高数A1期中自测卷2(含答案)

合集下载

11级高数A1期中试题_解答_

一、单项选择题（每小题3分，共计5315⨯=分） 1．函数()f x =（ D ）在其定义域内连续．A ．1,0sin ,0x x x x +≤⎧⎨>⎩；B ．01,0x x ≠=⎩ ；C ．sin ,02,xx xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ ； D ．ln(1)cos x x ++2．点0x =是函数1()(1)xf x x =+的（ B ）间断点．A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点 3．设()f x 在点0x 可导，则000(3)()limx f x x fx x x∆→+∆-+∆∆=（ C ）．A ．03'()f x ；B ． 04'()f x ；C ． 02'()f x ；D ．01'()3f x 4．函数()f x =[0,1]上满足罗尔定理的条件，则中值点ξ是（ A ）．A ．23 B ．12 C ．13 D ．145．下列极限错误的是（ B ）．A ．0sin lim 1x x x →=；B ．1lim sin x x x →∞=∞；C ．sin lim 0x x x →∞=；D ．01lim sin 0x x x→=二、填空题（每小题3分，共计5315⨯=分）1．极限011lim(arctanarcsin )x x x x x→+=（ 1 ）． 2．若当0x →时，无穷小2sin2x a 与2x 等价，则a =（ 4 ）． 3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则'(0)f =（ 6- ）． 4．若抛物线(0)y a =>与曲线1ln 2y x =相切，则a =（ 1e ）． 5．已知曲线32y ax bx cx =++在(1,2)处具有水平切线，且原点是它的拐点，则 a =（－1），b =（ 0 ），c =（ 3 ）．三、计算下列各极限（每小题5分，共计5⨯5＝25分） 1．0limx x→；解：原式0x →=0x →=2x →==． 2．32112lim()28x x x →---；解：原式2322412lim 8x x x x →++-=- 32(4)(2)lim8x x x x →+-=- 224lim24x x x x →+=++ 21=．3．3sin lim sin x x xx→-；解：原式201cos lim3x xx →-= 0sin lim6x xx→=16=． 4．1lim(1)tan2x x x π→-解：原式10lim tan(1)2x tt t t π-=→==+lim cot2t t t π→=-022lim cos 2sin 2t tt t ππππ→=-2π=-．5．210arctan lim()x x x x→．解：原式210arctan lim(1)x x x x x→-=+ 或（1arctan ln 0lim xx x x e →=）arctan 1arctan 0arctan lim(1)xx x x x x xx x x x-⋅⋅-→-=+3arctan limx x x x e→-=2220010111limlim 3(1)3x x x x x ee→→--++==13e -=四、按要求计算下列各题（每小题5分，共计5⨯5＝25分）1．设22sin x ye x =，求dy dx；解：2222sin 2sin cos x x dy xe x e x x dx=+22(2sin sin 2)x e x x x =+；2．设211arctanln(1)2y x x x =++，求1|x y ='；解：2111arctan(arctan )[ln(1)]2y x x x x x ''''=+⋅++ 22211111arctan ()(1)1211x x x x x x ''=+⋅⋅+⋅⋅+++ 22211111arctan ()21211x x x x x x=+⋅⋅-+⋅⋅++ 221arctan 11x x x x x -=++++1arctan x= 则111|arctan |arctan14x x y x π=='=== 3．设2[tan ()]y f x f x =+，其中()f u 为可导函数，求dy ．解：因为222[t a n ()][s e c ()2]dyf x f x x f xx dx''=++，所以 222[t a n ()][s e c ()2]d y f x f x x f x x d x ''=++4．设sin y y x +=，求dy dx ，22d ydx．解：方程sin y y x +=两端对x 求导，得cos 1dy dy y dx dx+=从中解出11c o sdy dx y =+，对11cos dy dx y=+两端对x 求导，得 2223sin 'sin (1cos )(1cos )d y y y ydx y y ⋅==++． 5．设2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩，求1x dydx =，221x d ydx =；解：因为221d y t d t t =+，211dx dt t=+ 所以 2221211dy t dy dt t t dx dx dt t+===+，12x dy dx ==，（有错）于是222()(2)12(1)dy d d y d t dx t dxdxdx dt dt==⋅=+，2214x d y dx ==．（有错）五、（8分）设函数2,3(),3x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在点3x =处可导，试确定,a b 值．解：首先函数()f x 点3x =处连续，则33lim ()lim ()(3)x x f x f x f -+→→==，即 2339lim lim()3x x x ax b a b -+→→==+=+，得39a b +=，有93b a =-．又函数()f x 点3x =处可导，则左导数等于右导数，有''(3)(3)f f -+=，即2223333()(3)33(3)6lim lim lim lim 3333x x x x f x f x ax b a x a x x x x --++→→→→--+--=====----，从而6a =，因此当6,9a b ==-时，函数()f x 点3x =处连续，可导．六、应用题（每小题6分，共计2⨯6＝12分） 1．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞；证明：设()arctan arccot f x x x =+，则 2211()011f x x x'=-=++，(,)x ∈-∞+∞ 因此函数)(x f 在(,)x ∈-∞+∞内是常数，又(1)arctan1arccot1442f πππ=+=+=，因此有arctan arccot 2x x π+=．2．设函数1(1)y x x =-，求n 阶导数()n y ；解：因为111y x x=+-，则 2211'(1)y x x -=+-，233(1)2!"(1)y x x -=+-，于是 ()11(1)!!(1)n n n n n n yx x ++-=+-，（12,n = ）．七、附加题（每小题5分，共计2⨯5＝10分）1．设函数()f x 可导，证明()f x 的两个零点之间一定有()'()f x f x +的零点．证明：设函数()f x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，构造函数()()xF x e f x =，显然函数()()xF x e f x =在区间12[,]x x 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得'()0F ξ=，即'()()['()()]0f e f e e f f ξξξξξξξ+=+=由于0e ξ≠，因此必有'()()0f f ξξ+=2．设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，且0()1f x <<，试证在区间(0,1)内存在一点ξ，使得()f ξξ=．证明：欲证()f ξξ=，可以考虑函数表达式()f x x =，因此令()()F x f x x =-．由于函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，所以函数()F x 在闭区间[0,1]上连续，又由于0()1f x <<，则(0)(0)0(0)0F f f =-=>，(1)(1)10F f =-<，由连续函数在闭区间上的零点定理可知，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()0F f ξξξ=-=，即()f ξξ=．。

(北师大版)高中数学高一下期中测试02(含答案)

期中测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{1,0},{1,1,2}S T ，则S T （） A.S B.TC.{1,0,1,2}D.{}12.函数1lg(2)y x 的定义域为（）A.(,2)B.(2,)C.(2,4)D.(2,3)(3,)3.已知向量(1,1),(1,2)a b，则a b （）A.2B.1C.1D.34.22sin 15cos 15 （）A.12B.12C.2D.25.下列函数中，在区间(0,) 上是增函数的是（） A.2y x B.sin y xC.2log y xD.12xy6.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A.16B.6C.13D.37.已知432a ，254b ，1325c ，则（） A.b a c ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b c a ＜＜D.c a b ＜＜8.已知等比数列{}n a 满足114a， 35441a a a ，则2a （） A.2 B.1 C.12D.189.在ABC △中，4B ，BC 边上的高等于13BC，则cos A （）C.D.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18B.54C.90D.8111.在封闭的直三棱柱111ABC A B C 内有一个体积为V 的球，若AB BC ，6AB ，8BC ，13AA ，则该球体积V 的最大值是（）A.4B.92C.6D.32312.已知函数()()f x x R 是奇函数且当(0,)x 时是减函数，若(1)0f ，则函数2(2||)y f x x 的零点共有（） A.4个B.5个C.6个D.7个二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

把正确答案填在题中横线上）13.2cos 3________。

高数1,2(习题册)中期考试模拟试题(二)

（A）不存在间断点. （B）存在间断点x = 1.
（C）存在间断点x = 0. （D）存在间断点x = －1. x 1 0 [ B ] 分析： 1 x 1 x 1 f ( x) x 1 1 x 1 0
如
lim
1 2 1 2
3
1 | x | sin 0 f x f 0 x f 0 lim lim 0 x 0 x 0 x0 x
（22）设函数 f ( x) 对任意x均满足 f (1 x) af ( x), 且有 f (0) b 其中a，b为非零常数，则（A） f ( x)在x 1 处不可导（B） f ( x)在x 1 处可导，且 f (1) a （C） f ( x)在x 1 处可导，且 f (1) b （D） f ( x)在x 1 处可导，且 f (1) ab 分析：因 f (1 x) af ( x) ，取 x 0 得：
（B）与x同阶但非等价无穷小量. （C）f (x)是比x较高阶的无穷小量.
（D）是比x较低阶的无穷小量.
x x x x 2 3 2 2 ln 2 3 ln 3 分析： lim lim k x 0 x 0 x kx k 1
[
B
]
取k 1

ln 2 ln 3 1
1 x （19）（1998数学三、四）设函数 f ( x) lim ，讨论 2 n n 1 x 函数f (x)的间断点，其结论为
（13）（1996数学三、四）的函数，dy = .
设方程 x y y 确定y是x
ln x y ln y 分析：
1 1 y ln y y y x y
1 y x ln y 1

2022-2023学年全国高中高一上数学人教A版(2019)期中试卷(含解析)

2022-2023学年全国高一上数学期中试卷考试总分：95 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知集合＝，集合，若＝，则的取值范围为（）A.B.C.D.2. 函数的定义域为 A.B.C.D.3. 与函数是同一函数的函数是（）A.B.C.D.4. 德国数学家狄利克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形A {x |(3x −1)<1}log 2A ∩B ∅m m ≤−2m <−2m ≥−2m >−2f(x)=−−3x +4x 2−−−−−−−−−−−√lg(x +1)()（−1，0）∪（0，1]（−1，1]（−4，−1]（−4，0）∪（0，1]y =x y =x 2−−√y =x 3−−√3y =(x −√)2y =x 2x1837x y y x x y (5)+f [10f ()]1式．已知函数由下表给出，则的值为( )A.B.C.D.5. 若，，且，则的最小值是( )A.B.C.D.6. 若正实数，，满足，则的最小值为 A.B.C.D.7. 生物有机体死亡后，体内碳元素便以年的半衰期（放射性强度达到原值一半所需要的时间）开始衰变并逐渐减少．上世纪年代，美国化学家利比发明了碳元素放射性测年代方法，因此荣获年的诺贝尔化学奖．考古学家利用此方法建立了测算年代的数学模型（为碳元素剩余量与初始量之比，为生物死亡后的时间）．在日照某处遗址，考古人员从样本组织中检测出碳含量为，因此我们推测此遗址大概距今( )年． A.B.C.D.f (x)f (5)+f [10f ()]11015356x ≥0y ≥0x +2y =12x +3y 223423a b c ab +bc +ac =2−a 22a +b +c ()212–√22–√−14573050−141960P =0.5t −−−√5730P −14t −14P 70%(lg7=0.8451,lg2=0.3010)2000300040005000Q P +Q ={a +b |a ∈P,b ∈Q}P ={0,2,5}8. 设、为两个非空实数集，定义集合．若，，则中元素的个数是（）A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )A.函数在处取得极大值B.函数在处取得极小值C.在区间上单调递增D.当时函数的最大值是10. 下列计算结果为有理数的有（）A.B.C.D.11. 下列结论不正确的是( )A.不等式解集为B.已知，，则是的充分不必要条件C.若，则函数的最小值为D.若，不等式恒成立，则的取值范围为12. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则可以为P Q P +Q ={a +b |a ∈P,b ∈Q}P ={0,2,5}Q ={1,2,6}P +Q 6789f (x)(x)f ′f (x)x =−2f (x)x =1f (x)(−1,1)x ∈[−1,3]f (−1)3⋅2log 2log 3lg2+lg5−e21ln 28log 2(2x −1)(1−x)<0(,1)12p :x ∈(1,2)q :(x +1)≥1log 2p q x ∈R y =++4x 2−−−−−√1+4x 2−−−−−√2x ∈R k −kx +1>0x 2k (0,4)x (ax −1)(x +2a −1)>03a ( )1A.B.C.D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）若方程的两根中，一根在和之间，另一根在和之间，则实数的取值范围是________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分） 14. 已知函数，且）.若，求实数的值；若，求实数的取值范围．15. 已知集合，，条件，条件，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数的图象关于轴对称，且．求，的值；若，且正数，满足，求的最小值． 17. 已知，且，求：的最小值；的最小值．18. 已知集合，（1）若，求实数的值；（2）若，都有，求实数的取值范围．19. 已知函数.若，解不等式；解关于的不等式.−121−12+(k −2)x +2k −1=0x 20112k f(x)=ax(a >0log a a ≠1(1)f (a)+f (3a)=6a (2)f (1)+2>f (2)a M ={y|y =+2x −1,x ∈[−2,1]}x 2N ={x|x +≥2}m 2p :x ∈M q :x ∈N p q m f (x)=+k a x a −x y f (1)=52(1)a k (2)a >k m n m +n =a +k +1m 4n x >0y >02x +8y −xy =0(1)xy (2)x +y A ={x |−2x −3≤0}x 2B ={x |−2mx +−4≤0}x 2m 2A ∩B =[1,3]m ∀x ∈A x ∉B m f (x)=−2(a +1)x +4ax 2(1)a =12f (x)>0(2)x f (x)<0参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得解得且，所以函数的定义域为．故选．3.【答案】−−3x +4 0，x 2x +1>0，x +1≠1，−1<x 1x ≠0f （x ）（−1，0）∪（0，1]AB【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可【解答】解：是的定义域和值域均为的函数．对于其定义域为，定义域相同，而对应关系不相同，∴不是同一函数；对于其定义域为，对应关系也相同，∴是同一函数；对于其定义域为，定义域不相同，∴不是同一函数；对于其定义域为，定义域不相同，∴不是同一函数；故选．4.【答案】D【考点】函数的求值函数的表示方法【解析】直接由图表得到函数值，即可得到答案.【解答】解：由表可知，，，，∴，∴.故选.5.【答案】B【考点】二次函数在闭区间上的最值y =x R A :y ==|x |x 2−−√R B :y ==x x 3−−√3R C :y =(x −√)2{x |x ≥0}D :y =x 2x {x |x ≠0}B f (5)=3f (10)=3f ()=1110f [10f ()]=f (10)=3110f(5)+f [10f ()]=3+3=6110D由题设条件，，且，可得，从而消去，将表示成的函数，由函数的性质求出最小值得出答案【解答】解：由题意，，且，∴，得，即，∴.又，越大函数取到的值越小，∴当时，函数取到最小值为.故选.6.【答案】D【考点】基本不等式【解析】直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：因为正实数，，满足，则，所以，当且仅当，即取等号.故选.7.【答案】B【考点】指数式与对数式的互化对数及其运算【解析】此题暂无解析x ≥0y ≥0x +2y =1x =1−2y ≥0x 2x +3y 2y x ≥0y ≥0x +2y =1x =1−2y ≥0y ≤120≤y ≤122x +3=3−4y +2=3(y −+y 2y 223)2230≤y ≤12y y =1234B a b c ab +bc +ac =2−a 2+ab +bc +ac a 2=(a +b)(a +c)=22a +b +c =(a +b)+(a +c)≥2=2(a +b)(a +c)−−−−−−−−−−−√2–√a +b =a +c b =c D解：由题可知，即，两边取对数，得．故选．8.【答案】C【考点】集合新定义问题元素与集合关系的判断【解析】讨论的取值，根据定义集合分别求出，然后根据集合的互异性求出所求即可．【解答】解：∵，，，∴当时，，，当时，，，当时，，，∴.故选C.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的图象与图象变化利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值P ==0.5t −−−√57300.5t 57300.7=0.5t 5730t =5730×0.7log 0.5=730×lg0.7lg0.5=5730×≈2949≈3000lg7−1−lg2B a P +Q ={a +b |a ∈P,b ∈Q}P +Q P ={0,2,5}Q ={1,2,6}P +Q ={a +b |a ∈P,b ∈Q}a =0b ∈Q P +Q ={1,2,6}a =2b ∈Q P +Q ={3,4,8}a =5b ∈Q P +Q ={6,7,11}P +Q ={1,2,3,4,6,7,8,11}按照“导函数看正负，原函数看增减”的原则逐项判定.【解答】解：由图像可知，当时，；当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故错误；所以在处取得极大值，无极小值，故正确，错误；又在上单调递减，即在上也单调递减，则此时函数的最大值是，故正确.故选.10.【答案】A,B,C,D【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算性质、三角函数求值即可判断出结论．【解答】解：，故符合题意；，故符合题意；，故符合题意；，故符合题意.故选.11.【答案】A,C,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用一元二次不等式的解法不等式恒成立的问题基本不等式【解析】(x)f ′x ∈(−∞,−2)(x)>0f ′x ∈(−2,3)(x)<0f ′f (x)(−∞,−2)(−2,3)C f (x)x =−2A B f (x)(−2,3)f (x)[−1,3]f (−1)D AD 3⋅2=⋅=1log 2log 3lg3lg2lg2lg3A lg2+lg5=lg10=1B −e =−e =−e =e −e =021ln 22ln e ln 22e log 2C 8==3log 2log 223D ABCD将各个命题进行逐一分析求解即可.【解答】解：，不等式可化为，∴不等式的解集为，故错误，符合题意；，由可得，由可以得到；反之，由得不到，∴是的充分不必要条件，故正确，不符合题意；，函数，因为等号成立的条件即不存在，故错误，符合题意；，不等式恒成立，若时满足题意；若，则且，解得，综上所述：的取值范围为，故错误，符合题意.故选.12.【答案】A,C【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用已知条件判断的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可.【解答】解：关于的不等式的解集中恰含有个整数，可得.因为时，不等式的解集中的整数有无数个.不等式对应的方程为：，方程的根为：和.又，且，解得.当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，满足题意；当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，满足题意；当时，不等式的解集是，含有个整数：，，，，不满足题意；当时，不等式的解集是，含有整数个数多于个，不满足题意，A (2x −1)(1−x)<0(2x −1)(x −1)>0{x|x >1或x <}12A B q :(x +1)≥1log 2x ∈[1,+∞)p q q p p q B C y =+ >2+4x 2−−−−−√1+4x 2−−−−−√=+4x 2−−−−−√1+4x 2−−−−−√+4=1x 2C D k −kx +1>0x 2k =0k ≠0k >0Δ=−4k <0k 2k ∈(0,4)k [0,4)D ACD a x (ax −1)(x +2a −1)>03a <0a ≥0(ax −1)(x +2a −1)>0(ax −1)(x +2a −1)=01a 1−2a <01a 1−2a ≤30>a ≥−1a =−1(−1,3)3012a =−12(−2,2)3−101a ∈(−1,−)12(,1−2a)1a 4−1012a ∈(−,0)12(,1−2a)1a4−,−1}1所以符合条件的的解集为.故选.三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13.【答案】【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】将方程根问题转化为函数的零点问题，再利用函数零点存在定理求解即可．【解答】解：设∵方程的两根中，一根在和之间，另一根在和之间，∴，，∴∴∴实数的取值范围是故答案为：四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】解：由，得，得，得，则，解得．由，得，即，得．当时，，解得；当时，，得．综上，实数的取值范围为．a {−,−1}12AC (，)1223f(x)=+(k −2)x +2k −1x 2+(k −2)x +2k −1=0x 20112f(0)>0f(1)<0f(2)>02k −1>03k −2<04k −1>0<k <1223k (，)1223(，)1223(1)f(a)+f(3a)=6(a ⋅a)+(a ⋅3a)=6log a log a 2+3+2=6log a 3=2log a =3a 2a =3–√(2)f(1)+2>f(2)a +2>2a log a log a 1+2>2+1log a 2<2log a a >1>2a 2a >2–√0<a <1<2a 20<a <1a (0,1)∪(,+∞)2–√对数的运算性质【解析】无无【解答】解：由，得，得，得，则，解得．由，得，即，得．当时，，解得；当时，，得．综上，实数的取值范围为．15.【答案】解：化简集合：，，所以，即．化简集合.因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以，解得：或，故实数的取值范围为或．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】解：化简集合：，，所以，即．化简集合.因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以，解得：或，故实数的取值范围为或．16.(1)f(a)+f(3a)=6(a ⋅a)+(a ⋅3a)=6log a loga 2+3+2=6log a 3=2log a =3a 2a =3–√(2)f(1)+2>f(2)a +2>2a log a log a 1+2>2+1log a 2<2loga a >1>2a 2a >2–√0<a <1<2a 20<a <1a (0,1)∪(,+∞)2–√M y =+2x −1=−2x 2(x +1)2x ∈[−2,1]y ∈[−2,2]M =[−2,2]N :N ={x|x +≥2}={x|x ≥2−}m 2m 2p q M N 2−≤−2m 2m ≤−2m ≥2m {m|m ≤−2m ≥2}M y =+2x −1=−2x 2(x +1)2x ∈[−2,1]y ∈[−2,2]M =[−2,2]N :N ={x|x +≥2}={x|x ≥2−}m 2m 2p q M N 2−≤−2m 2m ≤−2m ≥2m {m|m ≤−2m ≥2}解：因为的图象关于轴对称，所以，即，则，又，所以,解得或 .由题可知，所以 .当且仅当，时取等号，故的最小值为 .【考点】函数奇偶性的性质基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为的图象关于轴对称，所以，即，则，又，所以,解得或 .由题可知，所以 .当且仅当，时取等号，故的最小值为 .17.【答案】解：∵，且，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为；由，得：，又，，(1)f (x)y f(−x)=f(x)+k =+k a x a −xa −x a x k =1f(1)=52a +=1a 52a =2a =12(2)m +n =3+=(m +n)(+)1m 4n 131m 4n=(1+++4)≥313n m 4m n m =1n =2+1m 4n 3(1)f (x)y f(−x)=f(x)+k =+k a x a −xa −x a x k =1f(1)=52a +=1a 52a =2a =12(2)m +n =3+=(m +n)(+)1m 4n 131m 4n=(1+++4)≥313n m 4m n m =1n =2+1m 4n3(1)x >0y >02x+8y −xy =0xy=2x +8y ≥216xy −−−−√≥8xy −−√xy ≥64x =4y =16xy 64(2)2x +8y =xy +=12y 8x x >0y >0x +y)⋅(+)=10++282x 8y∴，当且仅当时取等号，故的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由＝，变形得，利用“乘法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵，且，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为；由，得：，又，，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为．18.【答案】解：（1）对于集合：由解得，∴．对于集合，解得，∴．∵，∴，解得∴实数的值为．（2）由条件可知，则或，解得：或∴实数的取值范围是．【考点】一元二次不等式的解法元素与集合关系的判断x +y =(x +y)⋅(+)=10++2y 8x 2x y 8y x≥10+2=18⋅2x y 8y x −−−−−−−√x =2y =12x +y 182x +8y xy +=12y 8x 1(1)x >0y >02x +8y −xy =0xy=2x +8y ≥216xy −−−−√≥8xy −−√xy ≥64x =4y =16xy 64(2)2x +8y =xy +=12y 8x x >0y >0x +y =(x +y)⋅(+)=10++2y 8x 2x y 8y x≥10+2=18⋅2x y 8y x −−−−−−−√x =2y =12x +y 18A −2x −3≤0x 2−1≤x ≤3A ={x |−1≤x ≤3}B :−2mx +−4≤0x 2m 2m −2≤x ≤m +2B ={x |m −2≤x ≤m +2}A ∩B =[1,3]{m −2=1m +2≥3m =3m 3A ∩B =∅m +2<−1m −2>3m <−3m >5m m ∈(−∞,−3)∪(5,+∞)交集及其运算【解析】（1）利用一元二次不等式的解法分别化简集合，，再利用交集运算即可得出．（2）由条件可知，可得或，解出即可．【解答】解：（1）对于集合：由解得，∴．对于集合，解得，∴．∵，∴，解得∴实数的值为．（2）由条件可知，则或，解得：或∴实数的取值范围是．19.【答案】解：当时，，∵，即，∴，解得或，∴不等式的解集为．由题意，得，则，且方程的两根为，．当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式无解；当，即时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式无解；当时，不等式的解集为.【考点】一元二次不等式的解法基本不等式在最值问题中的应用不等式恒成立问题【解析】（1）当时，不等式可化为，解，可得．因为抛物线开口向上，且其两个零点为，所以不等式的解集为．（2）对于二次函数，先考虑二次方程的判别式，其两根为．A B A ∩B =∅m +2<−1m −2>3A −2x −3≤0x 2−1≤x ≤3A ={x |−1≤x ≤3}B :−2mx +−4≤0x 2m 2m −2≤x ≤m +2B ={x |m −2≤x ≤m +2}A ∩B =[1,3]{m −2=1m +2≥3m =3m 3A ∩B =∅m +2<−1m −2>3m <−3m >5m m ∈(−∞,−3)∪(5,+∞)(1)a =−12f (x)=−3x +2x 2f (x)>0−3x +2>0x 2(x −2)(x −1)>0x >2x <1f (x)>0(−∞,1)∪(2,+∞)(2)f (x)=−2(a +1)x +4a =(x −2)(x −2a)x 2Δ=4−16a =4≥0(a +1)2(a −1)2=2x 1=2a x 22a >2a >1f (x)<0(2,2a)2a =2a =1f (x)<02a <2a <1f (x)<0(2a,2)a >1f (x)<0(2,2a)a =1f (x)<0a <1f (x)<0(2a,2)a =−12f (x)>0−3x +2>0x 2−3x +2=0x 2x =1,x =2f (x)=−3x +2x 2x =1,x =2f (x)>0(−∞,1)∪(2,+∞)f (x)=−2(a +1)x +4a x 2−2(a +1)x +4a =0x 2Δ=4−16a =4≥0(a +1)2(a −1)2x =2,x =2a f (x)<0(2,2a)当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；综上，不等式的解集为或，当时不等式无解．【解答】解：当时，，∵，即，∴，解得或，∴不等式的解集为．由题意，得，则，且方程的两根为，．当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式无解；当，即时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式无解；当时，不等式的解集为.2a >2a >1f (x)<0(2,2a)2a =2a =1f (x)<0∅2a <2a <1f (x)<0(2a,2)f (x)<0(2,2a)(a >1)(2a,2)(a <1)a =1(1)a =−12f (x)=−3x +2x 2f (x)>0−3x +2>0x 2(x −2)(x −1)>0x >2x <1f (x)>0(−∞,1)∪(2,+∞)(2)f (x)=−2(a +1)x +4a =(x −2)(x −2a)x 2Δ=4−16a =4≥0(a +1)2(a −1)2=2x 1=2a x22a >2a >1f (x)<0(2,2a)2a =2a =1f (x)<02a <2a <1f (x)<0(2a,2)a >1f (x)<0(2,2a)a =1f (x)<0a <1f (x)<0(2a,2)。

人教版A版-高中数学高一年级上册期中测试试卷02(含答案在前)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！期中测试答案一、1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】B二、11.【答案】0 412.【答案】1 4-或213.【答案】()3,1- 112a ＜＜ 14.【答案】[)1,+∞ 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15.【答案】322x x + 16.【答案】103a ＜≤ 17.【答案】31m --≤＜三、18.【答案】解：（1）{}|20A B x x x = ＞或＜{}|02U C B x x x =-≥或≤{}|22U A C B x x x =- ＞或≤（2）U C C B ⊆∴42a +-≤或0a ≥即6a -≤或0a ≥19.【答案】解：（1）把()1,2代入()f x 得，()112f m =+=，1m =（2）()1f x x x =+定义域为{}|0x x ≠，定义域关于原点对称，()()()1f x x f x x----=-，∴()f x 是奇函数（3）任取12x x ＜，且1x ，()21,x ∈+∞ ()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()121211=x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭()12121=1x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∵12x x ＜，∴12x x -＜0∵211x x ＞＞，∴12110x x -∴()()12f x f x ＜∴()f x 在()1,+∞上是增函数20.【答案】解：（1）1t =时，()()22424f x x x x =+=+- ()()min 24f x f =-=-()()max 15f x f ==∴值域为[]4,5-（2）()241f x x tx t =++-，[]1,2x ∈()22=241x t t t +-+-当21t -≤，即12t -≥时，()()min 150f x f t ==＞，0t ＞此时，0t ＞当22t -≥，即1t ≤-，()()min 2930f x f t ==+＞，13t -＞，舍去当122t -＜＜，即112t --＜＜时，()()2min 2410f x f t t t =-=-+-＞，无解，综上，0t ＞21.【答案】解：（1）由已知得240x ax -+＞，解集为R ，∴2160a ∆=-＜44a -＜＜（2）4a =时，()()2ln 44f x x x =-+ ()()()2ln 44x x x f e e e x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦≥ ()()244x x x e e e -+≥ ()()254x x e e -+≥0 令x e t =，则2540t t -+≥4t ≥或1t ≤∴ln 4x ≥或0x ≤又2440x x -+＞，∴2x ≠综上，x 的解集为{}|0ln 42x x x x ≠≤或≥且22.【答案】解：（1）()1,1,x a x a f x x a x a --⎧=⎨-+-⎩≥＜，当1a ≥时，()()max 03f x f ==，∴4a =；当1a ＜时，()()max 23f x f ==，∴2a =-；综上，4a =或2-（2）()||0g x x x a x a m =--+-=有三个零点，等价于()||h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点，()22,,x ax x a x a h x x ax x a x a⎧--+⎪=⎨-+-+⎪⎩≥＜，当12a ≤≤时，()h x 在1,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,+2a +⎛⎫∞ ⎪⎝⎭递增； ∴102a m h -⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜，即()21901,44a m +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦＜＜， ∴904m ＜＜当11a -＜＜时，()h x 在11,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、1,+2a +⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递增；∴1122a ah m h+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜即()()221144a am-+-＜＜，∴9 14m-＜＜期中测试一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合{}0,1,2A =，那么（）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{}1A ∈D ．{}0,1,2⊂≠A2．下列各组表示同一函数的是（）A ．()1f x x =-，()21x g x x=- B ．()1f x =，()0g x x =C ．()f x =()g x =D ．()f x x =，(),0,0x x g x x x ⎧=⎨-⎩≥＜ 3．三个数0.37a =，70.3b =，ln 0.3c =大小的顺序是（）A ．a b c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．b a c ＞＞D ．c a b ＞＞4．下列函数既是奇函数又在(0,)+∞上为增函数的是（）A ．2y x =B ．1()x g x x -=C ．1y x x =+D ．1y x x=- 5．已知点1,273⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()()2a f x t x =-的图象上，则t a +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 6．若函数()f x 的定义域为[)0,3，则函数()21f x +的定义域是（）A ．[)1,7B ．1,72⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)0,37．设函数()()21,22,2x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()2f f 的值为（） A ．0 B ．3 C ．1- D ．28．函数()()10,1x f x a a a a=->≠的图象可能是（）9．函数22()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．(2,4]-D ．(2,2]-10．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()()21f x f x -＞成立的x 的取值范围是（） A ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．计算：()10232-=_________；7log 22lg 5lg 47++=_________．12．已知函数()21log (),02,0x x x f x x --⎧=⎨⎩＜≥，则()1f =_________；若()2f a =，则a =_________． 13．若函数()()3212x f x a -=--，则()y f x =的图象恒过定点_________，又()f x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是_________．14．已知函数()222x x f x -=，则()f x 的单调递增区间是_________，值域是_________．15．已知()f x 是奇函数，当0x ＜时，()322f x x x =-，则当0x ＞时，()f x =_________． 16．已知函数()()12,1;1log , 1.3x a a x f x x x ⎧-⎪=⎨+⎪⎩≤＞当12x x ≠时，()()12120f x f x x x --，则a 的取值范围是_________． 17．已知函数()24,022,0x x x f x x +⎧=⎨-⎩≤＞，若函数()()y f f x m =+有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是_________．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．18．（本题14分）设全集U R =，集合{}|21A x x x =-＞或＜，{}|20B x x =-＜＜，{}|4C x a x a =+≤≤．（1）求A B ，U A C B ；（2）若U C C B ⊆，求实数a 的取值范围．19．（本题15分）已知函数()m f x x x=+的图象过点()1,2P ．（1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）用函数的单调性定义证明函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数．20．（本题15分）设函数()241f x x tx t =++-．（1）当1t =时，求函数()f x 在区间[]3,1-中的值域；（2）若[]1,2x ∈时，()0f x ＞恒成立，求t 的取值范围．21．（本题15分）已知函数()()2ln 4f x x ax =-+．（1）若()f x 定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当4a =时，解不等式()x f e x ≥．22．（本题15）已知函数()||1f x x a =--，（a 为常数）．（1）若()f x 在[]0,2x ∈上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =⋅+-，若存在实数(]1,2a ∈-，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．。

人教版高中数学上学期期中测试卷02(参考答案)

人教A版2019 必修第二册期中测试卷02高一数学参考答案一、选择题13.【60°或120°】由正弦定理得asinA =bsinB，所以sinB=b sinAa=√32，所以B=60°或120°14.【(2√5,√5)或(−2√5,−√5)】设a=(x,y),因为|a|=5,b=(2,1),a//b,所以{x−2y=0,x2+y2=5,解得{x=2√5,y=√5,或{x=−2√5,y=−√5,因此向量a的坐标是(2√5,√5)或(−2√5,−√5)15.【2】因为B=2A,a=1,b=√3,由正弦定理有asinA =bsinB，得1 sinA =√3sinB=√3sin2A=√32sinAcosA,所以cosA=√32，由余弦定理a2=b2+c2−2bc cosA，得c=2或 c=1(舍)，所以c=216.【(0,12)】设△ABC内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，由题意得|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=c=2,由余弦定理得a2=b2+4−2b,在锐角△ABC中，a2+b2>4且a2+4>b2，所以{2b2+4−2b>4,b2+4−2b+4>b2,解得1<b<4，所以CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =ab cosC=a2+b2−42=b2−b=(b−12)2−14∈(0,12)17.(1) a·b=|a|·|b|cos60°=3×2×12=3,(2)因为c⊥d,所以(3a+5b)·(ma−b)=0,即3ma2−5b2+(5m−3)a·b=0，所以3m×32−5×22+(5m−3)×3=0,所以m=2942.18.(1)在△ABC 中，由正弦定理得sinBcosA −sinAsinB =0,∵sinB ≠0，∴tanA =1,∵A ∈(0,π)，∴A =π4.(2)∵AB ⊥AD ，且∠BAC =π4，∴∠CAD =π4.在△ACD 中，AC =2√2,CD =√5, ∠CAD =π4,由余弦定理CD 2=AC 2+AD 2−2AC ·AD ·cos ∠CAD,解得AD=1 或AD=3. 19.(1)证明：∵a 2=|a|2=cos 2α+sin 2α=1,b 2=|b|2=cos 2β+sin 2β=1, 所以(a +b )(a −b )=|a|2−|b|2=0,得证.(2)∵|ka +b |=|a −kb |,两边平方得k 2+1+2kab =1+k 2−2kab,所以 ab =0.∴cosαcosβ+sinαsinβ=cos (α−β)=cos (β−α)=0. 因为0<β<α<π,∴−π<β<α<0.所以β−α=−π2.20.(1)由余弦定理，b 2=a 2+c 2−2ac ·cosB,得b 2=(a +c)2−2ac (1+cosB ). 因为a +c =6,b =2,cosB =79,所以ac =9，解得a =3,c =3. (2)在△ABC 中，sinB =√1−cos 2B =4√29，由正弦定理得sinA =asinB b=2√23. 因为a =c,所以A 为锐角.所以cosA =√1−sin 2A=13.所以sin (A −B )=sinAcosB −cosAsinB =10√227. 21.(1)根据题意即正弦定理得b 2+c 2=a 2+bc,即a 2=b 2+c 2−bc ,由余弦定理可得cosA =12.∵A ∈(0,π)，∴A =π3.(2)由(1)知A =π3，则sinA =√32,cosA =12.因为cosB =4√37，B ∈(0,π)，所以sinB =√1−cos 2B =17, 所以sinC =sin (A +B )=1314, 由正弦定理得： c =asinC sinA=13.∴S △ABC =12ac sinB =13√32.22.(1)由题意知f (x )=a ·b =msin2x +ncos2x,f(x)过点(π12,√3),(2π3,−2),所以{12m+√32n=√3,−√32m−12n=−2,解得{m=√3,n=1,(2)由(1)得f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin (2x+π6)，由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ+π6),设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x02+1=1,x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y=g(x)得sin(2φ+π6)=1,又0<φ<π，所以φ=π6.所以g(x)=2sin(2x+π2)=2cos2x,由−π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z，得−π2+kπ≤x≤kπ,k∈Z，所以y=g(x)的单调递增区间为[−π2+kπ,kπ],k∈Z附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

(人教版A版最新)高中数学高一上期中测试02-答案

x2
x2
1 1
= x1 x2
x1 x2
1
= x1 x2 1
x1x2
∵ x1＜x2 ，∴ x1 x2＜0
1 ∵ x2＞x1＞1 ，∴1 x1x2 ＞0
∴ f x1 ＜f x2
∴ f x 在 1, 上是增函数
20.【答案】解：（1） t 1时， f x x2 4x x 22 4
h
x
x 2
x
ax x 2 ax
x
a, x≥a a, x＜a
，
当1≤a≤2
时，
h
x
在
,
a
2
1
上递增，在
a
2
1
,
a
2
1
递减，在
a
2
1
,
+
递增；
a 1
a 12 9
∴ 0＜m＜h
2
，即 0＜m＜
4
1,
4
，
9 ∴ 0＜m＜
4
当
1＜a＜1
时，
h
x
16.【答案】 0＜a≤ 3
17.【答案】 3≤m＜1
三、
18.【答案】解：（1） A B x | x＞2或x＜0
CU B x | x≥0或x≤ 2 A CU B x | x＞2或x≤ 2
（2） C CU B ∴ a 4≤ 2 或 a≥0 即 a≤ 6 或 a≥0
19.【答案】解：（1）把 1,2 代入 f x 得，
在
a
1 ,
2
a
2
1
上递减，在
,
a
1 2
、
Байду номын сангаас

2010(秋)《高等数学A1》期中考试题及参考答案.

2010（秋）《高等数学A1》期中考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上，不填解题过程）1．若时，与是等价无穷小，则__________.（答案：1）2．若是可导的奇函数，且，则__________.（答案：）3．设，且存在，，则微分__________.（答案：）4．曲线的凸区间为__________.（答案：）5．抛物线在点(2, 4处的曲率半径＝.（答案：）二、选择题（每小题3分，共15分．每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，请将你认为正确的代号填在题中横线上）1．1．设在开区间内连续，则（D）.(A 在内有界； (B 在内能取得最大值与最小值；(C 在内有零点； (D 当单调时，存在反函数2．曲线的渐近线情况是____C_____.（A）有且仅有水平渐近线；（B）有且仅有铅直渐近线；（C）既有水平渐近线又有铅直渐近线；（D）既无水平渐近线又无铅直渐近线．3．设函数在的某邻域内有连续的二阶导数，且，则D ．（A）是的零点；（B）为极小值点；（C）当时，为拐点；（D）当时，为拐点．4．设满足，若且，则函数在点A ．（A）取极大值；（B）取极小值；（C）在某邻域内单调增；（D）在某邻域内单调减.5．设，则（Ｂ）.(A ；(B ； (C ；(D三、求解下列各题（每小题5分，共20分．要求有解题过程）1．解：= 1.2．设求．解：，．3．设函数是由方程所确定的隐函数，求曲线在点处的切线方程.解：，将点代入得．4．设，求．解：，，．．．．．．．．．．．．．．．．或者，，．四、（本题满分10分）已知在处有二阶导数，试确定常数．解：（1）由在处连续得，．（2），，由得．（3），由得．五、（本题满分10分）设具有二阶导数，且，求．解：．因为，所以，而连续，故，于是，所以，故原式＝．六、设都在区间上可导，证明：在的任意两个零点之间，必有方程的实根.证: 设……………3分则在的两个零点间满足罗尔中值定理条件,使，……………5分即即为所求.七、（本题满分10分）过曲线任意点作该曲线的切线，切线夹在两坐标轴之间的部分为，求的最小长度以及的长度达到最小时的切点坐标．解：曲线上任一点的切线斜率为，．曲线上任一点处的切线方程为，可化为．令，令，故，，，，得到，此时，故．因此的最小长度为，的长度达到最小时的切点坐标为．八、（本题满分10分）设在[0，]上连续，在（0，）内可导，且证明，使得.证: 设，……………3分由于在[0，]上满足罗尔中值定理条件使，………………5分即，所以有.。

高数A1试题2答案

0
0
2
故A=−1 2
所以， f (x) = x −1
6分
五、（7 分）
令 f (x) = tan x + 2sin x − 3x, x (0, ) 2
f '(x) = sec2 x + 2 cos x − 3
f ''(x) = 2sec2 x tan x − 2sin x
4分 3分
= 2 sin x(sec3 x −1) 0
3分
(2) 令 f (x) = 0 即 27 x3 − 26 x −1 = 0
解得 x1 = 1
x2
=
−
1 27
又 f (x) = −54x + 26
因为 f − 1 = 28 0 27
所以 f − 1 = − 41 为极小值.
7分
27 2187
七、（8 分）
（1）证明：由
an+1
= ex − ln x + 1 + C x
4分
6分 3分 6分
3、
1
f (x)dx =
0 x4dx +
1
cos xdx
2分
−2
−2
0
= 32 + sin1
6分
5
4、令A = 1 f (t)dt,则f (x) = x + 2A, 0
A=
1
f (x)dx =
1
(x
+
2 A)dx
=
1
+
2
A
x→0 x
= lim ex +e−x
4分
x→0 1
=2
2 lim ln(1+3x)

2022-2023学年全国高中高一上数学人教A版期中试卷(含解析)

2022-2023学年全国高一上数学期中试卷考试总分：95 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 集合，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.2. 若，则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.3. 设命题，命题，则是成立的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 年文汇高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )A.B.C.U =R A ={x |−x −2<0}x 2B ={x |y =ln(1−x)}{x |x ≥1}{x |1≤x <2}{x |0<x ≤1}{x |x ≤1}0<a 2–√q :>2x 2p q 20196216237810D.5. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，其中，，，则等于（）A.B.C.D.6. 定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（）A.B.C.D.7. 函数的部分图象大致为（）A.B. 12y =f (x)y =g(x)ABC A (1,3)B (2,1)C (3,2)f(g(2))x 123f(x)230321R y =f(x)[a,b]y =f(x +a)[a,b][2a,a +b][0,b −a][−a,a +b]y =sin 2x1−cos xC. D.8. 下列四个函数：①＝；②；③＝；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（）A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 设集合＝，＝，则下列关系正确的是（）A.B.C.＝D.10. 已知函数，则下列说法正确的是( )A.函数是偶函数B.函数是奇函数C.函数在上为增函数D.函数的值域为11. 已知函数若关于的方程有且仅有一个实数解，且幂函数在上单调递增，则实数的取值可能是( )y 2x +3y 2x 1234M {y |y ＝−+4}e x N {x |y ＝lg[(x +2)(3−x)]}M ⊆N∁R ∁R N ⊆MM ∩N ∅N ⊆M∁R f (x)=(1+)−xlog 24x f (x)f (x)f (x)(−∞,0]f (x)[1,+∞)f (x)={,x >0,e |x−1|x ,x ≤0,e x xf (x)=a g(x)=x a (0,+∞)aA.B.C.D.12. 已知函数，给出下列四个命题，其中真命题的序号是( )A.存在实数，使得函数恰有个不同的零点B.存在实数，使得函数恰有个不同的零点C.存在实数，使得函数恰有个不同的零点D.存在实数，使得函数恰有个不同的零点卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）已知正数，满足，则的最小值为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 已知，关于的不等式的解集为.当为空集时，求的取值范围；在的条件下，求的最小值；当不为空集，且时，求实数的取值范围.15. 已知集合，．当时，求；若，求的取值范围．16. 已知函数且是奇函数.求的值；讨论在上的单调性，并予以证明．17. 已知函数为定义在）的函数．当时，是的二次函数；当时，．给出数据如表（部分）：求关于的函数关系式；求函数的值域； 11e2ef(x)=(−1−|−1|+k x 2)2x 2k 2k 5k 6k 8a b a +b =19a +bab m ∈R x −2mx +m +2≤0x 2M (1)M m (2)(1)y =+3m +4m 2m +1(3)M M ⊆[1,4]m A ={x|−3≤x <4}B ={x|a +1<x ≤3a −1}(1)a =2A ∪B (2)A ∩B =B a f(x)=+m(a >0log a x +1x −1a ≠1)(1)m (2)f(x)(1,+∞)f(x)[0,+∞0≤x <6f(x)x x ≥6f (x)=()13x−tx 0127⋯f(x)0169⋯(1)y x y =f (x)(2)f(x)18. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，求该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份．（参考数据：）19.已知，证明：；解关于的不等式：.201513012%200lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30(1)a >1，b >1a +b <2ab (2)x +2x −−2a <0x 2a 2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】根据图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由图可知，阴影部分的元素为属于当不属于的元素构成，所以用集合表示为．，，则，则．故选：．2.【答案】C【考点】不等式的基本性质基本不等式【解析】【解答】解：因为，所以，，由基本不等式：当时，，所以．故选．3.【答案】Venn Venn A B A ∩(B)∁U A ={x |−x −2<0}={x |−1<x <2}x 2B ={x |y =ln(1−x)}={x |1−x >0}={x |x <1}B ={x |x ≥1}∁U A ∩(B)={x |1≤x <2}∁U B 0<a <b a <ab −−√<b a +b 20<a <b <ab −−√a +b 2a <<<b ab −−√a +b 2CB【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：，解得或.若成立，则成立，反之，若成立，则未必成立，即是成立的充分不必要条件.故选.4.【答案】B【考点】集合中元素的个数Venn 图表达集合的关系及运算【解析】此题暂无解析【解答】解：设参加田赛的学生为集合，参加径赛的学生为集合，全集为，由题可得参加比赛的学生共有人，由，可得田赛和径赛都参加的学生人数为．故选．5.【答案】B【考点】q :>2x 2x >2–√x <−2–√p :x >2–√q :>2x 2q :>2x 2p :x >2–√p q B A B U 31A ∩B =A +B −A ∪B 16+23−31=8B【解析】根据函数图象和函数值的对应关系即可得到结论．【解答】解：由图象可知，由表格可知，∴.故选．6.【答案】A【考点】函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的图象左右平移个单位长度后得的图象，因此它们的值域是相同的．故选．7.【答案】C【考点】函数的图象【解析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数，可知函数是奇函数，排除选项，当时，，排除，时，，排除．故选．8.g(2)=1f (1)=2f [g(2)]=f (1)=2B y =f(x)|a|y =f(x +a)A y =sin 2x1−cos x B x =π3f()==π33–√21−123–√A x =πf(π)=0D CC【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B【考点】集合的包含关系判断及应用交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A,D【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】由，判断是偶函数；f (−x)=(1+)+x =(1+)−x =f (x)log 214x log 24x f (x)(−1)=>1=f (0)5由判断函数的值域为）【解答】解：∵，∴函数是偶函数，故选项正确，选项错误；则，故选项错误，选项正确．故选．11.【答案】A,D【考点】函数的图象幂函数的性质函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：的图象如图所示，因为有且仅有一个实数解，即的图象与有且只有一个交点，所以．又因为在上单调递增，所以，所以.故选 . 12.【答案】A,B,D【考点】f (−1)=>1=f (0)log 252f (x)[1,+∞f (−x)=(1+)+x =(1+)−x =f (x)log 214x log 24x f (x)A B f (−1)=>1=f (0)log 252C D AD f (x)f (x)=a y =f (x)y =a a ∈[e,+∞)∪{1,0,−}1eg(x)=x a (0,+∞)a >0a ∈[e,+∞)∪{1}AD命题的真假判断与应用【解析】首先考查函数的奇偶性，然后利用复合函数单调性的法则考查函数的性质，最后数形结合即可确定函数零点的个数．【解答】原问题等价于考查函数＝与函数＝的交点个数，注意到为奇函数，故首先研究函数在上的性质：当时，＝，函数＝在区间上单调递减，值域为，函数＝在区间上单调递减，在区间上单调递增，由复合函数单调性的法则可得，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，同理可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，据此函数函数的图象如图所示，如图所示，轴与函数图象交点个数为个，选项正确，轴上方的直线与函数图象交点个数为个，选项正确，轴下方的直线与函数图象交点个数为个，选项正确，交点个数不可能为个，选项错误，三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13.【答案】【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析g(x)(−1−|−1|x 2)2x 2h(x)−k g(x)g(x)[0,+∞)0≤x ≤1g(x)(1−−(1−)x 2)2x 2u(x)1−x 2[0,1][0,1]y −u u 2g(x)g(x)x 5C x 2A x 8D 6B 16【解答】解：正数，满足，则，当且仅当且，即时，取得最小值故答案为：．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】解：，即方程无实根，，即，解得.故实数的取值范围为.由知，则，，当且仅当，即时等号成立，故所求的最小值为.设，当不为空集时，由，得解得，故所求实数的取值范围为.【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系一元二次不等式与一元二次方程一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】无【解答】解：，即方程无实根，，即，解得.故实数的取值范围为.由知，则，，a b a +b =1=+=(+)(a +b)=10++≥10+9a +b ab 9b 1a 9b 1ab a 9ab 2=16⋅b a 9a b −−−−−−√=b a 9a ba +b =1a =,14b =3416.16(1)∵M =∅−2mx +m +2=0x 2∴Δ=4−4(m +2)<0m 2−m −2<0m 2−1<m <2m (−1,2)(2)(1)m ∈(−1,2)0<m +1<3∴y =+3m +4m 2m +1=+(m +1)+2(m +1)2m +1=(m +1)++12m +1≥2+1(m +1)⋅2m +1−−−−−−−−−−−−−√=2+12–√m +1=2m +1m =−12–√1+22–√(3)f (x)=−2mx +m +2x 2=−+m +2(x −m)2m 2M M ⊆[1,4]Δ=4−4(m +2)≥0,m 2f (1)=3−m ≥0,f (4)=18−7m ≥0,1≤m ≤4,2≤m ≤187m [2,]187(1)∵M =∅−2mx +m +2=0x 2∴Δ=4−4(m +2)<0m 2−m −2<0m 2−1<m <2m (−1,2)(2)(1)m ∈(−1,2)0<m +1<3∴y =+3m +4m 2m +1=+(m +1)+2(m +1)2m +1=(m +1)++12m +1≥2+1(m +1)⋅2m +1−−−−−−−−−−−−−√=2+12–√+1=2当且仅当，即时等号成立，故所求的最小值为.设，当不为空集时，由，得解得，故所求实数的取值范围为.15.【答案】解：当时，则，又，所以；因为，所以，当时，符合题意，此时，解得；当时，因为，所以解得；综上，的取值范围是.【考点】并集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】本题考查了并集及其运算，集合的包含关系的应用，集合关系中参数取值问题，属于基础题.当时，求出集合，进而求出答案；由题意可得，再分和两种情况解答即可.【解答】解：当时，则，又，所以；因为，所以，当时，符合题意，此时，解得；当时，因为，所以解得；综上，的取值范围是.m +1=2m +1m =−12–√1+22–√(3)f (x)=−2mx +m +2x 2=−+m +2(x −m)2m 2M M ⊆[1,4]Δ=4−4(m +2)≥0,m 2f (1)=3−m ≥0,f (4)=18−7m ≥0,1≤m ≤4,2≤m ≤187m [2,]187(1)a =2B =｛x|3<x ≤5｝A ={x|−3≤x <4}A ∪B =｛x|−3≤x ≤5｝(2)A ∩B =B B ⊆A B =∅B ⊆A a +1≥3a −1a ≤1B ≠∅B ⊆Aa +1<3a −1，a +1≥−3，3a −1<4，1<a <53a (−∞，1)∪(−∞，)53（1）a =2B （2）B ⊆A B =ΦB ≠Φ(1)a =2B =｛x|3<x ≤5｝A ={x|−3≤x <4}A ∪B =｛x|−3≤x ≤5｝(2)A ∩B =B B ⊆A B =∅B ⊆A a +1≥3a −1a ≤1B ≠∅B ⊆Aa +1<3a −1，a +1≥−3，3a −1<4，1<a <53a (−∞，1)∪(−∞，)5316.【答案】解：由题意可知，是奇函数，则，即，解得.设，任取，则.∵，，∴，.又∵，∴.∴，即.当时，是增函数，∴，即；当时，是减函数，∴，即.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明对数函数的单调性与特殊点【解析】根据奇函数的定义便可求出；讨论的取值判断的符号，从而判断出函数在上的单调性．【解答】解：由题意可知，是奇函数，则，即，解得.设，任取，则.∵，，∴，.又∵，∴.(1)f(x)f(−x)=−f(x)+m =−−m log a−x +1−x −1log a x +1x −1m =0(2)u =x +1x −1>>1x 2x 1−=−u 2u 1+1x 2−1x 2+1x 1−1x 1=(+1)(−1)−(+1)(−1)x 2x 1x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1=2(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1>1x 1>1x 2−1>0x 1−1>0x 2<x 1x 2−<0x 1x 2<02(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 11y =x log a <log a u 2log a u 1f()<f()x 2x 10<a <1y =x log a >log a u 2log a u 1f ()>f ()x 2x 1a >1f (x)(1,+∞)0<a <1f (x)(1,+∞)(1)f(−x)=−f(x)m (2)a f'(x)f(x)(1,+∞)(1)f(x)f(−x)=−f(x)+m =−−m log a−x +1−x −1log a x +1x −1m =0(2)u =x +1x −1>>1x 2x 1−=−u 2u 1+1x 2−1x 2+1x 1−1x 1=(+1)(−1)−(+1)(−1)x 2x 1x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1=2(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1>1x 1>1x 2−1>0x 1−1>0x 2<x 1x 2−<0x 1x 202(−)∴，即.当时，是增函数，∴，即；当时，是减函数，∴，即.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．17.【答案】解：当时，设，则可解得，故；当时，可解得，故，综上当时，,在上单调递减，在上单调递增，所以的值域为；当时，在上单调递减，所以的值域为，综上，值域为.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法函数的值域及其求法【解析】【解答】解：当时，设，则可解得，故；当时，可解得，故，<02(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 11y =x log a <log a u 2log a u 1f()<f()x 2x 10<a <1y =x log a >log a u 2log a u 1f ()>f ()x 2x 1a >1f (x)(1,+∞)0<a <1f (x)(1,+∞)(1)0≤x <6f (x)=a +bx +c x 2f(0)=0，f(1)=1，f(2)=6，c =0,a =2,b =−1f (x)=2−x x 2x ≥6f (7)==9()137−t t =9f (x)=()13x−9f(x)= 2−x(0≤x <6)，x 2((x ≥6).13)x−9(2)0≤x <6f (x)=2−x =2(x −−x 214)218f(x)[0,]14(,6)14f(x)[−,66)18x ≥6f (x)=()13x−9[6,+∞)f(x)(0,27][−,66)18(1)0≤x <6f (x)=a +bx +cx 2f(0)=0，f(1)=1，f(2)=6，c =0,a =2,b =−1f (x)=2−x x 2x ≥6f (7)==9()137−tt =9f (x)=()13x−9(x)=2−x(0≤x <6)，2综上当时，,在上单调递减，在上单调递增，所以的值域为；当时，在上单调递减，所以的值域为，综上，值域为.18.【答案】年【考点】函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】设第年的研发投资资金为，则，由题意，需，解得，故从年该公司全年投入的研发资金超过万．19.【答案】证明：因为，所以，则．又因为，所以因为，所以解：，若，即，则不等式的解集为；若，即，则不等式无解；若，即，则不等式的解集为.【考点】不等式恒成立问题一元二次不等式的解法f(x)= 2−x(0≤x <6)，x 2((x ≥6).13)x−9(2)0≤x <6f (x)=2−x =2(x −−x 214)218f(x)[0,]14(,6)14f(x)[−,66)18x ≥6f (x)=()13x−9[6,+∞)f(x)(0,27][−,66)182019n ,=130a n a 1=130×a n 1.12n−1=130×≥200a n 1.12n−1n ≥52019200(1)a >1，b >1<1，<11a 1b+<21a 1b +=1a 1b a +b ab <2.a +b ab ab >0a +b <2ab.(2)+2x −−2a =(x −a)(x +a +2)<0x 2a 2a >−a −2a >−1{x|−a −2<x <a}a =−a −2a =−1a <−a −2a <−1{x|a <x <−a −2}【解析】【解答】证明：因为，所以，则．又因为，所以因为，所以解：，若，即，则不等式的解集为；若，即，则不等式无解；若，即，则不等式的解集为.(1)a >1，b >1<1，<11a 1b+<21a 1b +=1a 1b a +b ab <2.a +b ab ab >0a +b <2ab.(2)+2x −−2a =(x −a)(x +a +2)<0x 2a 2a >−a −2a >−1{x|−a −2<x <a}a =−a −2a =−1a <−a −2a <−1{x|a <x <−a −2}。

2021年人教A版高一数学上学期期中测试卷(共3份)含答案

2021年人教A 版高一数学上学期期中测试卷01 第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{|13}A x R x =∈，{|1}B x R x =∈，则()(R A B =⋃ ) A ．(1-，3]B ．[1-，3]C ．(,3)-∞D ．(-∞，3]2．已知集合{||2|3}A x x =-<，21|log B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则(AB = )A ．(1,)-+∞B ．(1,5)-C ．(-∞，1)(1⋃，5)D ．(5,)+∞3．已知()2()31f x f x x +-=+，则()(f x = ) A ．133x -+B ．3x -C ．31x -+D ．13x -+4．下列函数中，与函数()1()f x x x R =+∈的值域不相同的是( ) A ．()y x x R =∈B ．3()y x x R =∈C ．(0)y lnx x =>D ．()x y e x R =∈5．已知1525a =，256b =，652c =，则( ) A ．a b c <=⎨-⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．2{1}[e ，)+∞B ．2{1}(e ⋃，)+∞C ．[1，2]eD ．(1，2]e8．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的减区间是( )A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(5,)+∞D ．(,1)-∞-9．已知函数||()||x f x e x =+，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是( )A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,)2310．设1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩，若f (a )(1)f a =+，则(a = )A ．4B ．2C ．14D ．1211．已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是( )A ．()ln ||f x x x =-B ．2()ln ||f x x x =-C ．1()ln f x x x =+ D ．21()ln ||f x x x=- 12．已知函数(2)x y f =的定义域是[1-，1]，则函数3(log )f x 的定义域是( )A ．[1-，1]B ．1[,3]3C ．[1，3]D ．第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，32()1f x x x =++，则(2)f -= ．14．函数221()()2x x f x -+=的值域是．15．函数2()1x f x x =-的单调递减区间是．16．若()1f x lgx =+，2()g x x =，那么使2[()][()]f g x g f x =的x 的值是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算：(1)21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+；(2)lg232log 9lg lg4105+--18．(本小题满分12分)已知函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点1(2,)9．(1)比较f (2)与2(2)f b +的大小； (2)求函数22()(0)xxg x a x -=的值域．19．(本小题满分12分)已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-．(1)求函数()f x 的定义域并判断函数()f x 的奇偶性； (2)记函数()()103f x g x x =+，求函数()g x 的值域； (3)若不等式()f x m >有解，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知函数||1()22x xf x =+．(1)17()4f x ； (2)若关于x 的方程(2)()40f x af x ++=在(0,)+∞上有解，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知()1(01)x f x a a a =->≠且 (1)求()f x 的定义域；(2)是否存在实数a 使得函数()f x 对于区间(2,)+∞上的一切x 都有()0f x ？22．(本小题满分12分)已知函数())f x x =． (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)若对任意的[1x ∈-，3]，不等式2()f x ax f -+(4)0均成立，求实数a 的取值范围．2021年人教A 版高一数学上学期期中测试卷01（答案）【解析】集合{|(3)(2)6}{|05}{1A x N x x x N x =∈--<=∈<<=，2，3，4}，则集合A 中的元素个数为4，故选：B ． 2.【答案】C 【解析】{|08}A x x =<<，{|24}B x x =-，{|28}AB x x ∴=-<，故选：C ． 3.【答案】C【解析】函数()||f x lnx =的图象如图而1()f f e=（e ）1=由图可知1[a e∈，1]，[1b ∈，]e ，b a -的最小值为1a e =，1b =时，即11b a e-=-故选：C ．4.【答案】A【解析】因为()2()31f x f x x +-=+，所以()2()31f x f x x -+=-+，则1()33f x x =-+．故选：A ． 5.【答案】C【解析】函数()x f x =在区间[1，2]上单调递增，∴函数()x f x =在区间[1，2]上的最大值是f （2）2=，故选：C ． 6.【答案】B【解析】析：0.30.40.30.3>，即0b c >>，而0.30.30.44()()10.33a b ==>，即a b >， a b c ∴>>，故选：B ． 7.【答案】B【解析】点(1,2)在函数图象上，122a a ∴=∴=，故①正确；∴函数2t y =在R 上是增函数，且当5t =时，32y =故②正确，4对应的2t =，经过1.5月后面积是 3.5212<，故③不正确；如图所示，12-月增加22m ，23-月增加24m ，故④不正确．对⑤由于：122x =，232x =，362x =，11x ∴=，322log x =，632log x =，又因为323236222221log log log log log ⨯+=+==，∴若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x +=成立．故选：B ． 8.【答案】C【解析】函数0x y e =>恒成立，不存在零点，即A 不符合题意；函数10y >恒成立，不存在零点，即B 不符合题意；函数122y log x log x =-=在(0,)+∞上单调递增，且当1x =时，0y =，所以函数的零点为1x =，即C 正确；函数2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即D 不符合题意．故选：C ． 9.【答案】B【解析】当0x >时，由()0f x =得220x x -=，得2x =或4x =，此时有两个零点，若()f x 有三个零点，则等价为当0x 时，|2|()x f x e a +=-有1个零点，由|2|0x e a +-=得|2|x e a += 作出函数2|2|(2),20,2x x x e x y ee x ++-+⎧-<==⎨-⎩的图象，由图象知，若()f x 只有一个零点，则1a =或2a e >，即实数a 的取值范围是2{1}(e ⋃，)+∞，故选：B ．10.【答案】A【解析】函数22,0()1,0x x x f x x x ⎧-⎪=⎨<⎪⎩，则不等式()f x x ，可得202x x x x ⎧⎨-⎩或01x x x <⎧⎪⎨⎪⎩，解得03x 或10x -<，即为13x -．则不等式()f x x 的解集为[1-，3]，故选：A ． 11.【答案】C【解析】设245t x x =--，由0t >可得5x >或1x <-，则12log y t =在(0,)+∞递减，由245t x x =--在(5,)+∞递增，可得函数()f x 的减区间为(5,)+∞．故选：C ． 12.【答案】C【解析】实数x 满足3log 41x =，4log 3x log ∴==则22x x -+==故选：C ． 13.【答案】(1,2)【解析】由于函数xy a =经过定点(0,1)，令10x -=，可得1x =，求得f （1）2=，故函数1()1(0,1)x f x a a a -=+>≠，则它的图象恒过定点的坐标为(1,2)，故答案为(1,2)．14.【答案】1[,)2+∞【解析】令22t x x =-+，则(t ∈-∞，1]即1()2t y =，(t ∈-∞，1]函数1()2t y =在区间(-∞，1]上是减函数故111()22y =故函数221()()2x x f x -+=的值域是1[,)2+∞故答案为：1[,)2+∞.15.【答案】2-【解析】若22a -<，即0a >时，2(2)log (1)1f a a -=-+=．解得12a =-，不合题意．当22a -，即0a 时，(2)211af a --=-=，即221a a -=⇒=-，所以f （a ）2(1)log 42f =-=-=-．故答案为：2-． 16.【答案】2152a【解析】函数(2)(4)(2)()|2|(4)(2)(4)(2)x x x f x x x x x x --⎧=--=⎨--<⎩ ∴函数的增区间为(,2)-∞和(3,)+∞，减区间是(2,3)．在区间(5,41)a a +上单调递减，(5a ∴，41)(2a +⊆，3)，得25413a a ⎧⎨+⎩，解之得2152a故答案为：2152a.17.【解析】（Ⅰ）3log 2x =，∴132,32x x -==， ∴1419911941331022xxx x ---+-+==++；（Ⅰ）原式2019(3)1[(2(2π=-⨯+⨯- 31π=-+ 2π=-．18.【解析】（1）函数()(32)f x ln x =+，()(32)g x ln x =-，则函数()()()(32)(32)F x f x g x ln x ln x =-=+--；所以320320x x +>⎧⎨->⎩，解得3232x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，所以函数()F x 的定义域为3(2-，3)2；（2）不等式()0F x >，即为(32)(32)0ln x ln x +-->，可化为32032xlnx+>-，等价于332232132x x x ⎧-<<⎪⎪⎨+⎪>⎪-⎩，解得302x <<，所以x 的取值范围是3(0,)2．19.【解析】（1）设0x <，则0x ->，所以22()()2()121f x x a x x ax -=-+-+=-+；又因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以当0x <时，2()21f x x ax =-+；⋯⋯⋯⋯（4分）（2）当[0x ∈，5]时，2()21f x x ax =++，对称轴x a =-， ①当52a -，即52a -时，g （a ）(0)1f ==； ②当52a -<，即52a >-时，g （a ）f =（5）1026a =+；综上所述，g （a ）51,251026,2a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩；⋯⋯⋯⋯（10分）（3）由（2）知g （a ）51,251026,2a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩，当52a -时，g （a ）为常函数；当52a >-时，g （a ）为一次函数且为增函数；因为1(8)()g m g m =，所以有018m m m >⎧⎪⎨=⎪⎩或582152mm ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得m =或516205m m ⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，即m 的取值集合为{|m m =25}516m --．⋯⋯（16分）另解（3）①当582m <-，有516m <-，所以116(5m ∈-，0)，则502112610m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩或1655211m ⎧-<<-⎪⎨⎪=⎩，解得25m =-或25516m -<<-，取并集得25516m -<-；②当582m -，有516m -，所以1(m ∈-∞，16][05-，)+∞，则1165126108m m ⎧-⎪⎨⎪=+⎩或101261082610m m m ⎧>⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩；解得516m =-或m =（舍负）；综上所述，m 的取值集合为{|m m =或25}516m --．【注：最后结果不写集合不扣分】．20.【解析】2()max f x a =，1()minf x a -=，则2318a a a-==，解得2a =；当01a <<时，1()max f x a -==，2()min f x a =，则1328a a a --==，解得12a =；故2a =或12a =（Ⅰ）当1a >时，由前知2a =，不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+即得解集为(2-，1)(3-⋃，)+∞． 21.【解析】（1）2236371()0(2)(2)x x f x x x +--'==-<++；函数()f x 在(,2)-∞-，(2,)-+∞上单调递减，即该函数的单调递减区间是：(,2)-∞-，(2,)-+∞；（2）(2,2)m ∈-时，23(1,7)m -+∈-，2[0m ∈，4)；即23m -+和2m 都在()f x 的递减区间(2,)-+∞上；∴由2(23)()f m f m -+>得：223m m -+<，解得3m <-，或1m >，又(2,2)m ∈-，12m ∴<<；m ∴的范围是(1,2)．22.【解析】（Ⅰ）对于函数4()1(0,1)2xf x a a a a =->≠+，由4(0)102f a=-=+，求得2a =，故42()1122221x x f x =-=-++．（Ⅰ）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点，则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，求得1k <．（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立．令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)∈上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m∴．2021年人教A 版高一数学上学期期中测试卷02 第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合{|13}A x Z x =∈-<<的元素个数是 A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合4{|0log 1}A x x =<<，2{|1}x B x e -=，则A B =A ．(,4)-∞B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1，2]3．函数332xx xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)4．设()2f x x a =+，21()(3)4g x x =+，且2(())1g f x x x =-+，则a 的值为A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或2-5．已知函数2()(1)x f x a =-，若0x >时总有()1f x >，则实数a 的取值范围是A ．1||2a <D ．||a >6．已知0.22a =，0.42b =， 1.21()2c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为1E ，2E ，则1E 和2E 的关系为 A ．1232E E =B ．1264E E =C ．121000E E =D ．121024E E =8．下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是 A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()||f x x =-9．若函数()()x f x e ln x a -=-+在(0,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围是 A ．1(,)e-∞B ．(,)e -∞C ．1(,)e e -D ．1(,)e e-10．函数()f x = A ．[3，)+∞B ．[1，)+∞C ．(-∞，1]-D ．(-∞，1]11．已知定义域为R 的函数()f x 满足(3)(1)f x f x -=+，当2x 时()f x 单调递减且f (a)(0)f ，则实数a 的取值范围是A ．[2，)+∞B ．[0，4]C ．(,0)-∞D ．(,0)[4-∞，)+∞12．定义在R 上的奇函数()f x 满足f (1)0=，且对任意的正数a 、()b a b ≠，有()()0f a f b a b -<-，则不等式(2)02f x x -<-的解集是 A ．(1-，1)(2⋃，)+∞ B ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞C ．(-∞，1)(3⋃，)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知指数函数()(21)x f x a =-，且(3)(2)f f ->-，则实数a 的取值范围是．14．函数211()3x y -=的值域是．15．已知函数21,0()4,1x x f x x x +⎧=⎨->⎩，若()1f x =-，则． 16．已知1a b >>，且2log 4log 9a b b a +=，则函数2()||f x b x a =-的单调递增区间为．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求值：(1)30243516()2e ln1lg4lg5log 5log 981---+-++⨯；(2)已知0a >，23xa =，求33x xx xa a a a --++的值．18．(本小题满分12分)求函数的定义域．(1)函数y =(2)已知()y f x =的定义域为[0，1]，求函数24()()3y f x f x =++的定义域；(3)已知(||)y f x =的定义域为[1-，2]，求函数()y f x =的定义域．19．(本小题满分12分)已知函数2()(33)x f x a a a =-+是指数函数， (1)求()f x 的表达式(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明．20．(本小题满分12分)已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1-，2]上的最大值是最小值的8倍． (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)当1a >时，解不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+．21．(本小题满分12分)已知函数()log (1)a f x x =+，()2log (2)a g x x m =+，()m R ∈，其中[0x ∈，15]，0a >且1a ≠．(1)若1是关于方程()()0f x g x -=的一个解，求m 的值． (2)当01a <<时，不等式()()f x g x 恒成立，求m 的取值范围．22．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数()f x，满足条件：在(0,1)x∈时，2()41xxf x=+，且(1)f f-=(1)．(1)求()f x在[1-，1]上的解析式；(2)求()f x在(0,1)上的取值范围；(3)若(0,1)x∈，解关于x的不等式()f xλ>．2021年人教A 版高一数学上学期期中测试卷02（答案）【解析】集合{|13}{0A x Z x =∈-<<=，1，2}，∴集合A 中元素的个数是3．故选：C ． 2．【答案】A【解析】{|14}A x x =<<，{|2}B x x =， (,4)AB ∴=-∞．故选：A ． 3．【答案】D【解析】2()03x >， ∴21()13x +>，∴31(0,1)2321()3x x xx y ==∈++，故选：D ．4．【答案】B【解析】因为21()(3)4g x x =+，所以222211(())(2)[(2)3](443)144g f x g x a x a x ax a x x =+=++=+++=-+，1a ∴=-．故选：B ． 5．【答案】D【解析】根据题意，0x >时，2(1)1x a ->，211a ∴->，解得||a >故选：D ． 6．【答案】D【解析】已知0.22a =，0.42b =， 1.2 1.21()22c -==，而函数2x y =是R 上的增函数，1.20.20.4-<<，则c a b <<，故选：D ． 7．【答案】C【解析】根据题意得：1lg 4.8 1.59E =+⨯①， 2lg 4.8 1.57E =+⨯②，①-②得12lg lg 3E E -=， 12lg()3E E =，所以31210E E =，即121000E E =，故选：C ． 8．【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C ，1()f x x=-为反比例函数，在(0,)+∞上为增函数，符合题意；对于D ，()||f x x =-，当0x >时，()f x x =-，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；故选：C ． 9．【答案】B【解析】若()ln()x f x e x a -=-+在(0,)+∞上存在零点，即ln()x e x a -=+在(0,)+∞上根，即两个函数x y e -=和()ln()h x x a =+在(0,)+∞上有交点，作出两个函数的图象如图：若0a >，则只需要h ，0)ln 1a =<，即0a e <<，则0a ，则()ln()h x x a =+的图象是函数ln y x =向右平移的，此时在(0,)+∞上恒有交点，满足条件，综上a e <，故选：B ．10．【答案】A【解析】由2230x x --，解得3x 或1x -．所以函数()f x 的定义域为(-∞，1][3-，)+∞．()f x =y =，223t x x =--复合而成的，y =的单调递增区间为[0，)+∞，2223(1)4t x x x =--=--的单调递增区间是[3，)+∞，由复合函数单调性的判定方法知，函数()f x 的单调递增区间为[3，)+∞．故选：A ． 11．【答案】B【解析】定义域为R 的函数()f x 满足(3)(1)f x f x -=+，可得()f x 的图象关于直线2x =对称，当2x 时()f x 单调递减，可得2x 时()f x 单调递增，即有f (2)为最大值，则f (a)(0)f ，又(0)f f =(4)，可得02a 或24a ，即为04a ．故选：B ． 12．【答案】C【解析】对任意的正数a 、()b a b ≠，有()()0f a f b a b-<-，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，定义在R 上的奇函数()f x ，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减．∴不等式(2)02f x x -<-等价为(2)(2)0x f x --<，令2t x =-，即()0t f t <． f (1)0=， (1)f f ∴-=-(1)0=．不等式()0t f t <等价为0()0t f t >⎧⎨<⎩ 或0()0t f t <⎧⎨>⎩，即1t >或1t ->，21x ∴->或12x ->-，即不等式的解集为(-∞，1)(3⋃，)+∞．故选：C ．13．【答案】1(2，1)【解析】指数函数()(21)x f x a =-，且(3)(2)f f ->-，∴函数()f x 单调递减，0211a ∴<-<，解得112a <<，故答案为：1(2，1)．14．【答案】(0，3]【解析】令21t x =-，[1t ∈-，)+∞即1()3t y =，[1t ∈-，)+∞函数1()3t y =在区间[1-，)+∞上是减函数故11()33y -=故函数211()3x y -=的值域是(0，3]故答案为：(0，3]15．【答案】2-【解析】函数21,0()4,1x x f x x x +⎧=⎨->⎩，若()1f x =-，可得11x +=-，解得2x =-．1x >时，241x -=-，解得x =故答案为：2-． 16．【答案】[1，)+∞【解析】由2log 4log 9a b b a +=得，24log 9log b b a a+=； ∴24(log )9log 20b b a a -+=；解得1log 2,4b a =或；1a b >>； log 2b a ∴=；2a b ∴=；∴21ab=； 2222(1)1()|||1|(1)1b x x f x b x a b x b x x ⎧-∴=-=-=⎨--<⎩；()f x ∴的单调递增区间为[1，)+∞．故答案为：[1，)+∞．17．【解析】(1)30243516()2ln1lg4lg5log 5log 981e ---+-++⨯3442[()]202lg22lg523-=-+--+ 2711288=-=； (2)23x a =，∴332222()(1)11713133x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a -----++-+==+-=+-=++． 18．【解析】(1)函数y =2||20x x --，则①0x 时，不等式化为220x x --，即(2)(1)0x x -+，解得1x -或2x ，所以2x ；②0x <时，不等式化为220x x +-，即(2)(1)0x x +-，解得2x -或1x ，所以2x -；综上知，函数y 的定义域为(-∞，2][2-，)+∞．(2)()y f x =的定义域为[0，1]，对于函数24()()3y f x f x =++，令2014013x x ⎧⎪⎨+⎪⎩，解得114133x x -⎧⎪⎨--⎪⎩，即113x --，所以函数y 的定义域为[1-，1]3-．(3)(||)y f x =的定义域为[1-，2]，即12x -，所以0||2x ，所以函数()y f x =的定义域为[0x ∈，2]．19．【解析】(1)2331a a -+=，可得2a =或1a =(舍去)，()2x f x ∴=；(2)()22x x F x -=-，()()F x F x ∴-=-，()F x ∴是奇函数．20．【解析】(1)函数101()()2ax f x -=，由f (3)116=，得：10311()216a -=，得：3104a -=-，解得：2a =； (2)由(1)210()2x f x -=，由()4f x ，得：210222x -，故2102x -，解得：6x ．21．【解析】由题意：1是关于方程()()0f x g x -=的一个解，可得：log 22log (2)a a m =+，解得2m =-2m =-20m +>∴2m =-所以m2．(2)()()f x g x2,[0,15]x m x +∈恒成立．即：12mx x +-，[0x ∈，15]恒成立．令[1,4]uu =∈，211722(),[1,4]48x u u =--+∈当1u =2x 的最大值为1．所以：1m 即可恒成立．故m 的取值范围是[1，)+∞．22．【解析】(1)设(1,0)x ∈-，则(0,1)x -∈，又(0,1)x ∈时，2()41xx f x =+，22()4114x xx xf x --∴-==++，在R 上的函数()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()14xxf x ∴=-+， ()f x 在(1,0)-上的解析式为2()14xxf x =-+．(1)f f -=(1)，即f -(1)f =(1)，f ∴(1)(1)0f =-=．综上，0,1,02(),(0,1)412,(1,0)41x x xxx f x x x ⎧⎪=±⎪⎪=∈⎨+⎪⎪-∈-⎪⎩+． (2)当(0,1)x ∈时，2()41xx f x =+，令2x t =，则(1,2)t ∈，函数变为21t y t =+，22210(1)t y t -'=<+，21ty t ∴=+在(1,2)上为减函数， 1t =时，12max y =；2t =时，25min y =． ()f x ∴在(0,1)上的取值范围是2(5，1)2．(3)当(0,1)x ∈时，令2x t =，则(1,2)t ∈，()f x λ>化为21tt λ>+，由(2)知21t t +的取值范围是2(5，1)2．当25λ时(1,2)t ∈，(0,1)x ∈；当12λ时，为∅；当2152λ<<时，令21tt λ=+，解得t =或t =(舍去)，又21ty t =+在(1,2)上为减函数，∴由21tt λ>+得1t <<，即12x<<，解得20x log << 综上所述，当25λ时不等式的解集为(0,1)；当12λ时不等式的解集为∅；当2152λ<<时，不等式的解集为2(0,log ．2021年人教A 版高一数学上学期期中测试卷03第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合{|(3)(2)6}A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为 A ．3B ．4C ．5D ．62．若集合2{|log 3}A x x =<，2{|280}B x x x =--，则A B =A ．{|8}x x <B ．{|24}x x -C ．{|28}x x -<D ．{|04}x x <3．若定义在[a ，]b 上的函数()||f x lnx =的值域为[0，1]，则b a -的最小值为 A ．1e -B ．1e -C ．11e -D ．11e-4．已知()2()31f x f x x +-=+，则()f x =A ．133x -+B ．3x -C ．31x -+D ．13x -+5．函数()x f x =在区间[1，2]上的最大值是A B C ．2 D ．6．已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则 A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积2()m 与时间x (月)的关系：x y a =，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月的浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x +=．其中正确的是A ．①②B ．①②⑤C ．①②③④D ．②③④⑤8．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增且存在零点的是 A ．x y e =B．1y =C ．12log y x =-D ．2(1)y x =-9．若函数2|2|2,0(),0x x x x f x e a x +⎧->=⎨-⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是A ．2{1}[e ，)+∞B ．2{1}(e ⋃，)+∞C ．[1，2]eD ．(1，2]e10．已知函数22,0()1,0x x x f x x x ⎧-⎪=⎨<⎪⎩则不等式()f x x 的解集为A ．[1-，3]B ．(-∞，1][3-，)+∞C ．[3-，1]D ．(-∞，3][1-，)+∞11．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的减区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(5,)+∞D ．(,1)-∞-12．若实数x 满足3log 41x =，则22x x -+= A ．52 BC D ．103第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数11x y a -=+ (0a >且1)a ≠的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是． 14．函数221()()2x x f x -+=的值域是．15．已知函数22log (3),2()21,2x x x f x x ---<⎧=⎨-⎩，若(2)1f a -=，则f (a )= ．16．若函数()|2|(4)f x x x =--在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(Ⅰ)设3log 2x =，求99133x x x x---++的值；(Ⅱ)0201920191()(2(23π+⨯-． 18．(本小题满分12分)已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-． (1)求函数()()()F x f x g x =-的定义域； (2)若()0F x >成立，求x 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数()y f x =为偶函数，当0x 时，2()21f x x ax =++，(a 为常数)． (1)当0x <时，求()f x 的解析式；(2)设函数()y f x =在[0，5]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(3)对于(2)中的g (a )，试求满足1(8)()g m g m=的所有实数m 的取值集合．20．(本小题满分12分)已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1-，2]上的最大值是最小值的8倍． (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)当1a >时，解不等式2log (22)log (1)a a a x x +<+．21．(本小题满分12分)已知函数37()2x f x x +=+． (1)求函数的单调区间；(2)当(2,2)m ∈-时，有2(23)()f m f m -+>，求m 的范围．22．(本小题满分12分)已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． (Ⅲ)当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．2021年人教A 版高一数学上学期期中测试卷03（答案）【解析】{|13}A x R x =∈，{|1}B x R x =∈，{|1}R B x x ∴=<，()(R A B =-∞⋃，3]．故选：D ． 2．【答案】A 【解析】{|15}A x x =-<<，{|0B x x =>且1}x ≠，(1,)AB ∴=-+∞．故选：A ． 3．【答案】A【解析】因为()2()31f x f x x +-=+，所以()2()31f x f x x -+=-+，则1()33f x x =-+．故选：A ． 4．【答案】D【解析】由一次函数的性质可知，()1f x x =+的值域R ，结合选项可知，y x =，3y x =，ln y x =的值域都为R ，而根据指数函数的性质可知，x y e =的值域(0,)+∞，故选：D ． 5．【答案】A【解析】1255255a ==，256b =，625528c ==，幂函数25y x =在(0,)+∞上单调递增，且568<<， ∴222555568<<，a b c ∴<<，故选：A ． 6．【答案】D【解析】根据题意，函数()af x x x=+，其导数222()1a x a f x x x -'=-=，若()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，则22()0x a f x x -'=在(2,)+∞上恒成立，则有2a x 在(2,)+∞上恒成立，必有4a ，故选：D ． 7．【答案】B【解析】当0x >时，由()0f x =得220x x -=，得2x =或4x =，此时有两个零点，若()f x 有三个零点，则等价为当0x 时，|2|()x f x e a +=-有1个零点，由|2|0x e a +-=得|2|x e a += 作出函数2|2|(2),20,2x x x e x y ee x ++-+⎧-<==⎨-⎩的图象，由图象知，若()f x 只有一个零点，则1a =或2a e >，即实数a 的取值范围是2{1}(e ⋃，)+∞，故选：B ．8．【答案】C【解析】设245t x x =--，由0t >可得5x >或1x <-，则12log y t =在(0,)+∞递减，由245t x x =--在(5,)+∞递增，可得函数()f x 的减区间为(5,)+∞．故选：C ． 9．【答案】A【解析】函数的定义域为R ，且||||()||||()x x f x e x e x f x --=+-=+=，∴函数()f x 是偶函数，于是原不等式可等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()x f x e x =+在区间[0，)+∞上单调递增，1|21|3x ∴-<，解得1233x <<，故选：A ． 10．【答案】C【解析】函数1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩，函数在各自定义域内，都是增函数，实数a 满足f （a ）(1)f a =+，可得：012(11)a a <<⎧⎪=+-，解得14a =．故选：C ． 11．【答案】B【解析】由函数图象可知，所求函数的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，且为偶函数，故排除选项A ，C ；又x →+∞时，()f x →+∞，而选项D 当x →+∞时，210,||ln x x →→+∞，此时不合题意，故排除选项D ．故选：B ． 12．【答案】D【解析】由题意可得，1222x，所以3122log x ，9x ．故选：D ． 13．【答案】13-【解析】根据题意，当(0,)x ∈+∞时，32()1f x x x =++，则f （2）84113=++=，又由()f x 为奇函数，则(2)f f -=-（2）13=-；故答案为：13-. 14．【答案】1[,)2+∞【解析】令22t x x =-+，则(t ∈-∞，1]即1()2t y =，(t ∈-∞，1] 函数1()2t y =在区间(-∞，1]上是减函数故111()22y = 故函数221()()2x x f x -+=的值域是1[,)2+∞ 故答案为：1[,)2+∞.15．【答案】[0，1)，(1，2]【解析】2222(2)()(1)(1)x x x x f x x x --'==--；解()0f x '得，01x <，或12x <；∴原函数的单调递减区间是[0，1)，(1，2]．故答案为：[0，1)，(1，2]．16．【答案】110【解析】2[()][()]f g x g f x =，2(1lg ∴+22)(1lg )x x =+，(lg ∴2)2lg 10x x --=，lg 1x ∴=110x =故答案为：110．17．【解析】（1）原式39447124936=--+=-．（2）原2lg2lg52lg22(lg2lg5)1+---=-+=-．18．【解析】（1）由已知得：219a =，解得：13a =， 1()()3x f x =在R 递减，则222b +， f ∴（2）2(2)f b +；（2）0x ，221x x ∴--，∴221()33x x -，故()g x 的值域是(0，3]．19．【解析】（1）函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-，∴2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<． ∴函数()f x 的定义域为(2,2)-．()lg(2)lg(2)()f x x x f x -=-++=，()f x ∴是偶函数．（2）22x -<<，2()lg(2)lg(2)lg(4)f x x x x ∴=++-=-．()()103f x g x x =+，∴函数22325()34()24g x x x x =-++=--+，(22)x -<<， 325()()24max g x g ∴==，()(2)6min g x g →-=-， ∴函数()g x 的值域是(6-，25]4．（3）不等式()f x m >有解，max ()m f x ∴<，令24t x =-，由于22x -<<，04t ∴<()f x ∴的最大值为lg4．∴实数m 的取值范围为{|lg4}m m <．20．【解析】（1）当0x 时，||11()222222x x x x f x +=+==，当0x >时，11()2()22()222x x x x f x =+=．∴17()4f x 得：当0x 12x +，即11222x -+， 112x ∴+-，即302x -，当0x >等价为1172()24x x +，设2x t =，则1t >，∴1174t t +，即241740t t -+，解得144t ，此时14t <，此时124x <，解得02x <．综上不等式的解为322x -，即不等式的解集为3{|2}2x x -．（2）当0x >时，1()2()2x x f x =+． (2)()40f x af x ∴++=在(0,)+∞上等价为：2211[2()][2()]4022x x x x a ++++=，即211[2()][2()]2022x x x x a ++++=，① 设12()2x x t =+，则当0x >时，2t >，此时方程①等价为220t at ++=，即222()t a t t t--==-+，当2t >时，2()g t t t=+单调递增， ()g t g ∴>（2）3=，2()()3g t t t∴-=-+<-， ∴要使222()t a t t t--==-+有解，则3a <-，即实数a 的取值范围是3a <-．21．【解析】（1）由题意知函数的自变量要满足40x a ->，4x a ∴<，两边取对数，针对于底数与1的关系进行讨论， 1a >时，定义域(-∞，log 4]a ；01a <<时，定义域[log 4a ，)+∞．（2）存在．当1a >时，函数的定义域为(-∞，log 4]a ；对于区间(2,)+∞上的一切x ，只有12a <<，两个范围才有公共部分，当12a <<时，自变量为(2，4log ]a ，由()0f x ，可得124x x a a -- 两边平方后移项整理成最简形式，2(1)16x a +，14x a ∴+，3x a ∴．x a 是一个增函数，∴只要23a 恒成立即可，即只要3a ，故存在实数a 2a <时，函数()f x 对于区间(2,)+∞上的一切x 都有()0f x ．22．【解析】（1）())f x x =，()))()f x x x f x ∴-===-=-，故()f x 为奇函数，（2）[1x ∈-，3]，不等式2()f x ax f -+（4）0 2()f x ax f ∴--（4）(4)f =-，())f x x ==单调递减，24x ax ∴--在[1x ∈-，3]恒成立，即240x ax -+在[1x ∈-，3]恒成立，令2()40g x x ax =-+，[1x ∈-，3]，则(1)50(3)1330g a g a -=+⎧⎨=-⎩，解可得，1353a -．。

高一数学上学期期中考中试题2及参考答案

高一数学上学期期中考试（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1、设集合{22|4},{|4,},M x y x N y y x x R ==-==-∈则集合M 与N 的关系是（） A ．M N =B ．N M ∈C ． M ≠⊂ND ．N ≠⊂M 2、已知集合},2,1{m A =与集合}13,7,4{=B ，若13:+=→x y x f 是从A 到B 的映射，则m 的值为（） A ．10B ．7C ．4D ．33、若幂函数()f x 的图象过点1(3,)3，则()f x 的解析式（）A ．1()f x x -= B ．23)(-=x x f C ．9)(xx f = D ．27)(2x x f =4、若(2),2()2,2xf x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则(1)f 的值为（）A ．8B ．18 C ．2 D ．125、下列函数中不能．．用二分法求零点的是（） A ．13)(-=x x fB ．3)(x x f =C ．||)(x x f =D ．x x f ln )(=6、设0.3777,0.3,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a < (2.5)fB ．(3)f - < (2.5)fC ．(3)f - =(2.5)fD ．无法确定 9、下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是（）．x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型10、已知()()()f x x a x b =--（其中b a <），若()f x 的图象如图（1）所示，则函数()x g x a b =+的图象是( )11、已知函数22()(1)(2)f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，则有（）A.－1＜a ＜1B.a ＜－1或a ＞1C. a ＜－1或a ＞2D.－2＜a ＜1 12、方程2log 6x x +=的根为α，方程3log 6x x +=的根为β，则（）。

高等数学A(1)期中测试题A+答案

xy y x xy
3.
求由参数方程
x y
ln(1 t 2) t arctan t
的所确定的函数
y
y(x)
的一阶导数dy dxFra bibliotek和二阶导数
d2y dx2
.
解:
dx dt
1
2t t
2
,
dy dt
t2 1t2
,
则 dy dx
t 2
;
d2y dx 2
d ( t ) / dt 2
dx / dt
1t2 . 4t
则 (0) f (0) (03 3* 02 0) 0, (1) f (1) (13 3*12 1) 0 ,
由罗尔定理,至少存在一点 1 (0,1), 使得(1) 0 , 又有(1) f (1) (3 6 1) 0 ,
由罗尔定理,至少存在一点 2 (1,1), 使得(2 ) 0 , 又有(1) f (1) (6 6) 0 ,
=e lim x0
ln(cos x2
x
)
e lim sin x x0 2 x cos x
1
e 2
(2) lim( 1 1 ) x0 x ln(1 x)
lim ln(1 x) x x0 x ln(1 x)
lim
x0
ln(1
x) x2
x
1 1 lim 1 x
x0 2x lim x 1
18-19（1）《高等数学 A(1)》期中测试题 A
一、陈述:略
（1）
lim (1
1
x) x
e; lim
sin bx
b
，故 a
=b
e
x0
x x0
（2）

XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)

XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)的区域为圆盘D，半径为t。

根据题意，有：limtx2y2t2f(x2y2)dxdyt4limtDf(x2y2)dxdyt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrdt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrt4limt2t(1(r/t)2) f(r2) rdr t2令u=r/t，则上式变为：limt2t(1u2) f(t2u2) tdu t221(1u2) f(u2t2) du22f(0)limt01(1u2) du2f(0)因此，所求极限为f(0)。

2、解：eydydx = ∫e^x [y]0^1 dx = ∫e^x (3x) dx = 3∫x e^x dx 3[xe^x - ∫e^x dx] = 3xe^x - 3e^x + C因此，所求积分为3xe^x - 3e^x + C。

3、解：根据题意，有：xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 2对两边同时求全微分，得：zdx + ydx + 2xdy + 2zdz = 0因此，有：dz = -(zdx + ydx + 2xdy) / (2z)在点(1.0.-1)处，有：z = f(x。

y) = 1 - x^2 - y^2y = 0，dx = 1，有：dz| (1,0,-1) = -dx / 2 = -1/2因此，所求导数为-1/2.4、解：根据题意，有：D: y = 4 - x^2.y = 2x - x^2.x + y = 0将y = 4 - x^2和y = 2x - x^2相减，得：2x - 4 = 0因此，x = 2，y = -2.将其带入原式，有：D (x^2 + y^2) dxdy = ∫0^2 ∫2x-x^2^4-x^2 dxdy 0^2 [(2x^3/3 - 2x^5/5) - (x^5/5 - x^7/21)] dx 16/15因此，所求积分为16/15.5、解：根据题意，有：z^2 = x^2 + y^2.z = 1将z带入第一个方程，得：x^2 + y^2 = 1因此，所求积分为：x^2 + z) dV = ∫0^2∫0^1 ∫0^(1-z^2) (x^2 + z) r dr dz d 0^2∫0^1 [(r^4/4 + r^2z^2/2) |0^(1-z^2)] dz d0^2 [(1/20)(1-z^2)^(5/2) + (1/6)(1-z^2)^(3/2)] dz2/15)(2 2 - 1)因此，所求积分为(2/15)(2 2 - 1)。

2022-2023学年人教A版高一上数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高一上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 设集合，，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.2. 若，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.3. 函数的最大值为( )A.B.C.D.A ={(x,y)≤+≤}∣∣m2(x −2)2y 2m 2B ={(x,y)|2m ≤x +y ≤2m +1}A ∩B ≠∅m [,2+]122–√[2−,2+]2–√2–√[1+,+∞]2–√2∅a 1a −b 1aa +>b +1b 1a(1−a)a (1−b)by =3−−x(x >0)4x −11−55y =x −ln 2()4. 函数的图象大致为 A.B. C. D.5. 关于抛物线，下面几点结论中，正确的有( )①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标．A.①②③④B.①②③C.①②D.①6. 已知，则指数函数①，②的图象为（） A.y =x −ln x 2()y =a +bx +c(a ≠0)x 2a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x 1>n >m >0y =m x y =n xB. C. D.7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.8. 已知是定义在上的奇函数，在上是增函数，且．则使得成立的的取值范围是 A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 设，，若，则实数的值可以为( )A.B.C.D.f(x)=+a |x −1|x 2[0,+∞)a (−∞,0][−2,0][1,2][−2,+∞)f(x)R (0,+∞)f (−4)=0xf (x)>0x ()(−4,4)(−4,0)∪(0,4)(0,4)∪(4,+∞)(−∞,−4)∪(4,+∞)A ={x|−x −2=0}x 2B ={x|mx −1=0}A ∩B =B m 12−1−12y =(α∈R)α(2,8)10. 已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（）A.函数的图象过原点B.函数是偶函数C.函数是单调减函数D.函数的值域为11. 已知函数若关于Ⅰ的方程恰有个不同的实数解，则关于的方程的正整数解的取值可能是A.1B.2C.3D.412. 已知函数，则( )A.B.若有两个不相等的实根，，则C.D.若，，均为正数，则卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 命题“，，使得”的否定形式是________．14. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________．15. 函数的值域为________．16. 如图，一块边长为的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为，剩余部分面积为．则y =(α∈R)x α(2,8)y =x αy =x αy =x αy =x αRf (x)={−−4x −2,x ≤1x 2ln x +1,x >1,f (x)=m 3,x 1x 2(<<)x 3x 1x 2x 3π=−(−−4)(−1)e n−1+x 1x 14x 21x 1x 3f (x)=ln x xf (2)>f (5)f (x)=m x 1x 2<x 1x 2e 2ln 2>2e−−√=2x 3y x y 2x >3y ∀x ∈R ∃n ∈N ∗n ≤+23x f(x)=(−ax +3a)log 12x 2[2,+∞)a y =x +(4−x)log 2log 2a ABCD A ∠MAN π4ABCD S 1S 2S的最小值为________ . 四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分） 17. 求值与化简.；． 18. 已知集合＝，＝．（1）若＝，则；（2）若＝，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中是常数．若是奇函数，求的值；求证：是单调增函数．20.假如你的公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：维修次数频数记表示台机器在三年使用期内的维修次数，表示台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数．（1）若，求与的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于，求的最小值；（3）假设这台机器在购机的同时每台都购买次维修服务，或每台都购买次维修服务，分别计算这台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买次还是次维修服务？ 21. 函数，且，当是函数图象上的点时，是函数图象上的点．S 2S 1(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3A {x |(x +3)≤3}log 2B {x |2m −1<x ≤m +3}m 3A ∪B A ∩B B m f(x)=lg(+2x)4+b x 2−−−−−−√b (1)y =f(x)b (2)y =f(x)120050500100891011121020303010x 1y 1n n =10y x n 0.8n 100101110011011f(x)=(x −3a)(a >0log a a ≠1)P(x,y)y =f(x)Q(x −a,−y)y =g(x)y =g(x)（I）求函数的解析式；（II）当时，恒有，试确定的取值范围．22. （1）求函数＝的最大值；（2）若，，，＝，求的最小值．y=g(x)x∈[a+3,a+4]f(x)−g(x)≤1a f(x)|2x−1|−|2x+3|ma>1b>1c>1a+b+c m参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】不等式性质的应用不等式比较两数大小不等式的基本性质【解析】利用不等式的性质，结合特值法，作差法逐项判定即可.【解答】解：对于，，则，∴，即，则不成立；对于，，则，A a <b <0a −b <0−==<01a −b 1a a −a +b a (a −b)b a (a −b)<1a −b 1a A B a 0−=<0b a b −1a −1a −b a (a −1)C D a =−2b =−1C y =3−−x 4x ∴y =3−(+x)4xt =+x ≥2⋅=44x ⋅x 4x−−−−√=x 4xx =2(x >0)t 4∴y =3−t ≤3−4=−1∴−1A此题暂无解析【解答】解：，讨论：当时，，；当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，令，引入，，∴当时，，∴函数在上单调递减，∴函数在上单调递增.故选.5.【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反，正确；②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的定点，正确；③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同，正确；④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标，正确.故选.6.【答案】C【考点】指数函数的性质y =x −ln x 2x >0y =x−2ln x ∴=1−=y ′2x x −2x 0<x <2<0y ′x >2>0y ′y =x −ln x 2(0,2)(2,+∞)x <0y =x −2ln(−x)−x =t(t >0)G(t)=−t−2ln t(t >0)∴(t)=−1−G ′2t t >0(t)G ′<0G(t)=−t −2ln t (0,+∞)y =x −2ln(−x)(−∞,0)A a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x A【解析】利用指数函数底数的大小与单调性的关系去判断．【解答】解：由可知①②应为两条递减指数函数曲线，故只可能是选项或，进而再判断①②与和的对应关系，不妨选择特殊点，令，则①②对应的函数值分别为和，由知选．故选：．7.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】去绝对值原函数变成：，由已知条件知，函数在单调递增，在单调递增，所以，解该不等式组即得的取值范围．【解答】解：，要使在上单调递增，则：，解得：，∴实数的取值范围是．故选．8.【答案】D【考点】其他不等式的解法函数奇偶性的性质a 1>n >m >0C D n m x =1m n m <n C C f(x)={+ax −a x 2−ax +a x 2x ≥1x <1+ax −a x 2[1,+∞)−ax +a x 2[0,1) −≤1a 2≤0a 2a f(x)=+a |x −1|={x 2+ax −a ，x ≥1x 2−ax +a ，x <1x 2f(x)[0,+∞) −≤1a 2≤0a 2−2≤a ≤0a [−2,0]B函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：函数是定义在上的奇函数，在上为增函数，在上为增函数，，或的取值范围是.故选.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B,C【考点】交集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】由题意：，可得，那么有可能是空集或是的真子集．【解答】解：，由，可得，当时，，满足；当时，，要使，则或，∴或，解得或，综上所述，实数的值可以为，或.故选．10.∵f(x)R (0,+∞)(−∞,0)f(0)=0∴{x <0，f(x)<f(−4)，{x >0，f(x)>f(4)，∴x (−∞,−4)∪(4,+∞)D A ∩B =B B ⊆A B B A A ={x|−x −2=0}={−1,2}x 2A ∩B =B B ⊆A m =0B =∅B ⊆A m ≠0B ={x|mx −1=0}={}1m B ⊆A B ={−1}B ={2}=−11m =21m m =−1m =12m 0−112ABC【答案】A,D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用函数过点解得解析式，再逐项判定函数的性质.【解答】解：由题设幂函数过，所以得，，故幂函数为，函数过原点，值域为，故正确.函数为奇函数，且为单调增函数，故错误.故选.11.【答案】A,B【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】【解析】在同一平面直角坐标系中作出的函数图像如下图所示：当时，，当时，，所以由图像可知当时，关于～的方程恰有个不同实数解，又，所以，又所以，y =x α(2,8)8=2αα=3y =x 3y =x 3R AD y =x 3BC AD AB y =f (x)y =m x ≤1y =−+2≤2(x +2)2x >1y =ln x+1>1m ∈(1,2)f (x)=m 3+=2×(−2)=x 1x 2−4,−−4−2=ln +1x 21x 1x 3=−e x−1+x 1x 24(−−4)(−1)=(ln +3)(−1)x 21x 1x 3x 3x 3m ∈(1,2)ln +1∈(1,2)x 3∈(1,e)g(x)=(ln x+(x −1)(x ∈(1,e)所以．设3），所以，显然在区间内单调递增，所以，所以在区间内单调递增，所以，即，所以，且，所以可取，．故选项．12.【答案】A,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值指数函数的性质【解析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项，由对数函数的单调性及指数函数单调性判断，由函数性质判断，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断．【解答】解：由得：，令得，，当变化时，，变化如表：单调递增极大值单调递减故在上单调递增，在上单调递减，则是极大值也是最大值.，，，因为，所以，所以，故正确；∈(1,e)r 3g(x)=(ln x+(x −1)(x ∈(1,e)(x)=+ln x +3=g ′x −1x ln x −+41x (x)g ′(1,e)(x)>(1)=3>0g ′g ′g(x)(1,e)g(x)∈(g(1),g(e))g(x)∈(0,4e −4)∈(0,4e −4)e x−11<e <4e −4<e 3n 12AB A f (x)B,C ==k 2x 3y x,y 2x =ln k,3y =ln k 2ln 23ln 3f (x)D f (x)=(x >0)ln x x (x)=f ′1−ln x x 2(x)=0f ′x =e x (x)f ′f (x)x(0,e)e (e,+∞)(x)f ′+0−f (x)1e f (x)=ln x x (0,e)(e,+∞)f (e)=1e A f (2)==ln ln 22212f (5)=ln 515=>=()2121025()5151052>212515f (2)>f (5)A，不妨设，则要证：，即要证：，因为，所以，因为在上单调递增，所以只需证，只需证，①令，，则，当时，，，所以，则在上单调递增，因为，所以，即，这与①矛盾，故错误；，因为，且在上单调递增，所以，所以，所以，所以，故错误；，设，且，均为正数，则，，所以，，因为，，，所以，所以，则，故正确．故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】，，使得【考点】命题的否定B 0<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 1e 2x 2>e x 2<e e 2x 2f (x)(0,e)f ()<f ()x 1e 2x 2f ()−f ()<0x 2e 2x 2g(x)=f (x)−f ()e 2x x >e (x)=(ln x −1)(−)g ′1e 21x 2x >e ln x >1>1e 21x 2(x)>0g ′g(x)(e,+∞)>e x 2g()>g(e)=0x 2f ()−f ()>0x 2e 2x 2B C <<e 2–√e √f (x)(0,e)f ()<f ()2–√e √<ln 2–√2ln e √e <ln 2122–√lne 12e √ln 2<2e −−√C D ==k 2x 3y x y x =k =log 2ln k ln 2y =k =log 3ln k ln 32x =ln k 2ln 23y =ln k 3ln 3=ln ln 22212=ln ln 33313<212313<ln 22ln 33>2ln 23ln 32x >3y D AD ∃x ∈R ∀n ∈N ∗n >+23x【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】复合函数的单调性【解析】令由题意可得在上是增函数，它的对称轴，且，由此求得实数的取值范围．【解答】解：令，由函数在上是减函数，可得在上是增函数，故有对称轴，且．解得，故答案为：．15.【答案】【考点】对数函数的值域与最值对数的运算性质【解析】由对数的真数大于可得函数的定义域，将函数解析式化成后，考虑这个二次函数的值域，即可得出结论．【解答】解：∵函数中，且，故的定义域是；∵函数(−4,4]t(x)=−ax +3a x 2t(x)=−ax +3a x 2[2,+∞)x =≤2a 2t(2)=4−2a +3a >0a t(x)=−ax +3a x 2f(x)=(−ax +3a)log 12x 2[2,+∞)t(x)=−ax +3a x 2[2,+∞)x =≤2a 2t(2)=4−2a +3a >0−4<a ≤4(−4,4](−∞,2]0[x(4−x)]log 2x(1−x)f(x)=x +(4−x)log 2log 2x >04−x >0f(x)(0,4)f(x)=x +(4−x)=[x(4−x)]log 2log 2log 2∵，∴∴，∴函数的值域为．故答案为：16.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用两角和与差的正切公式函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，则，∴，，∴，设，，当且仅当时取等号成立，因为是定值，所以最小时，同时取到最大值，的最小值为.故答案为：.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）0<x <40<x(4−x)≤[=4x +(4−x)2]2[x(4−x)]≤2log 2y =x +(4−x)log 2log 2(−∞,2](−∞,2]2–√2∠BAM =αα∈[0,]π4|=tan α|BM||AB||BM|=atan α∠DAN =−απ4|DN|=a tan(−α)=()a π41−tan α1+tan αtan α=t,0≤t ≤1=|AB|⋅|BM|+|AD|⋅|DN|S 21212=(t +)=(t +−1)a 221−t1+t a 2221+t =(t +1+−2)≥(2−2)a 2221+t a 22(t +1)×21+t −−−−−−−−−−−−√=(−1)a 22–√t =−12–√+S 2S 1a 2S 2S1S 2S 1=(−1)a 22–√−(−1)a 2a 22–√2–√22–√217.【答案】解：；．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】（1）化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求解；（2）直接利用对数的运算性质化简求值．【解答】解：；．18.【答案】若＝，则＝，依题意，＝＝＝，(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√=(+−(2−)169)12233–√=+−2+43233–√=3–√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3=+4−23×2lg36−lg31+lg0.6+lg2log 2log 3=+4−2lg12lg12=3(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√=(+−(2−)169)12233–√=+−2+43233–√=3–√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3=+4−23×2lg36−lg31+lg0.6+lg2log 2log 3=+4−2lg12lg12=3m 3B {x |5<x ≤8}A {x |(x +3)≤4}log 2{x |(x +3)≤8}log 2log 2{x |−3<x ≤7}A ∪B {x |−3<x ≤6}故＝．因为＝，故，若，即时，符合题意；若，即时，，综上所述，实数的取值范围为：．【考点】交集及其运算并集及其运算【解析】（1）将＝代入可得集合，解对数不等式可得集合，由并集运算即可求解；（2）由＝可知为的子集，分类讨论，当＝，符合题意；当不为空集时，由不等式关系即可求解的取值范围．【解答】若＝，则＝，依题意，＝＝＝，故＝．因为＝，故，若，即时，符合题意；若，即时，，综上所述，实数的取值范围为：．19.【答案】解：设的定义域为，∵是奇函数，∴对任意，有，得，此时，，为奇函数．证明：设定义域内任意，令，则当时，总有，，，∴，A ∪B {x |−3<x ≤6}A ∩B B B ⊆A 3m −1≥m +3m ≥62m −1<m +4m <4m [−1,+∞)m 3B A A ∩B B B A B ∅B m m 3B {x |5<x ≤8}A {x |(x +3)≤4}log 2{x |(x +3)≤8}log 2log2{x |−3<x ≤7}A ∪B {x |−3<x ≤6}A ∩B B B ⊆A 3m −1≥m +3m ≥62m −1<m +4m <4m [−1,+∞)(1)y =f(x)D y =f(x)x ∈D f(x)+f(−x)=0b =1f(x)=lg(+2x)4+1x 2−−−−−−√D =R (2)<x 1x 2h(x)=+2x 4+b x 2−−−−−−√h()−h()=+2−−2x 1x 24+b x 21−−−−−−√x 14+b x 22−−−−−−√x 2=2[+−]2−2x 21x 22+4+b x 21−−−−−−√4+b x 22−−−−−−√x1x 2=2(−)[+1]x 1x22(+)x1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√b ≤00<<x 1x 2≤24+b x 21−−−−−−√x 1≤24+b x 22−−−−−−√x 2≥12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()得，当时，∵，，，∴，得，故总有在定义域上单调递增．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）根据函数的奇偶性以及对数函数的性质求出的值即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．【解答】解：设的定义域为，∵是奇函数，∴对任意，有，得，此时，，为奇函数．证明：设定义域内任意，令，则当时，总有，，，∴，得，当时，∵，，，∴，得，故总有在定义域上单调递增．20.【答案】h()<h()x 1x 2b >0−<0x 1x 2>24+b x 21−−−−−−√x 1>24+b x 22−−−−−−√x 2−1<<12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2f(x)b (1)y =f(x)D y =f(x)x ∈D f(x)+f(−x)=0b =1f(x)=lg(+2x)4+1x 2−−−−−−√D =R (2)<x 1x 2h(x)=+2x 4+b x 2−−−−−−√h()−h()=+2−−2x 1x 24+b x 21−−−−−−√x 14+b x 22−−−−−−√x 2=2[+−]2−2x 21x 22+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√x 1x 2=2(−)[+1]x 1x 22(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+b x 22−−−−−−√b ≤00<<x 1x 2≤24+b x 21−−−−−−√x 1≤24+b x 22−−−−−−√x 2≥12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2b >0−<0x 1x 2>24+b x 21−−−−−−√x 1>24+b x 22−−−−−−√x 2−1<<12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2f(x)={200×10+50x ，x ≤10，解：（1）即．（2）因为“维修次数不大于”的频率，“维修次数不大于”的频率，所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于，则的最小值为．（3）若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．因为，所以购买台机器的同时应购买次维修服务．【考点】函数模型的选择与应用y ={200×10+50x ，x ≤10，250×10+500(x −10)，x >10，y ={50x +2000，x ≤10，500x −2500，x >10，x ∈N 10==0.6<0.810+20+3010011==0.9≥0.810+20+30+30100n 0.8n 1110x891011121020303010y 24002450250030002500100=y 12400×10+2450×20+2500×30+3000×30+3500×10100=273011x891011121020303010y 26002650270027503250100=y 22600×10+2650×20+2700×30+2750×30+3250×10100=2750<y 1y 2110函数的最值及其几何意义频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）即．（2）因为“维修次数不大于”的频率，“维修次数不大于”的频率，所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于，则的最小值为．（3）若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为y ={200×10+50x ，x ≤10，250×10+500(x −10)，x >10，y ={50x +2000，x ≤10，500x −2500，x >10，x ∈N 10==0.6<0.810+20+3010011==0.9≥0.810+20+30+30100n 0.8n 1110x891011121020303010y 24002450250030002500100=y 12400×10+2450×20+2500×30+3000×30+3500×10100=273011x891011121020303010y 26002650270027503250100=y 22600×10+2650×20+2700×30+2750×30+3250×10100（元）．因为，所以购买台机器的同时应购买次维修服务．21.【答案】解：设是图象上点，，则，∴，∴，∴ ．（II ）令，由，得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增，①若，则在区间是单调递减，∴在上的最大值为，在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或，结合．得，．（2）若，则在区间上单调递增，∴上的最大值为，在上不等式恒成立．等价于不等式成立，从而，即，解得．∵，∴不符合．综上可知：的取值范围为．【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】（I ）设是图象上点，，由此能求出函数的解析式．（II ）令，由，得，所以函数在区间上单调递增，由此能求出的取值范围为．【解答】=2750<y 1y 2110(I)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y){x =−a x 0y =−y 0{=x +a x 0=−y y 0−y =(x +a −3a)log a y =log a 1x −2a (x >2a)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a a +3>3a a <32(a +3)−=(a −2)>05a 232∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]0<a <1∅(x)[a +3,a +4]∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3)=(2−9a +9)log a a 2[a +3,a +4]f9x)≤1(2−9a +9)≤1log a a 22−9a +9≥a a 2a ≥5+7–√2a ≤5−7–√20<a <10<a 11<a <32∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3,a +4]∅(a +4)=(2−12a +16)log a a 2[a +3,a +4]∅(x)≤1(2−12a +16)≤1log a a 22−12a +16≤a a 22−13a +16≤0a 2<a ≤13−41−−√413+41−−√4>13−41−−√432a (0,1)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y)y =g(x)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a ∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]a (0,1)解：设是图象上点，，则，∴，∴，∴ ．（II ）令，由，得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增，①若，则在区间是单调递减，∴在上的最大值为，在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或，结合．得，．（2）若，则在区间上单调递增，∴上的最大值为，在上不等式恒成立．等价于不等式成立，从而，即，解得．∵，∴不符合．综上可知：的取值范围为．22.【答案】由绝对值不等式的性质可得，＝＝，当，且时，取得最大值，所以＝．由（1）知：＝，即＝，由柯西不等式：，当且仅当，等号成立，即的最小值为．【考点】基本不等式及其应用函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用绝对值三角不等式，直接求出的最大值；(I)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y){x =−a x 0y =−y 0{=x +a x 0=−y y 0−y =(x +a −3a)log a y =log a 1x −2a (x >2a)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a a +3>3a a <32(a +3)−=(a −2)>05a 232∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]0<a <1∅(x)[a +3,a +4]∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3)=(2−9a +9)log a a 2[a +3,a +4]f9x)≤1(2−9a +9)≤1log a a 22−9a +9≥a a 2a ≥5+7–√2a ≤5−7–√20<a <10<a 11<a <32∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3,a +4]∅(a +4)=(2−12a +16)log a a 2[a +3,a +4]∅(x)≤1(2−12a +16)≤1log a a 22−12a +16≤a a 22−13a +16≤0a 2<a ≤13−41−−√413+41−−√4>13−41−−√432a (0,1)f(x)|2x −1|−|3x +3|≤|2x −3−2x −3|2(2x −1)(7x +3)≥0|6x −1|≥|2x +2|f(x)2m 4m 4a +b +c 39f(x)M a +b +c a −1+b −1+c −1（2）＝，所以＝，由柯西不等转化求解最小值即可．【解答】由绝对值不等式的性质可得，＝＝，当，且时，取得最大值，所以＝．由（1）知：＝，即＝，由柯西不等式：，当且仅当，等号成立，即的最小值为．a +b +c 4a −1+b −1+c −11f(x)|2x −1|−|3x +3|≤|2x −3−2x −3|2(2x −1)(7x +3)≥0|6x −1|≥|2x +2|f(x)2m 4m 4a +b +c 39。

高中数学期中综合检测(二)(含解析)新人教A版选修1-2(2021学年)

2017－20１8学年高中数学期中综合检测(二)（含解析)新人教A版选修1-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(２01７-2018学年高中数学期中综合检测(二）(含解析)新人教A版选修1-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学期中综合检测（二)（含解析)新人教Ａ版选修1-2的全部内容。

期中综合检测(二)（时间9０分钟，满分120分)一、选择题(本大题共１0小题,每小题５分，共5０分)１.下列关于K2的说法中正确的是( )Ａ．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B.Ｋ2的值越大，两个分类变量相关的可能性就越小Ｃ．Ｋ2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对两个分类变量适用D．K２的计算公式为K２=错误!解析:选C K２只适用于2×２列联表问题,故A错；Ｋ2越大两个分类变量相关的可能性越大,故B错；选项Ｄ中公式错误,分子应为n(ａd-bｃ）2。

2.设a、b、c都是正数，则三个数a+错误!，ｂ+错误!，c＋错误!（）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于２D.至少有一个不小于2解析:选D 因为a、ｂ、ｃ都是正数,则有(a＋错误!）＋(b＋错误!)+（c＋错误!)=（ａ+错误!)+（b＋＼f（1,b))+（c+错误!)≥6。

故三个数中至少有一个不小于２.3.若函数f（ｘ)＝ｘ2－2x＋m(x∈R)有两个零点,并且不等式f(1-x)≥－1恒成立，则实数ｍ的取值范围为( ）Ａ.(0,１) ﻩ B．[0,1）C.（0,1] ﻩD.［0,1]解析:选Ｂ∵f（ｘ)＝x2－２ｘ+m有两个零点，∴4－4ｍ>0，∴m＜1，由f(1-x）≥-1得(1-x）2-2（1-x)+m≥－1，即ｘ2+m≥0，∴m≥－ｘ2,∵-x2的最大值为0,∴0≤m＜１。

A11高一数学上学期期中(第二次月考)试题(扫描版).doc

3 乾县第一中学 2018-2019-1 第二次阶段性考试高一数学参考答案一、选择题 ABCDB CADBD二、填空题 11. 8cm 12. （，）；,2 13.17； x2 2414. 1 ； a 215.1,116. a 1 或 a 317. 0,12 3三、解答题718. [解] (1)证明：由于 C C 1 和 B F 在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为 O ，则 O C 1＝C 1C .同理直线 D E 与 C C 1 也相交，设交点为 O ′，则 O ′C 1＝C 1C ，故 O ′与 O 重合．由此可证得 DE ∩BF ＝O ，故 D ，B ，F ，E 四点共面(设为 α)．(2)由于 AA 1∥CC 1，所以 A 1，A ，C ，C 1 四点共面(设为 β)． P ∈BD ，而 B Dα，故 P ∈α.又 P ∈AC ，而 A C β，所以 P ∈β，所以 P∈α∩β.同理可证得 Q ∈α∩β，从而有 α∩β＝PQ . 又因为 A 1Cβ，所以 A 1C 与平面 α 的交点就是 A 1C 与 PQ 的交点．连接A 1C ，则 A 1C 与 PQ 的交点 R 就是所求的交点．19. (1)lg( x1),f (x) =⎪lg( x 1), x 0x 0，(2)略(3) 0, lg 420. 由(1)f (x ) x 2 2x 4 ，(2) 最大值7和最小值3(3) a 12 2 221.(1) a 1 ；，(2)在R 上是增函数，证明略 (3)3 , 522.(1)当t1 ；最大值是t12t，最小值是 0当 1 t1 ；最大值是t 212 t 2，最小值是 0当t 1 ；最大值是t21t22 ，最小值是t12t2—————————— 唐玲制作仅供学习交流 ——————————唐玲9 2(2) 1 , 4。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1
x0
x0 x(x3 1) x0 x3 1
左右极限不相等，因此 x 0 是跳跃间断点（或第一类间断点）. 在 x 1处，
lim
x1
f
(x)

lim
x1
x x(x3
x3 1)

1 x2
lim
x1
x3
1
limx1来自(1 x)(1 x) (x 1)(x2 x 1)

lim
x1
(1 x) x2 x 1

2 3
但在 x 1处，函数 f (x) 无定义，因此 x 1 是可去间断点（或第一类间断点）. 四、求下列导数或微分
1．解： y ' e2x sin2 x e2x sin2 x 2e2x sin2 x e2x 2sin x cos x
f ''( ) 0．
期中自测卷答案
一、选择题或填空题
1． x2 2x ， 2．0 3．3A 4． x 12y 16 0
二、求下列极限
1.
lim
x1
x4 4x x3 x2
x
3
洛必达
lim
1
x1
4 3x2
x3
4 2x
1
洛必达

lim
x1
12x2 6x 2
(x)

x x(x3
x3 1)
；当
x

0
时，
f
(x)

x x3 x(x3 1)
在 x 0 处， lim x0
f (x)
lim
x0
x x3 x(x3 1)

1 x2 lim x0 x3 1
1,
x x3
x2 1
lim f (x) lim
lim
四、求下列导数或微分 1． y e2x sin 2 x ，求 y' ；
2． y f (sin x) sin( f (x)) ，其中 f (x) 可导，求 y' ；
3．设 y 1 xe y ，求 dy ；
4．设

x

t2 2
y 1
t
，求
d2y dx 2
t 1
对 f (x) 在 1,2 用罗尔定理，存在点 (1,2 ) ，使得 f ''( ) 0，
因此存在点 (1,2 ) (a, b) ，使得 f ''( ) 0．
y 6x ，令 y 0 得 x 0
x (, 0)
0
(0, )
f (x)
—
0
+
f (x)
凸
拐点
凹
凸区间为 (,0] ，凹区间为[0, ) ，拐点为 0,1 .
七、设 f (x) 在[a,b] 上有二阶连续导数，过点 A(a, f (a)) ， B(b, f (b)) 的连线与曲线 y f (x) 交于点 C(c, f (c)) ，（ a c b ），试证：存在点 (a,b) ，使得 f ''( ) 0．
期中自测卷
一、选择题或填空题
1．设 f ( x 1) x 1，则 f (x) （
）．
2．极限 lim x sin x （
）．
x x 2 1
3．已知
f '(x0 )
A ，则 lim h0
f (x0
3h) h
f (x0 )
（
）．
4．曲线 y 3 x 在点 (8, 2) 处的切线方程为（
证明： f (x) 在[a, c] 满足拉格朗日定理，存在1 (a, c) ，使得
f (x) 在[c,b]满足拉格朗日定理，存在2 (c, b) ，使得
由于 A,B,C 共线，则
f (c) f (a) ca
f (b) f (c) ，于是 bc
f (1)
f (2 )
2
即六、求函数 y x3 3x 1的极值，凹凸区间、拐点．解： y 3x2 3 ，令 y 0 得驻点 x 1
x (, 1)
f (x)
+
f (x)
↗
1
0
极大值
(1,1)
— ↘
1
(1, )
0
+
极小值
↗
极大值 f (1) 3 ，极小值 f (1) 1
．
五、当 x 0 时，证明不等式 ln(1 x) x 1 x2 ． 2
六、求函数 y x3 3x 1的极值，凹凸区间、拐点．
七、设 f (x) 在[a,b] 上有二阶连续导数，过点 A(a, f (a)) ， B(b, f (b)) 的连线与曲
线 y f (x) 交于点 C(c, f (c)) ，（ a c b ），试证：存在点 (a,b) ，使得

1 t

x

1 t
t

dt dx

1 t2

dx dt

1 t3
因此
d2y dx2 1
t 1
五、证明：假设 f (x) ln(1 x) x 1 x2 ，则 f (x) 1 1 x x2
2
1 x
1 x
当 x 0 时， f (x) 0 当 x 0 时， f (x) 单调递增，于是当 x 0 时， f (x) f (0) ln(1 x) x 1 x2 0
2．解： y ' f (sin x)(sin x) cos( f (x)) f (x)
3．解：等式两边对 x 求导，得 y ey xey y
因此
y ey 1 xey
， dy ey dx 1 xey
dy
4．解：
dy dx

dt dx

1 t
dt
d2y dx2

3
5．C．
6．D．
2.
lim
x1

x x 1
1 ln x

lim
x1
x
ln
x

x

1
洛必达

lim
ln x 11
x 1ln x
x1 ln x x 1 1
x
lim x1
x ln x
x ln x x 1 ；
洛必达
lim
ln x 1
1
）．
5．在函数的可去间断点处（
）
A．左、右极限至少有一个存在；
C．左、右极限存在且相等；
B．左、右极限存在但不相等； D．左、右极限都不存在．
6．若 f (x) 在点 x0 处连续，则（
）
A． f (x) 在点 x0 处可导且有极限；
B． f (x) 在点 x0 处可导；
C． f (x) 在点 x0 处不一定有极限；
D． f (x) 在点 x0 处不一定可导，但必有极限；
二、求下列极限 1． lim x4 4x 3 ； x1 x3 x 2 x 1
2． lim x 1 ； x1 x 1 ln x
2
3． lim (1 2sin x) x ． x0
三、指出函数 f (x) x x3 的间断点及其类型． | x | (x3 1)
x1 ln x 11 2
3.
lim(1 2sin
x0
2
x) x

lim
x0
(1

2
sin
1
2sin x2 x
x) 2sin x

lim
x0
(1

2
sin
1
lim 2sin x2
x0
x
x)
2sin
x

e4
三、解：当
x

0
时，
f