用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题1

用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题教案

注：为了简单起见，平面几何简称为平几；师指教师，生指学生。

《用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题》教案说明

向量是数与形的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身，在解决平面几何问题时能起到奇特的作用。在用向量解决平面几何问题时，首先就是要将几何关系转化为向量表示（即选择适当的基底），然后再借助向量运算来解决。因此，本节课实际就是让学生学会：在三点共线条件下，知道将几何关系转化为向量问题来解决。

本节课的教学目标是按三维目标来确定的。它包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。知识与技能目标有4点，它们是相互联系层层递进的关系。目标1是基础，目标2是内容，目标3是获得技能，目标4才是这节课的根本意图。我国新一轮课程改革提出：改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极的学习态度，使获得知识与形成技能的过程成为学会学习和形成价值观的过程。这就要求我们的教学过程应更多的考虑学生，要让他们在课堂上参与适应的探索并能在这一过程中感受成功的喜悦。

本内容是学生学习了向量的一些基本概念、向量的加法与减法、向量共线的充要条件、平面向量基本定理和三点共线的向量结论后进行的一节探究式的习题课。平面向量基本定理这一节的例5学生知道了这样一个结论：A 、B 、C 三点共线的充要条件是：有唯一的实数对λ、μ，使OC OA OB λμ=+u u r u u r u u r

，其中λ+μ=1。并且通过上节课的学习，学生还知道了在三点共线条件下写向量表达式的一种方法：如右图,

图1 图2

分母m+n 代表线段AB 的份数，即右边两向量终点表示的线段，m 代表线段CB 的份数，即左边向量OC u u r 和右边向量OB u u r 两向量终点表示的线段，n 代表线段CA 的份数，即左边向量OC u u r

和右边向量OA u u r

两向量终点表示的线段。系数m 、n 与它对应的线段恰好是交叉关系；当分点在线段的外部时，添加一个负号，其位置由系数和为1确定。在三点共线的条件下学生能较为熟练的写出向量表达式作为基础来进行这节课的教学。

A

O

m n OC OA OB

m n

m n

=

+

++u u r

u u r

u u r

m+n

n

m

对λ

μ

的几何意义的探求分四个阶段进行：先由1、2两个特例得猜想：

λ

μ

=CB

CA

；再由检

验特例2的系数完善猜想，得猜想2：|λ

μ

|=CB

CA

；然后指出这一猜想的正确性（不证明）；最

后通过课堂的应用1、应用2和课堂练习来巩固知识。本节课最关键的是教师引导学生得猜想1和猜想2，这也是本节课最难的。因为这一过程思维跳跃性很强，要反复结合向量表达式和

图形，稍有不慎，学生的思维链一断，这节课就变得毫无意义了！结论|λ

μ

|=CB

CA

在课堂上没

有证明，从这一意义上说失去了数学的理性思维，少了很多的“数学味”，但对高一的学生来说却是很必要的（要知道，正是因为有时我们过分追求理性思维才让学生产生“数学就是繁和难的演绎与推理”这种想法，让他们畏惧数学！）。有时这种“重过程轻实质”的方法，能减轻学生的学习负担，不会因技巧性强、冗长的证明过程冲淡本节课的主题。本节

课的最终目的是要让学生感受到一点向量应用的广泛性，并希望能逐步增强学生应用向量解

决数学问题的能力。若着眼点仅是这一节课，探索λ

μ

的几何意义的过程对高一学生而言有

些难，甚至可以说没必要。但若将这节课放到整个高中阶段这根知识大链上来看又是怎样的呢仅从以下两个例子就可见向量在中学数学知识中的地位了：

1、向量与三角知识的融合。在推导正弦定理、余弦定理均用到了向量知识。但是在教学过程中这一点还没有引起我们足够的重视，甚至有些教师对教材中用向量方法证明正弦和余弦定理弃之不用，课堂教学中仅仅是为了得到一个结论，证明方法仍是沿用以前的老教材中的方法。应该说这是一种教学资源的浪费！正弦和余弦定理究竟要解决的是什么问题初中解决角与边有哪些方法高中与角和边有关的又有哪些知识通过这种引导，让学生将所学的向量的数量积与三角形知识联系起来，这样既能让学生掌握这种证明方法，又能让学生树立应用向量的意识；

2、向量在立体几何中的应用。这几年来高考对立体几何知识大题的考查都是能建立直角坐标系，大题的得分率比以前大大提高。但这也给部分学生（甚至于我们的教师）留下了这样一些印象：只要会建立直角坐标系就行了；立体几何对逻辑推理和空间想像能力的要求降低了；向量在立体几何中的应用关键是能建立直角坐标系等等。比如高二数学教材下B第51页例2，题如下：

已知在一个60o

的二面角的棱上有两个点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于AB 的线段，又知AB=4cm, AC=6cm, BD=8cm,求CD 的长。

对于高三的同学来说也很少想到用向量方法来解决的。在不建立直角坐标系的条件下用向量来证明线线平行、线面平行，求线面角、二面角的平面角这方面的意识学生就更弱了！ 培养学生应用向量的意识不是一朝一夕就能实现的，而要把这种意识转化为一种能力那就更是需要一个长期的、不断训练的过程了。我从最不理想的角度考虑过这节课的效果，若有学生在上课时由于注意力不集中导致后面的内容听不懂了，若他看到用向量方法能这样简捷的解决平面几何问题时，他只要能这样想：哦，原来还可以这样呀！我就觉得是我这节课的收获了！从这个方面来看，这节课是及时的也是需要的。

在三点共线的条件下让学生写向量表达式都能准确的写出来，但是在探求

λ

μ

的几何意义时还是应特别的注意.因为这需要在向量表达式和图形中反复观察，这也是学生最容易出问题的地方。此时应该放手让学生自己先探索，教师再去引导，这样的效果会更好的，若探索这个环节处理得不好，后面的内容就会变成老师的独角戏了！另外，学生容易出错的是在例1

中求出了λ的值，是代入(1)BG BA BM λλ=+-u u r

u u r

u u u r

还是代入12

BG BA BC λλ-=+u u r

u u r u u r

求比值。解题

到此时可再回顾三点共线的向量结论的形式特点，通过课堂上3个题目的和课外1题（课外作业的第一题是要求每个学生必做的，2作为选做）共4个题的训练是能正确区分这一点的。

根据新课改的教育教学理念，在课堂上探究知识时让学生经历：操作实践→观察→猜想、归纳，这是一种以学生为主，还课堂于学生的教学活动。根据本节课的内容特点，授课时是按照这样一种模式进行的：创设情景→数学活动→猜想、归纳→巩固、应用和拓展。在数学活动的过程中让学生知道了这样一种解决问题的方法：特例→观察→猜想→验证、→完善猜想→归纳→证明。通过合作交流的方式探求知识，增强了他们应用向量解决数学问题的意识。当然，这节课是第一节向量应用课，其中

λ

μ

的几何意义是我的新发现（或许早就有资料介绍了，只是我孤陋寡闻吧！）有些语句描述学生以前没有听到过，学生课堂回答问题不够准确，我也没敢放手的让学生去探求，这是我最大的遗憾！