第四章 实用计算方法1
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人教版高中化学必修一第四章第四节氨硝酸硫酸
（3）若V L烧瓶充满标况下的氨气，喷泉实验后溶液充满
整个烧瓶，所得溶液的物质的量浓度是
1 22.4
。mol/L
2、氨气的化学性质 （1）氨与水反应
NH3+H2O
NH3 H2O
NH4++OH-
关于氨水——氨的水溶液
① 氨水中含有的主要微粒有：
分子：H2O、NH3、NH3•H2O 离子：NH4+、OH注意：计算氨水的质量分数时，以NH3为溶质。 ② 氨水密度小于水（氨水浓度越大，密度越小）
③ NH3•H2O不稳定
△
NH3•H2O == NH3+ H2O
氨水是一种不稳定、易挥发的一元弱碱
讨论1：在1L 1mol/L的氨水中（ D ） A、含有1mol NH3 B、含NH3和NH4+的物质的量之和为1mol C、含1mol NH3• H2O D、含NH3、 NH3• H2O和NH4+的物质的量之和为1mol
注意：NH4Cl受热分解，产生的气体冷却又生成NH4Cl，
NH4HCO3 NH3↑+H2O+CO2↑
都产生NH3，
△
非氧化还原反应
(NH4)2CO3 = 2NH3 ↑ + H2O + CO2 ↑
2NH4NO3△= 4H2O + 2N2 ↑ +O2 ↑ 无NH3产生，是氧化还原反应 注意：不是所有的铵盐受热分解都生成氨气。
保存：硝酸盛放于棕色瓶中，置于冷暗处
2、强氧化性
浓氨水 CaO
讨论2：通常情况下能大量共存，并且都能用浓硫酸和碱石灰
干燥的是（ B ）
A、NH3、NO、HCl C、H2S、SO2、O2
B、N2、H2、O2 D、NO、NO2、O2
第四章第1、2、3、4、5节N
第四章 拉深
特点： 1.反拉深时变形集中在rd区，与rd区包角为1800，摩擦阻力比正 拉深时大，不易起皱，常可不用压边。 2．折弯要减少一半。材料硬化程度要比正拉深时低些。 3．反拉深允许变形程度可大些。 4．拉深系数不能太大。影响凹模壁厚。
结束
第四章 拉深
三、凹模圆角区摩擦对 的影响 将板料流经、区视为皮带绕带轮旋转，便可用欧拉张力公式 进行估算。
第四章 拉深
四、材料硬化对 的影响 当考虑材料硬化对筒壁处拉应力的影响时， 应为瞬时的屈服流动应力。 便不是常数，
缩颈点处断面收缩率 材料，硬化也越强烈，
，越大的
应力的最大值一般出现在板料包满凸模和凹模 圆角时，而这时材料已高度硬化，屈服流动应 力已远远超过其初始值。
第四章 拉深
第三节 影响径向拉应力的因素
一、压边对 的影晌 凸缘区板料在流入凹模过程中将受到压边圈与凹模端面的双重 摩擦阻力作用，使筒壁处拉应力增大
为筒壁截面积的近似值。
第四章 拉深
二、凹模圆角区弯矩对 的影响 处在位置1是平直的，进入rd区被弯曲，中心面曲率半径为R。位 置3，又被反弯拉直。凸缘区板料中被反复两次弯曲。
第四章 拉深
第四章拉深
在压力机上使用模具将平板毛坯制成带底的圆筒形件或矩形件的 成形方法称为拉深。杯形件，盒形件。是冲压的基本工序之一。 以拉深件代替铸造壳体形件是发展趋势
第四章 拉深
第四章 拉深
第一节圆筒形件拉深变形分析
一、拉深变形过程及变形特点 无压边的拉深过程，有压边的拉深。
第四章 拉深工艺与拉深模设计
第四章 拉深
变形特点：变形区主要 集中在凸缘区，即D与d 之间的环形部分。变形 区任一点在径向受到了 拉伸，而切向受到了压 缩。同一圆周上的各点 的切向压缩变形是相等 的。径向变形不具有均 匀性，越靠近凸缘边缘， 径向拉伸变形与切 拉深
第四章 地下建筑结构的计算方法
Q系统分级与分级系数的关系
RQD J r J w Q= ⋅ ⋅ J n J a SRF
岩体质量分级
岩体 质量 特别 好
极好
良好
好
中等
不良
坏
极坏
特别坏
Q值
1000 ～400
400～ 100
100～ 40
40～ 10
10～ 4
4～1
1～ 0.1
0.1～ 0.01
0.01～ 0.001
Q系统分级的应用
3
§2工程类比法
隧道各级围岩自稳能力判断
自稳能力 围岩级别 Ⅰ Ⅱ 跨度20m，可长期稳定，偶有掉块，无塌方 跨度10m ～20m，，可基本稳定，局部可发生掉块或小塌方； 跨度10m，可长期稳定，偶有掉块； 跨度10 ～20m，可稳定数日至1个月，可发生小～中塌方； 跨度5 ～10m，可稳定数月，可发生局部块体位移及小～中塌方 跨度5m,可基本稳定
18
§5 收敛限制法 5
收敛线概念： 收敛线概念： 据地层及洞室情况可有弹性、塑性、 据地层及洞室情况可有弹性、塑性、松动等三 段。 限制线概念： 限制线概念：
支护时间和结构刚度的 合理选择： 合理选择：（图 ）
19
§5 收敛限制法 5
收敛线的确定： 收敛线的确定： 解析法， 解析法，难，不同部位的收敛线不一样； 不同部位的收敛线不一样； 有限元方法； 有限元方法； 现场实测法 限制线的确定：与上类似 限制线的确定：
Ⅲ
Ⅳ
跨度5m，一般无自稳能力，数日至数月内可发生松动变形、小塌方，进而发展 为中～大塌方。 埋深小时，以拱部松动破坏为主，埋深大时，有明显塑性流动变形和挤压破坏 跨度小于5m，可稳定数日至1个月 无自稳能力，跨度5m或更小时，可稳定数日 无自稳能力
七年级数学第四章 直线与角 第1~3节上科版知识精讲
七年级数学第四章 直线与角 第1~3节上科版【本讲教育信息】一. 教学内容：第四章：直线与角 4. 1 多彩的几何图形 4. 2 线段、射线、直线 4. 3 线段的长短比较二. 教学目标1. 通过实例，识别常见的几何体：长方体、正方体、四面体、圆柱、圆锥、球等．2. 了解几何图形是由点、线、面、体组成的，并能了解什么样的图形是平面图形，什么样的图形是立体图形。
3. 掌握立体图形与平面图形的关系，能根据展开图说出立体图形的名称．4. 掌握由立体图形画出该图形的各方向的平面观察图，反过来，由平面观察图说出立体图形的名称或描述立体图形．5. 学会如何标记线段、射线、直线，体会三者之间的关系．6. 通过实例认真体会两点确定一条直线的事实。
7. 学会比较两条线段的长短，理解线段中点的定义，并学会将文字语言转化为符号语言（由点C 是AB 的中点，得到AC ＝CB ＝21AB 或AB ＝2AC ＝2CB ）． 8. 依据具体的实例，体会并掌握线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短；掌握两点间距离的定义。
三. 重点及难点 重点：1. 点、线、面、体的概念。
2. 会画并能识别立体图形及一些简单组合体的“三视”图3. 线段、射线、直线的概念及直线的两条性质。
4. 线段长短的比较方法和线段的基本性质。
难点：1. 点、线、面、体之间的关系2. 直线的两条性质的理解与应用。
3. 线段的基本性质“两点之间的所有连线中，线段最短”的理解与应用。
四. 课堂教学知识要点1. 几何图形：几何图形就是指物体的形状大小和位置，长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体。
包围着体的是面，面可以为平面，曲面两种。
几何体中，面与面相交形成线，线与线相交得到点。
↓↖↗↘↙线线线线↙↙面面面面↖↖几何图形是由点、线、面、体组成。
点是最基本的图形点，线，面，体之间的关系是：点动成线，线动成面，面动成体。
平面没有边界，几何图形中，像直线，角，三角形，圆等，它们上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫做平面图形；像长方体，圆柱体，球等，它们上面的各点不都在同一个平面内，这样的图形叫做立体图形。
机械系统动力学 第四章 固有频率的实用计算方法
第4章 固有频率的实用计算方法
二、邓克利法（Dunkenley法）
对于多自由度振动系统，若用柔度法建立的运动微分 方程可表示为：
X MX
同样地令 X {u}sinnt
4-2-8
(I 2 M)u 0
I 2 M 0
特征方程
对于二个自由度系统：
1-211m1 -212m2 0 -221m1 1-222m2
若取 u1
{1
{u1}T {u1}T
K{u1} M {u1}
=
{1
1} k m
1} 0
k
1
0 1 2m 1
1 2 代入式4-2-7进行试算
k 0.定 于对振型的假设。计算 一阶固有频率精度较高
2k k 1
但数值偏大
若取
{1
2 n1
{u1}T {u1}T
K{u1} M {u1}
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
单自由度无阻尼自由振动系统运动
mx kx 0
只要列出单自由度无阻尼自由振动系统的运动微分 方程，就可以得到振动系统的固有频率
n
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转 动振动系统的运动微分方程。
振动系统固有频率：
n
ka2 Jo
ka2 1 ml3 3
3ka2 ml 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法
原理：
对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振
动位，置系，统势能T 为U0，c动ons能t 达或到最ddt大(T，U即) ：0U
化工设备机械基础4
钢板的2--2和3--3面为危险面 3P 3 ×110 σ2 = = ×107 = 155.7MPa ≤ [σ ] 4t(b − 2d ) 4 × (8.5 − 2 ×1.6) P 110 σ3 = = ×107 = 1594MPa≤ [σ ] 综上，接头安全。 . t(b − d ) 1× (8.5 −1.6) 1 2 3
28
§4-5 纯剪切
剪应力互等定理： 剪应力互等定理：
剪切虎克定律
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
∑ mz = 0
τ
c z
τ
d t
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理 为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上 力必然成对出现，且数值相等， 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 其方向则共同指向或共同背离该交线。 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用， 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 29 种应力状态称为纯剪切应力状态。 种应力状态称为纯剪切应力状态。
4
P （合力）
§4-1 剪切构件的受力与变形特点
（合力） P n ③剪切面： 剪切面： 构件将发生相互的错动面， 构件将发生相互的错动面，如 n P （合力） n– n 。 ④剪切面上的内力： 剪切面上的内力： 内力 — 剪力Q ，其作用线与 剪力 Q n P
5
剪切面 剪切面平行。 剪切面平行。 n
Q n
6 钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。 钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
1 2 U k ( a ) 系统的势能 2
2
1 22 2 T = J J ( c o st ) = J c o sn t 0 0 0 n 0 0 n 2 2 2
2 n
1 21 21 2 2 2 U =( k a ) k ( a s i n) t = k a s i n t 0 n n 0 2 2 2
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受 力图如图(b)。根据动量矩定理 J MF () o 0
J k a c l o
2 2
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受 力图如图(b)。根据动量矩定理 J MF () o 0
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
振动系统固有频率：
k a2 k a2 3 k a2 n 3 1 Jo m l 3 m l 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法 原理： 对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振 d (T U ) 0 。在静平衡 动，系统 T Uc o n s t或 dt U 0 ,T T 位置，势能为0，动能达到最大，即： m a x。 在最大位移处，动能为0，势能达到最大， U U ,T 0 即： 。所以有： m a x
1 2 2 最大动能 Tmax = J00 n 2
得：最大势能：1 来自max = ka202 2由
Tmax =Umax
1 2 2 1 2 2 J0 = k a 0 2 0 n 2
第四章(第一次课) 两相流动压降
两相摩擦压降＝单相摩擦压降×两相摩擦乘子
其中两相摩擦乘子是一些专门定义的系数。
两相摩擦因子
若令流道内流动的总质量流量为W，气相质量流量为Wv，液 相质量流量为Wl，且 W = Wl + Wv 。
⎛ dp f 总质量流量为W的两相混合物的摩擦压降梯度记做 ⎜ ⎜ dz ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠TP
其中下标“TP”表示两相
⎝
⎠v
③ 计算无因次参数X，用X查图4-1的曲线或用 φl2 、φ v2 （与 Chisholm的拟合关系式(4-36)计算 α）； 2 φl 或 φ v2 计算两相摩擦压降梯度⎛ dp f ⎞ 。 ⎜ ⎜ dz ⎟ ⎟ ④用 ⎝ ⎠
TP
其他方法还有： (2) Martinelli-Nelson关系 (3) Thom方法 (4) Armand-Treshchev关系式
第一课 两相流动压降
上海交通大学 核工系
一、概述
前面我们曾经提到，两相流动的总压降等于 加速、重位与摩擦压降三者之和。在一般情 况下，加速压降与摩擦压降、重位压降相比 很小，往往可以忽略不计。只有在高热负荷 的情况下，加速压降才增大到可与摩擦压降 相比拟的程度。
加速压降
按照分相流模型，从两相流动的动量方程可 知，稳定流动时加速压降为
本次课结束！
⎡ (1 − x )2 x2 1⎤ 2 ∆pa = G ⎢ + − ⎥ ⎣ ρ l (1 − α ) ρ vα ρ l ⎦
若按均相流模型处理，此时，则上式可写为
⎡ ⎛ 1 1 ⎞⎤ ∆p a = G ⎢ x ⎜ − ⎟ ⎥ ⎜ρ ρ l ⎟⎦ ⎠ ⎣ ⎝ v
2
重位压降
动量方程中的重位压力梯度为
dp g dz = ρg sin θ
其中两相摩擦乘子是一些专门定义的系数。
两相摩擦因子
若令流道内流动的总质量流量为W，气相质量流量为Wv，液 相质量流量为Wl，且 W = Wl + Wv 。
⎛ dp f 总质量流量为W的两相混合物的摩擦压降梯度记做 ⎜ ⎜ dz ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠TP
其中下标“TP”表示两相
⎝
⎠v
③ 计算无因次参数X，用X查图4-1的曲线或用 φl2 、φ v2 （与 Chisholm的拟合关系式(4-36)计算 α）； 2 φl 或 φ v2 计算两相摩擦压降梯度⎛ dp f ⎞ 。 ⎜ ⎜ dz ⎟ ⎟ ④用 ⎝ ⎠
TP
其他方法还有： (2) Martinelli-Nelson关系 (3) Thom方法 (4) Armand-Treshchev关系式
第一课 两相流动压降
上海交通大学 核工系
一、概述
前面我们曾经提到，两相流动的总压降等于 加速、重位与摩擦压降三者之和。在一般情 况下，加速压降与摩擦压降、重位压降相比 很小，往往可以忽略不计。只有在高热负荷 的情况下，加速压降才增大到可与摩擦压降 相比拟的程度。
加速压降
按照分相流模型，从两相流动的动量方程可 知，稳定流动时加速压降为
本次课结束！
⎡ (1 − x )2 x2 1⎤ 2 ∆pa = G ⎢ + − ⎥ ⎣ ρ l (1 − α ) ρ vα ρ l ⎦
若按均相流模型处理，此时，则上式可写为
⎡ ⎛ 1 1 ⎞⎤ ∆p a = G ⎢ x ⎜ − ⎟ ⎥ ⎜ρ ρ l ⎟⎦ ⎠ ⎣ ⎝ v
2
重位压降
动量方程中的重位压力梯度为
dp g dz = ρg sin θ
土力学 第四章 土的压缩与固结
4.2土的压缩特性 （土的压缩试验与压缩性指标）
一.室内压缩试验（１）
一、室内压缩试验 土的室内压缩试验亦
称固结试验，是研究土压 缩性的最基本的方法。室 内压缩试验采用的试验装 置为压缩仪。
整理课件
试验一时.将室切内有土压样缩的环试刀验置于（刚２性护）环中，由于金属
环刀及刚性护环的限制，使得土样在竖向压力作用下只能 发生竖向变形，而无侧向变形。在土样上下放置的透水石 是土样受压后排出孔隙水的两个界面。压缩过程中竖向压 力通过刚性板施加给土样，土样产生的压缩量可通过百分 表量测。常规压缩试验通过逐级加荷进行试验，常用的分 级加荷量p为：50、100、200、300、400kPa。
2.地基土按固结分类
前期固结应力pc：土在历史上曾受到过的最大的、垂直的
有效应力 四. 土的应力历史（4）
超固结比OCR ：前期固结应力与现有有效应力之比,即
OCR＝ pc/p1
正常固结土： OCR=1 pc=p1
超固结土： OCR>1,OCR愈大，土受到的超固结作用愈强，
在其他条件相同的情况下，其压缩性愈低。 pc> p1
作用下再压缩稳定后的孔隙比，相应地可绘制出再压
缩曲线，如图4-6（a）中cdf曲线所示。可以发现其中df
段像是ab段的延续，犹如其间没有经过卸载和再压的
过程一样。
整理课件
二. 压缩性指标（１０）
（a）e-p曲线；
（b）e-lgp曲线
图 4-3 土的回弹—在压缩曲线 整理课件
三、 现场载荷试验及变形模量（１）
２．由于孔隙水的排出而引起的压缩对于饱和粘性土来说是
需要时间的，土的压缩随时间增长的过程称为土的固结。
这是由于粘性土的透水性很差，土中水沿着孔隙排出速度
第四章留数定理及其应用
两边沿顺时针方向积分
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
机械系统动力学第四章 固有频率的 实用计算方法
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转 动振动系统的运动微分方程。
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受
力图如图(b)。根据动量矩定理 Jo M0(F)
Joka2cl2
令其特征方程的系数行列式等于0得
2k2m k
=0
k k22m
即： (2 k 2 m )(k2 2 m )k2= 0
可得固有频率
1
2
=
0
.
2
1
9
2
k m
2 2
=
2
.2 8
0
8
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
U = 1 2 k (a)2 1 2 k (a0 s inn t)2 = 1 2 k a 20 2 s in 2n t
最大动能
Tmax
=
1 2
J 2 2 00 n
最大势能：
Umax
=
1 2
ka22 0
由 Tmax=Um
系统的固有频率
= ka2
n
J0
若取
u1
1
2
代入式4-2-7进行试算
k1 k 0.333k
01 3m
m
2m1 瑞利法的计算精度决定
于对振型的假设。计算
一阶固有频率精度较高
2k k1
但数值偏大
若取 n2u12{{uu11}}TT1M 1K{{uu11}} =n2{{211{ 2{ 2u }u }22}} m 0T TkM K{2{0 uu m k22}} =1 22{{ 11 9 21 m 1 k}} 2m 00kk.222 20m kkm k 1111 35m k1.667m k
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转 动振动系统的运动微分方程。
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受
力图如图(b)。根据动量矩定理 Jo M0(F)
Joka2cl2
令其特征方程的系数行列式等于0得
2k2m k
=0
k k22m
即： (2 k 2 m )(k2 2 m )k2= 0
可得固有频率
1
2
=
0
.
2
1
9
2
k m
2 2
=
2
.2 8
0
8
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
U = 1 2 k (a)2 1 2 k (a0 s inn t)2 = 1 2 k a 20 2 s in 2n t
最大动能
Tmax
=
1 2
J 2 2 00 n
最大势能：
Umax
=
1 2
ka22 0
由 Tmax=Um
系统的固有频率
= ka2
n
J0
若取
u1
1
2
代入式4-2-7进行试算
k1 k 0.333k
01 3m
m
2m1 瑞利法的计算精度决定
于对振型的假设。计算
一阶固有频率精度较高
2k k1
但数值偏大
若取 n2u12{{uu11}}TT1M 1K{{uu11}} =n2{{211{ 2{ 2u }u }22}} m 0T TkM K{2{0 uu m k22}} =1 22{{ 11 9 21 m 1 k}} 2m 00kk.222 20m kkm k 1111 35m k1.667m k
4剪力墙结构内力与位移计算1(整体墙)
剪力分配
各片剪力墙是通过刚性楼板联系在一起的。当结构的水平力合力中心与结构刚度中心 重合时，结构不会产生扭转，各片剪力墙在同一层楼板标高处的侧移将相等。因此， 总水平荷载将按各片剪力墙的刚度大小向各片墙分配。所有抗侧力单元都是剪力墙， 它们有相类似的沿高度变形曲线——弯曲型变形曲线，各片剪力墙水平荷载沿高度的 分布也将类似，与总荷载沿高度分布相同。因此，分配总荷载或分配层剪力的效果是 相同的。 当有m片墙时，第i片墙第j层分配到的剪力是
b01
0.15 H
b02
0.15 H
剪力墙有效翼缘宽度 bf 取表中所列各项较小值。
非直线墙的处理
由于建筑述简化方法来近似进行计算。
对折线型的剪力墙，当各墙段总转角不大于 15º 除上述两种情况外，对平面为折线形的剪力墙， （α＋β≤15º）时，可近似地按平面剪力墙进行计 在十字形和井字形平面中，核心墙各墙段轴线错开距离a 算。 不应将连续折线形剪力墙作为平面剪力墙计算； 不大于实体连接墙厚度的8倍、且不大于2.5 m时，整片墙 当将折线形（包括正交）剪力墙分为小段进行 可以作为整体平面剪力墙来计算，但必须考虑到实际上存 在的错开距离a带来的影响，整片墙的等效刚度宜将计算 内力和位移计算时，应考虑在剪力墙转角处的 结果乘以0.8的系数，并将按整片墙计算所得的内力乘以 竖向变形协调。 1.2的增大系数。
本课主要介绍用手算可 以实现的近似计算方法
2．连续化方法及带刚域框架计算方法 3．有限条方法
开有一排较大洞口的剪力墙叫双肢剪力墙；开有多排较大洞口的剪力墙叫多肢 剪力墙。由于洞口较大，剪力墙是一系列由连梁约束的墙肢所组成。这时可以用连 续化方法或带刚域框架方法作近似计算。当简化为带刚城框架时，可以用D值法进行 手算，也可以用杆件有限元以及短阵位移方法，由计算机计算。 对于形状及开洞都比较规则的墙，近年来发展了用有限条计算内力和位移的方法。 把剪力墙划分为竖向条带，条带的应力分布用函数形式表示，连结线上的位移为未 知函数。这种方法较平面有限元未知量大大减少，中小型计算机都可实现其计算。 这是一种精度较高的计算方法。
第四章粘性流体运动及其阻力计算
受力平衡分析法在层流中切应力可用牛顿内摩擦定律来表示即drdurldrdudrdu二圆管层流的速度分布和切应力分布为了求出速度分布现将式积分整理得根据边界条件确定积分常数在管壁上drdu斯托克斯公式表明在过流断面上的流速与半径成二次旋转抛物面关系如图所圆管中层流的速度分布根据牛顿内摩擦定律prdrdudrdu说明在层流的过流断面上切应力与半径成正比切应力的分布规律见图称为切应力的k字形分布
三、不同流动状态的水头损失规律
如果将两根测压管接在雷诺实验装臵中玻璃管B的前后两端， 如图6-7所示，可测出有效截面1-1和2-2间的能量损失，并找 出管中平均流速与能量损失之间的关系。 列截面1-1和2-2的伯努利方程
p1 V1 p2 V2 z1 1 z2 2 hf g 2g g 2g
在非均匀流动中，总水头线坡度是沿流程变化的， 总水头是一条沿流程急剧倾斜向下的直线，而且测 压管水头线也不一定与它相互平行。
第二节 流体运动的两种状态层流与紊流
p1 v1 p2 v2 z1 1 z2 2 h1 2g 2g
黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想应用此关系式计算有 关工程实际问题，必须计算能量损失项，由于流体流动的能量损 失与流动状态有很大关系，因此，我们首先讨论黏性流体流型。
雷诺实验
层流、紊流及过渡状态
(2) 调节阀C逐渐开大，水流速度增大到某一数值时颜色水的直 线流将开始振荡，发生弯曲，如图(b)所示。
(3) 再开大调节阀C，当水流速度增大到一定程度时，弯曲颜色 水流破裂成一种非常紊乱的状态，颜色水从细管E流出，经很短 一段距离后便与周围的水流相混，扩散至整个玻璃管内，如图(c) 所示。这说明水流质点在沿着管轴方向流动过程中，同时还互相 掺混，作复杂的无规则的运动，这种流动状态称为紊流（或湍 流）。 如果将调节阀C逐渐关小，水流速度逐渐减小，则开始时玻璃管 内仍为紊流，当水流速度减小到另一数值时，流体又会变成层 流，颜色水又呈一明显的直线。但是，由紊流转变为层流时的 流速要比由层流转变为紊流时的流速小一些。我们把流动状态 转化时的流速称为临界流速，由层流转变为紊流时的流速称为 上临界流速，以Vc′表示。由紊流转变为层流时的流速称为下临 界速，以Vc表示。则
三、不同流动状态的水头损失规律
如果将两根测压管接在雷诺实验装臵中玻璃管B的前后两端， 如图6-7所示，可测出有效截面1-1和2-2间的能量损失，并找 出管中平均流速与能量损失之间的关系。 列截面1-1和2-2的伯努利方程
p1 V1 p2 V2 z1 1 z2 2 hf g 2g g 2g
在非均匀流动中，总水头线坡度是沿流程变化的， 总水头是一条沿流程急剧倾斜向下的直线，而且测 压管水头线也不一定与它相互平行。
第二节 流体运动的两种状态层流与紊流
p1 v1 p2 v2 z1 1 z2 2 h1 2g 2g
黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想应用此关系式计算有 关工程实际问题，必须计算能量损失项，由于流体流动的能量损 失与流动状态有很大关系，因此，我们首先讨论黏性流体流型。
雷诺实验
层流、紊流及过渡状态
(2) 调节阀C逐渐开大，水流速度增大到某一数值时颜色水的直 线流将开始振荡，发生弯曲，如图(b)所示。
(3) 再开大调节阀C，当水流速度增大到一定程度时，弯曲颜色 水流破裂成一种非常紊乱的状态，颜色水从细管E流出，经很短 一段距离后便与周围的水流相混，扩散至整个玻璃管内，如图(c) 所示。这说明水流质点在沿着管轴方向流动过程中，同时还互相 掺混，作复杂的无规则的运动，这种流动状态称为紊流（或湍 流）。 如果将调节阀C逐渐关小，水流速度逐渐减小，则开始时玻璃管 内仍为紊流，当水流速度减小到另一数值时，流体又会变成层 流，颜色水又呈一明显的直线。但是，由紊流转变为层流时的 流速要比由层流转变为紊流时的流速小一些。我们把流动状态 转化时的流速称为临界流速，由层流转变为紊流时的流速称为 上临界流速，以Vc′表示。由紊流转变为层流时的流速称为下临 界速，以Vc表示。则
流体力学第四章-黏性流体的运动和阻力计算
Pgh qvpvq12 dL 4 8v 2 q
6、层流起始段长度——见课本74页
*4.4 圆管中的湍流流动
30
一、脉动现象与时均值
1、这种在定点上的瞬时运动参数随时间而发生波动的现象称为
脉动。
2、时均法分析湍流运动
u u u'
如取时间间隔T，瞬时速度在T时间内的平均值称为时间平均 速度，简称时均速度，即
二局部阻力某段管道上流体产生的总的能量损失应该是这段管路上各种能量损失的迭加即等于所有沿程能量损失与所有局部能量损失的和用公式表示为三总能量损失能量损失的量纲为长度工程中也称其为水头损失221圆管层流时的运动微分方程牛顿力学分析法可参考课本71页的ns方程分析法取长为dx半径为r的圆柱体不计质量力和惯性力仅考虑压力和剪应力则有pdpdxdprdxdpdrdudxdpdrdu根据牛顿粘性定律再考虑到则有dr图41圆管层流的速度和剪应力分布25在过流断面的任一半径r处取一宽度为dr的圆环如图42所示
u1
Tudt1
T(uu')dt1
Tudt1
T
u'dt
T0
T0
T0
T0
u1
T
u'dt
T0
时均压强
p
1
T
pdt
T0
.
二、湍流的速度结构、水力光滑管和水力粗糙管
31
1．湍流的速度结构 管中湍流的速度结构可以划分为以下三个区域：
（1）粘性底层区（层流底层）：在靠近管壁的薄层区域内，流 体的粘性力起主要作用，速度分布呈线性，速度梯度很大，这 一薄层叫粘性底层。如图所示。
湍流 层流的临界速度 ——下临界流速
v c ——上临界速度
v c ——下临界速度
6、层流起始段长度——见课本74页
*4.4 圆管中的湍流流动
30
一、脉动现象与时均值
1、这种在定点上的瞬时运动参数随时间而发生波动的现象称为
脉动。
2、时均法分析湍流运动
u u u'
如取时间间隔T，瞬时速度在T时间内的平均值称为时间平均 速度，简称时均速度，即
二局部阻力某段管道上流体产生的总的能量损失应该是这段管路上各种能量损失的迭加即等于所有沿程能量损失与所有局部能量损失的和用公式表示为三总能量损失能量损失的量纲为长度工程中也称其为水头损失221圆管层流时的运动微分方程牛顿力学分析法可参考课本71页的ns方程分析法取长为dx半径为r的圆柱体不计质量力和惯性力仅考虑压力和剪应力则有pdpdxdprdxdpdrdudxdpdrdu根据牛顿粘性定律再考虑到则有dr图41圆管层流的速度和剪应力分布25在过流断面的任一半径r处取一宽度为dr的圆环如图42所示
u1
Tudt1
T(uu')dt1
Tudt1
T
u'dt
T0
T0
T0
T0
u1
T
u'dt
T0
时均压强
p
1
T
pdt
T0
.
二、湍流的速度结构、水力光滑管和水力粗糙管
31
1．湍流的速度结构 管中湍流的速度结构可以划分为以下三个区域：
（1）粘性底层区（层流底层）：在靠近管壁的薄层区域内，流 体的粘性力起主要作用，速度分布呈线性，速度梯度很大，这 一薄层叫粘性底层。如图所示。
湍流 层流的临界速度 ——下临界流速
v c ——上临界速度
v c ——下临界速度
第四章受弯构件的弯扭失稳
b
整体稳定系数的近似计算
常用截面形式： 计算公式使用的前提条件： 由于采用近似计算公式，其中已考虑非 弹性屈曲的问题，所以不用修正。 此向内容常用于压弯构件的稳定计算。
梁的整体稳定计算方法
单向受弯构件：式4-58 双向受弯构件：式4-68 满足一定条件可不进行梁的整体稳定性 验算。
影响梁整体稳定承载力的因素有：
荷载类型及其沿梁跨度分布情况 荷载作用于截面上的位置 截面形式及其截面特性（抗弯刚度和抗 扭刚度） 梁受压翼缘侧向支承点的距离 端部支承条件 初弯曲、加载初偏心和残余应力等
4.5 压弯构件的面内和面外的稳 定及截面选择计算
失稳现象：压弯构件的失稳可根据其抵抗弯曲变 形能力的强弱而分为在弯矩作用平面内的弯曲 失稳和弯矩作用平面外的弯扭失稳。在轴线压 力N和弯矩M的共同作用下，当压弯构件抵抗 弯扭变形能力很强，或者在构件的侧面有足够 多的支撑以阻止其发生弯扭变形时，则构件可 能在弯矩作用平面内发生整体的弯曲失稳。当 构件的抗扭刚度和弯矩作用平面外的抗弯刚度 不大，且侧向没有足够支撑以阻止其产生侧向 位移和扭转时，可能发生弯矩作用平面外的弯 扭失稳。
数值积分法：
把杆件沿轴线方向分成足够多的小段，并以每 段的中点曲率代表该段的曲率。在确定每小段 的截面应力时将残余应力的影响计入在内。对 于杆件分的段数愈多，计算精度愈高，同时计 算量也愈大。 此法比没有考虑残余应力的近似法精确，并且 还具有可以考虑初始弯曲和能够用于不同荷载 条件与不同支承条件的优点，但推导的计算公 式太繁琐，不适合实际应用。
N mM x f x A Wx (1 x N N E )
最大强度准则 ： （或极限承载力准则）
整体稳定系数的近似计算
常用截面形式： 计算公式使用的前提条件： 由于采用近似计算公式，其中已考虑非 弹性屈曲的问题，所以不用修正。 此向内容常用于压弯构件的稳定计算。
梁的整体稳定计算方法
单向受弯构件：式4-58 双向受弯构件：式4-68 满足一定条件可不进行梁的整体稳定性 验算。
影响梁整体稳定承载力的因素有：
荷载类型及其沿梁跨度分布情况 荷载作用于截面上的位置 截面形式及其截面特性（抗弯刚度和抗 扭刚度） 梁受压翼缘侧向支承点的距离 端部支承条件 初弯曲、加载初偏心和残余应力等
4.5 压弯构件的面内和面外的稳 定及截面选择计算
失稳现象：压弯构件的失稳可根据其抵抗弯曲变 形能力的强弱而分为在弯矩作用平面内的弯曲 失稳和弯矩作用平面外的弯扭失稳。在轴线压 力N和弯矩M的共同作用下，当压弯构件抵抗 弯扭变形能力很强，或者在构件的侧面有足够 多的支撑以阻止其发生弯扭变形时，则构件可 能在弯矩作用平面内发生整体的弯曲失稳。当 构件的抗扭刚度和弯矩作用平面外的抗弯刚度 不大，且侧向没有足够支撑以阻止其产生侧向 位移和扭转时，可能发生弯矩作用平面外的弯 扭失稳。
数值积分法：
把杆件沿轴线方向分成足够多的小段，并以每 段的中点曲率代表该段的曲率。在确定每小段 的截面应力时将残余应力的影响计入在内。对 于杆件分的段数愈多，计算精度愈高，同时计 算量也愈大。 此法比没有考虑残余应力的近似法精确，并且 还具有可以考虑初始弯曲和能够用于不同荷载 条件与不同支承条件的优点，但推导的计算公 式太繁琐，不适合实际应用。
N mM x f x A Wx (1 x N N E )
最大强度准则 ： （或极限承载力准则）
《牵引供电系统》_第四章_牵引网阻抗的计算
类型。在结构和等值阻抗上，其特点为：
上、下行牵引网在供电分区末端并联 所有平行钢轨并联 复线牵引网等效为三个导线—回路 • 上行牵引网—地回路 • 下行牵引网—地回路 • 钢轨网—地回路 无源网络 为分析上、下行牵引网中电流分布、压损计算等等，上、下行牵引网 不能合并为一根导线。其原因是：上、下行运营情况不同，上、下行列车 位置及取流不同。
c
j
f
d jc
h
将接触导线与承力索综合后，便得到“接触网-地”回路的自阻抗：
zw z jc
1 1 1 z j z jc zc z jc
( / km)
§4.2 单线区段牵引网阻抗
-地”回路的自阻抗：（已讲过） 2、“钢轨 zg
' zg zmg
2
rg 2
0.05 j0.145lg
2、“接触导线-地”回路的自阻抗
钢轨有两条，并分别形成两条“钢轨-地回路”。从内部来看，一条 “钢轨-地回路”的自阻抗和两条“钢轨-地回路”的互阻抗的计算公式为
§4.2 单线区段牵引网阻抗
计算公式为
Dg ' ( / km) zg rg 0.05 j0.145lg Rεg z 0.05 j0.145lg Dg ( / km) mg d g
Dg Rεg d g
( / km)
承力索 3、“钢轨-地”回路与“钢轨-地”回路的互阻抗： c
zwg 0.05 j0.145lg
Dg d wj
( / km)
接触导线
d jg
d jc
j
dcg
H
式中， d wj为接触网等值导线与等值轨道间的距离。 g
沪教版六年级上数学第四章滚动面积问题
目录1. 概述2. 滚动面积的概念3. 滚动面积的计算方法4. 滚动面积的应用5. 结论概述数学作为一门重要的学科，不仅在学校教育中占有重要地位，更是贯穿于生活中的方方面面。
在数学的学习过程中，滚动面积作为一个重要的概念，为学生提供了一个了解平面几何的机会。
本文将围绕沪教版六年级上数学第四章滚动面积问题展开讨论，对滚动面积的概念、计算方法和应用进行详细介绍。
滚动面积的概念滚动面积是指一个形状或者图形绕一个轴线旋转一周所形成的立体图形的表面积。
在数学中，通常会涉及到圆柱的滚动面积和圆锥的滚动面积。
圆柱的滚动面积是指圆柱体绕着一个平行于底面的轴线滚动所形成的表面积，而圆锥的滚动面积则是指圆锥体绕着一个平行于底面的轴线滚动所形成的表面积。
滚动面积的计算方法计算圆柱的滚动面积可以使用以下公式进行计算：滚动面积= 2πr*h其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高度。
而计算圆锥的滚动面积则可以使用以下公式进行计算：滚动面积= πr*l + πr^2其中，r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线，即顶点到底面圆心的距离。
通过这些计算方法，我们可以准确地计算出滚动面积的数值。
滚动面积的应用滚动面积在生活中有着广泛的应用。
在建筑领域中，工程师需要计算柱形水塔或者圆锥形的锥形煤堆的表面积，从而准确地确定材料的用量。
又如在艺术雕塑中，雕塑家需要计算旋转成形的圆柱雕塑或者圆锥雕塑的表面积，以便确定材料的用量和成本。
结论通过本文的介绍，我们深入了解了沪教版六年级上数学第四章滚动面积问题。
我们明白了滚动面积的概念、计算方法和应用，以及它在生活中的重要性。
希望学生们能够通过学习滚动面积，更好地理解平面几何，进一步提高数学综合能力。
滚动面积的应用延伸除了前文提到的建筑和艺术领域，滚动面积还在其他领域有着广泛的应用。
在工程学中，特别是机械工程和汽车工程领域，滚动面积的概念被广泛应用于设计和计算车轮、齿轮等零部件的表面积，从而确定材料用量和制造成本。
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▪ 最大动能等于最大位能：
Tmax Vmax
1 2
ky02
1 2
my02 2
2 k
m
▪ 这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形 能应等于最大动能的Rayleigh法概念而得。
▪ 例子：简支梁，认为是无限自由度
y(x,t) (x)sint
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
0
能量守恒： Tmax Vmax
L
L
2 g Z
m( x) ( x)dx
L
0
m( x) ( x)2
dx
g
0
0 m(x)vd (x)dx
L 0
m(
x)
vd
(
x)2
dx
例
W
m EI
▪ 假定变形曲线
L/2
L/2
PL3 3 x 2 L x 3
v(x) 3EI
2 L3
Z0 ( x)
3x2L x3 Z0 2L3
2
120EI m L4
2
4 EI
m L4
97.41EI m L4
▪ 原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意 选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。
▪ 但是，对不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡 就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将会使体 系变得刚硬，从而使计算频率增大。
m(x) h0 x
I (x) 1 ( h0 x )3 12 l
h(x) x
h0
l
l
设形状函数为
X1(x)
a(1
x )2 l
X1(l) 0, X1(l) 0
满足位移边界条件。
12
l 0
EI[ X1(x)]2 dx
l 0
mX
2 1
(
x)dx
5Eh02
2l4
1
1.581h0 l2
E
精确解为
33 140
mL 2
Z02 2
25 256
W 2g
2
Z
2 0
33 140
25 256
W mLg
mL 2
2
Z02
Vmax
1 2
pZ0
3EI L3
Z02
▪ 计算频率:
2
3
33 25
W
EI m L4
140 256 m Lg
例：试用瑞利法求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1。
解： h(x) h0 x / l
1
1.534h0 l2
E
例：试求图示对称刚架的基本频率。
解：
y1 ( x)
P 156EI
x2 (21l
13x)
2Pl3 39EI
y2 (x)
P 104EI
x(x2
3xl
2l 2 )
P
1.5m 4EI m EI
2l
y2 x x
U max
1 P 2
P 2l 3 39EI
3 Pl 13
柱的最大动能
0
▪ 由Rayleigh法：
L
2
EI (x) "(x) dx
2 0 L
2
0 m(x)(x) dx
→ k* → m*
k* m*
此即为瑞利商
振动形状的选取
例子：简支梁，认为是无限自由度
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
假定振型为抛物线：
(x)
x L
1
x L
Vmax
1 2
L EI (x)[ "(x)]2 dx
ml EI
y1
3 Pl 13
T1max
2 12
2
l 0
m
y12
(
x)dx
7 Pl 26
7 Pl 26
m2
l 0
P2 (156EI )2
x4 (21l 13x)2 dx
0.0008772
m P 2l 7 ( EI )2
2Pl3
39EI
y2 (x)
x
P Z0
▪ 最大位能 ▪ 最大动能
Vmax
1 2
pZ0
3EI L3
Z
2 0
TmBax
1 2
L
2
m( x)v( x) dx
0
m 2
Z02 2
L[ ( x)]2 dx
0
33 140
mL 2
Z 02
2
Finish?
TW max
W 2[v(L / 2)]2
2g
25 256
W 2g
2
Z
2 0
Tmax
▪ Rayleigh法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近 似值！
Question: 如何确定合理的挠曲形状？
Solution:
▪ 自由振动的位移是由惯性力作用引起的； ▪ 惯性力正比于质量×加速度（质量分布及位移幅值） ▪ 因此：正确的振动形式为正比于m(x)的荷载所引起的挠
曲线。
▪ 再近似： 假定惯性荷载为梁的重量，即 p( x) m( x)g
L
2
120EI m L4
"( x)
2
L2
sin
x
L
1
Vmax 2
L 0
EI
(
x)[
"(
x)]2
dx
1 2
4EI
2L3
Tmax
1 2
Z
2 2
00
L 0
m( x)[
( x)]2 dx
1 2
Z
2 2
00
mL 2
能量守恒：
Vmax Tmax
2
4 EI
m L4
97.41EI m L4
假定振型为抛物线： 假定振型为正弦曲线：
▪ 频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。 ▪ 此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。
注意： (x) vd (x) / Z0
最大变形能：
Vmax
1 2
L 0
p(x)vd
(x)dx
1 2
gZ0
L
m( x) ( x)dx
0
最大动能：
Tmax
1 2
Z02 2
L
2
m(x)(x) dx
▪ 体系变形能：
V 1
L
EI (x)
2 y / x2
2
dx
20
▪ 最大值：
Vmax
1 2
L
EI (x)
0
2(x) / x2
2
dx
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
▪ 体系动能：
T 1
L
m(x)
2 y / t2
2
dx
20
▪ 最大值：
Tmax
12
2
L
2
m(x)(x) dx
V
1 2
ky2
1 2
ky02
sin2
t
质量块动能：
T
1 2
my&2
1 2
my02 2
cos2
t
y (t ) m
Vmax
1 2
ky02
Tmax
1 2
my02 2
Vmax
1 2
ky02
Tmax
1 2
my02 2
▪ Rayleigh法的理论基础为能量守恒定律。即认为如果没 有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该 保持常量。
0
Tmax
1 2
02
L m(x)[(x)]2 dx
0
"(
x)
2 L2
1 4EI 2 L3
1 2
02
mL 30
Vmax
1 2
L EI (x)[ "(x)]2 dx 1 4EI
0
2 L3
Tmax
1 2
02
L 0
m(
x)[
(
x)]2
dx
1 2
02
mL ax
假定振型为正弦曲线： (x) sin x
第四章 实用计算方法
1
第四章实用计算方法
§4.1能量法求自振频率 §4.2矩阵特征值问题及解法 §4.3结构动力响应的数值解法
2
§ 4.1 能量法求自振频率
一、瑞利能量法
c
自振频率：
k* m*
k
自由振动位移： 自由振动速度： 弹簧变形能：
y(t) y0 sin t y&(t) y0 cost
Tmax Vmax
1 2
ky02
1 2
my02 2
2 k
m
▪ 这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形 能应等于最大动能的Rayleigh法概念而得。
▪ 例子：简支梁，认为是无限自由度
y(x,t) (x)sint
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
0
能量守恒： Tmax Vmax
L
L
2 g Z
m( x) ( x)dx
L
0
m( x) ( x)2
dx
g
0
0 m(x)vd (x)dx
L 0
m(
x)
vd
(
x)2
dx
例
W
m EI
▪ 假定变形曲线
L/2
L/2
PL3 3 x 2 L x 3
v(x) 3EI
2 L3
Z0 ( x)
3x2L x3 Z0 2L3
2
120EI m L4
2
4 EI
m L4
97.41EI m L4
▪ 原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意 选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。
▪ 但是，对不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡 就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将会使体 系变得刚硬，从而使计算频率增大。
m(x) h0 x
I (x) 1 ( h0 x )3 12 l
h(x) x
h0
l
l
设形状函数为
X1(x)
a(1
x )2 l
X1(l) 0, X1(l) 0
满足位移边界条件。
12
l 0
EI[ X1(x)]2 dx
l 0
mX
2 1
(
x)dx
5Eh02
2l4
1
1.581h0 l2
E
精确解为
33 140
mL 2
Z02 2
25 256
W 2g
2
Z
2 0
33 140
25 256
W mLg
mL 2
2
Z02
Vmax
1 2
pZ0
3EI L3
Z02
▪ 计算频率:
2
3
33 25
W
EI m L4
140 256 m Lg
例：试用瑞利法求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1。
解： h(x) h0 x / l
1
1.534h0 l2
E
例：试求图示对称刚架的基本频率。
解：
y1 ( x)
P 156EI
x2 (21l
13x)
2Pl3 39EI
y2 (x)
P 104EI
x(x2
3xl
2l 2 )
P
1.5m 4EI m EI
2l
y2 x x
U max
1 P 2
P 2l 3 39EI
3 Pl 13
柱的最大动能
0
▪ 由Rayleigh法：
L
2
EI (x) "(x) dx
2 0 L
2
0 m(x)(x) dx
→ k* → m*
k* m*
此即为瑞利商
振动形状的选取
例子：简支梁，认为是无限自由度
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
假定振型为抛物线：
(x)
x L
1
x L
Vmax
1 2
L EI (x)[ "(x)]2 dx
ml EI
y1
3 Pl 13
T1max
2 12
2
l 0
m
y12
(
x)dx
7 Pl 26
7 Pl 26
m2
l 0
P2 (156EI )2
x4 (21l 13x)2 dx
0.0008772
m P 2l 7 ( EI )2
2Pl3
39EI
y2 (x)
x
P Z0
▪ 最大位能 ▪ 最大动能
Vmax
1 2
pZ0
3EI L3
Z
2 0
TmBax
1 2
L
2
m( x)v( x) dx
0
m 2
Z02 2
L[ ( x)]2 dx
0
33 140
mL 2
Z 02
2
Finish?
TW max
W 2[v(L / 2)]2
2g
25 256
W 2g
2
Z
2 0
Tmax
▪ Rayleigh法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近 似值！
Question: 如何确定合理的挠曲形状？
Solution:
▪ 自由振动的位移是由惯性力作用引起的； ▪ 惯性力正比于质量×加速度（质量分布及位移幅值） ▪ 因此：正确的振动形式为正比于m(x)的荷载所引起的挠
曲线。
▪ 再近似： 假定惯性荷载为梁的重量，即 p( x) m( x)g
L
2
120EI m L4
"( x)
2
L2
sin
x
L
1
Vmax 2
L 0
EI
(
x)[
"(
x)]2
dx
1 2
4EI
2L3
Tmax
1 2
Z
2 2
00
L 0
m( x)[
( x)]2 dx
1 2
Z
2 2
00
mL 2
能量守恒：
Vmax Tmax
2
4 EI
m L4
97.41EI m L4
假定振型为抛物线： 假定振型为正弦曲线：
▪ 频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。 ▪ 此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。
注意： (x) vd (x) / Z0
最大变形能：
Vmax
1 2
L 0
p(x)vd
(x)dx
1 2
gZ0
L
m( x) ( x)dx
0
最大动能：
Tmax
1 2
Z02 2
L
2
m(x)(x) dx
▪ 体系变形能：
V 1
L
EI (x)
2 y / x2
2
dx
20
▪ 最大值：
Vmax
1 2
L
EI (x)
0
2(x) / x2
2
dx
x
m(x), EI (x), l
y x y(x,t)
▪ 体系动能：
T 1
L
m(x)
2 y / t2
2
dx
20
▪ 最大值：
Tmax
12
2
L
2
m(x)(x) dx
V
1 2
ky2
1 2
ky02
sin2
t
质量块动能：
T
1 2
my&2
1 2
my02 2
cos2
t
y (t ) m
Vmax
1 2
ky02
Tmax
1 2
my02 2
Vmax
1 2
ky02
Tmax
1 2
my02 2
▪ Rayleigh法的理论基础为能量守恒定律。即认为如果没 有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该 保持常量。
0
Tmax
1 2
02
L m(x)[(x)]2 dx
0
"(
x)
2 L2
1 4EI 2 L3
1 2
02
mL 30
Vmax
1 2
L EI (x)[ "(x)]2 dx 1 4EI
0
2 L3
Tmax
1 2
02
L 0
m(
x)[
(
x)]2
dx
1 2
02
mL ax
假定振型为正弦曲线： (x) sin x
第四章 实用计算方法
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第四章实用计算方法
§4.1能量法求自振频率 §4.2矩阵特征值问题及解法 §4.3结构动力响应的数值解法
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§ 4.1 能量法求自振频率
一、瑞利能量法
c
自振频率：
k* m*
k
自由振动位移： 自由振动速度： 弹簧变形能：
y(t) y0 sin t y&(t) y0 cost