数R x x y ∈-=,2sin 211 .（1） 求值域； （2）求最小正周期； （3）判断奇偶性；（4）求单调增区间； （5）求使函数取得最小值时x 的取值范围.正弦函数的图象和性质（三）一、 本节的重点与难点重点：正弦型函数的图象特征和性质；难点：)sin(ϕω+=x A y 与x y sin =之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质二、预习达标1. 正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的主要性质：)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的周期T = ，频率f = ，初相 ，相位 ，振幅 ，值域 2. 三角函数的图象变换（1）振幅变换：)0(sin >=A x A y 的图象可由x y sin =图象上各点的横坐标不变，纵坐 标 （1>A ）或 （10<<A ）到原来的 倍而得到.（2）相位变换：)sin(ϕ+=x y 的图象可由x y sin =图象上各点向 （0>ϕ）或 向 （0<ϕ）平行移动ϕ个单位长度而得到.（3）周期变换：)0(sin >=ωωx y 的图象可由x y sin =图象上各点的纵坐标不变，横坐标 （10<<ω）或 （1>ω）到原来的 倍而得到.三、典例解析例1（用五点法画出)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的图象，并研究与x y sin =图象间的关系）用五点法在同一坐标系中画出函数x y sin =，x y sin 3=，)3sin(3π+=x y ，)32sin(3π+=x y 在一个周期内的图象，并根据所画图象说明)32sin(3π+=x y 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得.变训 1 用五点法作图：)421sin(21π-=x y ，并说明所画图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得例2（求函数)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）的解析式）右图是y ＝Asin(ϕω+x )（πϕω<>>,0,0A ）图象的一段，求其解析式变训2已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ） 在一个周期内的图象如图所示，求解析式.四、当堂小结五、当堂达标1.函数)33sin(51π-=x y 的振幅是 ，频率是 初相是2．要得到y ＝3sin(2x+4π)的图象只需将y ＝3sin2x 的图象（ ） A ．左移4πB ．右移4πC ．左移8πD ．右移8π3.已知y ＝Asin(ωx+φ)在一个周期内，当x=12π时取得最大值2，当π127=x 时取得最小值－2，则（ ） A.)3sin(21π+=x y B.)32sin(2π+=x y C.)62sin(2π+=x y D.)62sin(2π+=x y4.把函数x y 3sin =的图象进行怎样的变换，就能得到下列函数的图象： （1）)33sin(π-=x y ； （2）)33sin(π+=x y ； （3）x y sin -=； （4）x y 3sin -=。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。
它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。
本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。
I、三角函数图像1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。
它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。
2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。
3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到π（π是将一个周期跨越一次）形成的曲线。
它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。
II、三角函数的性质1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。
2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。
3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。
4、极限性：参数π/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。
总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。
正弦函数的图像和性质2
1) sin(
18
)与 sin(
10
)
5 7 2) sin 与 sin 8 8
分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
解：
0 2 10 18 并且f(x)=sinx在 , 上是增函数，所以 2 2
1）因为
sin(
2）因为
7.5.1 正弦函数的图象
提问：
用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
(2) 描点 (3) 连线
一、 正弦函数的图象
1、 函数
y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
1P 1
6
作法: (1) 等分00、300、600 ---(2) 作正弦线 (4) 连线 (3) 平移
周期T 2
x x 2 k , k Z 使y=2+sinx取得最大值的x的集合是： 2
x x 2 k , k Z 使y=2+sinx取得最小值的x的集合是： 2
二、正弦函数性质的简单应用
例2 比较下列各组正弦值的大小：
(6)奇偶性
奇 函数，图象关于_______ 原点 对称 是______
例1、 求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个 函数取最大值、最小值的x值的集合。 解： y max 2 sin x max 2 1 3
y min 2 sin x min 2 (1) 1
5 3
11 6
2
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
正弦、余弦、正切函数的简单应用
正弦、余弦、正切 函数的简单应用
回顾与思考
直角三角形b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sin A cos B a , cos A sin B b ,
c
c
互余两角之间的三角函数关系:
解法1:如图,根据题意知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.
设CD=x,则∠ADC=60º,∠BDC=30º,
AC 在Rt△ADC中,tan60º= x
在Rt△BDC中,tan30º= BC x
D
AC x tan 600 , BC x tan 300.
∵AC-BC=AB
x tan 600 x tan 300 50.
怎么做?
我先将它 数学化!
E
2m
C
400
D
5m B
练习解答
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE 的长.
tan 400 BC , BC BD tan 400.
BD
BE BC 2 BD tan 400 2 6.1955(m).
E
tan BDE BE 5 tan 400 2 1.24.
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直 角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。
随堂练习
钢缆长有多长
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且 DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED 的长度为多少?(结果精确到0.01m).
正弦图像资料
正弦图像
正弦函数是数学中的重要概念，它在图像和波动领域有着广泛的应用。
正弦函数的图像通常呈现连续的波动形状，是一种典型的周期函数。
在本文中，我们将探讨正弦函数的性质、特点以及其在现实生活中的应用。
正弦函数的定义和特点
正弦函数可用以下公式表示：$y = A \\sin(Bx + C) + D$，其中A为振幅，B为周期，C为相位角，D为垂直位移。
正弦函数的图像通常是一条连续的波动曲线，具有周期性和对称性。
正弦函数的振幅决定了波形的最高点和最低点的高度差，周期则影响波形的密度和波峰波谷的间隔。
相位角则控制了波形的起始位置，而垂直位移决定了整体波形相对于坐标轴的位置。
正弦函数的应用
正弦函数在各个领域都有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数被用来描述波动现象，如光波、声波、电磁波等的传播规律。
在工程学中，正弦函数常用于分析交流电路中的电压和电流变化。
在地理学和气象学中，正弦函数被用来描述地球的季节变化和气候周期。
在生物学中，正弦函数被应用于生物钟的研究和生物体内的生理节律。
在金融领域，正弦函数可用来分析股票价格的周期性波动。
结语
正弦函数作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过研究正弦函数的性质和特点，我们可以更好地理解和应用它在现实生活中的各种场景中。
希望本文能带给读者对正弦函数更深入的认识和理解。
感谢阅读！。
62. 什么是正弦函数？它的应用有哪些？
62. 什么是正弦函数？它的应用有哪些？62、什么是正弦函数？它的应用有哪些？在数学的广阔天地中，正弦函数就像一颗璀璨的明星，闪耀着独特的光芒。
那么，究竟什么是正弦函数呢？简单来说，正弦函数是一个周期函数。
它可以用数学表达式 sin(x)来表示，其中 x 是一个角度。
想象一个单位圆，以圆心为原点，圆的半径为 1。
从 x 轴正半轴上的一点开始，以该点为起点，沿着圆的边缘逆时针旋转一个角度 x，此时该点在 y 轴上的投影长度就是 sin(x) 的值。
正弦函数的图像是一条波浪线，具有周期性，不断重复着相同的形状。
它的取值范围在－1 到 1 之间。
当角度为 0 时，sin(0) ＝ 0；当角度为 90 度时，sin(90°）＝ 1；当角度为 180 度时，sin(180°）＝ 0；当角度为 270 度时，sin(270°）＝－1。
正弦函数具有很多重要的性质。
比如，它是奇函数，这意味着 sin(x) ＝ sin(x)。
它还有周期性，其周期通常为2π。
这意味着，sin(x ＋2π)＝ sin(x)。
正弦函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数常用于描述振动和波动现象。
比如，声波就是一种典型的波动。
当我们说话、唱歌或者演奏乐器时，产生的声音实际上是空气分子的振动。
这种振动可以用正弦函数来描述其振幅和频率。
交流电的电压和电流也是按照正弦规律变化的。
我们日常使用的市电，其电压就是一个正弦波。
通过对正弦函数的研究，我们可以更好地理解和控制电力系统，确保电力的稳定供应和安全使用。
在物理学的光学领域，正弦函数也发挥着重要作用。
光的干涉和衍射现象中，光强的分布往往可以用正弦函数来表示。
在数学领域，正弦函数在三角函数的计算中是基础且关键的。
它与余弦函数、正切函数等相互关联，共同构成了三角函数的体系。
在解决几何问题，尤其是涉及三角形的边长和角度计算时，正弦函数经常被用到。
在工程学中，正弦函数同样不可或缺。
数学公式知识：正弦定理及其应用
数学公式知识：正弦定理及其应用正弦定理是三角函数的基本知识之一，也是高中数学中的常见知识点。
正弦定理的应用范围非常广泛，通过正弦定理可以求解各种三角形的不同长度，并且可以通过正弦定理推导出其他的三角形定理。
本文将深入讲解正弦定理及其应用。
一、正弦定理的基本概念正弦定理是用于求解三角形任意一边或角的定理。
在任意三角形ABC中，三角形ABC的三边分别为a、b、c（如图1所示），则正弦定理的表述如下：c/sin C = b/sin B = a/sin A其中，sin A、sin B、sin C分别为三角形ABC中的角A、B、C的正弦值，a、b、c分别为三角形ABC的对应边长。
这个公式可以通过对三角形ABC的边和角的关系进行推导得到。
二、正弦定理的应用1.解决三角形长度知道任意两个角和对应的一个边长，我们可以通过正弦定理计算出另外两个边长。
例如，我们知道三角形ABC中∠A=45°, ∠C=30°，已知c=10，则可以利用正弦定理得到：a/sin A = c/sin C，即a/sin 45°=10/sin 30°通过简单的计算可以得到a的值为：a=10(sin 45°/sin 30°)=10(√2/1/2)=10√2同样地，我们可以通过正弦定理计算出b的值为：b/sin B = c/sin C，即b/sin 180°-A-B = 10/sin 30°通过简单的计算可以得到b的值为：b=10(sin 150°/sin 30°)=10(√3/2/1/2)=5√32.求解三角形的角度知道三角形的两条边和对应的夹角，同样可以通过正弦定理计算出第三条边的长度。
例如，我们知道三角形ABC中已知a=5, b=8，且∠A=60°，则可以利用正弦定理计算c的长度为：c/sin C = a/sin A，即c/sin 180°-A-B = 5/sin 60°通过简单的计算可以得到c的值为：c=5(sin 120°/sin 60°)=5(√3/2/3/2)=5√3知道三个边的长度，我们还可以用反正弦函数求解三角形各角的大小。
5．4.1正弦函数、余弦函数的图象(共36张PPT)
1．函数 y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是
第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质 5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
了解利用正弦线作正弦函数图象
正弦函数、余弦函 的方法，
数的图象 会用“五点法”画正弦函数、余
弦函数的图象
正、余弦函数图象 会用正弦函数、余弦函数的图象
解析：选 A.由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1， (2π，0)，故选 A.
3．函数 y＝cos x，x∈R 图象的一条对称轴是
A．x 轴
B．y 轴
C．直线 x＝π2 答案：B
D．直线 x＝32π
()
4．请补充完整下面用“五点法”作出函数 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的 列表．
的简单应用 解简单问题
核心素养 数学抽象、
直观想象
直观想象
问题导学 预习教材 P196－P200，并思考以下问题： 1．如何把 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象变换为 y＝sin x，x∈R 的图象？ 2．正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
图象
1.3.1正弦型函数图像
得y=3sin
2x+ 3
例3、试说明函数 y=-2sin2x+6 +2 图象与函数
y=sinx的图象的变换关系。
解：将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2
纵坐标不变，则得到y=sin2x的图象。
又将y=sin2x的图象沿x轴向左平移 个单位，则得到
方法二：先把函数 ys的inx图象上各点的横
坐标变为原来的 倍1 ，得到函数 ysinx
图移象| |；个再单把位长y度s，in得x到的函图数像向y左（si右n 的）x(图 平象)
然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，
就得到函数
y的图A 象s. i nx()
例1、作y=2sinx2+3的图象
-
-1
o 6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 ysinx,x [0,2] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点：( ,1 )
2
最低点：(32 ,1)
与x轴的交点：( 0 , 0 ) ( , 0 ) (2 , 0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
36
13
2
2
7
x
2
思考1：一般地，函数 yAsi nx()
（A＞0，＞0）的图象，可以由函数
y sinx的图象经过怎样的变换而得到？
先把函数 y s的inx图象向左（右）平移| |
个单位长度，得到函数 y的si图nx象 (；)
正弦、余弦、正切函数的简单应用课件
C 2
60°
1
A
D
E
E
BHale Waihona Puke C 21 A 60°
D
B
C 2Ｆ
1 A 60°
E
D
你能根据图上信息，提出一个用锐角 三角函数解决的实际问题吗？试一试
P
30° 45°
A 400米 B
C
如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB 与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为 10m,请你求出大树的高.
2、解直角三角形的条件可分为 哪几类？
1、解直角三角形除直角外，至少要知道 两个元素（这两个元素中至少有一条边）
2、解直角三角形的条件可分为两大类： ①、已知一锐角、一边 （一锐角、一直角边或一斜边） ②、已知两边 （一直角边，一斜边或者两条直角边）
“卡努” 台风将一棵大树刮断,经测量，大树刮断一端的着 地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为 400，你知道这棵大树有多高吗？ 参考数据： (sin40°≈0.643; cos40° ≈0.766; tan40° ≈0.839）
40°
4米
1、如图，在⊿ABC中,∠A=30°, tanB= ,AC=2 ,求AB.
C
A
D
B
如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1， ∠A= 60°,∠D=∠B= 90°，求此四边形 ABCD的面积。
B
C 2
60°
1
A
D
如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1， ∠A= 60°,∠D=∠B= 90°，求此四边形 ABCD的面积。
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
正弦函数的图像与性质
sj08_5.5正弦函数的图像与性质课题名称 5.5正弦函数的图像与性质课时 1 课型新授一教学目标知识与技能：1.会用“五点法”作正弦函数在一个周期内的图像.，2.借助正弦函数的图像，理解正弦函数的性质（单调性，最大值；最小值，图像与x轴的交点），理解正弦函数的周期，奇偶性.3.能运用正弦函数的性质解决一些简单的问题.过程与方法：通过五点法的作图，让学生主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解，培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法.情感态度与价值观：1.培养学生合作学习和数学交流的能力.2.渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点.二教学重点与难点教学重点：1.用“五点法”画一个周期内的闭区间上的正弦函数图像.2. 掌握正弦函数的性质.教学难点：正弦函数性质的理解与应用.三教学方法分组讨论法与启发式教学.四教学手段利用多媒体课件sj08、黑板等. 五教学过程【新课导入】我们来看下面这个图，发挥你的想象，说说它像什么？任意一个实数x ，有唯一确定的值sin x 与之相对应.由这个对应法则所确定的函数sin y x =叫做正弦函数.【双基讲解】下面我们先用描点法画出sin y x =在[]0,2π上的图像. 第一步：列表第二步：描点，并用光滑的曲线连接.下图知识正弦函数sin y x =的图像的一部分，由于()sin 2sin k x x π+=，k ∈，所以sin y x =在下列区间[]4,2ππ--，[]2,0π-，[]2,4ππ，[]4,6ππ，……上的图像与在[]0,2π上的图像完全相同.正弦函数sin y x =在定义域上的图像，也可以看作由[]0,2π上的图像向左和向右分别平行移动2π,4π,……后得到.正弦函数的图像叫做正弦曲线. 1.正弦函数的性质： (1)定义域和值域定义域：.值域：[]1,1y ∈-. 当()22x k k ππ=+∈时，max 1y =； 当()22x k k ππ=-∈时，min 1y =-.(2)奇偶性 定义域：x ∈()()sin sin fx x x -=-=-.所以()sin y x x =∈是奇函数.如图：图像关于原点中心对称.(3)单调性 当()2,222x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，函数sin y x =单调递增； 当()32,222x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，函数sin y x =单调递减.如图：(4)周期性你一定感觉到在你的周围有许多周而复始，不断重复出现的现象.周期现象在自然界和日常生活中是屡 见不鲜的.例如江河的潮起潮落，每周的星期一至星期日，一年的四季的春夏秋冬……总是周而复始，重复出现.正弦函数的图像也有这样的特征.函数的周期性一般地，对于函数()f x ，如果存在一个常数T ()0T ≠，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期.由()()sin 2sin x k x k π+=∈知：函数sin y x =是周期函数，()20k k k π∈≠且都是它的周期，最小正周期是2π.【示范例题】例1已知函数1sin y x =+.(1)用“五点法”画出这个函数在[]0,2π上的图像； (2) 求出这个函数在[]0,2π上的最大值和最小值； (3) 判断这个函数的奇偶性；(4)讨论这个函数在[]0,2π上的单调性. 解 (1)第一步：列表第二步：描点，并用光滑的曲线连接.(2)根据函数1sin y x =+的解析式与它在[]0,2π的图像，可得 当2x π=时，函数的最大值max 2y =； 当32x π=时，函数的最小值min 0y =. (3) 函数1sin y x =+的定义域为.因为22f π⎛⎫=⎪⎝⎭，02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，这个函数既不是偶函数，也不是奇函数.(4) 根据图像，函数1sin y x =+ 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数. 例2 求下列函数的周期T .(1) ()sin 2f x x =； (2) ()sin 23x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 解 (1) 因为对于函数()sin 2f x x =定义域内的任意实数x ，有()()()()sin 22sin2f x x x f x πππ=+=+=+， 所以函数()sin 2f x x =的周期T π=. (2) 因为对于函数()sin 23x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭定义域内的任意实数x ， 有()()()1sin 2sin 2sin 44232323x x f x x f x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=++=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以函数()sin 23x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期4T π=. 求函数()()sin 0f x x ωω=≠的周期，可运用公式2T πω=.以后没有特别说明，求周期指的就是最小正周期.【巩固练习】1. 已知函数sin y x =-.(1)用“五点法”画出这个函数在[]0,2π上的图像； (2) 求出这个函数的最大值和最小值； (3) 判断这个函数的奇偶性；(4)讨论这个函数在[]0,2π上的单调性.2. 求下列函数的周期T . (1) ()2sin2x f x =； (2) ()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 六 课堂小结1.正弦函数的定义；2.正弦函数的图像；3. 正弦函数的周期性是正弦函数十分重要的性质；4.会画正弦函数的图像，并根据正弦函数的性质求解相关问题.七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人： 王冬波。
正弦函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质二、典例分析：类型一 “五点法”作图象例1、作函数y =-1+sin x ，x ∈[0,2π]的简图.变式1：作函数y =1+2sin x ，x ∈[0,2π]的图象.类型二 正弦函数图象的简单应用 π2，π，5π2，2π， 3例2、（1）函数y =1+sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y=32x 的交点个数为（ ） A 、1； B 、2； C 、3； D 、0. 解析：如图，选B（2）已知函数y =2sin x （π2≤x ≤5π2）的图象和直线y=2围城的一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 （ ） A 、4； B 、8； C 、2π； D 、4π.变式2：（1）求方程10sin x = x 的实根的个数. （2）求sin x ≥32的解集.解析：（1）由原方程可得，sin x=lg x=12lgx ，则2sin x =lgx ，∵−1≤sin x ≤1， ∴−2≤lgx ≤2，即1100≤x ≤100，显然，1100和100不是方程的根，故x ∈（1100，100），如图，显然两图象交点都在y 轴右边，而31π<100<32π，整周期有14个，每个周期有2个交点，再加上第1个周期有一个，（31π，32π）有2个，故有31个.（2）sin x ≥ 32，如图，在一个周期之内 x ∈[π3，2π3]，故 x ∈[2k π+π3，2k π+2π3]. 类型三 利用y=sin x 的图象作图例3、作出y=sin x ，y=sin ︱x ︱和y=︱sin x ︱的图象并回答下列问题. （1）求函数f(x)=sin x −sin ︱x ︱的值域； （2）写出使︱sin x ︱=1的集合. 解析：①y =sin x 的图象：② y=sin ︱x ︱的图象：③ y=︱sin x ︱的图象：（1）由两个图象可知f(x)=sin x −sin ︱x ︱的值域为[−2，2]； （2）由图象可知︱sin x ︱=1的x 的集合为{x ︱x =k π+π2，k ∈Z}.变式3：作函数y =cot x ∙sin x 的图象.类型四 值域与最值例4、求下列函数的值域和最值：（1）y =2sin x −1； （2）y =3sin （3x +π4）+2；（3）y=2cos 2x+5sin x −4； （4）y=sin x −1sin x+2.解析：（1）最小值为-3，最大值为1；值域[-3,1]. （2）最大值为5，最小值为-1；值域[-1,5].（3）y=2cos 2x+5sin x −4=2（1−sin 2x ）+5sin x −4=−2sin 2x+5sin x −2 =−2 sin x −54 2+98，最小值为−9，最大值为1；值域[−9，1]. （4）原式= y=sin x+2−3sin x+2=1−3sin x+2，∵1≤3sin x+2≤3，∴−3≤−3sin x+2≤−1，故−2≤1−3sin x+2≤0.∴函数的值域为[-2,1].变式4：求下列函数的值域： （1）y =sin x +cos x +sin x cos x ； （2）y= 2x +3sin x −3.解析：（1）令sin x +cos x=t ，则sin x cos x=t 2−12，y=sin x +cos x +sin x cos x=t+t 2−12=t 22+t −12=12t +1 2−1，∴当t= 2时，y max =12+ 2；当t =−1时，y min =−1. （2）y = 2cos 2x+3sin x −3= 2 1−sin 2x+3sin x −3= −2 sin x −34+18.∵−1≤sin x ≤1，且−2sin 2x +3sin x +1≥0，12≤sin x ≤1，设sin x=t ，t ∈[12，t]，∴y max =24，y min =18.类型五 周期性与奇偶性例5、（1）设f(x)施定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f(x)= cos x （−π2≤x <0）sin x 0≤x <π，求f （−15π4）的值.（2）已知f(x)是周期为2的奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=2x ，求f （log 1223）.解析：（1）f （−15π4）=f （−3×3π2+3π4）=f （3π4）=sin 3π4= 22.（2）∵log 1223>1，∴f （log 1223）= f （log 1223+2×2）=−f （log 223−4） =−2log 223∙2−4=−2316.变式5：（1）已知y =2sin ωx （ω>0）的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为（ ）A 、3；B 、32； C 、23； D 、13.（2）若函数f(x)=sin x +φ 为偶函数，求φ的值.。
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第十三讲 ()sin y A x ωϕ=+的图像及简单应用
考点一:图像的平移变换
1.将函数x y 2sin =的图像向左平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得的图像的解析式是（ ） A ．x y 2cos =1- B.x y 2cos =1+ C.1)42sin(++=πx y D.1)4
2sin(-+=π
x y
2.已知简谐运动()2sin()()32
f x x ππ
ϕϕ=+<的图象经过点()1,0，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分
别为 （ ）
A ．6,6
T
π
ϕ==
B ．6,3
T π
ϕ==
C ．6,6
T π
πϕ==
D ．6,3
T π
πϕ==
3..为了得到函数y=sin （2x －6π
）的图象，可以将函数y=cos2x 的图像( )
A.向右平移6π个单位长度
B.向右平移3
π
个单位长度
C.向左平移
6π个单位长度 D.向左平移3
π
个单位长度 4.若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y ＝sin （x ＋4π
），则原来的函数表达式为( )
A . y ＝sin （x ＋43π） B. y ＝sin （x ＋2π
）
C. y ＝sin （x －4π）
D. y ＝sin （x ＋4π）－4π
5.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是
6.求方程x x sin lg =实根的个数
考点二:3个参数值的确定
7.如图表示电流 I 与时间t 的函数关系式：()sin I A x ωϕ=+ 在同一周期内的 图象。
（1）根据图象写出()sin I A x ωϕ=+的解析式； （2）为了使()sin I A x ωϕ=+中t 在任意－段
1
100
秒的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？8.已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3
π
=
x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析
式为（ ）
A ．x y 23sin
2= B ．)2
3sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 2
1
=
考点三:函数图象判断
x
x
o A 2
π
-2π x x o B
2
π
-2π x x o D
2
π
-2π x x o C
2
π
-2π 1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
9.函数y ＝－x ·cos x 的部分图象是（ ）
A
o
y x
B
o
y x
C
o
y x
D
o
y x
10.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22
tan cos ππ
x x x y 的大致图象是( )
课后练习
1.是否存在实数a ，使得函数253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由。
2.结合图象，判断方程x sinx =的实数解的个数.
3.方程x 2=cosx 的实根个数有______个
4. 要得到sin(3)3
y x π
=+。
的图象,只要把sin3y x =的图象 ( )
A ． 向左平移
3π个单位 B ． 向右平移3π个单位 C ． 向左平移9π个单位 D ． 向右平移9
π
个单位 5..函数)3
2
3(6cos 6sin 42
ππ
≤≤--+=x x x y 的值域是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-41,
6 B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0 C ． ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-41,12 D ． []0,6- 6. 函数)2,0,0,)(sin(πϕωϕω<>>∈+=A R x x A y 的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为M
（)3,12
11(),3,125-ππN ，求此函数的解析式。