九年级数学垂径定理

初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲一. 本周教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。

（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。

已知其中两项，可推出其余三项。

注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。

”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。

2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。

（M点是两点重合的一点，代表两层意义）COA BMD3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。

无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。

4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。

四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。

源于圆的旋转不变性。

即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。

()()()()1234⇔⇔⇔O B'M'A' BMA6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。

7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。

【典型例题】例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。

点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。

解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示：∴==⨯=OE AB cm 1212126() 由垂径定理知：AE BE cm ==6∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形 ∴∠AOB ＝90°由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626， 即⊙O 的半径为62cm点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。

例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。

求证：AD BD a b ·=-22证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==，在Rt AOE ∆中，AE OA OE 222=-在Rt COE ∆中，CE OC OE 222=-()()∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222=-=-OA OC a b2222即()()AE CE AE CE a b +-=-22BD AC ED CE ==,AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==-即22b a BD AD -=⋅点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。

例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cmB. 6cmC. 63cmD. 123cm（2001年辽宁）解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 ()2632321632222-=-=()cm故选C 。

例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ⋂上，且EF ＝4HE ，求HE 的长。

DBO解：连结AD 、OG ∠=∠=⨯︒=︒AOD AOB 121212060 OA ＝OD∴△AOD 为等边三角形∵OD ⊥AN∴NO ＝ND ＝4cm ∵OD ＝OG ＝8cm设HE x =，则()MG x MO x cm ==+24， 在Rt OMG ∆中，由MG OM OG 222+=得： ()()x x ++=42822解得：x x 121254==-，（舍去） ∴HE 的长为125cm点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。

例5. 已知，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB cm OC cm ==85，，则DC 的长为（ ） A. 3cmB. 2.5cmC. 2cmD. 1cm（2001年北京东城区）解：OD =-=54322∴=-=DC cm 532()故选C 。

常见错误：将DC 错算为OD ，即算出OD 就不再计算DC 了，从而错选A 。

这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。

例6. 在⊙O 中，AB AC ⋂=⋂2，那么（ ）A. AB AC =B. AB AC =2C. AB AC >2D. AB AC <2 解：如图所示，连结BC 。

AB AC ⋂=⋂2 ∴⋂=⋂AC BC∴=AC BC在△ABC 中，AB ＜AC ＋BC ∴AB ＜2AC 故选D 。

点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。

例7. 已知⊙O 的半径是10cm ，AB ⋂是120°，那么弦AB 的弦心距是（ ）A. 5cmB. 53cmC. 103cmD.523cmA BOC解：如图所示，OA cm =10，∠AOB ＝120° ∴∠=∠=︒AOC AOB 1260 在Rt △ACO 中，CO AO AOC cm =∠=⨯=·cos ()10125 故选A 。

点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。

例8. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解：如图所示，连结OA 、OB∵AB ＝AC ＝10∴⋂=⋂AB AC由垂径定理的推论，得OA 垂直平分BC ，垂足为D 又∵∠BAC ＝120°∴∠ABC ＝∠ACB ＝30° ∴∠BAO ＝60°又∵OA ＝OB∴△AOB 是等边三角形 ∴半径OA ＝OB ＝AB ＝10 故选C 。

点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。

例9. 点P 为半径是5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条（2002年山东）解：选C 。

点拨：圆是中心对称图形，故与P 点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。

因此，长度为整数弦一共有4条。

例10. 如图所示，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB ＝CD 。

求证：∠AMN ＝∠CNMD点悟：由弦AB ＝CD ，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点，如连结OM 、ON ，则有OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，故易得结论。

证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ∵AB ＝CD ∴OM ＝ON∴∠OMN ＝∠ONM∵∠AMN ＝90°－∠OMN ∠CNM ＝90°－∠ONM ∴∠AMN ＝∠CNM点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。

例11. 在⊙O 1与⊙O 2中，分别有40°的MN ⌒和M N 11⌒，那么：（1）MN ⌒与M N 11⌒相等吗？（2）∠MO N 1与∠M O N 121相等吗？错解：（1）因为MN ⌒与M N 11⌒都是40°的弧所以MN ⌒＝M N 11⌒（2）MN ⌒与M N 11⌒相等，所以∠∠M O N M O N 11121=常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提下，看它们是否“重合”；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。

可见它不受所对的弧相等与否来制约。

正解：（1）不一定相等。

（2）相等。

（答题时间：30分钟） 一. 选择题。

1. 下列命题中，正确的命题是（ ）A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C. 在⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AC BD ⌒⌒=，则AB ∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径2. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ） A. 2cmB. 3cmC. 7cmD. 27cm3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10 B. 26 C. 13 D. 54. 在直径是10cm 的⊙O 中，AB ⋂为60°，则弦AB 的弦心距是（ ）A. 103cmB.1523cmC. 53cmD.523cm 5. AB 、CD 分别为大小不同圆的弦，共AB ＝CD ，那么AB CD ⋂⋂、的关系是（ ）A. AB CD ⋂=⋂B. AB CD ⋂>⋂C. AB CD ⋂<⋂D. 不确定二. 填空题。

6. 已知AB 为⊙O 直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，AC ＝6cm ，则DC ＝____________。

7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。

8. 若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是___________梯形。

9. 弦AB 把⊙O 分3：7，则∠AOB ＝___________。

10. 若⊙O 半径是4，P 在⊙O 内，PO ＝2，则过P 点的最短的弦所对劣弧是___________度。

11. ⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径OA ＝4cm ，OP ＝2cm ，则∠AOB ＝__________，∠ADC ＝__________，BD ⋂度数为__________，△ADC 周长为__________ cm 。

三. 解答题。

12. 如图，⊙O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径。