安徽省皖南八校2021届高三第三次联考数学(文科)试题

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安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文试题含答案

“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则A B =（）A.(],1-∞-B.[]0,1C.(][),01,-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞2.已知命题:0p x ∀>，33x x >.则p ⌝为（） A.0x ∀>，33x x ≤B.0x ∀≤，33x x ≤C.00x ∃>，0303xx ≤D.00x ∃≤，0303xx ≤3.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 值分别为3，4，5，则输出的a 值为（）A.2B.3C.4D.54.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A.()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（）A.10B.26.函数2sin 2xy x =的图象可能是（）A. B.C. D.7.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（）A.x =B.2x =-C.y =D.2y =-8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（） A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A.)122π+B.)122π+C.32π+2 10.若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（）A.)41B.)41C.12D.411.若曲线()()21x f x ax e -=+在点()()2,2f 处的切线与40x y +=垂直，则a 的值为（）A.0B.1C.2D.312.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A.1010B.-2020C.2020D.4040第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，内的任意一点，则3a b -的最小值为_____________.14.已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为___________. 16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE DCF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成的，其中2EF EA EB ===，AE EB ⊥，PA PD ==//PAD 平面EBCF .（1）证明：平面//PBC 平面AEFD .（2）若直三棱柱ABE DCF -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V . 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知函数()22xf x e mx x =--（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性；（2）若[)0,x ∈+∞时，()12ef x >-恒成立，求m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ∵(][),11,A =-∞-+∞，故选C.2.C 命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303xx ≤”.3.D4B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+，因为()//2a a b +，所以42222x+=，所以1x =，所以2b =.6.D 令()2sin 2xf x x =，因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xxf x x x f x --=--=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 7.B由题意2221322a b ⎛=== ⎝⎭，∴b = 8.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为()2111122S ππ=⨯⨯+⨯⨯)1122222π+⨯⨯=+.10.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =-+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.11.B 由题意()()21x ax a e f x -+'=+，()()023131f a e a '=+=+，直线40x y +=的斜率为14-，∴()11431a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭+，解得1a =. 12.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++-+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y -+++-+-++++-+-=⎤⎦.13.-2 作出不等式组2001a b a b +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩表示的可行域，当0a =，2b =时，目标函数3z a b =-取得最小值-2.42122iz i i+==-，故12z i =-=. 15.1023 由3564a a =，得2464a =，又数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =.设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===.所以()1010112102312S -==-.16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 由题意，函数满足()()20f x f x -+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点，此时31e k =-，解得13e k +=.直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点，此时51e k =-，解得15e k +=.直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =--有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，.……………………………………4分因为0B π<<，所以3B π=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sina c bA CB====，三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=-=+ ⎪⎝⎭⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分当且仅当3Aπ=时，262A ππ-=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+-⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分（2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH .由题知，PH AD ⊥，且2PH =，又因为AE EB ⊥，三棱柱ABE DCF -为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD .因为平面//PAD 平面EBCF ，所以AE ⊥平面PAD ，因为PH ⊂平面PAD ，所以AE PH ⊥，又因为AEAD A =，所以PH ⊥平面AEFD ，所以//PH BE ，又因为2PH BE ==，所以四边形PHEB 为平行四边形，所以//PB HE ，因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD ，所以//PB 平面AEFD ，同理可证//PC 平面AEFD ，又因为PBPC P =，所以平面//PBC 平面AEFD .…………………6分（2）由题知，直三棱柱ABE DCF -的体积1142V EB EA EF =⨯⨯⨯=，四棱锥P ABCD -的体积2118222323P ABD B PAD V V V AD PH AE --==⨯⨯⨯⨯==⨯，所以1243823V V ==.………………12分20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ；应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）当0m =时，()2xf x e x =-，()2xf x e '=-，.…………………………………………1分令()20xf x e '=-≤，得ln 2x ≤，令()20xf x e '=-≥，得ln 2x ≥.………………………….3分所以函数()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增.………………………………4分（2）()12e f x >-恒成立，即2212x ee x mx --+>恒成立. 当0x =时，对于任意的m R ∈，202e->恒成立；.…………………………………………5分当0x >时，即2212x ee x m x--+<恒成立.……………………………………………………6分令()2212x e e x g x x--+=，则()()2422212x x e e x x e x g x x ⎛⎫----+⎪⎝⎭'=. 整理得()()3222x x e x e g x x -++-'=，.……………………………………………………7分令()()222xh x x e x e =-++-，注意到()10h =，()()12xh x x e '=-+，再令()()12xx x e ϕ=-+，则()0xx xe ϕ'=>，.…………………………………………8分所以()x ϕ在()0,+∞单调递增，()()010x ϕϕ>=>，即()0h x '>.所以()h x 在()0,+∞单调递增.……………………………………………………9分又()10h =，故知在()0,1上()0h x <，在()1,+∞上()0h x >.从而()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.………………………………………………10分故()()min 2121112ee e g x g --+===-，.……………………………………………………11分因为2212x ee x m x --+<在[)0,+∞恒成立，所以12em <-.……………………………………………………………………12分22.解析：（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分（2）若直线l的斜率不存在，则1322S ==.1 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++-= 设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -⋅=+，()121222212my y k x x m k +=++=+.由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y++=，所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+，代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++，设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m ===.综上可得，PAC△面积S .………………………………………………12分。

安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文科含答案

安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则A B =（）A.(],1−∞−B.[]0,1C.(][),01,−∞+∞D.(][),11,−∞−+∞2.已知命题:0p x ∀>，33x x >.则p ⌝为（） A.0x ∀>，33x x ≤B.0x ∀≤，33x x ≤C.00x ∃>，0303x x ≤D.00x ∃≤，0303x x ≤3.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 值分别为3，4，5，则输出的a 值为（）A.2B.3C.4D.54.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（） A.()2sin 212g x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（）A.10B.26.函数2sin 2xy x =的图象可能是（）A. B.C. D.7.已知双曲线()222210,0y x a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（）A.x =B.x =C.y =D.y = 8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（） A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A.)122π+B.)122π+C.32π+D.22+ 10.若正实数x ，y 满足260x y xy ++−=，则2x y +的最小值为（）A.)41B.)41C.12D.411.若曲线()()21x f x ax e −=+在点()()2,2f 处的切线与40x y +=垂直，则a 的值为（）A.0B.1C.2D.312.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A.1010B.-2020C.2020D.4040第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +−≤⎧⎪≥⎨⎪≥−⎩，内的任意一点，则3a b −的最小值为_____________.14.已知复数z 满足：()27142i z i +=−，则z =_________________.15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为___________. 16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x −+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3−内，函数()()21g x f x kx k =−−+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +−=. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求三角形ABC 面积的最大值. 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE DCF −和一个四棱锥P ABCD −组合而成的，其中2EF EA EB ===，AE EB ⊥，PA PD ==，平面//PAD 平面EBCF .（1）证明：平面//PBC 平面AEFD .（2）若直三棱柱ABE DCF −的体积为1V ，四棱锥P ABCD −的体积为2V ，求12V V . 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知函数()22xf x e mx x =−−（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性；（2）若[)0,x ∈+∞时，()12ef x >−恒成立，求m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y −+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ∵(][),11,A =−∞−+∞，故选C.2.C 命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303x x ≤”.3.D4B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+，因为()//2a a b +，所以42222x+=，所以1x =，所以2b =.6.D 令()2sin 2xf x x =，因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xx f x x x f x −−=−−=−=−，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 7.B由题意222132a b ===⎝⎭，∴b =. 8.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫− ⎪⎝⎭==−，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为()2111122S ππ=⨯⨯+⨯⨯)1122222π+⨯⨯=+.10.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =−+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫−+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.11.B 由题意()()21x ax a ef x −+'=+，()()023131f a e a '=+=+，直线40x y +=的斜率为14−，∴()11431a ⎛⎫⨯−=− ⎪⎝⎭+，解得1a =. 12.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，即为()()2f x f x +−=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y −−也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y −−也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++−+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y −+++−+−++++−+−=⎤⎦.13.-2 作出不等式组2001a b a b +−≤⎧⎪≥⎨⎪≥−⎩表示的可行域，当0a =，2b =时，目标函数3z a b =−取得最小值-2.42122iz i i+==−，故12z i =−=. 15.1023 由3564a a =，得2464a =，又数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =.设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===.所以()1010112102312S −==−.16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭由题意，函数满足()()20f x f x −+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈−时，()()xf x f x x e −=−=−⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+−经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有2个交点，此时31e k =−，解得13e k +=.直线()21y k x =+−经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有4个交点，此时51e k =−，解得15e k +=.直线()21y k x =+−经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =−−有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +−=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+−=，所以222a c ac b +−=，即222a c b ac +−=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +−==，.……………………………………4分因为0B π<<，所以3Bπ=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sina c bA C B====，三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=−=+ ⎪⎝⎭⎝13sin sin 2222444264A A A A π⎫⎛⎫=+−=−+⎪ ⎪⎭⎝⎭，.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分当且仅当3A π=时，262A ππ−=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+−⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+−⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分（2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++− ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++−+−++− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++−=+−<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH .由题知，PH AD ⊥，且2PH =，又因为AE EB ⊥，三棱柱ABE DCF −为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD .因为平面//PAD 平面EBCF ，所以AE ⊥平面PAD ，因为PH ⊂平面PAD ，所以AE PH ⊥，又因为AEAD A =，所以PH ⊥平面AEFD ，所以//PH BE ，又因为2PH BE ==，所以四边形PHEB为平行四边形，所以//PB HE ，因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD ，所以//PB 平面AEFD ，同理可证//PC 平面AEFD ，又因为PBPC P =，所以平面//PBC 平面AEFD .…………………6分（2）由题知，直三棱柱ABE DCF −的体积1142V EB EA EF =⨯⨯⨯=，四棱锥P ABCD −的体积2118222323P ABD B PAD V V V AD PH AE −−==⨯⨯⨯⨯==⨯，所以1243823V V ==.………………12分20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ；应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）当0m =时，()2xf x e x =−，()2xf x e '=−，.…………………………………………1分令()20xf x e '=−≤，得ln 2x ≤，令()20xf x e '=−≥，得ln 2x ≥.………………………….3分所以函数()f x 在(),ln 2−∞上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增.………………………………4分（2）()12e f x >−恒成立，即2212x ee x mx −−+>恒成立. 当0x =时，对于任意的m R ∈，202e−>恒成立；.…………………………………………5分当0x >时，即2212x ee x m x−−+<恒成立.……………………………………………………6分令()2212x e e x g x x −−+=，则()()2422212x x e e x x e x g x x⎛⎫−−−−+⎪⎝⎭'=. 整理得()()3222x x e x e g x x −++−'=，.……………………………………………………7分令()()222xh x x e x e =−++−，注意到()10h =，()()12xh x x e '=−+，再令()()12xx x e ϕ=−+，则()0xx xe ϕ'=>，.…………………………………………8分所以()x ϕ在()0,+∞单调递增，()()010x ϕϕ>=>，即()0h x '>.所以()h x 在()0,+∞单调递增.……………………………………………………9分又()10h =，故知在()0,1上()0h x <，在()1,+∞上()0h x >.从而()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.………………………………………………10分故()()min 2121112ee e g x g −−+===−，.……………………………………………………11分因为2212x ee x m x−−+<在[)0,+∞恒成立，11所以12e m <−.……………………………………………………………………12分 22.解析：（1）∵直线30x y −+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分（2）若直线l的斜率不存在，则132S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++−= 设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412km x x k +=−+，()21222212m x x k−⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=，所以()0122412km x x x k =−+=+，()0122212m y y y k =−+=−+，代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++，设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =−⋅ 1232x x m =−⋅m =m=2==. 综上可得，PAC△面积S 为定值2.………………………………………………12分。

安徽省部分高中(皖南八校)2021届高三第三次联考数学(文)试题 Word版含答案

安徽省部分高中（皖南八校）2021届高三第三次联考数学（文）试题一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．64．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±49．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．810．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y的最小值为．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为（填写全部真命题的序号）．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．安徽省皖南八校联考2021届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z+2=（z﹣2）•i，∴z+2=zi﹣2i，化为z（1﹣i）=﹣2（1+i），∴z（1﹣i）（1+i）=﹣2（1+i）2，化为2z=﹣2（2i），∴z=﹣2i．则复数z 的共轭复数=2i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|0＜x＜3}，则B⊆A，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的推断，比较基础．3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．6考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据对数的运算性质和幂的运算性质化简计算即可．解答：解：（log32﹣log318）÷81﹣=log 3÷=﹣2÷=﹣6，故选：B．点评：本题考查了对数的运算性质和幂的运算性质，属于基础题．4．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=6时，不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=2满足条件i＜6，s=，i=2满足条件i＜6，s=﹣1，i=3满足条件i＜6，s=2，i=4满足条件i＜6，s=，i=5满足条件i＜6，s=﹣1，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先依据三视图把平面图复原成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解答：解：依据三视图得知：该几何体是有一个棱长为2的正方体，在每个角上的三条棱的中点处截去一个三棱锥体，共截去8个小三棱锥．则：该几何体的体积为：V==故选：A点评：本题考查的学问要点：三视图与立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用．主要考查同学的空间想象力量和应用力量．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：先推断命题p，q的真假，再依据真值表进行推断即可．解答：解：命题p：∀x∈R，2x＞x2；当x=﹣1时，2﹣1＜（﹣1）2，故命题p为假命题，则￢p为真命题，命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，当x=﹣1时，0＜1，故命题q为真命题，则￢q为假命题，故p∧q为假命题，p∨￢q为假命题，￢p∧q为真命题，￢p∧￢q为假命题，故选：C．点评：本题借助考查复合命题的真假推断，解题的关键是娴熟把握复合命题的真假规律．7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意可得三角形的面积和扇形的面积，由几何概型的概率公式可儿的．解答：解：由题意该几何概型的总的基本大事的区域为边长为1的正三角形的面积S==，而满足AM ＜的区域为扇形的面积S′==，∴所求概率P==故选：D点评：本题考查几何概型，涉及正三角形的面积和扇形的面积，属中档题．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据等比数列的通项公式，求出q的值，再求a6的值．解答：解：等比数列{a n}中，a3=16，a15=，∴=q12==，∴q3=±；∴a6=a3•q3=16×（±）=±4．故答案为：D．点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，也考查了同学机敏的计算力量，是基础题目．9．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．8考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题可得a=2，且a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，从而得出结论．解答：解：依据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，可得a=2，而函数的相邻的2条对称轴之间的距离为=，故由y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，可得a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，是偶数，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性、正弦函数的最值，属于中档题．10．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C化成标准方程，得圆心为C（0，2），半径r=1，依据题意可得点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于t的不等式，解之得t的范围．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，∴整理得：x2+（y﹣2）2=1，可得圆心为C（0，2），半径r=1．又∵直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，∴点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，可得≥2，解之得t≤0．故选：B．点评：本题给出定圆与经过定点的直线，当直线与圆有公共点时求参数k的取值范围，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等学问，属于中档题．二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：依据已知条件简洁求出2，从而可以求出，从而求得||．解答：解：=；∴；∴；∴．故答案为：．点评：考查向量数量积的运算，把握这种要求先求的方法，也可写成．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y 的最小值为3．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x﹣4y ，得y=2x﹣表示，平移直线y=2x﹣，当直线y=2x﹣经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，解得，即A（，），此时z min=8×﹣4×=3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，留意利用数形结合来解决．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，问题转化为∴a≤（2x2）min，求出函数y=2x2的最小值即可．解答：解：若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）=2﹣≥0在[1，+∞）恒成立，∴a≤（2x2）min=2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查了导数的应用，考查了转化思想，考查函数的最值问题，是一道基础题．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为p．考点：抛物线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．解答：解：抛物线x2=2py的焦点F（0，）准线方程y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3p解得y1+y2=2p，∴线段AB的中点纵坐标为p∴线段AB的中点到x轴的距离为p．故答案为：p．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足=x+y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为①②④（填写全部真命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：①利用已知可得f（﹣2）=22=4，f（4）=22=4，即可推断出正误；②利用向量共线定理即可推断出正误；③由面面垂直的判定与性质定理即可推断出正误；④若△ABC 是锐角三角形，则，可得，即可推断出正误；⑤f（x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，可得cosφ﹣sinφ=，cos（φ+）=，且φ∈（0，），解得φ=或．可得f（x）=±，分类争辩利用正弦函数的单调性即可推断出正误．解答：解：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=f（4）=22=4，因此正确；②由O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，由共线定理可知：A、B、C三点共线，正确；③由平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的必要不充分条件，因此不正确；④若△ABC 是锐角三角形，则，∴，∴cosA＜sinB，因此正确；⑤f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）=（cosφ﹣sinφ）（sin2x﹣cos2x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，∴cosφ﹣sinφ=，∴cos（φ+）=，且φ∈（0，），∴φ=或．∴f（x）=±，由或≤，解得kπ﹣≤x≤kπ+，或≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z ）或（k∈Z），因此不正确．综上可得：真命题为①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查了简易规律的判定方法、分段函数的性质、向量共线定理、面面垂直的判定与性质定理、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式等基础学问，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得sinA=sinCcosB，整理可得sinBcosC=0，结合B为内角，可求cosC=0，即可求得C的值．（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）利用三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式化简可得（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，结合b＜c，由（sinB+cosB）≠0，可解得sinC﹣cosC=0，即可求得C的值．解答：解：（Ⅰ）由a=c•cosB及正弦定理，可得sinA=sinCcosB，既有：sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，故：sinBcosC=0，而在△ABC中，sinB≠0，所以cosC=0，既得C=90°．…6分（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）得﹣cos（B+C）=sinBcosC﹣cosBsinC，即有：sinBsinC﹣cosBcosC=sinBcosC﹣cosBsinC，从而：（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，又由于b＜c，所以B＜C，所以（sinB+cosB）≠0，既有sinC﹣cosC=0，故解得：C=45°．…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式的应用，属于基本学问的考查．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：NE AM，可得四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE，即可证明MN∥平面PAB．（II）（i）由PA=PD，AM=MD，可得PM⊥AD，PM=．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2，利用PB2+BM2=PM2，可得PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，即可证明PB⊥平面ABCD，得到平面PBC⊥平面ABCD；（ii）利用V N﹣ABD =••S△ABD即可得出．解答：（I）证明：取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．∴AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又MN⊄平面PAB，∴AE⊂平面PAB．∴MN∥平面PAB．（II）（i）证明：∵PA=PD，AM=MD，∴PM⊥AD，∴PM==2．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2=PM2+BM2﹣2PM•BMcos45°=2，∴PB2+BM2=PM2，∴PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，BD∩BM=B，∴PB⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD；（ii）解：∵N是PC的中点，PB⊥平面ABCD，∴点N到平面ABCD的距离h=PB．∴V N﹣ABD =••S△ABD =×=．点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定定理与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理、余弦定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得各组的频率，可得要求的人数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，列举由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可知前四组的频率分别为，，，，∴分数在[80，90），[90，100]两组的频率是和，∴分数在[80，90）内的人数是×1200=240，分数在[90，100）内的人数是×1200=60；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，从中抽取2人的情形为（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），（1，2），（1，3），（2，3）共15种，其中两人平均分不超过60分的有（a，b），（a，c），（b，c）共3种，∴所求概率为P==．点评：本题考查列举法计算基本大事数及大事发生的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）先求导，再依据函数的单调区间，即可求出a的值；（2）依据函数的零点判定定理，即可求出a的值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2，∴f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣3a）（x﹣a），∵函数f（x）的单调递减区间为（﹣3，﹣1），∴，即a=﹣1；（2）∵f（x）在（0，2a）上有两个零点，∴a＞0，且，解得故a3的取值范围为（，3）点评：本题考查了应用导数争辩函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的力量以及分类争辩的数学思想．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．考点：数列的求和；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．由a11=1，a23=14，a32=16，可得，解得d，q．即可得出a n1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n ﹣1）=3n﹣2．可得b n ==，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T n．由T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，可得m2﹣7m＞（T n）max，解出即可．解答：解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．∵a11=1，a23=14，a32=16，∴，解得d=3，q=2．∴a n1=2n﹣1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n﹣1）=3n﹣2．∴b n ==，∴T n =1++…+，=…+，∴=1+﹣=﹣﹣2=，∴T n=8﹣．∵T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，∴m2﹣7m＞（T n）max，∴m2﹣7m≥8，m＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m的值是8．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用点M （c ，ce）在椭圆C上，建立方程，即可求e的大小；（Ⅱ）利用|FN|等于C 的长轴长的，求出N的坐标，即可求直线ON的方程．解答：解：（Ⅰ）∵点M （c ，ce）在椭圆C上，∴，∴b2=2c2，∴a2=3c2，∴e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）C 的方程可化为，设N（x1，y1），则∵|FN|等于C 的长轴长的，∴|FN|2=（x1+c）2+y12=，∴4x12+24cx1﹣45c2=0，∴x1=c，∴y1=±c，∴直线ON的方程为．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线方程，考查同学的计算力量，属于中档题．。

安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文试题含答案

18.（本小题满分 12 分）
已知等差数列an 的公差为 d d 0 ，等差数列bn 的公差为 2d ，设 An ，Bn 分别是数列an ，bn 的
前 n 项和，且 b1 3 ， A2 3 ， A5 B3 .
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）设 cn
bn
an
1 an1
，数列
A.0
B.1
C.2
D.3
12. 已知函数 f x x R 满足 f x 2 f x ，若函数 y x 1 与 y f x 图象的交点为
x
x1, y1 , x2 , y2 ,, x2020 , y2020 ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）
A.1010
各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.
4
（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第 1 组和第 5 组中抽取 5 个零件，再从这 5 个零件中随机抽取 2 个，求抽取的零件中恰有 1 个是第 1 组的概率. 21.（本小题满分 12 分）
（1）证明：平面 PBC// 平面 AEFD .
（2）若直三棱柱
ABE
DCF
的体积为V1 ，四棱锥
P
ABCD
的体积为 V2
，求
V1 V2
.
20.（本小题满分 12 分）
某工厂生产了一批零件，从中随机抽取 100 个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成 10,15 ，
15, 20 ， 20, 25 ， 25,30 ， 30,35 5 组，得到如图所示的频率分布直方图.以这 100 个零件的长度在

“皖赣联考”2021届高三上学期第三次考试文数含答案

18. (12 分) 在△ABC 中,AB = 3 AC,AD 为边 BC 上的中线,记∠CAD = 2∠BAD = 2α. (1) 求证:△ABC 为直角三角形; (2) 若 AD = 1,延长 BC 到点 E,使得 AE = 13 CE,求△ABE 的面积.
公众号：高三资料库
19. (12 分)
A. 215
B. 214
C. 213
D. 212
【 C-021】数学( 文科) 试卷第 1 页( 共 4 页)
( ) 8. 已知将向量 a =
13 ,
22
绕起点逆时针旋转 π 得到向量 b,则 b = 4
( ) A.
6- 2 6+ 2 ,
4
4
( ) B.
6+ 2 6- 2 ,
4
4
公众号：高三资料库
O
E
D
C
所以 an 2an 2an1 2n 1 ，故 an 2an1 2n 1 …………………………………………2 分
.
三. 解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10 分) 已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn,且 Sn = 2an -n2 (n∈N∗ ) . (1) 求证:数列{an +2n+3} 是等比数列; (2) 求 a1 +a3 +a5 +…+a2n-1.
【 C-021】数学( 文科) 试卷第 2 页( 共 4 页)
b1, b2 ,, b6 为等比数列， b1 1501.1，公比 q 1.1 。
1501.1 11.16
其和为 S2 b1 b2 b6
1 1.1

安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文试题 Word版含答案

“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则A B =（）A.(],1-∞-B.[]0,1C.(][),01,-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞2.已知命题:0p x ∀>，33x x >.则p ⌝为（） A.0x ∀>，33x x ≤B.0x ∀≤，33x x ≤C.00x ∃>，0303xx ≤D.00x ∃≤，0303xx ≤3.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 值分别为3，4，5，则输出的a 值为（）A.2B.3C.4D.54.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A.()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（）A.10B.26.函数2sin 2xy x =的图象可能是（）A. B.C. D.7.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（）A.x =B.2x =-C.y =D.2y =-8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（） A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A.)122π+B.)122π+C.32π+2 10.若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（）A.)41B.)41C.12D.411.若曲线()()21x f x ax e -=+在点()()2,2f 处的切线与40x y +=垂直，则a 的值为（）A.0B.1C.2D.312.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A.1010B.-2020C.2020D.4040第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，内的任意一点，则3a b -的最小值为_____________.14.已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为___________. 16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE DCF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成的，其中2EF EA EB ===，AE EB ⊥，PA PD ==//PAD 平面EBCF .（1）证明：平面//PBC 平面AEFD .（2）若直三棱柱ABE DCF -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V . 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知函数()22xf x e mx x =--（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性；（2）若[)0,x ∈+∞时，()12ef x >-恒成立，求m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ∵(][),11,A =-∞-+∞，故选C.2.C 命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303xx ≤”.3.D4B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+，因为()//2a a b +，所以42222x+=，所以1x =，所以2b =.6.D 令()2sin 2xf x x =，因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xxf x x x f x --=--=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 7.B由题意2221322a b ⎛=== ⎝⎭，∴b =8.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为()2111122S ππ=⨯⨯+⨯⨯)1122222π+⨯⨯=+.10.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =-+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.11.B 由题意()()21x ax a e f x -+'=+，()()023131f a e a '=+=+，直线40x y +=的斜率为14-，∴()11431a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭+，解得1a =. 12.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++-+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y -+++-+-++++-+-=⎤⎦.13.-2 作出不等式组2001a b a b +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩表示的可行域，当0a =，2b =时，目标函数3z a b =-取得最小值-2.42122iz i i+==-，故12z i =-=. 15.1023 由3564a a =，得2464a =，又数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =.设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===.所以()1010112102312S -==-.16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 由题意，函数满足()()20f x f x -+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点，此时31e k =-，解得13e k +=.直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点，此时51e k =-，解得15e k +=.直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()2g x f x kx k =--有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，.……………………………………4分因为0B π<<，所以3B π=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sin 2a c bA C B====，三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 223S ac B A C A A A A π⎛⎫==⨯=-=+ ⎪⎝⎭⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分当且仅当3Aπ=时，262A ππ-=，此时ABC △面积取得最大值4.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+-⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分（2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH .由题知，PH AD ⊥，且2PH =，又因为AE EB ⊥，三棱柱ABE DCF -为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD .因为平面//PAD 平面EBCF ，所以AE ⊥平面PAD ，因为PH ⊂平面PAD ，所以AE PH ⊥，又因为AEAD A =，所以PH ⊥平面AEFD ，所以//PH BE ，又因为2PH BE ==，所以四边形PHEB 为平行四边形，所以//PB HE ，因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD ，所以//PB 平面AEFD ，同理可证//PC 平面AEFD ，又因为PBPC P =，所以平面//PBC 平面AEFD .…………………6分（2）由题知，直三棱柱ABE DCF -的体积1142V EB EA EF =⨯⨯⨯=，四棱锥P ABCD -的体积2118222323P ABD B PAD V V V AD PH AE --==⨯⨯⨯⨯==⨯，所以1243823V V ==.………………12分20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ；应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）当0m =时，()2xf x e x =-，()2xf x e '=-，.…………………………………………1分令()20x f x e '=-≤，得ln 2x ≤，令()20xf x e '=-≥，得ln 2x ≥.………………………….3分所以函数()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增.………………………………4分（2）()12e f x >-恒成立，即2212x ee x mx --+>恒成立. 当0x =时，对于任意的m R ∈，202e->恒成立；.…………………………………………5分当0x >时，即2212x ee x m x --+<恒成立.……………………………………………………6分令()2212xe e x g x x--+=，则()()2422212x x e e x x e x g x x ⎛⎫----+⎪⎝⎭'=. 整理得()()3222x x e x e g x x -++-'=，.……………………………………………………7分令()()222xh x x e x e =-++-，注意到()10h =，()()12xh x x e '=-+，再令()()12xx x e ϕ=-+，则()0xx xe ϕ'=>，.…………………………………………8分所以()x ϕ在()0,+∞单调递增，()()010x ϕϕ>=>，即()0h x '>.所以()h x 在()0,+∞单调递增.……………………………………………………9分又()10h =，故知在()0,1上()0h x <，在()1,+∞上()0h x >.从而()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.………………………………………………10分故()()min 2121112ee e g x g --+===-，.……………………………………………………11分因为2212x ee x m x --+<在[)0,+∞恒成立，所以12em <-.……………………………………………………………………12分22.解析：（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分11 （2）若直线l的斜率不存在，则1322S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++-= 设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -⋅=+，()121222212my y k x x m k +=++=+.由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=，所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+，代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++，设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m=2==.综上可得，PAC△面积S .………………………………………………12分。

高三数学第三次联考试题文含解析试题

“皖南八校〞2021届高三第三次联考制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

数学〔文科〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，所以，应选C.【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能.，那么〔〕A. 0B. 1C.D. 2【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法那么，求得，再根据复数模的计算公式，即可求解。

【详解】由题意复数，那么，所以，应选D。

【点睛】此题主要考察了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法那么，合理准确运算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题。

3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，理解他们对今年HY的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如下图，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。

【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；应选A。

【点睛】此题主要考察了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题。

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A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．
Cபைடு நூலகம் D．
9．在正方体中，若点为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B．
C． D．
10．已知，是椭圆：的两个焦点，以为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
（2）若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
求得集合，根据集合的交集运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，又由，
所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
15．已知是双曲线上一点，、是左、右焦点，的三边长成等差数列，且，则双曲线的渐近线方程为__________．
16．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的面积是__________．
三、解答题
17．各项均为整数的等差数列，其前项和为，已知，且，，成等比数列.
【校级联考】安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学（文科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（）
A．0B．1C． D．2
3．从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）
甲种生产方式：
指标区间
频数
5
15
20
30
15
15
乙种生产方式：
指标区间
频数
5
15
20
30
20
10
（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；
（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，过抛物线焦点且与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，且的周长为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若过焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，切线与相交于点，求：的值.
21．已知函数 .
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为 .
（1）求曲线的普通方程；
（2）若与曲线交于，两点，求以为直径的圆的极坐标方程.
23．已知函数 .
（1）求不等式的解集；
2．D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，求得，再根据复数模的计算公式，即可求解．
【详解】
由题意复数，则，所以，故选D．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．A
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。
A．2B．3
C．4D．5
5．已知，则（）
A． B． C． D．
6．函数f（x）= 的大数图象为（）
A． B．
C． D．
7．七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
（1）求的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和 .
18．如图，在四棱锥中，平面，点为中点，底面为梯形，，， .
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为4，求点到平面的距离.
19．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：
11．已知函数，则满足的实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若平面向量，，且，则 __________．
14．已知是函数的一个极值点，则曲线在点处的切线斜率为__________．
【详解】
根据频率分布直方图的性质得，解得
所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；
年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；
年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；
年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；
故选A。
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
A．抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20
B．抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30
C．抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40
D．抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50
4．已知，满足约束条件，若目标函数的最小值为-5，则的最大值为（）

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