平面与平面的位置关系_课件

3．在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的 直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．在一个平面内作交线的垂线， 使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握线线垂直、 面面垂直间的转化条件是解决这类问题的关键．在线线垂直和线面垂直的相 互转化中，平面在其中起到至关重要的作用．无论是线面垂直还是面面垂直， 都源自线与线的垂直，这种转化思想在解题时非常重要．在处理实际问题的 过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析 所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”．
1．平行关系的转化
注意：(1)由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某
一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活 确定转化的思路和方向．
(2)证平行关系的方法很多，但我们应该清楚常用的方法是什么？遇到一
个证平行的题目，应该知道从哪里入手比较简单．
2．垂直关系的转化
边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 .
①设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
②求四棱锥P—ABCD的体积．
(1) 证 明 ： 取 AC 的 中 点 为 O ， 连 接 OP 、 OB ， ∵ AO ＝ OC ， PA ＝ PC ， ∴PO⊥AC.∵∠ABC＝90°，∴OB＝OA.又PB＝PA，PO＝PO， ∴△POB≌△POA.∴PO⊥OB. ∴PO⊥平面ABC.∴平面PAC⊥平面ABC.思路点拨：(1)证PO⊥平面ABC，(2)① 因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一定直线垂直于平 面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.②四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的 距离．
∵a⊥α，MN⊥α，∴a∥MN.又a⊥b，∴b⊥MN.设α∩β＝c，且MN⊥α，c⊂α， ∴MN⊥c.
又∵MN⊥b，MN⊥c，且MN、b、c⊂β，∴b∥c，而b⊄α，c⊂α，∴b∥α.
变式2：如图，平面α∥β，线段AB分别交α、β于M、N两点，线段A别交 α、β于C、D两点，线段BF分别交α、β于F、E两点，AM＝9，MN＝11， NB＝15，S△FMC＝78，求△END的面积．
(2)平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的
(3)平面与平面垂直的性质定理
，那么这两个平面互相垂直． 一条垂线
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们
个平面．
的直线垂直于另一 交线
1．(2010·扬州中学高三考试)设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合
的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若
解：∵AB∩AD＝A，∴经过AB、AD可确定平面ABD. ∴MC、ND分别为平面ABD与α、β的交线．∵α∥β，∴MC∥ND. 同理，FM∥EN，则∠FMC＝∠END.
∴S△END＝ ×78＝100.
1．证明两个平面垂直可以利用两个平面垂直的定义，多数情况下利用两个 平面垂直的判定定理．
(2)解：①在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4 ， ∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又∵面PAD⊥面ABCD， 面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD.又BD⊂面BDM， ∴面MBD⊥面PAD.
②过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角 形，∴PO＝2.
α∥β；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.
其中真命题的个数是________．
解析：④是真命题．
答案：1
4．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分
别是1、2，则点P到l的距离为________．
解析：如图，∵PO⊂平面PAB，∴l⊥PO.
∴PO就是P到直线l的距离．
∵α⊥β，∴PAOB为矩形，PO＝
.
答案：
5．平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有
两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可
能是：①1；②2；③3；④4.
以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)
答案：①③
判定两个平面平行除了定义之外常用的判定方法有两个，一个是用两个平面平 行的判定定理，判定两个平面平行，另一个是用结论“垂直于同一条直线的两 个平面平行”判定两个平面平行．
2．当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线．把 面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直．
【例3】(1)已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝
PC.
求证：平面PAC⊥平面ABC.
(2)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不 存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个 平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行，最终 达到目的．例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交 线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．立体几何中的 证明，我们要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的垂 直与平行，都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、 性质定理等．解题中要注意运用上面的转化途径．
2．在解决线面、面面平行的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维” 的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用 性质定理时，其顺序恰好相反．但也要注意，转化的方向总是受题目的具体 条件而定，决不可过于模式化．在处理实际问题的过程中，可以先从题设条 件入手，分析已有的平行关系，再从结论入手分析所要证明的平行关系，从 而架起已知与未知之间的桥梁．根据条件应用性质是证明几何问题的必由之 路，而作辅助线或辅助平面则是应用性质的自然结果，从而实现线线、线面 与面面关系的转化．
5．计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：(1)利用二面 角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则 两垂线所成的角为二面角的平面角；(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个平 面的交线所成的角是二面角的平面角．因此，二面角的求解思路都是“一作 二证三算”．
【知识拓展】
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为
，
此即为梯形的高．∴S四边形ABCD＝
＝24.
【应试对策】
1．面面平行的判定定理及其推论是论证两个平面平行的主要依据．对其判定 定理，可紧紧抓住六个字：“两条”、“相交”、“平行”．对于两个平面 平行问题的判定或证明，主要是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面 平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指 一个平面内的两条相交直线和另一个平面．平面平行的性质是根据平面平行、 线面平行、线线平行的定义直接给出的，证明线面平行往往转化为证明面面 平行．因此，两个平面平行的判定和性质定理为证明空间平行关系提供了转 化的路径．
解析：若a、b无公共点，则α、β既可平行，也可相交，
故p q.①
若α∥β，即“a∥b或a、b异面”，即“a、b无公共点”，
即p⇐q.②
由①②知p是q的必要而不充分条件．
答案：必要不充分
3．(2010·洛阳市高三考试)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，有
以下四个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则
【例1】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.
思路点拨：证平面A1BD内的两条相交直线平行于平面CB1D1.
证明：由正方体ABCD—A1B1C1D1知，A1B1綊AB，
AB綊CD，∴A1B1綊CD.∴四边形A1B1CD为平行四边形．∴A1D∥B1C.
而B1C⊂面CB1D1，∴A1D∥面CB1D1.
平面与平面的位置关系
通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行、垂直的判定定理和 性质定理，并能用它们证明面面的平行与垂直问题．
【命题预测】 1．平面和平面平行是必考内容，难度不大，其考查方式不外乎这样两种：一是
考查平行关系的判定(小题)；二是考查平行关系的证明(大题)，在复习时应 注意定理与性质的条件，及时总结“常考常错”的地方． 2．对二面角以考查基本方法为主． 3．对垂直关系的考查形式多样：填空题、解答题．小题多考查线面、面面、垂 直关系的判定及性质；大题则考查线面、面面垂直关系的证明以及利用垂直 关系进行有关计算.2011年考查垂直关系的可能性很大，但都是基础题．
4．面面垂直的判定定理与性质定理实现了线面垂直与面面垂直的相互转化， 这样面面垂直实际上就是线面垂直，最后归结为我们熟悉的线线垂直，能否 灵活地实施空间垂直的转化是解题的关键，一般来讲，线线垂直最基本，在 转化过程中起到穿针引线的作用；线面垂直是枢纽，将线线垂直与面面垂直 联系在一起．同时也要注意平行关系与垂直关系的内在联系．
思路点拨：构造一个过b与a垂直的平面β或找一条在α内与b平行的直线．
证法一：如图(1)，过b上一点P作a的垂线PQ，b与PQ确定平面β，
∵a⊥b，a⊥PQ，∴a⊥β.又∵a⊥α，∴α∥β，且b⊂β.∴b∥α.
证法二：如图(2)，在b上任取一点M，作MN⊥α于N，直线b与MN确定一 个平面，设为β.
m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝m，
n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.其中正
确命题的序号为________．
答案：①③
2．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b无
公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．
，棱每个半平面叫做二面角的
．面
，这条直
(2)二面角平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两
条射线所成的角叫做二面角的
直，二平面面角角是直角的二面角叫做
．
平面角
6．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是
直二面源自文库，就说这两个平面互相垂直．
4．两个平行平面间的距离
与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的 公垂线，它夹在
这
两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，公垂线段的
长
度叫做
两个平行平面间的距离 ．
5．二面角及其平面角
(1)二面角的定义
一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做
线 二面角
叫做二面角的
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转 化与化归的思想．三种平行关系如图所示．
性质定理的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面 面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．
【例2】已知a和b是异面直线，且a⊥b，a⊥平面α，b⊄平面α，求证：b∥α.
1．两个平面的位置关系
2．两个平面平行的判定：
(1)定义；
(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a ∥β，b ∥β⇒ α∥β ；
(3)a⊥α，a⊥β⇒ α∥β
.
3．两个平面平行的性质
(1)两个平面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a∥b ；
(2)α∥β，l⊥α⇒ l⊥β .
同理，BD∥平面CB1D1，且A1D∩BD＝D.
∴平面A1BD∥平面CB1D1.
变式1：如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：α∥β，γ∥β. 求证：α∥γ. 证法一：如图，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f.
❖ 证法二：作直线a，使a⊥α， ❖ ∵α∥β，∴a⊥β.∵γ∥β，∴a⊥γ. ❖ 直线a垂直于平面α、又垂直于γ，∴α∥γ.